Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourier2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourier2 39781
 Description: Fourier series convergence, for a piecewise smooth function. Here it is also proven the existence of the left and right limits of 𝐹 at any given point 𝑋. See fourierd 39776 for a comparison. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourier2.f (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
fourier2.t 𝑇 = (2 · π)
fourier2.per ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
fourier2.g 𝐺 = ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))
fourier2.dmdv (𝜑 → ((-π(,)π) ∖ dom 𝐺) ∈ Fin)
fourier2.dvcn (𝜑𝐺 ∈ (dom 𝐺cn→ℂ))
fourier2.rlim ((𝜑𝑥 ∈ ((-π[,)π) ∖ dom 𝐺)) → ((𝐺 ↾ (𝑥(,)+∞)) lim 𝑥) ≠ ∅)
fourier2.llim ((𝜑𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom 𝐺)) → ((𝐺 ↾ (-∞(,)𝑥)) lim 𝑥) ≠ ∅)
fourier2.x (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
fourier2.a 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π))
fourier2.b 𝐵 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π))
Assertion
Ref Expression
fourier2 (𝜑 → ∃𝑙 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋)∃𝑟 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋)(((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ ℕ (((𝐴𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))) = ((𝑙 + 𝑟) / 2))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝐵,𝑛   𝐹,𝑙,𝑛,𝑟,𝑥   𝑥,𝐺   𝑇,𝑛,𝑥   𝑋,𝑙,𝑛,𝑟,𝑥   𝜑,𝑙,𝑛,𝑟,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑟,𝑙)   𝐵(𝑥,𝑟,𝑙)   𝑇(𝑟,𝑙)   𝐺(𝑛,𝑟,𝑙)

Proof of Theorem fourier2
StepHypRef Expression
1 fourier2.f . . . . . 6 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
2 fourier2.t . . . . . 6 𝑇 = (2 · π)
3 fourier2.per . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
4 fourier2.g . . . . . 6 𝐺 = ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))
5 fourier2.dmdv . . . . . 6 (𝜑 → ((-π(,)π) ∖ dom 𝐺) ∈ Fin)
6 fourier2.dvcn . . . . . 6 (𝜑𝐺 ∈ (dom 𝐺cn→ℂ))
7 fourier2.rlim . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ((-π[,)π) ∖ dom 𝐺)) → ((𝐺 ↾ (𝑥(,)+∞)) lim 𝑥) ≠ ∅)
8 fourier2.llim . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom 𝐺)) → ((𝐺 ↾ (-∞(,)𝑥)) lim 𝑥) ≠ ∅)
9 fourier2.x . . . . . 6 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9fourierdlem106 39766 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋) ≠ ∅ ∧ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋) ≠ ∅))
1110simpld 475 . . . 4 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋) ≠ ∅)
12 n0 3913 . . . 4 (((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋) ≠ ∅ ↔ ∃𝑙 𝑙 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋))
1311, 12sylib 208 . . 3 (𝜑 → ∃𝑙 𝑙 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋))
14 simpr 477 . . . . . 6 ((𝜑𝑙 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋)) → 𝑙 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋))
1510simprd 479 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋) ≠ ∅)
16 n0 3913 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋) ≠ ∅ ↔ ∃𝑟 𝑟 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋))
1715, 16sylib 208 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∃𝑟 𝑟 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋))
1817adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑙 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋)) → ∃𝑟 𝑟 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋))
19 simpr 477 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑙 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋)) ∧ 𝑟 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋)) → 𝑟 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋))
201ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑙 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋)) ∧ 𝑟 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋)) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
213ad4ant14 1290 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑙 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋)) ∧ 𝑟 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
225ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑙 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋)) ∧ 𝑟 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋)) → ((-π(,)π) ∖ dom 𝐺) ∈ Fin)
236ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑙 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋)) ∧ 𝑟 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋)) → 𝐺 ∈ (dom 𝐺cn→ℂ))
