Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fodomnum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fodomnum 8840
 Description: A version of fodom 9304 that doesn't require the Axiom of Choice ax-ac 9241. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
fodomnum (𝐴 ∈ dom card → (𝐹:𝐴onto𝐵𝐵𝐴))

Proof of Theorem fodomnum
StepHypRef Expression
1 fornex 7097 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom card → (𝐹:𝐴onto𝐵𝐵 ∈ V))
21com12 32 . . . 4 (𝐹:𝐴onto𝐵 → (𝐴 ∈ dom card → 𝐵 ∈ V))
3 numacn 8832 . . . 4 (𝐵 ∈ V → (𝐴 ∈ dom card → 𝐴AC 𝐵))
42, 3syli 39 . . 3 (𝐹:𝐴onto𝐵 → (𝐴 ∈ dom card → 𝐴AC 𝐵))
54com12 32 . 2 (𝐴 ∈ dom card → (𝐹:𝐴onto𝐵𝐴AC 𝐵))
6 fodomacn 8839 . 2 (𝐴AC 𝐵 → (𝐹:𝐴onto𝐵𝐵𝐴))
75, 6syli 39 1 (𝐴 ∈ dom card → (𝐹:𝐴onto𝐵𝐵𝐴))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1987  Vcvv 3190   class class class wbr 4623  dom cdm 5084  –onto→wfo 5855   ≼ cdom 7913  cardccrd 8721  AC wacn 8724 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-se 5044  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-isom 5866  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-er 7702  df-map 7819  df-en 7916  df-dom 7917  df-card 8725  df-acn 8728 This theorem is referenced by:  fonum  8841  fodomfi2  8843  infpwfien  8845  inffien  8846  wdomnumr  8847  iunfictbso  8897  infmap2  9000  fictb  9027  cfflb  9041  cfslb2n  9050  fodom  9304  rankcf  9559  tskuni  9565  tskurn  9571  znnen  14885  qnnen  14886  cygctb  18233  1stcrestlem  21195  2ndcctbss  21198  2ndcomap  21201  2ndcsep  21202  tx1stc  21393  tx2ndc  21394  met1stc  22266  met2ndci  22267  re2ndc  22544  uniiccdif  23286  dyadmbl  23308  opnmblALT  23311  mbfimaopnlem  23362  aannenlem3  24023
 Copyright terms: Public domain W3C validator