Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem104 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem104 42376
Description: The half upper part of the integral equal to the fourier partial sum, converges to half the right limit of the original function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem104.f (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
fourierdlem104.xre (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem104.p 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = (-π + 𝑋) ∧ (𝑝𝑚) = (π + 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
fourierdlem104.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
fourierdlem104.v (𝜑𝑉 ∈ (𝑃𝑀))
fourierdlem104.x (𝜑𝑋 ∈ ran 𝑉)
fourierdlem104.fcn ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
fourierdlem104.fbdioo ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))(abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑤)
fourierdlem104.fdvcn ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))–cn→ℝ))
fourierdlem104.fdvbd ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧)
fourierdlem104.r ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑉𝑖)))
fourierdlem104.l ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑉‘(𝑖 + 1))))
fourierdlem104.h 𝐻 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠)))
fourierdlem104.k 𝐾 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
fourierdlem104.u 𝑈 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠)))
fourierdlem104.s 𝑆 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))
fourierdlem104.g 𝐺 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠)))
fourierdlem104.z 𝑍 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑚)‘𝑠)) d𝑠)
fourierdlem104.e 𝐸 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫(0(,)π)(𝐺𝑠) d𝑠 / π))
fourierdlem104.y (𝜑𝑌 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋))
fourierdlem104.w (𝜑𝑊 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋))
fourierdlem104.a (𝜑𝐴 ∈ (((ℝ D 𝐹) ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋))
fourierdlem104.b (𝜑𝐵 ∈ (((ℝ D 𝐹) ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋))
fourierdlem104.d 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
fourierdlem104.o 𝑂 = (𝑈 ↾ (𝑑[,]π))
fourierdlem104.t 𝑇 = ({𝑑, π} ∪ (ran 𝑄 ∩ (𝑑(,)π)))
fourierdlem104.n 𝑁 = ((♯‘𝑇) − 1)
fourierdlem104.j 𝐽 = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝑇))
fourierdlem104.q 𝑄 = (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑉𝑖) − 𝑋))
fourierdlem104.1 𝐶 = (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1))))
fourierdlem104.ch (𝜒 ↔ (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ (abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem104 (𝜑𝑍 ⇝ (𝑌 / 2))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑠   𝐵,𝑠   𝐶,𝑖,𝑡,𝑤,𝑧   𝐷,𝑖,𝑚,𝑠   𝑛,𝐸   𝑖,𝐹,𝑘,𝑙,𝑠,𝑡   𝑚,𝐹,𝑘   𝑤,𝐹,𝑧,𝑘,𝑠   𝑒,𝐺,𝑘,𝑠   𝑖,𝐺,𝑡   𝑖,𝐻,𝑠   𝑘,𝐽,𝑙,𝑠   𝑓,𝐽,𝑘   𝑖,𝐽,𝑡   𝑚,𝐽   𝑤,𝐽,𝑧   𝐾,𝑠   𝐿,𝑙,𝑠,𝑡   𝑘,𝑀,𝑙,𝑠,𝑖,𝑡   𝑚,𝑀,𝑝,𝑖   𝑖,𝑁,𝑘,𝑙,𝑠,𝑡   𝑒,𝑁,𝑙   𝑓,𝑁   𝑚,𝑁   𝑤,𝑁,𝑧   𝑒,𝑂,𝑙,𝑠,𝑘   𝑡,𝑂   𝑄,𝑙,𝑠   𝑄,𝑓   𝑄,𝑖,𝑡   𝑄,𝑝   𝑅,𝑙,𝑠,𝑡   𝑆,𝑠   𝑇,𝑓   𝑈,𝑑,𝑘,𝑠,𝑙   𝑈,𝑛,𝑘,𝑠   𝑖,𝑉,𝑘,𝑠   𝑉,𝑝   𝑡,𝑉   𝑊,𝑠   𝑖,𝑋,𝑘,𝑙,𝑠,𝑡   𝑚,𝑋,𝑝   𝑤,𝑋,𝑧   𝑖,𝑌,𝑘,𝑙,𝑠,𝑡   𝑚,𝑌,𝑛,𝑖   𝑤,𝑌,𝑧   𝑛,𝑍   𝑒,𝑑   𝑖,𝑑,𝜑,𝑡,𝑘,𝑙,𝑠   𝜑,𝑒   𝜒,𝑠   𝑓,𝑑,𝜑   𝑤,𝑑,𝑧,𝜑   𝑒,𝑛,𝜑   𝜑,𝑚
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑝)   𝜒(𝑧,𝑤,𝑡,𝑒,𝑓,𝑖,𝑘,𝑚,𝑛,𝑝,𝑑,𝑙)   𝐴(𝑧,𝑤,𝑡,𝑒,𝑓,𝑖,𝑘,𝑚,𝑛,𝑝,𝑑,𝑙)   𝐵(𝑧,𝑤,𝑡,𝑒,𝑓,𝑖,𝑘,𝑚,𝑛,𝑝,𝑑,𝑙)   𝐶(𝑒,𝑓,𝑘,𝑚,𝑛,𝑠,𝑝,𝑑,𝑙)   𝐷(𝑧,𝑤,𝑡,𝑒,𝑓,𝑘,𝑛,𝑝,𝑑,𝑙)   𝑃(𝑧,𝑤,𝑡,𝑒,𝑓,𝑖,𝑘,𝑚,𝑛,𝑠,𝑝,𝑑,𝑙)   𝑄(𝑧,𝑤,𝑒,𝑘,𝑚,𝑛,𝑑)   𝑅(𝑧,𝑤,𝑒,𝑓,𝑖,𝑘,𝑚,𝑛,𝑝,𝑑)   𝑆(𝑧,𝑤,𝑡,𝑒,𝑓,𝑖,𝑘,𝑚,𝑛,𝑝,𝑑,𝑙)   𝑇(𝑧,𝑤,𝑡,𝑒,𝑖,𝑘,𝑚,𝑛,𝑠,𝑝,𝑑,𝑙)   𝑈(𝑧,𝑤,𝑡,𝑒,𝑓,𝑖,𝑚,𝑝)   𝐸(𝑧,𝑤,𝑡,𝑒,𝑓,𝑖,𝑘,𝑚,𝑠,𝑝,𝑑,𝑙)   𝐹(𝑒,𝑓,𝑛,𝑝,𝑑)   𝐺(𝑧,𝑤,𝑓,𝑚,𝑛,𝑝,𝑑,𝑙)   𝐻(𝑧,𝑤,𝑡,𝑒,𝑓,𝑘,𝑚,𝑛,𝑝,𝑑,𝑙)   𝐽(𝑒,𝑛,𝑝,𝑑)   𝐾(𝑧,𝑤,𝑡,𝑒,𝑓,𝑖,𝑘,𝑚,𝑛,𝑝,𝑑,𝑙)   𝐿(𝑧,𝑤,𝑒,𝑓,𝑖,𝑘,𝑚,𝑛,𝑝,𝑑)   𝑀(𝑧,𝑤,𝑒,𝑓,𝑛,𝑑)   𝑁(𝑛,𝑝,𝑑)   𝑂(𝑧,𝑤,𝑓,𝑖,𝑚,𝑛,𝑝,𝑑)   𝑉(𝑧,𝑤,𝑒,𝑓,𝑚,𝑛,𝑑,𝑙)   𝑊(𝑧,𝑤,𝑡,𝑒,𝑓,𝑖,𝑘,𝑚,𝑛,𝑝,𝑑,𝑙)   𝑋(𝑒,𝑓,𝑛,𝑑)   𝑌(𝑒,𝑓,𝑝,𝑑)   𝑍(𝑧,𝑤,𝑡,𝑒,𝑓,𝑖,𝑘,𝑚,𝑠,𝑝,𝑑,𝑙)

Proof of Theorem fourierdlem104
Dummy variables 𝑏 𝑟 𝑐 𝑢 𝑗 𝑦 𝑥 𝑣 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2821 . . 3 (ℤ‘1) = (ℤ‘1)
2 1zzd 12002 . . 3 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
3 nfv 1906 . . . . 5 𝑛𝜑
4 nfmpt1 5156 . . . . 5 𝑛(𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫(0(,)π)(𝐺𝑠) d𝑠)
5 nfmpt1 5156 . . . . 5 𝑛(𝑛 ∈ ℕ ↦ π)
6 fourierdlem104.e . . . . . 6 𝐸 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫(0(,)π)(𝐺𝑠) d𝑠 / π))
7 nfmpt1 5156 . . . . . 6 𝑛(𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫(0(,)π)(𝐺𝑠) d𝑠 / π))
86, 7nfcxfr 2975 . . . . 5 𝑛𝐸
9 nnuz 12270 . . . . 5 ℕ = (ℤ‘1)
10 elioore 12758 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑑 ∈ (0(,)π) → 𝑑 ∈ ℝ)
1110adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → 𝑑 ∈ ℝ)
12 pire 24973 . . . . . . . . . . . . . . . 16 π ∈ ℝ
1312a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → π ∈ ℝ)
14 fourierdlem104.f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
15 fourierdlem104.xre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
16 ioossre 12788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑋(,)+∞) ⊆ ℝ
1716a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝑋(,)+∞) ⊆ ℝ)
1814, 17fssresd 6539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)):(𝑋(,)+∞)⟶ℝ)
19 ioosscn 41649 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑋(,)+∞) ⊆ ℂ
2019a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝑋(,)+∞) ⊆ ℂ)
21 eqid 2821 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
22 pnfxr 10684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 +∞ ∈ ℝ*
2322a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
2415ltpnfd 12506 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑𝑋 < +∞)
2521, 23, 15, 24lptioo1cn 41807 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝑋 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝑋(,)+∞)))
26 fourierdlem104.y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝑌 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋))
2718, 20, 25, 26limcrecl 41790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
28 ioossre 12788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (-∞(,)𝑋) ⊆ ℝ
2928a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (-∞(,)𝑋) ⊆ ℝ)
3014, 29fssresd 6539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)):(-∞(,)𝑋)⟶ℝ)
31 ioosscn 41649 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (-∞(,)𝑋) ⊆ ℂ
3231a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (-∞(,)𝑋) ⊆ ℂ)
33 mnfxr 10687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 -∞ ∈ ℝ*
3433a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → -∞ ∈ ℝ*)
3515mnfltd 12509 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → -∞ < 𝑋)
3621, 34, 15, 35lptioo2cn 41806 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝑋 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘(-∞(,)𝑋)))
37 fourierdlem104.w . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝑊 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋))
3830, 32, 36, 37limcrecl 41790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝑊 ∈ ℝ)
39 fourierdlem104.h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝐻 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠)))
40 fourierdlem104.k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝐾 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
41 fourierdlem104.u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑈 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠)))
4214, 15, 27, 38, 39, 40, 41fourierdlem55 42327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑈:(-π[,]π)⟶ℝ)
43 ax-resscn 10583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ℝ ⊆ ℂ
4443a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
4542, 44fssd 6522 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑈:(-π[,]π)⟶ℂ)
4645adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → 𝑈:(-π[,]π)⟶ℂ)
4712renegcli 10936 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 -π ∈ ℝ
4847a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → -π ∈ ℝ)
4947a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑑 ∈ (0(,)π) → -π ∈ ℝ)
50 0red 10633 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑑 ∈ (0(,)π) → 0 ∈ ℝ)
51 negpilt0 41426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 -π < 0
5251a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑑 ∈ (0(,)π) → -π < 0)
53 0xr 10677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 0 ∈ ℝ*
5412rexri 10688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 π ∈ ℝ*
55 ioogtlb 41650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*𝑑 ∈ (0(,)π)) → 0 < 𝑑)
5653, 54, 55mp3an12 1442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑑 ∈ (0(,)π) → 0 < 𝑑)
5749, 50, 10, 52, 56lttrd 10790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑑 ∈ (0(,)π) → -π < 𝑑)
5849, 10, 57ltled 10777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑑 ∈ (0(,)π) → -π ≤ 𝑑)
5958adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → -π ≤ 𝑑)
6013leidd 11195 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → π ≤ π)
61 iccss 12794 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((-π ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) ∧ (-π ≤ 𝑑 ∧ π ≤ π)) → (𝑑[,]π) ⊆ (-π[,]π))
6248, 13, 59, 60, 61syl22anc 834 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → (𝑑[,]π) ⊆ (-π[,]π))
6346, 62fssresd 6539 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → (𝑈 ↾ (𝑑[,]π)):(𝑑[,]π)⟶ℂ)
64 fourierdlem104.o . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑂 = (𝑈 ↾ (𝑑[,]π))
6564a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → 𝑂 = (𝑈 ↾ (𝑑[,]π)))
6665feq1d 6493 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → (𝑂:(𝑑[,]π)⟶ℂ ↔ (𝑈 ↾ (𝑑[,]π)):(𝑑[,]π)⟶ℂ))
6763, 66mpbird 258 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → 𝑂:(𝑑[,]π)⟶ℂ)
68 fourierdlem104.n . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑁 = ((♯‘𝑇) − 1)
6912elexi 3514 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 π ∈ V
7069prid2 4693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 π ∈ {𝑑, π}
71 elun1 4151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (π ∈ {𝑑, π} → π ∈ ({𝑑, π} ∪ (ran 𝑄 ∩ (𝑑(,)π))))
7270, 71ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 π ∈ ({𝑑, π} ∪ (ran 𝑄 ∩ (𝑑(,)π)))
73 fourierdlem104.t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑇 = ({𝑑, π} ∪ (ran 𝑄 ∩ (𝑑(,)π)))
7472, 73eleqtrri 2912 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 π ∈ 𝑇
7574ne0ii 4302 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑇 ≠ ∅
7675a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝑇 ≠ ∅)
77 prfi 8782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 {𝑑, π} ∈ Fin
7877a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → {𝑑, π} ∈ Fin)
79 fzfi 13330 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (0...𝑀) ∈ Fin
80 fourierdlem104.q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 𝑄 = (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑉𝑖) − 𝑋))
8180rnmptfi 41307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((0...𝑀) ∈ Fin → ran 𝑄 ∈ Fin)
8279, 81ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ran 𝑄 ∈ Fin
83 infi 8731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (ran 𝑄 ∈ Fin → (ran 𝑄 ∩ (𝑑(,)π)) ∈ Fin)
8482, 83mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → (ran 𝑄 ∩ (𝑑(,)π)) ∈ Fin)
85 unfi 8774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (({𝑑, π} ∈ Fin ∧ (ran 𝑄 ∩ (𝑑(,)π)) ∈ Fin) → ({𝑑, π} ∪ (ran 𝑄 ∩ (𝑑(,)π))) ∈ Fin)
8678, 84, 85syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → ({𝑑, π} ∪ (ran 𝑄 ∩ (𝑑(,)π))) ∈ Fin)
8773, 86eqeltrid 2917 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝑇 ∈ Fin)
88 hashnncl 13717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑇 ∈ Fin → ((♯‘𝑇) ∈ ℕ ↔ 𝑇 ≠ ∅))
8987, 88syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ((♯‘𝑇) ∈ ℕ ↔ 𝑇 ≠ ∅))
9076, 89mpbird 258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (♯‘𝑇) ∈ ℕ)
91 nnm1nn0 11927 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((♯‘𝑇) ∈ ℕ → ((♯‘𝑇) − 1) ∈ ℕ0)
9290, 91syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((♯‘𝑇) − 1) ∈ ℕ0)
9368, 92eqeltrid 2917 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
9493adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
95 0red 10633 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → 0 ∈ ℝ)
96 1red 10631 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → 1 ∈ ℝ)
9794nn0red 11945 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → 𝑁 ∈ ℝ)
98 0lt1 11151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 0 < 1
9998a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → 0 < 1)
100 2re 11700 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2 ∈ ℝ
101100a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → 2 ∈ ℝ)
10290nnred 11642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (♯‘𝑇) ∈ ℝ)
103102adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → (♯‘𝑇) ∈ ℝ)
104 iooltub 41666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*𝑑 ∈ (0(,)π)) → 𝑑 < π)
10553, 54, 104mp3an12 1442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑑 ∈ (0(,)π) → 𝑑 < π)
10610, 105ltned 10765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑑 ∈ (0(,)π) → 𝑑 ≠ π)
107106adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → 𝑑 ≠ π)
108 hashprg 13746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑑 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (𝑑 ≠ π ↔ (♯‘{𝑑, π}) = 2))
10911, 12, 108sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → (𝑑 ≠ π ↔ (♯‘{𝑑, π}) = 2))
110107, 109mpbid 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → (♯‘{𝑑, π}) = 2)
111110eqcomd 2827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → 2 = (♯‘{𝑑, π}))
11287adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → 𝑇 ∈ Fin)
113 ssun1 4147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 {𝑑, π} ⊆ ({𝑑, π} ∪ (ran 𝑄 ∩ (𝑑(,)π)))
114113, 73sseqtrri 4003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 {𝑑, π} ⊆ 𝑇
115 hashssle 41445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑇 ∈ Fin ∧ {𝑑, π} ⊆ 𝑇) → (♯‘{𝑑, π}) ≤ (♯‘𝑇))
116112, 114, 115sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → (♯‘{𝑑, π}) ≤ (♯‘𝑇))
117111, 116eqbrtrd 5080 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → 2 ≤ (♯‘𝑇))
118101, 103, 96, 117lesub1dd 11245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → (2 − 1) ≤ ((♯‘𝑇) − 1))
119 1e2m1 11753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 = (2 − 1)
120118, 119, 683brtr4g 5092 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → 1 ≤ 𝑁)
12195, 96, 97, 99, 120ltletrd 10789 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → 0 < 𝑁)
122121gt0ne0d 11193 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → 𝑁 ≠ 0)
123 elnnne0 11900 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ≠ 0))
12494, 122, 123sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → 𝑁 ∈ ℕ)
125 fourierdlem104.j . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐽 = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝑇))
12611leidd 11195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → 𝑑𝑑)
12712a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑑 ∈ (0(,)π) → π ∈ ℝ)
12810, 127, 105ltled 10777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑑 ∈ (0(,)π) → 𝑑 ≤ π)
129128adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → 𝑑 ≤ π)
13011, 13, 11, 126, 129eliccd 41659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → 𝑑 ∈ (𝑑[,]π))
13111, 13, 13, 129, 60eliccd 41659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → π ∈ (𝑑[,]π))
132130, 131jca 512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → (𝑑 ∈ (𝑑[,]π) ∧ π ∈ (𝑑[,]π)))
133 vex 3498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑑 ∈ V
134133, 69prss 4747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑑 ∈ (𝑑[,]π) ∧ π ∈ (𝑑[,]π)) ↔ {𝑑, π} ⊆ (𝑑[,]π))
135132, 134sylib 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → {𝑑, π} ⊆ (𝑑[,]π))
136 inss2 4205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (ran 𝑄 ∩ (𝑑(,)π)) ⊆ (𝑑(,)π)
137136a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → (ran 𝑄 ∩ (𝑑(,)π)) ⊆ (𝑑(,)π))
138 ioossicc 12812 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑑(,)π) ⊆ (𝑑[,]π)
139137, 138sstrdi 3978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → (ran 𝑄 ∩ (𝑑(,)π)) ⊆ (𝑑[,]π))
140135, 139unssd 4161 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → ({𝑑, π} ∪ (ran 𝑄 ∩ (𝑑(,)π))) ⊆ (𝑑[,]π))
14173, 140eqsstrid 4014 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → 𝑇 ⊆ (𝑑[,]π))
142133prid1 4692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑑 ∈ {𝑑, π}
143 elun1 4151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑑 ∈ {𝑑, π} → 𝑑 ∈ ({𝑑, π} ∪ (ran 𝑄 ∩ (𝑑(,)π))))
144142, 143ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑑 ∈ ({𝑑, π} ∪ (ran 𝑄 ∩ (𝑑(,)π)))
145144, 73eleqtrri 2912 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑑𝑇
146145a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → 𝑑𝑇)
14774a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → π ∈ 𝑇)
148112, 68, 125, 11, 13, 141, 146, 147fourierdlem52 42324 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → ((𝐽:(0...𝑁)⟶(𝑑[,]π) ∧ (𝐽‘0) = 𝑑) ∧ (𝐽𝑁) = π))
149148simplld 764 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → 𝐽:(0...𝑁)⟶(𝑑[,]π))
150148simplrd 766 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → (𝐽‘0) = 𝑑)
151148simprd 496 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → (𝐽𝑁) = π)
152 elfzoelz 13028 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ (0..^𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
153152zred 12076 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ (0..^𝑁) → 𝑘 ∈ ℝ)
154153adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑘 ∈ ℝ)
155154ltp1d 11559 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑘 < (𝑘 + 1))
15610, 127jca 512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑑 ∈ (0(,)π) → (𝑑 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ))
157133, 69prss 4747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑑 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) ↔ {𝑑, π} ⊆ ℝ)
158156, 157sylib 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑑 ∈ (0(,)π) → {𝑑, π} ⊆ ℝ)
159158adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → {𝑑, π} ⊆ ℝ)
160 ioossre 12788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑑(,)π) ⊆ ℝ
161136, 160sstri 3975 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (ran 𝑄 ∩ (𝑑(,)π)) ⊆ ℝ
162161a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → (ran 𝑄 ∩ (𝑑(,)π)) ⊆ ℝ)
163159, 162unssd 4161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → ({𝑑, π} ∪ (ran 𝑄 ∩ (𝑑(,)π))) ⊆ ℝ)
16473, 163eqsstrid 4014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → 𝑇 ⊆ ℝ)
165112, 164, 125, 68fourierdlem36 42309 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → 𝐽 Isom < , < ((0...𝑁), 𝑇))
166165adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐽 Isom < , < ((0...𝑁), 𝑇))
167 elfzofz 13043 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ (0..^𝑁) → 𝑘 ∈ (0...𝑁))
168167adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑘 ∈ (0...𝑁))
169 fzofzp1 13124 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ (0..^𝑁) → (𝑘 + 1) ∈ (0...𝑁))
170169adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑘 + 1) ∈ (0...𝑁))
171 isorel 7068 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐽 Isom < , < ((0...𝑁), 𝑇) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑘 + 1) ∈ (0...𝑁))) → (𝑘 < (𝑘 + 1) ↔ (𝐽𝑘) < (𝐽‘(𝑘 + 1))))
172166, 168, 170, 171syl12anc 832 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑘 < (𝑘 + 1) ↔ (𝐽𝑘) < (𝐽‘(𝑘 + 1))))
173155, 172mpbid 233 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐽𝑘) < (𝐽‘(𝑘 + 1)))
17442adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → 𝑈:(-π[,]π)⟶ℝ)
175174, 62feqresmpt 6728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → (𝑈 ↾ (𝑑[,]π)) = (𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ (𝑈𝑠)))
17662sselda 3966 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → 𝑠 ∈ (-π[,]π))
17714, 15, 27, 38, 39fourierdlem9 42282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑𝐻:(-π[,]π)⟶ℝ)
178177ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → 𝐻:(-π[,]π)⟶ℝ)
179178, 176ffvelrnd 6845 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → (𝐻𝑠) ∈ ℝ)
18040fourierdlem43 42316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 𝐾:(-π[,]π)⟶ℝ
181180a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → 𝐾:(-π[,]π)⟶ℝ)
182181, 176ffvelrnd 6845 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → (𝐾𝑠) ∈ ℝ)
183179, 182remulcld 10660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → ((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠)) ∈ ℝ)
18441fvmpt2 6772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠)) ∈ ℝ) → (𝑈𝑠) = ((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠)))
185176, 183, 184syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → (𝑈𝑠) = ((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠)))
186 0red 10633 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑑 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → 0 ∈ ℝ)
18710adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑑 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → 𝑑 ∈ ℝ)
18812a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑑 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → π ∈ ℝ)
189 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑑 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → 𝑠 ∈ (𝑑[,]π))
190 eliccre 41661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑑 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → 𝑠 ∈ ℝ)
191187, 188, 189, 190syl3anc 1363 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑑 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → 𝑠 ∈ ℝ)
19256adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑑 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → 0 < 𝑑)
193187rexrd 10680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑑 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → 𝑑 ∈ ℝ*)
19454a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑑 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → π ∈ ℝ*)
195 iccgelb 12783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑑 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → 𝑑𝑠)
196193, 194, 189, 195syl3anc 1363 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑑 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → 𝑑𝑠)
197186, 187, 191, 192, 196ltletrd 10789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑑 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → 0 < 𝑠)
198197gt0ne0d 11193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑑 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → 𝑠 ≠ 0)
199198adantll 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → 𝑠 ≠ 0)
200199neneqd 3021 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → ¬ 𝑠 = 0)
201200iffalsed 4476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠)) = (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠))
202197adantll 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → 0 < 𝑠)
203202iftrued 4473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊) = 𝑌)
204203oveq2d 7161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) = ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌))
205204oveq1d 7160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠) = (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠))
206201, 205eqtrd 2856 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠)) = (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠))
20714ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
20815ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → 𝑋 ∈ ℝ)
209 iccssre 12808 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((-π ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (-π[,]π) ⊆ ℝ)
21047, 12, 209mp2an 688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (-π[,]π) ⊆ ℝ
211210, 176sseldi 3964 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → 𝑠 ∈ ℝ)
212208, 211readdcld 10659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → (𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ)
213207, 212ffvelrnd 6845 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℝ)
21427ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → 𝑌 ∈ ℝ)
215213, 214resubcld 11057 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) ∈ ℝ)
216215, 211, 199redivcld 11457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠) ∈ ℝ)
217206, 216eqeltrd 2913 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠)) ∈ ℝ)
21839fvmpt2 6772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠)) ∈ ℝ) → (𝐻𝑠) = if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠)))
219176, 217, 218syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → (𝐻𝑠) = if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠)))
220219, 201, 2053eqtrd 2860 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → (𝐻𝑠) = (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠))
221188renegcld 11056 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑑 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → -π ∈ ℝ)
22251a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑑 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → -π < 0)
223221, 186, 191, 222, 197lttrd 10790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑑 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → -π < 𝑠)
224221, 191, 223ltled 10777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑑 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → -π ≤ 𝑠)
225 iccleub 12782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑑 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → 𝑠 ≤ π)
226193, 194, 189, 225syl3anc 1363 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑑 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → 𝑠 ≤ π)
227221, 188, 191, 224, 226eliccd 41659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑑 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → 𝑠 ∈ (-π[,]π))
228198neneqd 3021 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑑 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → ¬ 𝑠 = 0)
229228iffalsed 4476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑑 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
230100a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑑 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → 2 ∈ ℝ)
231191rehalfcld 11873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑑 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → (𝑠 / 2) ∈ ℝ)
232231resincld 15486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑑 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → (sin‘(𝑠 / 2)) ∈ ℝ)
233230, 232remulcld 10660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑑 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ ℝ)
234 2cnd 11704 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑑 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → 2 ∈ ℂ)
235191recnd 10658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑑 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → 𝑠 ∈ ℂ)
236235halfcld 11871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑑 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → (𝑠 / 2) ∈ ℂ)
237236sincld 15473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑑 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → (sin‘(𝑠 / 2)) ∈ ℂ)
238 2ne0 11730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2 ≠ 0
239238a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑑 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → 2 ≠ 0)
240 fourierdlem44 42317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝑠 ≠ 0) → (sin‘(𝑠 / 2)) ≠ 0)
241227, 198, 240syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑑 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → (sin‘(𝑠 / 2)) ≠ 0)
242234, 237, 239, 241mulne0d 11281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑑 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ≠ 0)
243191, 233, 242redivcld 11457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑑 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ∈ ℝ)
244229, 243eqeltrd 2913 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑑 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ∈ ℝ)
24540fvmpt2 6772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ∈ ℝ) → (𝐾𝑠) = if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
246227, 244, 245syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑑 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → (𝐾𝑠) = if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
247246adantll 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → (𝐾𝑠) = if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
248220, 247oveq12d 7163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → ((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠)) = ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠) · if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
249200iffalsed 4476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
250249oveq2d 7161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠) · if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) = ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
251185, 248, 2503eqtrd 2860 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → (𝑈𝑠) = ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
252251mpteq2dva 5153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → (𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ (𝑈𝑠)) = (𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
25365, 175, 2523eqtrd 2860 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → 𝑂 = (𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
254253adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑂 = (𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
255254reseq1d 5846 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑂 ↾ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) = ((𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ↾ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))))
25614adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
25715adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → 𝑋 ∈ ℝ)
258 fourierdlem104.p . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = (-π + 𝑋) ∧ (𝑝𝑚) = (π + 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
259 fourierdlem104.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
260259adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → 𝑀 ∈ ℕ)
261 fourierdlem104.v . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑉 ∈ (𝑃𝑀))
262261adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → 𝑉 ∈ (𝑃𝑀))
263 fourierdlem104.fcn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
264263adantlr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
265 fourierdlem104.r . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑉𝑖)))
266265adantlr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑉𝑖)))
267 fourierdlem104.l . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑉‘(𝑖 + 1))))
268267adantlr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑉‘(𝑖 + 1))))
269105adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → 𝑑 < π)
27050, 10ltnled 10776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑑 ∈ (0(,)π) → (0 < 𝑑 ↔ ¬ 𝑑 ≤ 0))
27156, 270mpbid 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑑 ∈ (0(,)π) → ¬ 𝑑 ≤ 0)
272271intn3an2d 1471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑑 ∈ (0(,)π) → ¬ (0 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ≤ 0 ∧ 0 ≤ π))
273 elicc2 12791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑑 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (0 ∈ (𝑑[,]π) ↔ (0 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ≤ 0 ∧ 0 ≤ π)))
27410, 12, 273sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑑 ∈ (0(,)π) → (0 ∈ (𝑑[,]π) ↔ (0 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ≤ 0 ∧ 0 ≤ π)))
275272, 274mtbird 326 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑑 ∈ (0(,)π) → ¬ 0 ∈ (𝑑[,]π))
276275adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → ¬ 0 ∈ (𝑑[,]π))
27727adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → 𝑌 ∈ ℝ)
278 eqid 2821 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) = (𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
279 eqid 2821 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘((𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1)), (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) − 𝑌) / (𝐽‘(𝑘 + 1))) · ((𝐽‘(𝑘 + 1)) / (2 · (sin‘((𝐽‘(𝑘 + 1)) / 2))))) = (((if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘((𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1)), (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) − 𝑌) / (𝐽‘(𝑘 + 1))) · ((𝐽‘(𝑘 + 1)) / (2 · (sin‘((𝐽‘(𝑘 + 1)) / 2)))))
280 eqid 2821 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((if((𝐽𝑘) = (𝑄‘(𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1))))), (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖𝑅, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽𝑘)))) − 𝑌) / (𝐽𝑘)) · ((𝐽𝑘) / (2 · (sin‘((𝐽𝑘) / 2))))) = (((if((𝐽𝑘) = (𝑄‘(𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1))))), (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖𝑅, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽𝑘)))) − 𝑌) / (𝐽𝑘)) · ((𝐽𝑘) / (2 · (sin‘((𝐽𝑘) / 2)))))
281 fveq2 6664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑙 = 𝑖 → (𝑄𝑙) = (𝑄𝑖))
282 oveq1 7152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑙 = 𝑖 → (𝑙 + 1) = (𝑖 + 1))
283282fveq2d 6668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑙 = 𝑖 → (𝑄‘(𝑙 + 1)) = (𝑄‘(𝑖 + 1)))
284281, 283oveq12d 7163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑙 = 𝑖 → ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1))) = ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
285284sseq2d 3998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑙 = 𝑖 → (((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1))) ↔ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
286285cbvriotav 7117 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) = (𝑖 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
287256, 257, 258, 260, 262, 264, 266, 268, 11, 13, 269, 62, 276, 277, 278, 80, 73, 68, 125, 279, 280, 286fourierdlem86 42358 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (((((if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘((𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1)), (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) − 𝑌) / (𝐽‘(𝑘 + 1))) · ((𝐽‘(𝑘 + 1)) / (2 · (sin‘((𝐽‘(𝑘 + 1)) / 2))))) ∈ (((𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ↾ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) lim (𝐽‘(𝑘 + 1))) ∧ (((if((𝐽𝑘) = (𝑄‘(𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1))))), (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖𝑅, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽𝑘)))) − 𝑌) / (𝐽𝑘)) · ((𝐽𝑘) / (2 · (sin‘((𝐽𝑘) / 2))))) ∈ (((𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ↾ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) lim (𝐽𝑘))) ∧ ((𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ↾ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) ∈ (((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))–cn→ℂ)))
288287simprd 496 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ↾ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) ∈ (((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))–cn→ℂ))
289255, 288eqeltrd 2913 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑂 ↾ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) ∈ (((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))–cn→ℂ))
290287simplld 764 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (((if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘((𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1)), (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) − 𝑌) / (𝐽‘(𝑘 + 1))) · ((𝐽‘(𝑘 + 1)) / (2 · (sin‘((𝐽‘(𝑘 + 1)) / 2))))) ∈ (((𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ↾ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) lim (𝐽‘(𝑘 + 1))))
291254eqcomd 2827 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) = 𝑂)
292291reseq1d 5846 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ↾ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) = (𝑂 ↾ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))))
293292oveq1d 7160 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (((𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ↾ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) lim (𝐽‘(𝑘 + 1))) = ((𝑂 ↾ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) lim (𝐽‘(𝑘 + 1))))
294290, 293eleqtrd 2915 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (((if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘((𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1)), (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) − 𝑌) / (𝐽‘(𝑘 + 1))) · ((𝐽‘(𝑘 + 1)) / (2 · (sin‘((𝐽‘(𝑘 + 1)) / 2))))) ∈ ((𝑂 ↾ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) lim (𝐽‘(𝑘 + 1))))
295287simplrd 766 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (((if((𝐽𝑘) = (𝑄‘(𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1))))), (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖𝑅, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽𝑘)))) − 𝑌) / (𝐽𝑘)) · ((𝐽𝑘) / (2 · (sin‘((𝐽𝑘) / 2))))) ∈ (((𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ↾ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) lim (𝐽𝑘)))
296292oveq1d 7160 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (((𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ↾ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) lim (𝐽𝑘)) = ((𝑂 ↾ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) lim (𝐽𝑘)))
297295, 296eleqtrd 2915 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (((if((𝐽𝑘) = (𝑄‘(𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1))))), (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖𝑅, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽𝑘)))) − 𝑌) / (𝐽𝑘)) · ((𝐽𝑘) / (2 · (sin‘((𝐽𝑘) / 2))))) ∈ ((𝑂 ↾ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) lim (𝐽𝑘)))
298 eqid 2821 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ℝ D 𝑂) = (ℝ D 𝑂)
29967adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑂:(𝑑[,]π)⟶ℂ)
30011ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → 𝑑 ∈ ℝ)
30112a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → π ∈ ℝ)
302 elioore 12758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) → 𝑠 ∈ ℝ)
303302adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → 𝑠 ∈ ℝ)
30462, 210sstrdi 3978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → (𝑑[,]π) ⊆ ℝ)
305304adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑑[,]π) ⊆ ℝ)
306149adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐽:(0...𝑁)⟶(𝑑[,]π))
307306, 168ffvelrnd 6845 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐽𝑘) ∈ (𝑑[,]π))
308305, 307sseldd 3967 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐽𝑘) ∈ ℝ)
309308adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → (𝐽𝑘) ∈ ℝ)
31011adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑑 ∈ ℝ)
311310rexrd 10680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑑 ∈ ℝ*)
31254a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → π ∈ ℝ*)
