Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem1 40088
 Description: A partition interval is a subset of the partitioned interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem1.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
fourierdlem1.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
fourierdlem1.q (𝜑𝑄:(0...𝑀)⟶(𝐴[,]𝐵))
fourierdlem1.i (𝜑𝐼 ∈ (0..^𝑀))
fourierdlem1.x (𝜑𝑋 ∈ ((𝑄𝐼)[,](𝑄‘(𝐼 + 1))))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem1 (𝜑𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵))

Proof of Theorem fourierdlem1
StepHypRef Expression
1 iccssxr 12241 . . 3 ((𝑄𝐼)[,](𝑄‘(𝐼 + 1))) ⊆ ℝ*
2 fourierdlem1.x . . 3 (𝜑𝑋 ∈ ((𝑄𝐼)[,](𝑄‘(𝐼 + 1))))
31, 2sseldi 3593 . 2 (𝜑𝑋 ∈ ℝ*)
4 fourierdlem1.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
5 iccssxr 12241 . . . 4 (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ*
6 fourierdlem1.q . . . . 5 (𝜑𝑄:(0...𝑀)⟶(𝐴[,]𝐵))
7 fourierdlem1.i . . . . . 6 (𝜑𝐼 ∈ (0..^𝑀))
8 elfzofz 12469 . . . . . 6 (𝐼 ∈ (0..^𝑀) → 𝐼 ∈ (0...𝑀))
97, 8syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐼 ∈ (0...𝑀))
106, 9ffvelrnd 6346 . . . 4 (𝜑 → (𝑄𝐼) ∈ (𝐴[,]𝐵))
115, 10sseldi 3593 . . 3 (𝜑 → (𝑄𝐼) ∈ ℝ*)
12 fourierdlem1.b . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
13 iccgelb 12215 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝑄𝐼) ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ≤ (𝑄𝐼))
144, 12, 10, 13syl3anc 1324 . . 3 (𝜑𝐴 ≤ (𝑄𝐼))
15 fzofzp1 12549 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ (0..^𝑀) → (𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀))
167, 15syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀))
176, 16ffvelrnd 6346 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ (𝐴[,]𝐵))
185, 17sseldi 3593 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*)
19 elicc4 12225 . . . . . 6 (((𝑄𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*) → (𝑋 ∈ ((𝑄𝐼)[,](𝑄‘(𝐼 + 1))) ↔ ((𝑄𝐼) ≤ 𝑋𝑋 ≤ (𝑄‘(𝐼 + 1)))))
2011, 18, 3, 19syl3anc 1324 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 ∈ ((𝑄𝐼)[,](𝑄‘(𝐼 + 1))) ↔ ((𝑄𝐼) ≤ 𝑋𝑋 ≤ (𝑄‘(𝐼 + 1)))))
212, 20mpbid 222 . . . 4 (𝜑 → ((𝑄𝐼) ≤ 𝑋𝑋 ≤ (𝑄‘(𝐼 + 1))))
2221simpld 475 . . 3 (𝜑 → (𝑄𝐼) ≤ 𝑋)
234, 11, 3, 14, 22xrletrd 11978 . 2 (𝜑𝐴𝑋)
24 iccleub 12214 . . . 4 (((𝑄𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ((𝑄𝐼)[,](𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝑋 ≤ (𝑄‘(𝐼 + 1)))
2511, 18, 2, 24syl3anc 1324 . . 3 (𝜑𝑋 ≤ (𝑄‘(𝐼 + 1)))
26 elicc4 12225 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*) → ((𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐴 ≤ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ 𝐵)))
274, 12, 18, 26syl3anc 1324 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐴 ≤ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ 𝐵)))
2817, 27mpbid 222 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 ≤ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ 𝐵))
2928simprd 479 . . 3 (𝜑 → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ 𝐵)
303, 18, 12, 25, 29xrletrd 11978 . 2 (𝜑𝑋𝐵)
31 elicc1 12204 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑋 ∈ ℝ*𝐴𝑋𝑋𝐵)))
324, 12, 31syl2anc 692 . 2 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑋 ∈ ℝ*𝐴𝑋𝑋𝐵)))
333, 23, 30, 32mpbir3and 1243 1 (𝜑𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1036   ∈ wcel 1988   class class class wbr 4644  ⟶wf 5872  ‘cfv 5876  (class class class)co 6635  0cc0 9921  1c1 9922   + caddc 9924  ℝ*cxr 10058   ≤ cle 10060  [,]cicc 12163  ...cfz 12311  ..^cfzo 12449 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-er 7727  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-nn 11006  df-n0 11278  df-z 11363  df-uz 11673  df-icc 12167  df-fz 12312  df-fzo 12450 This theorem is referenced by:  fourierdlem8  40095  fourierdlem73  40159  fourierdlem81  40167  fourierdlem92  40178  fourierdlem93  40179
 Copyright terms: Public domain W3C validator