Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fodomb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fodomb 9386
 Description: Equivalence of an onto mapping and dominance for a nonempty set. Proposition 10.35 of [TakeutiZaring] p. 93. (Contributed by NM, 29-Jul-2004.)
Assertion
Ref Expression
fodomb ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑓 𝑓:𝐴onto𝐵) ↔ (∅ ≺ 𝐵𝐵𝐴))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝐵,𝑓

Proof of Theorem fodomb
StepHypRef Expression
1 fof 6153 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓:𝐴onto𝐵𝑓:𝐴𝐵)
2 fdm 6089 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓:𝐴𝐵 → dom 𝑓 = 𝐴)
31, 2syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑓:𝐴onto𝐵 → dom 𝑓 = 𝐴)
43eqeq1d 2653 . . . . . . . . . 10 (𝑓:𝐴onto𝐵 → (dom 𝑓 = ∅ ↔ 𝐴 = ∅))
5 dm0rn0 5374 . . . . . . . . . . 11 (dom 𝑓 = ∅ ↔ ran 𝑓 = ∅)
6 forn 6156 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓:𝐴onto𝐵 → ran 𝑓 = 𝐵)
76eqeq1d 2653 . . . . . . . . . . 11 (𝑓:𝐴onto𝐵 → (ran 𝑓 = ∅ ↔ 𝐵 = ∅))
85, 7syl5bb 272 . . . . . . . . . 10 (𝑓:𝐴onto𝐵 → (dom 𝑓 = ∅ ↔ 𝐵 = ∅))
94, 8bitr3d 270 . . . . . . . . 9 (𝑓:𝐴onto𝐵 → (𝐴 = ∅ ↔ 𝐵 = ∅))
109necon3bid 2867 . . . . . . . 8 (𝑓:𝐴onto𝐵 → (𝐴 ≠ ∅ ↔ 𝐵 ≠ ∅))
1110biimpac 502 . . . . . . 7 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝑓:𝐴onto𝐵) → 𝐵 ≠ ∅)
12 vex 3234 . . . . . . . . . . . 12 𝑓 ∈ V
1312dmex 7141 . . . . . . . . . . 11 dom 𝑓 ∈ V
143, 13syl6eqelr 2739 . . . . . . . . . 10 (𝑓:𝐴onto𝐵𝐴 ∈ V)
15 fornex 7177 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ V → (𝑓:𝐴onto𝐵𝐵 ∈ V))
1614, 15mpcom 38 . . . . . . . . 9 (𝑓:𝐴onto𝐵𝐵 ∈ V)
17 0sdomg 8130 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ V → (∅ ≺ 𝐵𝐵 ≠ ∅))
1816, 17syl 17 . . . . . . . 8 (𝑓:𝐴onto𝐵 → (∅ ≺ 𝐵𝐵 ≠ ∅))
1918adantl 481 . . . . . . 7 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝑓:𝐴onto𝐵) → (∅ ≺ 𝐵𝐵 ≠ ∅))
2011, 19mpbird 247 . . . . . 6 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝑓:𝐴onto𝐵) → ∅ ≺ 𝐵)
2120ex 449 . . . . 5 (𝐴 ≠ ∅ → (𝑓:𝐴onto𝐵 → ∅ ≺ 𝐵))
22 fodomg 9383 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ V → (𝑓:𝐴onto𝐵𝐵𝐴))
2314, 22mpcom 38 . . . . . 6 (𝑓:𝐴onto𝐵𝐵𝐴)
2423a1i 11 . . . . 5 (𝐴 ≠ ∅ → (𝑓:𝐴onto𝐵𝐵𝐴))
2521, 24jcad 554 . . . 4 (𝐴 ≠ ∅ → (𝑓:𝐴onto𝐵 → (∅ ≺ 𝐵𝐵𝐴)))
2625exlimdv 1901 . . 3 (𝐴 ≠ ∅ → (∃𝑓 𝑓:𝐴onto𝐵 → (∅ ≺ 𝐵𝐵𝐴)))
2726imp 444 . 2 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑓 𝑓:𝐴onto𝐵) → (∅ ≺ 𝐵𝐵𝐴))
28 sdomdomtr 8134 . . . 4 ((∅ ≺ 𝐵𝐵𝐴) → ∅ ≺ 𝐴)
29 reldom 8003 . . . . . . 7 Rel ≼
3029brrelex2i 5193 . . . . . 6 (𝐵𝐴𝐴 ∈ V)
3130adantl 481 . . . . 5 ((∅ ≺ 𝐵𝐵𝐴) → 𝐴 ∈ V)
32 0sdomg 8130 . . . . 5 (𝐴 ∈ V → (∅ ≺ 𝐴𝐴 ≠ ∅))
3331, 32syl 17 . . . 4 ((∅ ≺ 𝐵𝐵𝐴) → (∅ ≺ 𝐴𝐴 ≠ ∅))
3428, 33mpbid 222 . . 3 ((∅ ≺ 𝐵𝐵𝐴) → 𝐴 ≠ ∅)
35 fodomr 8152 . . 3 ((∅ ≺ 𝐵𝐵𝐴) → ∃𝑓 𝑓:𝐴onto𝐵)
3634, 35jca 553 . 2 ((∅ ≺ 𝐵𝐵𝐴) → (𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑓 𝑓:𝐴onto𝐵))
3727, 36impbii 199 1 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑓 𝑓:𝐴onto𝐵) ↔ (∅ ≺ 𝐵𝐵𝐴))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1523  ∃wex 1744   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823  Vcvv 3231  ∅c0 3948   class class class wbr 4685  dom cdm 5143  ran crn 5144  ⟶wf 5922  –onto→wfo 5924   ≼ cdom 7995   ≺ csdm 7996 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-ac2 9323 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-card 8803  df-acn 8806  df-ac 8977 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator