MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fodomfib Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fodomfib 8225
Description: Equivalence of an onto mapping and dominance for a nonempty finite set. Unlike fodomb 9333 for arbitrary sets, this theorem does not require the Axiom of Choice for its proof. (Contributed by NM, 23-Mar-2006.)
Assertion
Ref Expression
fodomfib (𝐴 ∈ Fin → ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑓 𝑓:𝐴onto𝐵) ↔ (∅ ≺ 𝐵𝐵𝐴)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝐵,𝑓

Proof of Theorem fodomfib
StepHypRef Expression
1 fof 6102 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓:𝐴onto𝐵𝑓:𝐴𝐵)
2 fdm 6038 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓:𝐴𝐵 → dom 𝑓 = 𝐴)
31, 2syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓:𝐴onto𝐵 → dom 𝑓 = 𝐴)
43eqeq1d 2622 . . . . . . . . . . 11 (𝑓:𝐴onto𝐵 → (dom 𝑓 = ∅ ↔ 𝐴 = ∅))
5 dm0rn0 5331 . . . . . . . . . . . 12 (dom 𝑓 = ∅ ↔ ran 𝑓 = ∅)
6 forn 6105 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓:𝐴onto𝐵 → ran 𝑓 = 𝐵)
76eqeq1d 2622 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓:𝐴onto𝐵 → (ran 𝑓 = ∅ ↔ 𝐵 = ∅))
85, 7syl5bb 272 . . . . . . . . . . 11 (𝑓:𝐴onto𝐵 → (dom 𝑓 = ∅ ↔ 𝐵 = ∅))
94, 8bitr3d 270 . . . . . . . . . 10 (𝑓:𝐴onto𝐵 → (𝐴 = ∅ ↔ 𝐵 = ∅))
109necon3bid 2835 . . . . . . . . 9 (𝑓:𝐴onto𝐵 → (𝐴 ≠ ∅ ↔ 𝐵 ≠ ∅))
1110biimpac 503 . . . . . . . 8 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝑓:𝐴onto𝐵) → 𝐵 ≠ ∅)
1211adantll 749 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:𝐴onto𝐵) → 𝐵 ≠ ∅)
13 vex 3198 . . . . . . . . . . . 12 𝑓 ∈ V
1413rnex 7085 . . . . . . . . . . 11 ran 𝑓 ∈ V
156, 14syl6eqelr 2708 . . . . . . . . . 10 (𝑓:𝐴onto𝐵𝐵 ∈ V)
1615adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝐴onto𝐵) → 𝐵 ∈ V)
17 0sdomg 8074 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ V → (∅ ≺ 𝐵𝐵 ≠ ∅))
1816, 17syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝐴onto𝐵) → (∅ ≺ 𝐵𝐵 ≠ ∅))
1918adantlr 750 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:𝐴onto𝐵) → (∅ ≺ 𝐵𝐵 ≠ ∅))
2012, 19mpbird 247 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:𝐴onto𝐵) → ∅ ≺ 𝐵)
2120ex 450 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝑓:𝐴onto𝐵 → ∅ ≺ 𝐵))
22 fodomfi 8224 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝐴onto𝐵) → 𝐵𝐴)
2322ex 450 . . . . . 6 (𝐴 ∈ Fin → (𝑓:𝐴onto𝐵𝐵𝐴))
2423adantr 481 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝑓:𝐴onto𝐵𝐵𝐴))
2521, 24jcad 555 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝑓:𝐴onto𝐵 → (∅ ≺ 𝐵𝐵𝐴)))
2625exlimdv 1859 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (∃𝑓 𝑓:𝐴onto𝐵 → (∅ ≺ 𝐵𝐵𝐴)))
2726expimpd 628 . 2 (𝐴 ∈ Fin → ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑓 𝑓:𝐴onto𝐵) → (∅ ≺ 𝐵𝐵𝐴)))
28 sdomdomtr 8078 . . . 4 ((∅ ≺ 𝐵𝐵𝐴) → ∅ ≺ 𝐴)
29 0sdomg 8074 . . . 4 (𝐴 ∈ Fin → (∅ ≺ 𝐴𝐴 ≠ ∅))
3028, 29syl5ib 234 . . 3 (𝐴 ∈ Fin → ((∅ ≺ 𝐵𝐵𝐴) → 𝐴 ≠ ∅))
31 fodomr 8096 . . . 4 ((∅ ≺ 𝐵𝐵𝐴) → ∃𝑓 𝑓:𝐴onto𝐵)
3231a1i 11 . . 3 (𝐴 ∈ Fin → ((∅ ≺ 𝐵𝐵𝐴) → ∃𝑓 𝑓:𝐴onto𝐵))
3330, 32jcad 555 . 2 (𝐴 ∈ Fin → ((∅ ≺ 𝐵𝐵𝐴) → (𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑓 𝑓:𝐴onto𝐵)))
3427, 33impbid 202 1 (𝐴 ∈ Fin → ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑓 𝑓:𝐴onto𝐵) ↔ (∅ ≺ 𝐵𝐵𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1481  wex 1702  wcel 1988  wne 2791  Vcvv 3195  c0 3907   class class class wbr 4644  dom cdm 5104  ran crn 5105  wf 5872  ontowfo 5874  cdom 7938  csdm 7939  Fincfn 7940
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-om 7051  df-1o 7545  df-er 7727  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-fin 7944
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator