Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fouriercn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fouriercn 40869
Description: If the derivative of 𝐹 is continuous, then the Fourier series for 𝐹 converges to 𝐹 everywhere and the hypothesis are simpler than those for the more general case of a piecewise smooth function ( see fourierd 40859 for a comparison). (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fouriercn.f (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
fouriercn.t 𝑇 = (2 · π)
fouriercn.per ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
fouriercn.dv (𝜑 → (ℝ D 𝐹) ∈ (ℝ–cn→ℂ))
fouriercn.g 𝐺 = ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))
fouriercn.x (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
fouriercn.a 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π))
fouriercn.b 𝐵 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π))
Assertion
Ref Expression
fouriercn (𝜑 → (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ ℕ (((𝐴𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))) = (𝐹𝑋))
Distinct variable groups:   𝑛,𝐹,𝑥   𝑥,𝐺   𝑥,𝑇   𝑛,𝑋,𝑥   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐴(𝑥,𝑛)   𝐵(𝑥,𝑛)   𝑇(𝑛)   𝐺(𝑛)

Proof of Theorem fouriercn
StepHypRef Expression
1 fouriercn.f . 2 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
2 fouriercn.t . 2 𝑇 = (2 · π)
3 fouriercn.per . 2 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
4 fouriercn.g . 2 𝐺 = ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))
54dmeqi 5432 . . . . . 6 dom 𝐺 = dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))
6 ioossre 12349 . . . . . . . 8 (-π(,)π) ⊆ ℝ
7 fouriercn.dv . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℝ D 𝐹) ∈ (ℝ–cn→ℂ))
8 cncff 22818 . . . . . . . . 9 ((ℝ D 𝐹) ∈ (ℝ–cn→ℂ) → (ℝ D 𝐹):ℝ⟶ℂ)
9 fdm 6164 . . . . . . . . 9 ((ℝ D 𝐹):ℝ⟶ℂ → dom (ℝ D 𝐹) = ℝ)
107, 8, 93syl 18 . . . . . . . 8 (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = ℝ)
116, 10syl5sseqr 3760 . . . . . . 7 (𝜑 → (-π(,)π) ⊆ dom (ℝ D 𝐹))
12 ssdmres 5530 . . . . . . 7 ((-π(,)π) ⊆ dom (ℝ D 𝐹) ↔ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) = (-π(,)π))
1311, 12sylib 208 . . . . . 6 (𝜑 → dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) = (-π(,)π))
145, 13syl5eq 2770 . . . . 5 (𝜑 → dom 𝐺 = (-π(,)π))
1514difeq2d 3836 . . . 4 (𝜑 → ((-π(,)π) ∖ dom 𝐺) = ((-π(,)π) ∖ (-π(,)π)))
16 difid 4056 . . . 4 ((-π(,)π) ∖ (-π(,)π)) = ∅
1715, 16syl6eq 2774 . . 3 (𝜑 → ((-π(,)π) ∖ dom 𝐺) = ∅)
18 0fin 8304 . . 3 ∅ ∈ Fin
1917, 18syl6eqel 2811 . 2 (𝜑 → ((-π(,)π) ∖ dom 𝐺) ∈ Fin)
20 rescncf 22822 . . . 4 ((-π(,)π) ⊆ ℝ → ((ℝ D 𝐹) ∈ (ℝ–cn→ℂ) → ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∈ ((-π(,)π)–cn→ℂ)))
216, 7, 20mpsyl 68 . . 3 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∈ ((-π(,)π)–cn→ℂ))
224a1i 11 . . 3 (𝜑𝐺 = ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)))
2314oveq1d 6780 . . 3 (𝜑 → (dom 𝐺cn→ℂ) = ((-π(,)π)–cn→ℂ))
2421, 22, 233eltr4d 2818 . 2 (𝜑𝐺 ∈ (dom 𝐺cn→ℂ))
25 pire 24330 . . . . . 6 π ∈ ℝ
2625renegcli 10455 . . . . 5 -π ∈ ℝ
2725rexri 10210 . . . . 5 π ∈ ℝ*
28 icossre 12368 . . . . 5 ((-π ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ*) → (-π[,)π) ⊆ ℝ)
2926, 27, 28mp2an 710 . . . 4 (-π[,)π) ⊆ ℝ
30 eldifi 3840 . . . 4 (𝑥 ∈ ((-π[,)π) ∖ dom 𝐺) → 𝑥 ∈ (-π[,)π))
3129, 30sseldi 3707 . . 3 (𝑥 ∈ ((-π[,)π) ∖ dom 𝐺) → 𝑥 ∈ ℝ)
32 limcresi 23769 . . . . . 6 ((ℝ D 𝐹) lim 𝑥) ⊆ (((ℝ D 𝐹) ↾ ((-π(,)π) ∩ (𝑥(,)+∞))) lim 𝑥)
334reseq1i 5499 . . . . . . . 8 (𝐺 ↾ (𝑥(,)+∞)) = (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (𝑥(,)+∞))
34 resres 5519 . . . . . . . 8 (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (𝑥(,)+∞)) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((-π(,)π) ∩ (𝑥(,)+∞)))
3533, 34eqtr2i 2747 . . . . . . 7 ((ℝ D 𝐹) ↾ ((-π(,)π) ∩ (𝑥(,)+∞))) = (𝐺 ↾ (𝑥(,)+∞))
3635oveq1i 6775 . . . . . 6 (((ℝ D 𝐹) ↾ ((-π(,)π) ∩ (𝑥(,)+∞))) lim 𝑥) = ((𝐺 ↾ (𝑥(,)+∞)) lim 𝑥)
3732, 36sseqtri 3743 . . . . 5 ((ℝ D 𝐹) lim 𝑥) ⊆ ((𝐺 ↾ (𝑥(,)+∞)) lim 𝑥)
387adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (ℝ D 𝐹) ∈ (ℝ–cn→ℂ))
39 simpr 479 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
4038, 39cnlimci 23773 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) ∈ ((ℝ D 𝐹) lim 𝑥))
4137, 40sseldi 3707 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) ∈ ((𝐺 ↾ (𝑥(,)+∞)) lim 𝑥))
42 ne0i 4029 . . . 4 (((ℝ D 𝐹)‘𝑥) ∈ ((𝐺 ↾ (𝑥(,)+∞)) lim 𝑥) → ((𝐺 ↾ (𝑥(,)+∞)) lim 𝑥) ≠ ∅)
4341, 42syl 17 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐺 ↾ (𝑥(,)+∞)) lim 𝑥) ≠ ∅)
4431, 43sylan2 492 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ ((-π[,)π) ∖ dom 𝐺)) → ((𝐺 ↾ (𝑥(,)+∞)) lim 𝑥) ≠ ∅)
45 negpitopissre 24406 . . . 4 (-π(,]π) ⊆ ℝ
46 eldifi 3840 . . . 4 (𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom 𝐺) → 𝑥 ∈ (-π(,]π))
4745, 46sseldi 3707 . . 3 (𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom 𝐺) → 𝑥 ∈ ℝ)
48 limcresi 23769 . . . . . 6 ((ℝ D 𝐹) lim 𝑥) ⊆ (((ℝ D 𝐹) ↾ ((-π(,)π) ∩ (-∞(,)𝑥))) lim 𝑥)
494reseq1i 5499 . . . . . . . 8 (𝐺 ↾ (-∞(,)𝑥)) = (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-∞(,)𝑥))
50 resres 5519 . . . . . . . 8 (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-∞(,)𝑥)) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((-π(,)π) ∩ (-∞(,)𝑥)))
5149, 50eqtr2i 2747 . . . . . . 7 ((ℝ D 𝐹) ↾ ((-π(,)π) ∩ (-∞(,)𝑥))) = (𝐺 ↾ (-∞(,)𝑥))
5251oveq1i 6775 . . . . . 6 (((ℝ D 𝐹) ↾ ((-π(,)π) ∩ (-∞(,)𝑥))) lim 𝑥) = ((𝐺 ↾ (-∞(,)𝑥)) lim 𝑥)
5348, 52sseqtri 3743 . . . . 5 ((ℝ D 𝐹) lim 𝑥) ⊆ ((𝐺 ↾ (-∞(,)𝑥)) lim 𝑥)
5453, 40sseldi 3707 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) ∈ ((𝐺 ↾ (-∞(,)𝑥)) lim 𝑥))
55 ne0i 4029 . . . 4 (((ℝ D 𝐹)‘𝑥) ∈ ((𝐺 ↾ (-∞(,)𝑥)) lim 𝑥) → ((𝐺 ↾ (-∞(,)𝑥)) lim 𝑥) ≠ ∅)
5654, 55syl 17 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐺 ↾ (-∞(,)𝑥)) lim 𝑥) ≠ ∅)
5747, 56sylan2 492 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom 𝐺)) → ((𝐺 ↾ (-∞(,)𝑥)) lim 𝑥) ≠ ∅)
58 eqid 2724 . 2 (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
59 ax-resscn 10106 . . . . . . 7 ℝ ⊆ ℂ
6059a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
611, 60fssd 6170 . . . . . . 7 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℂ)
62 ssid 3730 . . . . . . . 8 ℝ ⊆ ℝ
6362a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → ℝ ⊆ ℝ)
64 dvcn 23804 . . . . . . 7 (((ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝐹:ℝ⟶ℂ ∧ ℝ ⊆ ℝ) ∧ dom (ℝ D 𝐹) = ℝ) → 𝐹 ∈ (ℝ–cn→ℂ))
6560, 61, 63, 10, 64syl31anc 1442 . . . . . 6 (𝜑𝐹 ∈ (ℝ–cn→ℂ))
66 cncffvrn 22823 . . . . . 6 ((ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℝ–cn→ℂ)) → (𝐹 ∈ (ℝ–cn→ℝ) ↔ 𝐹:ℝ⟶ℝ))
6760, 65, 66syl2anc 696 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 ∈ (ℝ–cn→ℝ) ↔ 𝐹:ℝ⟶ℝ))
681, 67mpbird 247 . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (ℝ–cn→ℝ))
69 eqid 2724 . . . . . 6 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
7069tgioo2 22728 . . . . . 6 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
7169, 70, 70cncfcn 22834 . . . . 5 ((ℝ ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (ℝ–cn→ℝ) = ((topGen‘ran (,)) Cn (topGen‘ran (,))))
7260, 60, 71syl2anc 696 . . . 4 (𝜑 → (ℝ–cn→ℝ) = ((topGen‘ran (,)) Cn (topGen‘ran (,))))
7368, 72eleqtrd 2805 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (topGen‘ran (,))))
74 fouriercn.x . . 3 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
75 uniretop 22688 . . . 4 ℝ = (topGen‘ran (,))
7675cncnpi 21205 . . 3 ((𝐹 ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (topGen‘ran (,))) ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → 𝐹 ∈ (((topGen‘ran (,)) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑋))
7773, 74, 76syl2anc 696 . 2 (𝜑𝐹 ∈ (((topGen‘ran (,)) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑋))
78 fouriercn.a . 2 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π))
79 fouriercn.b . 2 𝐵 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π))
801, 2, 3, 4, 19, 24, 44, 57, 58, 77, 78, 79fouriercnp 40863 1 (𝜑 → (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ ℕ (((𝐴𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))) = (𝐹𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1596  wcel 2103  wne 2896  cdif 3677  cin 3679  wss 3680  c0 4023  cmpt 4837  dom cdm 5218  ran crn 5219  cres 5220  wf 5997  cfv 6001  (class class class)co 6765  Fincfn 8072  cc 10047  cr 10048  0cc0 10049   + caddc 10052   · cmul 10054  +∞cpnf 10184  -∞cmnf 10185  *cxr 10186  -cneg 10380   / cdiv 10797  cn 11133  2c2 11183  0cn0 11405  (,)cioo 12289  (,]cioc 12290  [,)cico 12291  Σcsu 14536  sincsin 14914  cosccos 14915  πcpi 14917  TopOpenctopn 16205  topGenctg 16221  fldccnfld 19869   Cn ccn 21151   CnP ccnp 21152  cnccncf 22801  citg 23507   lim climc 23746   D cdv 23747
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-rep 4879  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-inf2 8651  ax-cc 9370  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126  ax-pre-sup 10127  ax-addf 10128  ax-mulf 10129
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-fal 1602  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rmo 3022  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-int 4584  df-iun 4630  df-iin 4631  df-disj 4729  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-se 5178  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-isom 6010  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-of 7014  df-ofr 7015  df-om 7183  df-1st 7285  df-2nd 7286  df-supp 7416  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-1o 7680  df-2o 7681  df-oadd 7684  df-omul 7685  df-er 7862  df-map 7976  df-pm 7977  df-ixp 8026  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-fin 8076  df-fsupp 8392  df-fi 8433  df-sup 8464  df-inf 8465  df-oi 8531  df-card 8878  df-acn 8881  df-cda 9103  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382  df-div 10798  df-nn 11134  df-2 11192  df-3 11193  df-4 11194  df-5 11195  df-6 11196  df-7 11197  df-8 11198  df-9 11199  df-n0 11406  df-xnn0 11477  df-z 11491  df-dec 11607  df-uz 11801  df-q 11903  df-rp 11947  df-xneg 12060  df-xadd 12061  df-xmul 12062  df-ioo 12293  df-ioc 12294  df-ico 12295  df-icc 12296  df-fz 12441  df-fzo 12581  df-fl 12708  df-mod 12784  df-seq 12917  df-exp 12976  df-fac 13176  df-bc 13205  df-hash 13233  df-shft 13927  df-cj 13959  df-re 13960  df-im 13961  df-sqrt 14095  df-abs 14096  df-limsup 14322  df-clim 14339  df-rlim 14340  df-sum 14537  df-ef 14918  df-sin 14920  df-cos 14921  df-pi 14923  df-struct 15982  df-ndx 15983  df-slot 15984  df-base 15986  df-sets 15987  df-ress 15988  df-plusg 16077  df-mulr 16078  df-starv 16079  df-sca 16080  df-vsca 16081  df-ip 16082  df-tset 16083  df-ple 16084  df-ds 16087  df-unif 16088  df-hom 16089  df-cco 16090  df-rest 16206  df-topn 16207  df-0g 16225  df-gsum 16226  df-topgen 16227  df-pt 16228  df-prds 16231  df-xrs 16285  df-qtop 16290  df-imas 16291  df-xps 16293  df-mre 16369  df-mrc 16370  df-acs 16372  df-mgm 17364  df-sgrp 17406  df-mnd 17417  df-submnd 17458  df-mulg 17663  df-cntz 17871  df-cmn 18316  df-psmet 19861  df-xmet 19862  df-met 19863  df-bl 19864  df-mopn 19865  df-fbas 19866  df-fg 19867  df-cnfld 19870  df-top 20822  df-topon 20839  df-topsp 20860  df-bases 20873  df-cld 20946  df-ntr 20947  df-cls 20948  df-nei 21025  df-lp 21063  df-perf 21064  df-cn 21154  df-cnp 21155  df-t1 21241  df-haus 21242  df-cmp 21313  df-tx 21488  df-hmeo 21681  df-fil 21772  df-fm 21864  df-flim 21865  df-flf 21866  df-xms 22247  df-ms 22248  df-tms 22249  df-cncf 22803  df-ovol 23354  df-vol 23355  df-mbf 23508  df-itg1 23509  df-itg2 23510  df-ibl 23511  df-itg 23512  df-0p 23557  df-ditg 23731  df-limc 23750  df-dv 23751
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator