MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fnres Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fnres 5907
Description: An equivalence for functionality of a restriction. Compare dffun8 5817. (Contributed by Mario Carneiro, 20-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
fnres ((𝐹𝐴) Fn 𝐴 ↔ ∀𝑥𝐴 ∃!𝑦 𝑥𝐹𝑦)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐹,𝑦

Proof of Theorem fnres
StepHypRef Expression
1 ancom 464 . . 3 ((∀𝑥𝐴 ∃*𝑦 𝑥𝐹𝑦 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦 𝑥𝐹𝑦) ↔ (∀𝑥𝐴𝑦 𝑥𝐹𝑦 ∧ ∀𝑥𝐴 ∃*𝑦 𝑥𝐹𝑦))
2 vex 3175 . . . . . . . . . 10 𝑦 ∈ V
32brres 5310 . . . . . . . . 9 (𝑥(𝐹𝐴)𝑦 ↔ (𝑥𝐹𝑦𝑥𝐴))
4 ancom 464 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝐹𝑦𝑥𝐴) ↔ (𝑥𝐴𝑥𝐹𝑦))
53, 4bitri 262 . . . . . . . 8 (𝑥(𝐹𝐴)𝑦 ↔ (𝑥𝐴𝑥𝐹𝑦))
65mobii 2480 . . . . . . 7 (∃*𝑦 𝑥(𝐹𝐴)𝑦 ↔ ∃*𝑦(𝑥𝐴𝑥𝐹𝑦))
7 moanimv 2518 . . . . . . 7 (∃*𝑦(𝑥𝐴𝑥𝐹𝑦) ↔ (𝑥𝐴 → ∃*𝑦 𝑥𝐹𝑦))
86, 7bitri 262 . . . . . 6 (∃*𝑦 𝑥(𝐹𝐴)𝑦 ↔ (𝑥𝐴 → ∃*𝑦 𝑥𝐹𝑦))
98albii 1736 . . . . 5 (∀𝑥∃*𝑦 𝑥(𝐹𝐴)𝑦 ↔ ∀𝑥(𝑥𝐴 → ∃*𝑦 𝑥𝐹𝑦))
10 relres 5333 . . . . . 6 Rel (𝐹𝐴)
11 dffun6 5805 . . . . . 6 (Fun (𝐹𝐴) ↔ (Rel (𝐹𝐴) ∧ ∀𝑥∃*𝑦 𝑥(𝐹𝐴)𝑦))
1210, 11mpbiran 954 . . . . 5 (Fun (𝐹𝐴) ↔ ∀𝑥∃*𝑦 𝑥(𝐹𝐴)𝑦)
13 df-ral 2900 . . . . 5 (∀𝑥𝐴 ∃*𝑦 𝑥𝐹𝑦 ↔ ∀𝑥(𝑥𝐴 → ∃*𝑦 𝑥𝐹𝑦))
149, 12, 133bitr4i 290 . . . 4 (Fun (𝐹𝐴) ↔ ∀𝑥𝐴 ∃*𝑦 𝑥𝐹𝑦)
15 dmres 5326 . . . . . . 7 dom (𝐹𝐴) = (𝐴 ∩ dom 𝐹)
16 inss1 3794 . . . . . . 7 (𝐴 ∩ dom 𝐹) ⊆ 𝐴
1715, 16eqsstri 3597 . . . . . 6 dom (𝐹𝐴) ⊆ 𝐴
18 eqss 3582 . . . . . 6 (dom (𝐹𝐴) = 𝐴 ↔ (dom (𝐹𝐴) ⊆ 𝐴𝐴 ⊆ dom (𝐹𝐴)))
1917, 18mpbiran 954 . . . . 5 (dom (𝐹𝐴) = 𝐴𝐴 ⊆ dom (𝐹𝐴))
20 dfss3 3557 . . . . . 6 (𝐴 ⊆ dom (𝐹𝐴) ↔ ∀𝑥𝐴 𝑥 ∈ dom (𝐹𝐴))
2115elin2 3762 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ dom (𝐹𝐴) ↔ (𝑥𝐴𝑥 ∈ dom 𝐹))
2221baib 941 . . . . . . . 8 (𝑥𝐴 → (𝑥 ∈ dom (𝐹𝐴) ↔ 𝑥 ∈ dom 𝐹))
23 vex 3175 . . . . . . . . 9 𝑥 ∈ V
2423eldm 5230 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ dom 𝐹 ↔ ∃𝑦 𝑥𝐹𝑦)
2522, 24syl6bb 274 . . . . . . 7 (𝑥𝐴 → (𝑥 ∈ dom (𝐹𝐴) ↔ ∃𝑦 𝑥𝐹𝑦))
2625ralbiia 2961 . . . . . 6 (∀𝑥𝐴 𝑥 ∈ dom (𝐹𝐴) ↔ ∀𝑥𝐴𝑦 𝑥𝐹𝑦)
2720, 26bitri 262 . . . . 5 (𝐴 ⊆ dom (𝐹𝐴) ↔ ∀𝑥𝐴𝑦 𝑥𝐹𝑦)
2819, 27bitri 262 . . . 4 (dom (𝐹𝐴) = 𝐴 ↔ ∀𝑥𝐴𝑦 𝑥𝐹𝑦)
2914, 28anbi12i 728 . . 3 ((Fun (𝐹𝐴) ∧ dom (𝐹𝐴) = 𝐴) ↔ (∀𝑥𝐴 ∃*𝑦 𝑥𝐹𝑦 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦 𝑥𝐹𝑦))
30 r19.26 3045 . . 3 (∀𝑥𝐴 (∃𝑦 𝑥𝐹𝑦 ∧ ∃*𝑦 𝑥𝐹𝑦) ↔ (∀𝑥𝐴𝑦 𝑥𝐹𝑦 ∧ ∀𝑥𝐴 ∃*𝑦 𝑥𝐹𝑦))
311, 29, 303bitr4i 290 . 2 ((Fun (𝐹𝐴) ∧ dom (𝐹𝐴) = 𝐴) ↔ ∀𝑥𝐴 (∃𝑦 𝑥𝐹𝑦 ∧ ∃*𝑦 𝑥𝐹𝑦))
32 df-fn 5793 . 2 ((𝐹𝐴) Fn 𝐴 ↔ (Fun (𝐹𝐴) ∧ dom (𝐹𝐴) = 𝐴))
33 eu5 2483 . . 3 (∃!𝑦 𝑥𝐹𝑦 ↔ (∃𝑦 𝑥𝐹𝑦 ∧ ∃*𝑦 𝑥𝐹𝑦))
3433ralbii 2962 . 2 (∀𝑥𝐴 ∃!𝑦 𝑥𝐹𝑦 ↔ ∀𝑥𝐴 (∃𝑦 𝑥𝐹𝑦 ∧ ∃*𝑦 𝑥𝐹𝑦))
3531, 32, 343bitr4i 290 1 ((𝐹𝐴) Fn 𝐴 ↔ ∀𝑥𝐴 ∃!𝑦 𝑥𝐹𝑦)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382  wal 1472   = wceq 1474  wex 1694  wcel 1976  ∃!weu 2457  ∃*wmo 2458  wral 2895  cin 3538  wss 3539   class class class wbr 4577  dom cdm 5028  cres 5030  Rel wrel 5033  Fun wfun 5784   Fn wfn 5785
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pr 4828
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ral 2900  df-rex 2901  df-rab 2904  df-v 3174  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-br 4578  df-opab 4638  df-id 4943  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-res 5040  df-fun 5792  df-fn 5793
This theorem is referenced by:  f1ompt  6275  omxpenlem  7923  tz6.12-afv  39700
  Copyright terms: Public domain W3C validator