313 iccgelb 12783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑑 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ (𝐽𝑘) ∈ (𝑑[,]π)) → 𝑑 ≤ (𝐽𝑘))
314311, 312, 307, 313syl3anc 1363 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑑 ≤ (𝐽𝑘))
315314adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → 𝑑 ≤ (𝐽𝑘))
316309rexrd 10680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → (𝐽𝑘) ∈ ℝ*)
317306, 170ffvelrnd 6845 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐽‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝑑[,]π))
318305, 317sseldd 3967 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐽‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
319318rexrd 10680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐽‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ*)
320319adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → (𝐽‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ*)
321 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → 𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))))
322 ioogtlb 41650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝐽𝑘) ∈ ℝ* ∧ (𝐽‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ*𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → (𝐽𝑘) < 𝑠)
323316, 320, 321, 322syl3anc 1363 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → (𝐽𝑘) < 𝑠)
324300, 309, 303, 315, 323lelttrd 10787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → 𝑑 < 𝑠)
325300, 303, 324ltled 10777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → 𝑑𝑠)
326318adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → (𝐽‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
327 iooltub 41666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝐽𝑘) ∈ ℝ* ∧ (𝐽‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ*𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → 𝑠 < (𝐽‘(𝑘 + 1)))
328316, 320, 321, 327syl3anc 1363 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → 𝑠 < (𝐽‘(𝑘 + 1)))
329 iccleub 12782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑑 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ (𝐽‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝑑[,]π)) → (𝐽‘(𝑘 + 1)) ≤ π)
330311, 312, 317, 329syl3anc 1363 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐽‘(𝑘 + 1)) ≤ π)
331330adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → (𝐽‘(𝑘 + 1)) ≤ π)
332303, 326, 301, 328, 331ltletrd 10789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → 𝑠 < π)
333303, 301, 332ltled 10777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → 𝑠 ≤ π)
334300, 301, 303, 325, 333eliccd 41659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → 𝑠 ∈ (𝑑[,]π))
335334ralrimiva 3182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ∀𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))𝑠 ∈ (𝑑[,]π))
336 dfss3 3955 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ (𝑑[,]π) ↔ ∀𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))𝑠 ∈ (𝑑[,]π))
337335, 336sylibr 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ (𝑑[,]π))
338299, 337feqresmpt 6728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑂 ↾ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) = (𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (𝑂𝑠)))
339 simplll 771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → 𝜑)
340 simpllr 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → 𝑑 ∈ (0(,)π))
34164fveq1i 6665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑂𝑠) = ((𝑈 ↾ (𝑑[,]π))‘𝑠)
342341a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → (𝑂𝑠) = ((𝑈 ↾ (𝑑[,]π))‘𝑠))
343 fvres 6683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑠 ∈ (𝑑[,]π) → ((𝑈 ↾ (𝑑[,]π))‘𝑠) = (𝑈𝑠))
344343adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → ((𝑈 ↾ (𝑑[,]π))‘𝑠) = (𝑈𝑠))
345247, 249eqtrd 2856 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → (𝐾𝑠) = (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
346220, 345oveq12d 7163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → ((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠)) = ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
347215recnd 10658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) ∈ ℂ)
348235adantll 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → 𝑠 ∈ ℂ)
349 2cnd 11704 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → 2 ∈ ℂ)
350348halfcld 11871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → (𝑠 / 2) ∈ ℂ)
351350sincld 15473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → (sin‘(𝑠 / 2)) ∈ ℂ)
352349, 351mulcld 10650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ ℂ)
353242adantll 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ≠ 0)
354347, 348, 352, 199, 353dmdcan2d 11435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
355185, 346, 3543eqtrd 2860 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → (𝑈𝑠) = (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
356342, 344, 3553eqtrd 2860 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → (𝑂𝑠) = (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
357339, 340, 334, 356syl21anc 833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → (𝑂𝑠) = (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
358339, 340, 334, 354syl21anc 833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
359358eqcomd 2827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) = ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
360 eqidd 2822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → (𝑡 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) − 𝑌) / 𝑡)) = (𝑡 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) − 𝑌) / 𝑡)))
361 oveq2 7153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑡 = 𝑠 → (𝑋 + 𝑡) = (𝑋 + 𝑠))
362361fveq2d 6668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑡 = 𝑠 → (𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) = (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)))
363362oveq1d 7160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑡 = 𝑠 → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) − 𝑌) = ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌))
364 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑡 = 𝑠𝑡 = 𝑠)
365363, 364oveq12d 7163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑡 = 𝑠 → (((𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) − 𝑌) / 𝑡) = (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠))
366365adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) ∧ 𝑡 = 𝑠) → (((𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) − 𝑌) / 𝑡) = (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠))
367 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → 𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))))
368 ovex 7178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠) ∈ V
369368a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠) ∈ V)
370360, 366, 367, 369fvmptd 6768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → ((𝑡 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) − 𝑌) / 𝑡))‘𝑠) = (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠))
371 eqidd 2822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → (𝑡 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (𝑡 / (2 · (sin‘(𝑡 / 2))))) = (𝑡 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (𝑡 / (2 · (sin‘(𝑡 / 2))))))
372 oveq1 7152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑡 = 𝑠 → (𝑡 / 2) = (𝑠 / 2))
373372fveq2d 6668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑡 = 𝑠 → (sin‘(𝑡 / 2)) = (sin‘(𝑠 / 2)))
374373oveq2d 7161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑡 = 𝑠 → (2 · (sin‘(𝑡 / 2))) = (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))
375364, 374oveq12d 7163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑡 = 𝑠 → (𝑡 / (2 · (sin‘(𝑡 / 2)))) = (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
376375adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) ∧ 𝑡 = 𝑠) → (𝑡 / (2 · (sin‘(𝑡 / 2)))) = (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
377 ovex 7178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ∈ V
378377a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ∈ V)
379371, 376, 367, 378fvmptd 6768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → ((𝑡 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (𝑡 / (2 · (sin‘(𝑡 / 2)))))‘𝑠) = (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
380370, 379oveq12d 7163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → (((𝑡 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) − 𝑌) / 𝑡))‘𝑠) · ((𝑡 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (𝑡 / (2 · (sin‘(𝑡 / 2)))))‘𝑠)) = ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
381380eqcomd 2827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (((𝑡 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) − 𝑌) / 𝑡))‘𝑠) · ((𝑡 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (𝑡 / (2 · (sin‘(𝑡 / 2)))))‘𝑠)))
382381adantllr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (((𝑡 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) − 𝑌) / 𝑡))‘𝑠) · ((𝑡 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (𝑡 / (2 · (sin‘(𝑡 / 2)))))‘𝑠)))
383357, 359, 3823eqtrd 2860 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → (𝑂𝑠) = (((𝑡 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) − 𝑌) / 𝑡))‘𝑠) · ((𝑡 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (𝑡 / (2 · (sin‘(𝑡 / 2)))))‘𝑠)))
384383mpteq2dva 5153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (𝑂𝑠)) = (𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝑡 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) − 𝑌) / 𝑡))‘𝑠) · ((𝑡 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (𝑡 / (2 · (sin‘(𝑡 / 2)))))‘𝑠))))
385338, 384eqtr2d 2857 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝑡 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) − 𝑌) / 𝑡))‘𝑠) · ((𝑡 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (𝑡 / (2 · (sin‘(𝑡 / 2)))))‘𝑠))) = (𝑂 ↾ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))))
386385oveq2d 7161 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (ℝ D (𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝑡 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) − 𝑌) / 𝑡))‘𝑠) · ((𝑡 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (𝑡 / (2 · (sin‘(𝑡 / 2)))))‘𝑠)))) = (ℝ D (𝑂 ↾ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))))))
38743a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ℝ ⊆ ℂ)
388337, 305sstrd 3976 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ℝ)
38921tgioo2 23340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
39021, 389dvres 24438 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝑂:(𝑑[,]π)⟶ℂ) ∧ ((𝑑[,]π) ⊆ ℝ ∧ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ℝ)) → (ℝ D (𝑂 ↾ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))))) = ((ℝ D 𝑂) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))))))
391387, 299, 305, 388, 390syl22anc 834 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (ℝ D (𝑂 ↾ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))))) = ((ℝ D 𝑂) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))))))
392 ioontr 41667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) = ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))
393392a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) = ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))))
394393reseq2d 5847 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((ℝ D 𝑂) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))))) = ((ℝ D 𝑂) ↾ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))))
395386, 391, 3943eqtrrd 2861 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((ℝ D 𝑂) ↾ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) = (ℝ D (𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝑡 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) − 𝑌) / 𝑡))‘𝑠) · ((𝑡 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (𝑡 / (2 · (sin‘(𝑡 / 2)))))‘𝑠)))))
39614ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
39715ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑋 ∈ ℝ)
398259ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ)
399261ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑉 ∈ (𝑃𝑀))
400 fourierdlem104.fdvcn . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))–cn→ℝ))
401400ad4ant14 748 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))–cn→ℝ))
40262adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑑[,]π) ⊆ (-π[,]π))
403337, 402sstrd 3976 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ (-π[,]π))
40453a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 0 ∈ ℝ*)
405 0red 10633 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 0 ∈ ℝ)
40656ad2antlr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 0 < 𝑑)
407405, 310, 308, 406, 314ltletrd 10789 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 0 < (𝐽𝑘))
408308, 319, 404, 407ltnelicc 41652 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ¬ 0 ∈ ((𝐽𝑘)[,](𝐽‘(𝑘 + 1))))
40927ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑌 ∈ ℝ)
41012a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → π ∈ ℝ)
411269adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑑 < π)
412 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑘 ∈ (0..^𝑁))
413 biid 262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑣 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑣)(,)(𝑄‘(𝑣 + 1)))) ↔ ((((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑣 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑣)(,)(𝑄‘(𝑣 + 1)))))
414397, 258, 398, 399, 310, 410, 411, 402, 80, 73, 68, 125, 412, 286, 413fourierdlem50 42322 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) ∈ (0..^𝑀) ∧ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘(𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))))(,)(𝑄‘((𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1)))))
415414simpld 495 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) ∈ (0..^𝑀))
416414simprd 496 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘(𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))))(,)(𝑄‘((𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1))))
417365cbvmptv 5161 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑡 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) − 𝑌) / 𝑡)) = (𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠))
418375cbvmptv 5161 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑡 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (𝑡 / (2 · (sin‘(𝑡 / 2))))) = (𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
419 eqid 2821 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝑡 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) − 𝑌) / 𝑡))‘𝑠) · ((𝑡 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (𝑡 / (2 · (sin‘(𝑡 / 2)))))‘𝑠))) = (𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝑡 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) − 𝑌) / 𝑡))‘𝑠) · ((𝑡 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (𝑡 / (2 · (sin‘(𝑡 / 2)))))‘𝑠)))
420396, 397, 258, 398, 399, 401, 308, 318, 173, 403, 408, 409, 80, 415, 416, 417, 418, 419fourierdlem72 42344 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (ℝ D (𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝑡 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) − 𝑌) / 𝑡))‘𝑠) · ((𝑡 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (𝑡 / (2 · (sin‘(𝑡 / 2)))))‘𝑠)))) ∈ (((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))–cn→ℂ))
421395, 420eqeltrd 2913 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((ℝ D 𝑂) ↾ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) ∈ (((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))–cn→ℂ))
422 eqid 2821 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
423 eqid 2821 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))) = ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))
424 fourierdlem104.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝐶 = (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1))))
425424, 415eqeltrid 2917 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐶 ∈ (0..^𝑀))
426 simpll 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝜑)
427426, 425jca 512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝜑𝐶 ∈ (0..^𝑀)))
428 eleq1 2900 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑖 = 𝐶 → (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↔ 𝐶 ∈ (0..^𝑀)))
429428anbi2d 628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑖 = 𝐶 → ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ↔ (𝜑𝐶 ∈ (0..^𝑀))))
430 fveq2 6664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑖 = 𝐶 → (𝑉𝑖) = (𝑉𝐶))
431 oveq1 7152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑖 = 𝐶 → (𝑖 + 1) = (𝐶 + 1))
432431fveq2d 6668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑖 = 𝐶 → (𝑉‘(𝑖 + 1)) = (𝑉‘(𝐶 + 1)))
433430, 432oveq12d 7163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑖 = 𝐶 → ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))) = ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1))))
434 raleq 3406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))) = ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1))) → (∀𝑡 ∈ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))(abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑤))
435433, 434syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑖 = 𝐶 → (∀𝑡 ∈ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))(abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑤))
436435rexbidv 3297 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑖 = 𝐶 → (∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))(abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑤 ↔ ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑤))
437429, 436imbi12d 346 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑖 = 𝐶 → (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))(abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑤) ↔ ((𝜑𝐶 ∈ (0..^𝑀)) → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑤)))
438 fourierdlem104.fbdioo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))(abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑤)
439437, 438vtoclg 3568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐶 ∈ (0..^𝑀) → ((𝜑𝐶 ∈ (0..^𝑀)) → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑤))
440425, 427, 439sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑤)
441 nfv 1906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑡((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁))
442 nfra1 3219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑡𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑤
443441, 442nfan 1891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑡(((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑤)
444 simplr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑤) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑤)
44547a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝜑 → -π ∈ ℝ)
446445, 15readdcld 10659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝜑 → (-π + 𝑋) ∈ ℝ)
44712a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝜑 → π ∈ ℝ)
448447, 15readdcld 10659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝜑 → (π + 𝑋) ∈ ℝ)
449446, 448iccssred 41660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝜑 → ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ⊆ ℝ)
450 ressxr 10674 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ℝ ⊆ ℝ*
451449, 450sstrdi 3978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝜑 → ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ⊆ ℝ*)
452451ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ⊆ ℝ*)
453258, 398, 399fourierdlem15 42288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑉:(0...𝑀)⟶((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)))
454 elfzofz 13043 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝐶 ∈ (0..^𝑀) → 𝐶 ∈ (0...𝑀))
455425, 454syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐶 ∈ (0...𝑀))
456453, 455ffvelrnd 6845 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑉𝐶) ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)))
457452, 456sseldd 3967 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑉𝐶) ∈ ℝ*)
458457adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → (𝑉𝐶) ∈ ℝ*)
459 fzofzp1 13124 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝐶 ∈ (0..^𝑀) → (𝐶 + 1) ∈ (0...𝑀))
460425, 459syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐶 + 1) ∈ (0...𝑀))
461453, 460ffvelrnd 6845 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑉‘(𝐶 + 1)) ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)))
462452, 461sseldd 3967 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑉‘(𝐶 + 1)) ∈ ℝ*)
463462adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → (𝑉‘(𝐶 + 1)) ∈ ℝ*)
464 elioore 12758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))) → 𝑡 ∈ ℝ)
465464adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → 𝑡 ∈ ℝ)
46647a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → -π ∈ ℝ)
467466, 410, 397, 258, 398, 399, 455, 80fourierdlem13 42286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑄𝐶) = ((𝑉𝐶) − 𝑋) ∧ (𝑉𝐶) = (𝑋 + (𝑄𝐶))))
468467simprd 496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑉𝐶) = (𝑋 + (𝑄𝐶)))
469468adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → (𝑉𝐶) = (𝑋 + (𝑄𝐶)))
470449ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ⊆ ℝ)
471470, 456sseldd 3967 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑉𝐶) ∈ ℝ)
472471adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → (𝑉𝐶) ∈ ℝ)
473469, 472eqeltrrd 2914 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → (𝑋 + (𝑄𝐶)) ∈ ℝ)
474397, 308readdcld 10659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑋 + (𝐽𝑘)) ∈ ℝ)
475474adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → (𝑋 + (𝐽𝑘)) ∈ ℝ)
476467simpld 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑄𝐶) = ((𝑉𝐶) − 𝑋))
477471, 397resubcld 11057 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑉𝐶) − 𝑋) ∈ ℝ)
478476, 477eqeltrd 2913 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑄𝐶) ∈ ℝ)
479466, 410, 397, 258, 398, 399, 460, 80fourierdlem13 42286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑄‘(𝐶 + 1)) = ((𝑉‘(𝐶 + 1)) − 𝑋) ∧ (𝑉‘(𝐶 + 1)) = (𝑋 + (𝑄‘(𝐶 + 1)))))
480479simpld 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑄‘(𝐶 + 1)) = ((𝑉‘(𝐶 + 1)) − 𝑋))
481470, 461sseldd 3967 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑉‘(𝐶 + 1)) ∈ ℝ)
482481, 397resubcld 11057 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑉‘(𝐶 + 1)) − 𝑋) ∈ ℝ)
483480, 482eqeltrd 2913 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑄‘(𝐶 + 1)) ∈ ℝ)
484424eqcomi 2830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) = 𝐶
485484fveq2i 6667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑄‘(𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1))))) = (𝑄𝐶)
486484oveq1i 7155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1) = (𝐶 + 1)
487486fveq2i 6667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑄‘((𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1)) = (𝑄‘(𝐶 + 1))
488485, 487oveq12i 7157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑄‘(𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))))(,)(𝑄‘((𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1))) = ((𝑄𝐶)(,)(𝑄‘(𝐶 + 1)))
489416, 488sseqtrdi 4016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝐶)(,)(𝑄‘(𝐶 + 1))))
490478, 483, 308, 318, 173, 489fourierdlem10 42283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑄𝐶) ≤ (𝐽𝑘) ∧ (𝐽‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝑄‘(𝐶 + 1))))
491490simpld 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑄𝐶) ≤ (𝐽𝑘))
492478, 308, 397, 491leadd2dd 11244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑋 + (𝑄𝐶)) ≤ (𝑋 + (𝐽𝑘)))
493492adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → (𝑋 + (𝑄𝐶)) ≤ (𝑋 + (𝐽𝑘)))
494475rexrd 10680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → (𝑋 + (𝐽𝑘)) ∈ ℝ*)
495397, 318readdcld 10659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ)
496495rexrd 10680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ*)
497496adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → (𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ*)
498 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))))
499 ioogtlb 41650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑋 + (𝐽𝑘)) ∈ ℝ* ∧ (𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ*𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → (𝑋 + (𝐽𝑘)) < 𝑡)
500494, 497, 498, 499syl3anc 1363 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → (𝑋 + (𝐽𝑘)) < 𝑡)
501473, 475, 465, 493, 500lelttrd 10787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → (𝑋 + (𝑄𝐶)) < 𝑡)
502469, 501eqbrtrd 5080 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → (𝑉𝐶) < 𝑡)
503495adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → (𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ)
504479simprd 496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑉‘(𝐶 + 1)) = (𝑋 + (𝑄‘(𝐶 + 1))))
505504, 481eqeltrrd 2914 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑋 + (𝑄‘(𝐶 + 1))) ∈ ℝ)
506505adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → (𝑋 + (𝑄‘(𝐶 + 1))) ∈ ℝ)
507 iooltub 41666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑋 + (𝐽𝑘)) ∈ ℝ* ∧ (𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ*𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → 𝑡 < (𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))
508494, 497, 498, 507syl3anc 1363 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → 𝑡 < (𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))
509490simprd 496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐽‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝑄‘(𝐶 + 1)))
510318, 483, 397, 509leadd2dd 11244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝑋 + (𝑄‘(𝐶 + 1))))
511510adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → (𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝑋 + (𝑄‘(𝐶 + 1))))
512465, 503, 506, 508, 511ltletrd 10789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → 𝑡 < (𝑋 + (𝑄‘(𝐶 + 1))))
513504eqcomd 2827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑋 + (𝑄‘(𝐶 + 1))) = (𝑉‘(𝐶 + 1)))
514513adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → (𝑋 + (𝑄‘(𝐶 + 1))) = (𝑉‘(𝐶 + 1)))
515512, 514breqtrd 5084 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → 𝑡 < (𝑉‘(𝐶 + 1)))
516458, 463, 465, 502, 515eliood 41653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → 𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1))))
517516adantlr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑤) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → 𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1))))
518 rspa 3206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((∀𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑤𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))) → (abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑤)
519444, 517, 518syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑤) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → (abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑤)
520519ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑤) → (𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))) → (abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑤))
521443, 520ralrimi 3216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑤) → ∀𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))(abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑤)
522521ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (∀𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑤 → ∀𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))(abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑤))
523522reximdv 3273 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑤 → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))(abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑤))
524440, 523mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))(abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑤)
525433raleqdv 3416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑖 = 𝐶 → (∀𝑡 ∈ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧 ↔ ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧))
526525rexbidv 3297 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑖 = 𝐶 → (∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧 ↔ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧))
527429, 526imbi12d 346 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑖 = 𝐶 → (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧) ↔ ((𝜑𝐶 ∈ (0..^𝑀)) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧)))
528 fourierdlem104.fdvbd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧)
529527, 528vtoclg 3568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐶 ∈ (0..^𝑀) → ((𝜑𝐶 ∈ (0..^𝑀)) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧))
530425, 427, 529sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧)
531 nfra1 3219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑡𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧
532441, 531nfan 1891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑡(((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧)
53314, 44fssd 6522 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℂ)
534 ssid 3988 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ℝ ⊆ ℝ
535534a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝜑 → ℝ ⊆ ℝ)
536 ioossre 12788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))) ⊆ ℝ
537536a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝜑 → ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))) ⊆ ℝ)
53821, 389dvres 24438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝐹:ℝ⟶ℂ) ∧ (ℝ ⊆ ℝ ∧ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))) ⊆ ℝ)) → (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))))))
53944, 533, 535, 537, 538syl22anc 834 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝜑 → (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))))))
540 ioontr 41667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) = ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))
541540reseq2i 5844 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))))
542539, 541syl6eq 2872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝜑 → (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))
543542fveq1d 6666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜑 → ((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))‘𝑡) = (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))))‘𝑡))
544 fvres 6683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))) → (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))))‘𝑡) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑡))
545543, 544sylan9eq 2876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → ((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))‘𝑡) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑡))
546545ad4ant14 748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → ((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))‘𝑡) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑡))
547546fveq2d 6668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → (abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))‘𝑡)) = (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)))
548547adantlr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → (abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))‘𝑡)) = (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)))
549 simplr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧)
550516adantlr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → 𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1))))
551 rspa 3206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((∀𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))) → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧)
552549, 550, 551syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧)
553548, 552eqbrtrd 5080 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → (abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))‘𝑡)) ≤ 𝑧)
554553ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧) → (𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))) → (abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))‘𝑡)) ≤ 𝑧))
555532, 554ralrimi 3216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧) → ∀𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))(abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))‘𝑡)) ≤ 𝑧)
556555ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (∀𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧 → ∀𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))(abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))‘𝑡)) ≤ 𝑧))
557556reximdv 3273 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧 → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))(abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))‘𝑡)) ≤ 𝑧))
558530, 557mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))(abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))‘𝑡)) ≤ 𝑧)
559311, 312, 306, 412fourierdlem8 42281 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐽𝑘)[,](𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ (𝑑[,]π))
560124ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑑[,]π)) ∧ ¬ 𝑟 ∈ ran 𝐽) → 𝑁 ∈ ℕ)
561149, 304fssd 6522 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → 𝐽:(0...𝑁)⟶ℝ)
562561ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑑[,]π)) ∧ ¬ 𝑟 ∈ ran 𝐽) → 𝐽:(0...𝑁)⟶ℝ)
563 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑑[,]π)) → 𝑟 ∈ (𝑑[,]π))
564150eqcomd 2827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → 𝑑 = (𝐽‘0))
565151eqcomd 2827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → π = (𝐽𝑁))
566564, 565oveq12d 7163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → (𝑑[,]π) = ((𝐽‘0)[,](𝐽𝑁)))
567566adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑑[,]π)) → (𝑑[,]π) = ((𝐽‘0)[,](𝐽𝑁)))
568563, 567eleqtrd 2915 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑑[,]π)) → 𝑟 ∈ ((𝐽‘0)[,](𝐽𝑁)))
569568adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑑[,]π)) ∧ ¬ 𝑟 ∈ ran 𝐽) → 𝑟 ∈ ((𝐽‘0)[,](𝐽𝑁)))
570 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑑[,]π)) ∧ ¬ 𝑟 ∈ ran 𝐽) → ¬ 𝑟 ∈ ran 𝐽)
571 fveq2 6664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 = 𝑘 → (𝐽𝑗) = (𝐽𝑘))
572571breq1d 5068 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 = 𝑘 → ((𝐽𝑗) < 𝑟 ↔ (𝐽𝑘) < 𝑟))
573572cbvrabv 3492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 {𝑗 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝐽𝑗) < 𝑟} = {𝑘 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝐽𝑘) < 𝑟}
574573supeq1i 8900 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 sup({𝑗 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝐽𝑗) < 𝑟}, ℝ, < ) = sup({𝑘 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝐽𝑘) < 𝑟}, ℝ, < )
575560, 562, 569, 570, 574fourierdlem25 42298 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑑[,]π)) ∧ ¬ 𝑟 ∈ ran 𝐽) → ∃𝑚 ∈ (0..^𝑁)𝑟 ∈ ((𝐽𝑚)(,)(𝐽‘(𝑚 + 1))))
576533ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
577534a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ℝ ⊆ ℝ)
578536a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))) ⊆ ℝ)
579387, 576, 577, 578, 538syl22anc 834 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))))))
580516ralrimiva 3182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ∀𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1))))
581 dfss3 3955 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))) ⊆ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1))) ↔ ∀𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1))))
582580, 581sylibr 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))) ⊆ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1))))
583 resabs2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))) ⊆ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1))) → (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) ↾ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))
584582, 583syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) ↾ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))
585541, 579, 5843eqtr4a 2882 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))))) = (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) ↾ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))))
586582resabs1d 5878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))) ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))
587586eqcomd 2827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) = (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))) ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))
588585, 584, 5873eqtrrd 2861 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))) ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) = (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))))))
589433reseq2d 5847 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑖 = 𝐶 → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))))
590589, 433feq12d 6496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑖 = 𝐶 → (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))):((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))⟶ℝ ↔ ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))):((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))⟶ℝ))
591429, 590imbi12d 346 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑖 = 𝐶 → (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))):((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))⟶ℝ) ↔ ((𝜑𝐶 ∈ (0..^𝑀)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))):((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))⟶ℝ)))
592 cncff 23430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))–cn→ℝ) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))):((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))⟶ℝ)
593400, 592syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))):((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))⟶ℝ)
594591, 593vtoclg 3568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐶 ∈ (0..^𝑀) → ((𝜑𝐶 ∈ (0..^𝑀)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))):((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))⟶ℝ))
595594anabsi7 667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝐶 ∈ (0..^𝑀)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))):((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))⟶ℝ)
596427, 595syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))):((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))⟶ℝ)
597596, 582fssresd 6539 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))) ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))):((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))⟶ℝ)
598588, 597feq1dd 41303 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))))):((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))⟶ℝ)
599363, 374oveq12d 7163 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑡 = 𝑠 → (((𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) − 𝑌) / (2 · (sin‘(𝑡 / 2)))) = (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
600599cbvmptv 5161 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑡 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) − 𝑌) / (2 · (sin‘(𝑡 / 2))))) = (𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
601 fveq2 6664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑟 = 𝑡 → (𝐹𝑟) = (𝐹𝑡))
602601fveq2d 6668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑟 = 𝑡 → (abs‘(𝐹𝑟)) = (abs‘(𝐹𝑡)))
603602breq1d 5068 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑟 = 𝑡 → ((abs‘(𝐹𝑟)) ≤ 𝑤 ↔ (abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑤))
604603cbvralv 3453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (∀𝑟 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))(abs‘(𝐹𝑟)) ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))(abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑤)
605604anbi2i 622 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑟 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))(abs‘(𝐹𝑟)) ≤ 𝑤) ↔ (((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))(abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑤))
606 fveq2 6664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑟 = 𝑡 → ((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))‘𝑟) = ((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))‘𝑡))
607606fveq2d 6668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑟 = 𝑡 → (abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))‘𝑟)) = (abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))‘𝑡)))
608607breq1d 5068 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑟 = 𝑡 → ((abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))‘𝑟)) ≤ 𝑧 ↔ (abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))‘𝑡)) ≤ 𝑧))
609608cbvralv 3453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (∀𝑟 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))(abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))‘𝑟)) ≤ 𝑧 ↔ ∀𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))(abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))‘𝑡)) ≤ 𝑧)
610605, 609anbi12i 626 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑟 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))(abs‘(𝐹𝑟)) ≤ 𝑤) ∧ ∀𝑟 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))(abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))‘𝑟)) ≤ 𝑧) ↔ ((((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))(abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑤) ∧ ∀𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))(abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))‘𝑡)) ≤ 𝑧))
611256, 257, 11, 13, 62, 276, 277, 422, 423, 524, 558, 149, 173, 559, 575, 598, 600, 610fourierdlem80 42352 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑠 ∈ dom (ℝ D (𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))(abs‘((ℝ D (𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))‘𝑠)) ≤ 𝑏)
612354mpteq2dva 5153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → (𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) = (𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
613253, 612eqtrd 2856 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → 𝑂 = (𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
614613oveq2d 7161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → (ℝ D 𝑂) = (ℝ D (𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
615614dmeqd 5768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → dom (ℝ D 𝑂) = dom (ℝ D (𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
616 nfcv 2977 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑠dom (ℝ D 𝑂)
617 nfcv 2977 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑠
618 nfcv 2977 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑠 D
619 nfmpt1 5156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑠(𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
620617, 618, 619nfov 7175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑠(ℝ D (𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
621620nfdm 5817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑠dom (ℝ D (𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
622616, 621raleqf 3398 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (dom (ℝ D 𝑂) = dom (ℝ D (𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) → (∀𝑠 ∈ dom (ℝ D 𝑂)(abs‘((ℝ D 𝑂)‘𝑠)) ≤ 𝑏 ↔ ∀𝑠 ∈ dom (ℝ D (𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))(abs‘((ℝ D 𝑂)‘𝑠)) ≤ 𝑏))
623615, 622syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → (∀𝑠 ∈ dom (ℝ D 𝑂)(abs‘((ℝ D 𝑂)‘𝑠)) ≤ 𝑏 ↔ ∀𝑠 ∈ dom (ℝ D (𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))(abs‘((ℝ D 𝑂)‘𝑠)) ≤ 𝑏))
624614fveq1d 6666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → ((ℝ D 𝑂)‘𝑠) = ((ℝ D (𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))‘𝑠))
625624fveq2d 6668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → (abs‘((ℝ D 𝑂)‘𝑠)) = (abs‘((ℝ D (𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))‘𝑠)))
626625breq1d 5068 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → ((abs‘((ℝ D 𝑂)‘𝑠)) ≤ 𝑏 ↔ (abs‘((ℝ D (𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))‘𝑠)) ≤ 𝑏))
627626ralbidv 3197 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → (∀𝑠 ∈ dom (ℝ D (𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))(abs‘((ℝ D 𝑂)‘𝑠)) ≤ 𝑏 ↔ ∀𝑠 ∈ dom (ℝ D (𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))(abs‘((ℝ D (𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))‘𝑠)) ≤ 𝑏))
628623, 627bitrd 280 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → (∀𝑠 ∈ dom (ℝ D 𝑂)(abs‘((ℝ D 𝑂)‘𝑠)) ≤ 𝑏 ↔ ∀𝑠 ∈ dom (ℝ D (𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))(abs‘((ℝ D (𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))‘𝑠)) ≤ 𝑏))
629628rexbidv 3297 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → (∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑠 ∈ dom (ℝ D 𝑂)(abs‘((ℝ D 𝑂)‘𝑠)) ≤ 𝑏 ↔ ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑠 ∈ dom (ℝ D (𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))(abs‘((ℝ D (𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))‘𝑠)) ≤ 𝑏))
630611, 629mpbird 258 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑠 ∈ dom (ℝ D 𝑂)(abs‘((ℝ D 𝑂)‘𝑠)) ≤ 𝑏)
631 eqid 2821 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑙 ∈ ℝ+ ↦ ∫(𝑑(,)π)((𝑂𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) = (𝑙 ∈ ℝ+ ↦ ∫(𝑑(,)π)((𝑂𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠)
632 eqeq1 2825 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑡 = 𝑠 → (𝑡 = (𝐽𝑘) ↔ 𝑠 = (𝐽𝑘)))
633 fveq2 6664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ( = 𝑙 → (𝑄) = (𝑄𝑙))
634 oveq1 7152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ( = 𝑙 → ( + 1) = (𝑙 + 1))
635634fveq2d 6668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ( = 𝑙 → (𝑄‘( + 1)) = (𝑄‘(𝑙 + 1)))
636633, 635oveq12d 7163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ( = 𝑙 → ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1))) = ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1))))
637636sseq2d 3998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ( = 𝑙 → (((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1))) ↔ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))))
638637cbvriotav 7117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) = (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1))))
639638fveq2i 6667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑄‘( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1))))) = (𝑄‘(𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))))
640639eqeq2i 2834 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐽𝑘) = (𝑄‘( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1))))) ↔ (𝐽𝑘) = (𝑄‘(𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1))))))
641640a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (⊤ → ((𝐽𝑘) = (𝑄‘( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1))))) ↔ (𝐽𝑘) = (𝑄‘(𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))))))
642 csbeq1 3885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) = (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) → ( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) / 𝑖𝑅 = (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖𝑅)
643638, 642mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (⊤ → ( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) / 𝑖𝑅 = (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖𝑅)
644641, 643ifbieq1d 4488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (⊤ → if((𝐽𝑘) = (𝑄‘( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1))))), ( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) / 𝑖𝑅, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽𝑘)))) = if((𝐽𝑘) = (𝑄‘(𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1))))), (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖𝑅, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽𝑘)))))
645644mptru 1535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 if((𝐽𝑘) = (𝑄‘( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1))))), ( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) / 𝑖𝑅, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽𝑘)))) = if((𝐽𝑘) = (𝑄‘(𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1))))), (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖𝑅, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽𝑘))))
646645oveq1i 7155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (if((𝐽𝑘) = (𝑄‘( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1))))), ( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) / 𝑖𝑅, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽𝑘)))) − 𝑌) = (if((𝐽𝑘) = (𝑄‘(𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1))))), (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖𝑅, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽𝑘)))) − 𝑌)
647646oveq1i 7155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((if((𝐽𝑘) = (𝑄‘( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1))))), ( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) / 𝑖𝑅, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽𝑘)))) − 𝑌) / (𝐽𝑘)) = ((if((𝐽𝑘) = (𝑄‘(𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1))))), (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖𝑅, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽𝑘)))) − 𝑌) / (𝐽𝑘))
648647oveq1i 7155 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((if((𝐽𝑘) = (𝑄‘( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1))))), ( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) / 𝑖𝑅, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽𝑘)))) − 𝑌) / (𝐽𝑘)) · ((𝐽𝑘) / (2 · (sin‘((𝐽𝑘) / 2))))) = (((if((𝐽𝑘) = (𝑄‘(𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1))))), (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖𝑅, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽𝑘)))) − 𝑌) / (𝐽𝑘)) · ((𝐽𝑘) / (2 · (sin‘((𝐽𝑘) / 2)))))
649648a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑡 = 𝑠 → (((if((𝐽𝑘) = (𝑄‘( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1))))), ( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) / 𝑖𝑅, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽𝑘)))) − 𝑌) / (𝐽𝑘)) · ((𝐽𝑘) / (2 · (sin‘((𝐽𝑘) / 2))))) = (((if((𝐽𝑘) = (𝑄‘(𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1))))), (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖𝑅, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽𝑘)))) − 𝑌) / (𝐽𝑘)) · ((𝐽𝑘) / (2 · (sin‘((𝐽𝑘) / 2))))))
650 eqeq1 2825 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑡 = 𝑠 → (𝑡 = (𝐽‘(𝑘 + 1)) ↔ 𝑠 = (𝐽‘(𝑘 + 1))))
651638oveq1i 7155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) + 1) = ((𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1)
652651fveq2i 6667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑄‘(( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) + 1)) = (𝑄‘((𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1))
653652eqeq2i 2834 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘(( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) + 1)) ↔ (𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘((𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1)))
654653a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (⊤ → ((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘(( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) + 1)) ↔ (𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘((𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1))))
655 csbeq1 3885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) = (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) → ( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) / 𝑖𝐿 = (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖𝐿)
656638, 655mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (⊤ → ( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) / 𝑖𝐿 = (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖𝐿)