247ad4ant14 1290 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑙 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋)) ∧ 𝑟 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ ((-π[,)π) ∖ dom 𝐺)) → ((𝐺 ↾ (𝑥(,)+∞)) lim 𝑥) ≠ ∅)
258ad4ant14 1290 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑙 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋)) ∧ 𝑟 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom 𝐺)) → ((𝐺 ↾ (-∞(,)𝑥)) lim 𝑥) ≠ ∅)
269ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑙 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋)) ∧ 𝑟 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋)) → 𝑋 ∈ ℝ)
2714adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑙 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋)) ∧ 𝑟 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋)) → 𝑙 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋))
28 fourier2.a . . . . . . . . . . . 12 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π))
29 fourier2.b . . . . . . . . . . . 12 𝐵 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π))
3020, 2, 21, 4, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 19, 28, 29fourierd 39776 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑙 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋)) ∧ 𝑟 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋)) → (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ ℕ (((𝐴𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))) = ((𝑙 + 𝑟) / 2))
3119, 30jca 554 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑙 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋)) ∧ 𝑟 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋)) → (𝑟 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋) ∧ (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ ℕ (((𝐴𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))) = ((𝑙 + 𝑟) / 2)))
3231ex 450 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑙 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋)) → (𝑟 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋) → (𝑟 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋) ∧ (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ ℕ (((𝐴𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))) = ((𝑙 + 𝑟) / 2))))
3332eximdv 1843 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑙 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋)) → (∃𝑟 𝑟 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋) → ∃𝑟(𝑟 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋) ∧ (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ ℕ (((𝐴𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))) = ((𝑙 + 𝑟) / 2))))
3418, 33mpd 15 . . . . . . 7 ((𝜑𝑙 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋)) → ∃𝑟(𝑟 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋) ∧ (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ ℕ (((𝐴𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))) = ((𝑙 + 𝑟) / 2)))
35 df-rex 2914 . . . . . . 7 (∃𝑟 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋)(((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ ℕ (((𝐴𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))) = ((𝑙 + 𝑟) / 2) ↔ ∃𝑟(𝑟 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋) ∧ (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ ℕ (((𝐴𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))) = ((𝑙 + 𝑟) / 2)))
3634, 35sylibr 224 . . . . . 6 ((𝜑𝑙 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋)) → ∃𝑟 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋)(((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ ℕ (((𝐴𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))) = ((𝑙 + 𝑟) / 2))
3714, 36jca 554 . . . . 5 ((𝜑𝑙 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋)) → (𝑙 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋) ∧ ∃𝑟 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋)(((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ ℕ (((𝐴𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))) = ((𝑙 + 𝑟) / 2)))
3837ex 450 . . . 4 (𝜑 → (𝑙 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋) → (𝑙 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋) ∧ ∃𝑟 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋)(((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ ℕ (((𝐴𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))) = ((𝑙 + 𝑟) / 2))))
3938eximdv 1843 . . 3 (𝜑 → (∃𝑙 𝑙 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋) → ∃𝑙(𝑙 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋) ∧ ∃𝑟 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋)(((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ ℕ (((𝐴𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))) = ((𝑙 + 𝑟) / 2))))
