Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fouriercnp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fouriercnp 40212
 Description: If 𝐹 is continuous at the point 𝑋, then its Fourier series at 𝑋, converges to (𝐹‘𝑋). (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fouriercnp.f (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
fouriercnp.t 𝑇 = (2 · π)
fouriercnp.per ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
fouriercnp.g 𝐺 = ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))
fouriercnp.dmdv (𝜑 → ((-π(,)π) ∖ dom 𝐺) ∈ Fin)
fouriercnp.dvcn (𝜑𝐺 ∈ (dom 𝐺cn→ℂ))
fouriercnp.rlim ((𝜑𝑥 ∈ ((-π[,)π) ∖ dom 𝐺)) → ((𝐺 ↾ (𝑥(,)+∞)) lim 𝑥) ≠ ∅)
fouriercnp.llim ((𝜑𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom 𝐺)) → ((𝐺 ↾ (-∞(,)𝑥)) lim 𝑥) ≠ ∅)
fouriercnp.j 𝐽 = (topGen‘ran (,))
fouriercnp.cnp (𝜑𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐽)‘𝑋))
fouriercnp.a 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π))
fouriercnp.b 𝐵 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π))
Assertion
Ref Expression
fouriercnp (𝜑 → (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ ℕ (((𝐴𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))) = (𝐹𝑋))
Distinct variable groups:   𝑛,𝐹,𝑥   𝑥,𝐺   𝑥,𝑇   𝑛,𝑋,𝑥   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐴(𝑥,𝑛)   𝐵(𝑥,𝑛)   𝑇(𝑛)   𝐺(𝑛)   𝐽(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem fouriercnp
StepHypRef Expression
1 fouriercnp.f . . 3 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
2 fouriercnp.t . . 3 𝑇 = (2 · π)
3 fouriercnp.per . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
4 fouriercnp.g . . 3 𝐺 = ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))
5 fouriercnp.dmdv . . 3 (𝜑 → ((-π(,)π) ∖ dom 𝐺) ∈ Fin)
6 fouriercnp.dvcn . . 3 (𝜑𝐺 ∈ (dom 𝐺cn→ℂ))
7 fouriercnp.rlim . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ((-π[,)π) ∖ dom 𝐺)) → ((𝐺 ↾ (𝑥(,)+∞)) lim 𝑥) ≠ ∅)
8 fouriercnp.llim . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom 𝐺)) → ((𝐺 ↾ (-∞(,)𝑥)) lim 𝑥) ≠ ∅)
9 fouriercnp.cnp . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐽)‘𝑋))
10 uniretop 22560 . . . . . 6 ℝ = (topGen‘ran (,))
11 fouriercnp.j . . . . . . 7 𝐽 = (topGen‘ran (,))
1211unieqi 4443 . . . . . 6 𝐽 = (topGen‘ran (,))
1310, 12eqtr4i 2646 . . . . 5 ℝ = 𝐽
1413cnprcl 21043 . . . 4 (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐽)‘𝑋) → 𝑋 ∈ ℝ)
159, 14syl 17 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
16 limcresi 23643 . . . 4 (𝐹 lim 𝑋) ⊆ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋)
17 eqid 2621 . . . . . . . . . . . 12 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
1817tgioo2 22600 . . . . . . . . . . 11 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
1911, 18eqtri 2643 . . . . . . . . . 10 𝐽 = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
2019oveq2i 6658 . . . . . . . . 9 (𝐽 CnP 𝐽) = (𝐽 CnP ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
2120fveq1i 6190 . . . . . . . 8 ((𝐽 CnP 𝐽)‘𝑋) = ((𝐽 CnP ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))‘𝑋)
229, 21syl6eleq 2710 . . . . . . 7 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐽 CnP ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))‘𝑋))
2317cnfldtop 22581 . . . . . . . . 9 (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
2423a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top)
25 ax-resscn 9990 . . . . . . . . 9 ℝ ⊆ ℂ
2625a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
27 unicntop 22583 . . . . . . . . 9 ℂ = (TopOpen‘ℂfld)
2813, 27cnprest2 21088 . . . . . . . 8 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ 𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑋) ↔ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))‘𝑋)))
2924, 1, 26, 28syl3anc 1325 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑋) ↔ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))‘𝑋)))
3022, 29mpbird 247 . . . . . 6 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐽 CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑋))
3117, 19cnplimc 23645 . . . . . . 7 ((ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑋) ↔ (𝐹:ℝ⟶ℂ ∧ (𝐹𝑋) ∈ (𝐹 lim 𝑋))))
3225, 15, 31sylancr 695 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑋) ↔ (𝐹:ℝ⟶ℂ ∧ (𝐹𝑋) ∈ (𝐹 lim 𝑋))))
3330, 32mpbid 222 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹:ℝ⟶ℂ ∧ (𝐹𝑋) ∈ (𝐹 lim 𝑋)))
3433simprd 479 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝑋) ∈ (𝐹 lim 𝑋))
3516, 34sseldi 3599 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝑋) ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋))
36 limcresi 23643 . . . 4 (𝐹 lim 𝑋) ⊆ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋)
3736, 34sseldi 3599 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝑋) ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋))
38 fouriercnp.a . . 3 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π))
39 fouriercnp.b . . 3 𝐵 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π))
401, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 15, 35, 37, 38, 39fourierd 40208 . 2 (𝜑 → (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ ℕ (((𝐴𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))) = (((𝐹𝑋) + (𝐹𝑋)) / 2))
411, 15ffvelrnd 6358 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹𝑋) ∈ ℝ)
4241recnd 10065 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹𝑋) ∈ ℂ)
43422timesd 11272 . . . 4 (𝜑 → (2 · (𝐹𝑋)) = ((𝐹𝑋) + (𝐹𝑋)))
4443eqcomd 2627 . . 3 (𝜑 → ((𝐹𝑋) + (𝐹𝑋)) = (2 · (𝐹𝑋)))
4544oveq1d 6662 . 2 (𝜑 → (((𝐹𝑋) + (𝐹𝑋)) / 2) = ((2 · (𝐹𝑋)) / 2))
46 2cnd 11090 . . 3 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
47 2ne0 11110 . . . 4 2 ≠ 0
4847a1i 11 . . 3 (𝜑 → 2 ≠ 0)
4942, 46, 48divcan3d 10803 . 2 (𝜑 → ((2 · (𝐹𝑋)) / 2) = (𝐹𝑋))
5040, 45, 493eqtrd 2659 1 (𝜑 → (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ ℕ (((𝐴𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))) = (𝐹𝑋))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1482   ∈ wcel 1989   ≠ wne 2793   ∖ cdif 3569   ⊆ wss 3572  ∅c0 3913  ∪ cuni 4434   ↦ cmpt 4727  dom cdm 5112  ran crn 5113   ↾ cres 5114  ⟶wf 5882  ‘cfv 5886  (class class class)co 6647  Fincfn 7952  ℂcc 9931  ℝcr 9932  0cc0 9933   + caddc 9936   · cmul 9938  +∞cpnf 10068  -∞cmnf 10069  -cneg 10264   / cdiv 10681  ℕcn 11017  2c2 11067  ℕ0cn0 11289  (,)cioo 12172  (,]cioc 12173  [,)cico 12174  Σcsu 14410  sincsin 14788  cosccos 14789  πcpi 14791   ↾t crest 16075  TopOpenctopn 16076  topGenctg 16092  ℂfldccnfld 19740  Topctop 20692   CnP ccnp 21023  –cn→ccncf 22673  ∫citg 23381   limℂ climc 23620   D cdv 23621 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4769  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904  ax-un 6946  ax-inf2 8535  ax-cc 9254  ax-cnex 9989  ax-resscn 9990  ax-1cn 9991  ax-icn 9992  ax-addcl 9993  ax-addrcl 9994  ax-mulcl 9995  ax-mulrcl 9996  ax-mulcom 9997  ax-addass 9998  ax-mulass 9999  ax-distr 10000  ax-i2m1 10001  ax-1ne0 10002  ax-1rid 10003  ax-rnegex 10004  ax-rrecex 10005  ax-cnre 10006  ax-pre-lttri 10007  ax-pre-lttrn 10008  ax-pre-ltadd 10009  ax-pre-mulgt0 10010  ax-pre-sup 10011  ax-addf 10012  ax-mulf 10013 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1485  df-fal 1488  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-nel 2897  df-ral 2916  df-rex 2917  df-reu 2918  df-rmo 2919  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-csb 3532  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-pss 3588  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-tp 4180  df-op 4182  df-uni 4435  df-int 4474  df-iun 4520  df-iin 4521  df-disj 4619  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-tr 4751  df-id 5022  df-eprel 5027  df-po 5033  df-so 5034  df-fr 5071  df-se 5072  df-we 5073  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-pred 5678  df-ord 5724  df-on 5725  df-lim 5726  df-suc 5727  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-f1 5891  df-fo 5892  df-f1o 5893  df-fv 5894  df-isom 5895  df-riota 6608  df-ov 6650  df-oprab 6651  df-mpt2 6652  df-of 6894  df-ofr 6895  df-om 7063  df-1st 7165  df-2nd 7166  df-supp 7293  df-wrecs 7404  df-recs 7465  df-rdg 7503  df-1o 7557  df-2o 7558  df-oadd 7561  df-omul 7562  df-er 7739  df-map 7856  df-pm 7857  df-ixp 7906  df-en 7953  df-dom 7954  df-sdom 7955  df-fin 7956  df-fsupp 8273  df-fi 8314  df-sup 8345  df-inf 8346  df-oi 8412  df-card 8762  df-acn 8765  df-cda 8987  df-pnf 10073  df-mnf 10074  df-xr 10075  df-ltxr 10076  df-le 10077  df-sub 10265  df-neg 10266  df-div 10682  df-nn 11018  df-2 11076  df-3 11077  df-4 11078  df-5 11079  df-6 11080  df-7 11081  df-8 11082  df-9 11083  df-n0 11290  df-xnn0 11361  df-z 11375  df-dec 11491  df-uz 11685  df-q 11786  df-rp 11830  df-xneg 11943  df-xadd 11944  df-xmul 11945  df-ioo 12176  df-ioc 12177  df-ico 12178  df-icc 12179  df-fz 12324  df-fzo 12462  df-fl 12588  df-mod 12664  df-seq 12797  df-exp 12856  df-fac 13056  df-bc 13085  df-hash 13113  df-shft 13801  df-cj 13833  df-re 13834  df-im 13835  df-sqrt 13969  df-abs 13970  df-limsup 14196  df-clim 14213  df-rlim 14214  df-sum 14411  df-ef 14792  df-sin 14794  df-cos 14795  df-pi 14797  df-struct 15853  df-ndx 15854  df-slot 15855  df-base 15857  df-sets 15858  df-ress 15859  df-plusg 15948  df-mulr 15949  df-starv 15950  df-sca 15951  df-vsca 15952  df-ip 15953  df-tset 15954  df-ple 15955  df-ds 15958  df-unif 15959  df-hom 15960  df-cco 15961  df-rest 16077  df-topn 16078  df-0g 16096  df-gsum 16097  df-topgen 16098  df-pt 16099  df-prds 16102  df-xrs 16156  df-qtop 16161  df-imas 16162  df-xps 16164  df-mre 16240  df-mrc 16241  df-acs 16243  df-mgm 17236  df-sgrp 17278  df-mnd 17289  df-submnd 17330  df-mulg 17535  df-cntz 17744  df-cmn 18189  df-psmet 19732  df-xmet 19733  df-met 19734  df-bl 19735  df-mopn 19736  df-fbas 19737  df-fg 19738  df-cnfld 19741  df-top 20693  df-topon 20710  df-topsp 20731  df-bases 20744  df-cld 20817  df-ntr 20818  df-cls 20819  df-nei 20896  df-lp 20934  df-perf 20935  df-cn 21025  df-cnp 21026  df-t1 21112  df-haus 21113  df-cmp 21184  df-tx 21359  df-hmeo 21552  df-fil 21644  df-fm 21736  df-flim 21737  df-flf 21738  df-xms 22119  df-ms 22120  df-tms 22121  df-cncf 22675  df-ovol 23227  df-vol 23228  df-mbf 23382  df-itg1 23383  df-itg2 23384  df-ibl 23385  df-itg 23386  df-0p 23431  df-ditg 23605  df-limc 23624  df-dv 23625 This theorem is referenced by:  fouriercn  40218
 Copyright terms: Public domain W3C validator