MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fnresdm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fnresdm 5988
Description: A function does not change when restricted to its domain. (Contributed by NM, 5-Sep-2004.)
Assertion
Ref Expression
fnresdm (𝐹 Fn 𝐴 → (𝐹𝐴) = 𝐹)

Proof of Theorem fnresdm
StepHypRef Expression
1 fnrel 5977 . 2 (𝐹 Fn 𝐴 → Rel 𝐹)
2 fndm 5978 . . 3 (𝐹 Fn 𝐴 → dom 𝐹 = 𝐴)
3 eqimss 3649 . . 3 (dom 𝐹 = 𝐴 → dom 𝐹𝐴)
42, 3syl 17 . 2 (𝐹 Fn 𝐴 → dom 𝐹𝐴)
5 relssres 5425 . 2 ((Rel 𝐹 ∧ dom 𝐹𝐴) → (𝐹𝐴) = 𝐹)
61, 4, 5syl2anc 692 1 (𝐹 Fn 𝐴 → (𝐹𝐴) = 𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1481  wss 3567  dom cdm 5104  cres 5106  Rel wrel 5109   Fn wfn 5871
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pr 4897
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ral 2914  df-rex 2915  df-rab 2918  df-v 3197  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-nul 3908  df-if 4078  df-sn 4169  df-pr 4171  df-op 4175  df-br 4645  df-opab 4704  df-xp 5110  df-rel 5111  df-dm 5114  df-res 5116  df-fun 5878  df-fn 5879
This theorem is referenced by:  fnima  5997  fresin  6060  resasplit  6061  fresaunres2  6063  fvreseq1  6304  fnsnb  6417  fninfp  6425  fnsnsplit  6435  fsnunfv  6438  fsnunres  6439  fnsuppeq0  7308  mapunen  8114  fnfi  8223  canthp1lem2  9460  fseq1p1m1  12398  facnn  13045  fac0  13046  hashgval  13103  hashinf  13105  rlimres  14270  lo1res  14271  rlimresb  14277  isercolllem2  14377  isercoll  14379  ruclem4  14944  fsets  15872  sscres  16464  sscid  16465  gsumzres  18291  pwssplit1  19040  zzngim  19882  ptuncnv  21591  ptcmpfi  21597  tsmsres  21928  imasdsf1olem  22159  tmslem  22268  tmsxms  22272  imasf1oxms  22275  prdsxms  22316  tmsxps  22322  tmsxpsmopn  22323  isngp2  22382  tngngp2  22437  cnfldms  22560  cncms  23132  cnfldcusp  23134  mbfres2  23393  dvres  23656  dvres3a  23659  cpnres  23681  dvmptres3  23700  dvlip2  23739  dvgt0lem2  23747  dvne0  23755  rlimcnp2  24674  jensen  24696  eupthvdres  27075  sspg  27553  ssps  27555  sspn  27561  hhsssh  28096  fnresin  29403  padct  29471  ffsrn  29478  resf1o  29479  gsumle  29753  cnrrext  30028  indf1ofs  30062  eulerpartlemt  30407  bnj142OLD  30768  subfacp1lem3  31138  subfacp1lem5  31140  cvmliftlem11  31251  poimirlem9  33389  mapfzcons1  37099  eq0rabdioph  37159  eldioph4b  37194  diophren  37196  pwssplit4  37478  dvresntr  39895  sge0split  40389
  Copyright terms: Public domain W3C validator