Theorem fofi 8107

Description: If a function has a finite domain, its range is finite. Theorem 37 of [Suppes] p. 104. (Contributed by NM, 25-Mar-2007.)

Assertion

Ref	Expression
fofi	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–onto→𝐵) → 𝐵 ∈ Fin)

Proof of Theorem fofi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fodomfi 8096	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–onto→𝐵) → 𝐵 ≼ 𝐴)
2		domfi 8038	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)
3	1, 2	syldan 485	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–onto→𝐵) → 𝐵 ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   ∈ wcel 1975   class class class wbr 4572  –onto→wfo 5783   ≼ cdom 7811  Fincfn 7813

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2227  ax-ext 2584  ax-sep 4698  ax-nul 4707  ax-pow 4759  ax-pr 4823  ax-un 6819

This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2456  df-mo 2457  df-clab 2591  df-cleq 2597  df-clel 2600  df-nfc 2734  df-ne 2776  df-ral 2895  df-rex 2896  df-reu 2897  df-rab 2899  df-v 3169  df-sbc 3397  df-dif 3537  df-un 3539  df-in 3541  df-ss 3548  df-pss 3550  df-nul 3869  df-if 4031  df-pw 4104  df-sn 4120  df-pr 4122  df-tp 4124  df-op 4126  df-uni 4362  df-br 4573  df-opab 4633  df-tr 4670  df-eprel 4934  df-id 4938  df-po 4944  df-so 4945  df-fr 4982  df-we 4984  df-xp 5029  df-rel 5030  df-cnv 5031  df-co 5032  df-dm 5033  df-rn 5034  df-res 5035  df-ima 5036  df-ord 5624  df-on 5625  df-lim 5626  df-suc 5627  df-iota 5749  df-fun 5787  df-fn 5788  df-f 5789  df-f1 5790  df-fo 5791  df-f1o 5792  df-fv 5793  df-om 6930  df-1o 7419  df-er 7601  df-en 7814  df-dom 7815  df-fin 7817

This theorem is referenced by:  f1fi  8108  imafi  8114  f1opwfi  8125  indexfi  8129  intrnfi  8177  infpwfien  8740  ttukeylem6  9191  fseqsupcl  12588  fiinfnf1o  12947  vdwlem6  15469  0ram2  15504  0ramcl  15506  mplsubrglem  19201  tgcmp  20951  hauscmplem  20956  1stcfb  20995  comppfsc  21082  1stckgenlem  21103  ptcnplem  21171  txtube  21190  txcmplem1  21191  tmdgsum2  21647  tsmsf1o  21695  tsmsxplem1  21703  ovolicc2lem4  23007  i1fadd  23180  i1fmul  23181  itg1addlem4  23184  i1fmulc  23188  mbfi1fseqlem4  23203  limciun  23376  edgusgranbfin  25740  erdszelem2  30229  mvrsfpw  30458  itg2addnclem2  32430  istotbnd3  32538  sstotbnd  32542  prdsbnd  32560  cntotbnd  32563  heiborlem1  32578  heibor  32588  lmhmfgima  36470  edgusgrnbfin  40598