4013, 39mpd 15 . 2 (𝜑 → ∃𝑙(𝑙 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋) ∧ ∃𝑟 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋)(((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ ℕ (((𝐴𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))) = ((𝑙 + 𝑟) / 2)))
41 df-rex 2914 . 2 (∃𝑙 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋)∃𝑟 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋)(((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ ℕ (((𝐴𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))) = ((𝑙 + 𝑟) / 2) ↔ ∃𝑙(𝑙 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋) ∧ ∃𝑟 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋)(((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ ℕ (((𝐴𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))) = ((𝑙 + 𝑟) / 2)))
4240, 41sylibr 224 1 (𝜑 → ∃𝑙 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋)∃𝑟 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋)(((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ ℕ (((𝐴𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))) = ((𝑙 + 𝑟) / 2))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1480  ∃wex 1701   ∈ wcel 1987   ≠ wne 2790  ∃wrex 2909   ∖ cdif 3557  ∅c0 3897   ↦ cmpt 4683  dom cdm 5084   ↾ cres 5086  ⟶wf 5853  ‘cfv 5857  (class class class)co 6615  Fincfn 7915  ℂcc 9894  ℝcr 9895  0cc0 9896   + caddc 9899   · cmul 9901  +∞cpnf 10031  -∞cmnf 10032  -cneg 10227   / cdiv 10644  ℕcn 10980  2c2 11030  ℕ0cn0 11252  (,)cioo 12133  (,]cioc 12134  [,)cico 12135  Σcsu 14366  sincsin 14738  cosccos 14739  πcpi 14741  –cn→ccncf 22619  ∫citg 23327   limℂ climc 23566   D cdv 23567 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-inf2 8498  ax-cc 9217  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973  ax-pre-sup 9974  ax-addf 9975  ax-mulf 9976 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-iin 4495  df-disj 4594  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-se 5044  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-isom 5866  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-of 6862  df-ofr 6863  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-supp 7256  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-2o 7521  df-oadd 7524  df-omul 7525  df-er 7702  df-map 7819  df-pm 7820  df-ixp 7869  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-fsupp 8236  df-fi 8277  df-sup 8308  df-inf 8309  df-oi 8375  df-card 8725  df-acn 8728  df-cda 8950  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-div 10645  df-nn 10981  df-2 11039  df-3 11040  df-4 11041  df-5 11042  df-6 11043  df-7 11044  df-8 11045  df-9 11046  df-n0 11253  df-xnn0 11324  df-z 11338  df-dec 11454  df-uz 11648  df-q 11749  df-rp 11793  df-xneg 11906  df-xadd 11907  df-xmul 11908  df-ioo 12137  df-ioc 12138  df-ico 12139  df-icc 12140  df-fz 12285  df-fzo 12423  df-fl 12549  df-mod 12625  df-seq 12758  df-exp 12817  df-fac 13017  df-bc 13046  df-hash 13074  df-shft 13757  df-cj 13789  df-re 13790  df-im 13791  df-sqrt 13925  df-abs 13926  df-limsup 14152  df-clim 14169  df-rlim 14170  df-sum 14367  df-ef 14742  df-sin 14744  df-cos 14745  df-pi 14747  df-struct 15802  df-ndx 15803  df-slot 15804  df-base 15805  df-sets 15806  df-ress 15807  df-plusg 15894  df-mulr 15895  df-starv 15896  df-sca 15897  df-vsca 15898  df-ip 15899  df-tset 15900  df-ple 15901  df-ds 15904  df-unif 15905  df-hom 15906  df-cco 15907  df-rest 16023  df-topn 16024  df-0g 16042  df-gsum 16043  df-topgen 16044  df-pt 16045  df-prds 16048  df-xrs 16102  df-qtop 16107  df-imas 16108  df-xps 16110  df-mre 16186  df-mrc 16187  df-acs 16189  df-mgm 17182  df-sgrp 17224  df-mnd 17235  df-submnd 17276  df-mulg 17481  df-cntz 17690  df-cmn 18135  df-psmet 19678  df-xmet 19679  df-met 19680  df-bl 19681  df-mopn 19682  df-fbas 19683  df-fg 19684  df-cnfld 19687  df-top 20639  df-topon 20656  df-topsp 20677  df-bases 20690  df-cld 20763  df-ntr 20764  df-cls 20765  df-nei 20842  df-lp 20880  df-perf 20881  df-cn 20971  df-cnp 20972  df-t1 21058  df-haus 21059  df-cmp 21130  df-tx 21305  df-hmeo 21498  df-fil 21590  df-fm 21682  df-flim 21683  df-flf 21684  df-xms 22065  df-ms 22066  df-tms 22067  df-cncf 22621  df-ovol 23173  df-vol 23174  df-mbf 23328  df-itg1 23329  df-itg2 23330  df-ibl 23331  df-itg 23332  df-0p 23377  df-ditg 23551  df-limc 23570  df-dv 23571 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator