MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fodomb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fodomb 9206
Description: Equivalence of an onto mapping and dominance for a nonempty set. Proposition 10.35 of [TakeutiZaring] p. 93. (Contributed by NM, 29-Jul-2004.)
Assertion
Ref Expression
fodomb ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑓 𝑓:𝐴onto𝐵) ↔ (∅ ≺ 𝐵𝐵𝐴))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝐵,𝑓

Proof of Theorem fodomb
StepHypRef Expression
1 fof 6013 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓:𝐴onto𝐵𝑓:𝐴𝐵)
2 fdm 5950 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓:𝐴𝐵 → dom 𝑓 = 𝐴)
31, 2syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑓:𝐴onto𝐵 → dom 𝑓 = 𝐴)
43eqeq1d 2611 . . . . . . . . . 10 (𝑓:𝐴onto𝐵 → (dom 𝑓 = ∅ ↔ 𝐴 = ∅))
5 dm0rn0 5250 . . . . . . . . . . 11 (dom 𝑓 = ∅ ↔ ran 𝑓 = ∅)
6 forn 6016 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓:𝐴onto𝐵 → ran 𝑓 = 𝐵)
76eqeq1d 2611 . . . . . . . . . . 11 (𝑓:𝐴onto𝐵 → (ran 𝑓 = ∅ ↔ 𝐵 = ∅))
85, 7syl5bb 270 . . . . . . . . . 10 (𝑓:𝐴onto𝐵 → (dom 𝑓 = ∅ ↔ 𝐵 = ∅))
94, 8bitr3d 268 . . . . . . . . 9 (𝑓:𝐴onto𝐵 → (𝐴 = ∅ ↔ 𝐵 = ∅))
109necon3bid 2825 . . . . . . . 8 (𝑓:𝐴onto𝐵 → (𝐴 ≠ ∅ ↔ 𝐵 ≠ ∅))
1110biimpac 501 . . . . . . 7 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝑓:𝐴onto𝐵) → 𝐵 ≠ ∅)
12 vex 3175 . . . . . . . . . . . 12 𝑓 ∈ V
1312dmex 6968 . . . . . . . . . . 11 dom 𝑓 ∈ V
143, 13syl6eqelr 2696 . . . . . . . . . 10 (𝑓:𝐴onto𝐵𝐴 ∈ V)
15 fornex 7005 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ V → (𝑓:𝐴onto𝐵𝐵 ∈ V))
1614, 15mpcom 37 . . . . . . . . 9 (𝑓:𝐴onto𝐵𝐵 ∈ V)
17 0sdomg 7951 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ V → (∅ ≺ 𝐵𝐵 ≠ ∅))
1816, 17syl 17 . . . . . . . 8 (𝑓:𝐴onto𝐵 → (∅ ≺ 𝐵𝐵 ≠ ∅))
1918adantl 480 . . . . . . 7 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝑓:𝐴onto𝐵) → (∅ ≺ 𝐵𝐵 ≠ ∅))
2011, 19mpbird 245 . . . . . 6 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝑓:𝐴onto𝐵) → ∅ ≺ 𝐵)
2120ex 448 . . . . 5 (𝐴 ≠ ∅ → (𝑓:𝐴onto𝐵 → ∅ ≺ 𝐵))
22 fodomg 9205 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ V → (𝑓:𝐴onto𝐵𝐵𝐴))
2314, 22mpcom 37 . . . . . 6 (𝑓:𝐴onto𝐵𝐵𝐴)
2423a1i 11 . . . . 5 (𝐴 ≠ ∅ → (𝑓:𝐴onto𝐵𝐵𝐴))
2521, 24jcad 553 . . . 4 (𝐴 ≠ ∅ → (𝑓:𝐴onto𝐵 → (∅ ≺ 𝐵𝐵𝐴)))
2625exlimdv 1847 . . 3 (𝐴 ≠ ∅ → (∃𝑓 𝑓:𝐴onto𝐵 → (∅ ≺ 𝐵𝐵𝐴)))
2726imp 443 . 2 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑓 𝑓:𝐴onto𝐵) → (∅ ≺ 𝐵𝐵𝐴))
28 sdomdomtr 7955 . . . 4 ((∅ ≺ 𝐵𝐵𝐴) → ∅ ≺ 𝐴)
29 reldom 7824 . . . . . . 7 Rel ≼
3029brrelex2i 5073 . . . . . 6 (𝐵𝐴𝐴 ∈ V)
3130adantl 480 . . . . 5 ((∅ ≺ 𝐵𝐵𝐴) → 𝐴 ∈ V)
32 0sdomg 7951 . . . . 5 (𝐴 ∈ V → (∅ ≺ 𝐴𝐴 ≠ ∅))
3331, 32syl 17 . . . 4 ((∅ ≺ 𝐵𝐵𝐴) → (∅ ≺ 𝐴𝐴 ≠ ∅))
3428, 33mpbid 220 . . 3 ((∅ ≺ 𝐵𝐵𝐴) → 𝐴 ≠ ∅)
35 fodomr 7973 . . 3 ((∅ ≺ 𝐵𝐵𝐴) → ∃𝑓 𝑓:𝐴onto𝐵)
3634, 35jca 552 . 2 ((∅ ≺ 𝐵𝐵𝐴) → (𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑓 𝑓:𝐴onto𝐵))
3727, 36impbii 197 1 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑓 𝑓:𝐴onto𝐵) ↔ (∅ ≺ 𝐵𝐵𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382   = wceq 1474  wex 1694  wcel 1976  wne 2779  Vcvv 3172  c0 3873   class class class wbr 4577  dom cdm 5028  ran crn 5029  wf 5786  ontowfo 5788  cdom 7816  csdm 7817
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-ac2 9145
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-se 4988  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-isom 5799  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-er 7606  df-map 7723  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-card 8625  df-acn 8628  df-ac 8799
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator