MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fodomfi2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fodomfi2 8827
Description: Onto functions define dominance when a finite number of choices need to be made. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
fodomfi2 ((𝐴𝑉𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴onto𝐵) → 𝐵𝐴)

Proof of Theorem fodomfi2
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fofn 6074 . . . 4 (𝐹:𝐴onto𝐵𝐹 Fn 𝐴)
213ad2ant3 1082 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴onto𝐵) → 𝐹 Fn 𝐴)
3 forn 6075 . . . . 5 (𝐹:𝐴onto𝐵 → ran 𝐹 = 𝐵)
4 eqimss2 3637 . . . . 5 (ran 𝐹 = 𝐵𝐵 ⊆ ran 𝐹)
53, 4syl 17 . . . 4 (𝐹:𝐴onto𝐵𝐵 ⊆ ran 𝐹)
653ad2ant3 1082 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴onto𝐵) → 𝐵 ⊆ ran 𝐹)
7 simp2 1060 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴onto𝐵) → 𝐵 ∈ Fin)
8 fipreima 8216 . . 3 ((𝐹 Fn 𝐴𝐵 ⊆ ran 𝐹𝐵 ∈ Fin) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝐹𝑥) = 𝐵)
92, 6, 7, 8syl3anc 1323 . 2 ((𝐴𝑉𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴onto𝐵) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝐹𝑥) = 𝐵)
10 inss2 3812 . . . . . . . . 9 (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ⊆ Fin
1110sseli 3579 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑥 ∈ Fin)
1211adantl 482 . . . . . . 7 (((𝐴𝑉𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴onto𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑥 ∈ Fin)
13 finnum 8718 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ Fin → 𝑥 ∈ dom card)
1412, 13syl 17 . . . . . 6 (((𝐴𝑉𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴onto𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑥 ∈ dom card)
15 simpl3 1064 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑉𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴onto𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝐹:𝐴onto𝐵)
16 fofun 6073 . . . . . . . 8 (𝐹:𝐴onto𝐵 → Fun 𝐹)
1715, 16syl 17 . . . . . . 7 (((𝐴𝑉𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴onto𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Fun 𝐹)
18 inss1 3811 . . . . . . . . . . 11 (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ⊆ 𝒫 𝐴
1918sseli 3579 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴)
2019elpwid 4141 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑥𝐴)
2120adantl 482 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑉𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴onto𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑥𝐴)
22 fof 6072 . . . . . . . . 9 (𝐹:𝐴onto𝐵𝐹:𝐴𝐵)
23 fdm 6008 . . . . . . . . 9 (𝐹:𝐴𝐵 → dom 𝐹 = 𝐴)
2415, 22, 233syl 18 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑉𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴onto𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → dom 𝐹 = 𝐴)
2521, 24sseqtr4d 3621 . . . . . . 7 (((𝐴𝑉𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴onto𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑥 ⊆ dom 𝐹)
26 fores 6081 . . . . . . 7 ((Fun 𝐹𝑥 ⊆ dom 𝐹) → (𝐹𝑥):𝑥onto→(𝐹𝑥))
2717, 25, 26syl2anc 692 . . . . . 6 (((𝐴𝑉𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴onto𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐹𝑥):𝑥onto→(𝐹𝑥))
28 fodomnum 8824 . . . . . 6 (𝑥 ∈ dom card → ((𝐹𝑥):𝑥onto→(𝐹𝑥) → (𝐹𝑥) ≼ 𝑥))
2914, 27, 28sylc 65 . . . . 5 (((𝐴𝑉𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴onto𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐹𝑥) ≼ 𝑥)
30 simpl1 1062 . . . . . 6 (((𝐴𝑉𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴onto𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝐴𝑉)
31 ssdomg 7945 . . . . . 6 (𝐴𝑉 → (𝑥𝐴𝑥𝐴))
3230, 21, 31sylc 65 . . . . 5 (((𝐴𝑉𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴onto𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑥𝐴)
33 domtr 7953 . . . . 5 (((𝐹𝑥) ≼ 𝑥𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) ≼ 𝐴)
3429, 32, 33syl2anc 692 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴onto𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐹𝑥) ≼ 𝐴)
35 breq1 4616 . . . 4 ((𝐹𝑥) = 𝐵 → ((𝐹𝑥) ≼ 𝐴𝐵𝐴))
3634, 35syl5ibcom 235 . . 3 (((𝐴𝑉𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴onto𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((𝐹𝑥) = 𝐵𝐵𝐴))
3736rexlimdva 3024 . 2 ((𝐴𝑉𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴onto𝐵) → (∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝐹𝑥) = 𝐵𝐵𝐴))
389, 37mpd 15 1 ((𝐴𝑉𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴onto𝐵) → 𝐵𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wrex 2908  cin 3554  wss 3555  𝒫 cpw 4130   class class class wbr 4613  dom cdm 5074  ran crn 5075  cres 5076  cima 5077  Fun wfun 5841   Fn wfn 5842  wf 5843  ontowfo 5845  cdom 7897  Fincfn 7899  cardccrd 8705
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-1o 7505  df-er 7687  df-map 7804  df-en 7900  df-dom 7901  df-fin 7903  df-card 8709  df-acn 8712
This theorem is referenced by:  wdomfil  8828
  Copyright terms: Public domain W3C validator