657654, 656ifbieq1d 4488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (⊤ → if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘(( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) + 1)), ( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) / 𝑖𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) = if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘((𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1)), (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))
658657mptru 1535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘(( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) + 1)), ( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) / 𝑖𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) = if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘((𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1)), (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))))
659658oveq1i 7155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘(( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) + 1)), ( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) / 𝑖𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) − 𝑌) = (if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘((𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1)), (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) − 𝑌)
660659oveq1i 7155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘(( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) + 1)), ( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) / 𝑖𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) − 𝑌) / (𝐽‘(𝑘 + 1))) = ((if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘((𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1)), (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) − 𝑌) / (𝐽‘(𝑘 + 1)))
661660oveq1i 7155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘(( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) + 1)), ( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) / 𝑖𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) − 𝑌) / (𝐽‘(𝑘 + 1))) · ((𝐽‘(𝑘 + 1)) / (2 · (sin‘((𝐽‘(𝑘 + 1)) / 2))))) = (((if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘((𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1)), (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) − 𝑌) / (𝐽‘(𝑘 + 1))) · ((𝐽‘(𝑘 + 1)) / (2 · (sin‘((𝐽‘(𝑘 + 1)) / 2)))))
662661a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑡 = 𝑠 → (((if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘(( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) + 1)), ( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) / 𝑖𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) − 𝑌) / (𝐽‘(𝑘 + 1))) · ((𝐽‘(𝑘 + 1)) / (2 · (sin‘((𝐽‘(𝑘 + 1)) / 2))))) = (((if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘((𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1)), (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) − 𝑌) / (𝐽‘(𝑘 + 1))) · ((𝐽‘(𝑘 + 1)) / (2 · (sin‘((𝐽‘(𝑘 + 1)) / 2))))))
663 fveq2 6664 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑡 = 𝑠 → (𝑂𝑡) = (𝑂𝑠))
664650, 662, 663ifbieq12d 4492 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑡 = 𝑠 → if(𝑡 = (𝐽‘(𝑘 + 1)), (((if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘(( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) + 1)), ( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) / 𝑖𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) − 𝑌) / (𝐽‘(𝑘 + 1))) · ((𝐽‘(𝑘 + 1)) / (2 · (sin‘((𝐽‘(𝑘 + 1)) / 2))))), (𝑂𝑡)) = if(𝑠 = (𝐽‘(𝑘 + 1)), (((if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘((𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1)), (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) − 𝑌) / (𝐽‘(𝑘 + 1))) · ((𝐽‘(𝑘 + 1)) / (2 · (sin‘((𝐽‘(𝑘 + 1)) / 2))))), (𝑂𝑠)))
665632, 649, 664ifbieq12d 4492 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑡 = 𝑠 → if(𝑡 = (𝐽𝑘), (((if((𝐽𝑘) = (𝑄‘( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1))))), ( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) / 𝑖𝑅, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽𝑘)))) − 𝑌) / (𝐽𝑘)) · ((𝐽𝑘) / (2 · (sin‘((𝐽𝑘) / 2))))), if(𝑡 = (𝐽‘(𝑘 + 1)), (((if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘(( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) + 1)), ( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) / 𝑖𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) − 𝑌) / (𝐽‘(𝑘 + 1))) · ((𝐽‘(𝑘 + 1)) / (2 · (sin‘((𝐽‘(𝑘 + 1)) / 2))))), (𝑂𝑡))) = if(𝑠 = (𝐽𝑘), (((if((𝐽𝑘) = (𝑄‘(𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1))))), (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖𝑅, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽𝑘)))) − 𝑌) / (𝐽𝑘)) · ((𝐽𝑘) / (2 · (sin‘((𝐽𝑘) / 2))))), if(𝑠 = (𝐽‘(𝑘 + 1)), (((if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘((𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1)), (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) − 𝑌) / (𝐽‘(𝑘 + 1))) · ((𝐽‘(𝑘 + 1)) / (2 · (sin‘((𝐽‘(𝑘 + 1)) / 2))))), (𝑂𝑠))))
666665cbvmptv 5161 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑡 ∈ ((𝐽𝑘)[,](𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ if(𝑡 = (𝐽𝑘), (((if((𝐽𝑘) = (𝑄‘( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1))))), ( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) / 𝑖𝑅, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽𝑘)))) − 𝑌) / (𝐽𝑘)) · ((𝐽𝑘) / (2 · (sin‘((𝐽𝑘) / 2))))), if(𝑡 = (𝐽‘(𝑘 + 1)), (((if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘(( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) + 1)), ( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) / 𝑖𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) − 𝑌) / (𝐽‘(𝑘 + 1))) · ((𝐽‘(𝑘 + 1)) / (2 · (sin‘((𝐽‘(𝑘 + 1)) / 2))))), (𝑂𝑡)))) = (𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)[,](𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ if(𝑠 = (𝐽𝑘), (((if((𝐽𝑘) = (𝑄‘(𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1))))), (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖𝑅, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽𝑘)))) − 𝑌) / (𝐽𝑘)) · ((𝐽𝑘) / (2 · (sin‘((𝐽𝑘) / 2))))), if(𝑠 = (𝐽‘(𝑘 + 1)), (((if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘((𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1)), (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) − 𝑌) / (𝐽‘(𝑘 + 1))) · ((𝐽‘(𝑘 + 1)) / (2 · (sin‘((𝐽‘(𝑘 + 1)) / 2))))), (𝑂𝑠))))
66711, 13, 67, 124, 149, 150, 151, 173, 289, 294, 297, 298, 421, 630, 631, 666fourierdlem73 42345 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑂𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < 𝑒)
668 breq2 5062 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑒 = 𝑎 → ((abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑂𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < 𝑒 ↔ (abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑂𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < 𝑎))
669668rexralbidv 3301 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑒 = 𝑎 → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑂𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < 𝑒 ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑂𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < 𝑎))
670669cbvralv 3453 . . . . . . . . . . . . . 14 (∀𝑒 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑂𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < 𝑒 ↔ ∀𝑎 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑂𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < 𝑎)
671667, 670sylib 219 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → ∀𝑎 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑂𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < 𝑎)
672671adantlr 711 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) → ∀𝑎 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑂𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < 𝑎)
673 rphalfcl 12406 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑒 ∈ ℝ+ → (𝑒 / 2) ∈ ℝ+)
674673ad2antlr 723 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) → (𝑒 / 2) ∈ ℝ+)
675 breq2 5062 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎 = (𝑒 / 2) → ((abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑂𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < 𝑎 ↔ (abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑂𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
676675rexralbidv 3301 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 = (𝑒 / 2) → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑂𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < 𝑎 ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑂𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
677676rspccva 3621 . . . . . . . . . . . 12 ((∀𝑎 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑂𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < 𝑎 ∧ (𝑒 / 2) ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑂𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
678672, 674, 677syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑂𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
679138a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → (𝑑(,)π) ⊆ (𝑑[,]π))
680679sselda 3966 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑(,)π)) → 𝑠 ∈ (𝑑[,]π))
681680, 343syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑(,)π)) → ((𝑈 ↾ (𝑑[,]π))‘𝑠) = (𝑈𝑠))
682341, 681syl5req 2869 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑(,)π)) → (𝑈𝑠) = (𝑂𝑠))
683682oveq1d 7160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑(,)π)) → ((𝑈𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) = ((𝑂𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))))
684683itgeq2dv 24311 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → ∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠 = ∫(𝑑(,)π)((𝑂𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠)
685684adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ (abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑂𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) → ∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠 = ∫(𝑑(,)π)((𝑂𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠)
686685fveq2d 6668 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ (abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑂𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) → (abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) = (abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑂𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠))
687 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ (abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑂𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) → (abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑂𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
688686, 687eqbrtrd 5080 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ (abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑂𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) → (abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
689688ex 413 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → ((abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑂𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2) → (abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
690689adantlr 711 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) → ((abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑂𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2) → (abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
691690ralimdv 3178 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) → (∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑂𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2) → ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
692691reximdv 3273 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑂𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
693678, 692mpd 15 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
694693adantr 481 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
695 nfv 1906 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑘((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π))
696 nfra1 3219 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑘𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)
697695, 696nfan 1891 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑘(((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
698 nfv 1906 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑘 𝑗 ∈ ℕ
699697, 698nfan 1891 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ)
700 nfv 1906 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)
701699, 700nfan 1891 . . . . . . . . . . . 12 𝑘(((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
702 simpll 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)))
703 eluznn 12307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘 ∈ ℕ)
704703adantll 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘 ∈ ℕ)
705702, 704jca 512 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ))
706705adantllr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ))
707 simpllr 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
708703adantll 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘 ∈ ℕ)
709 rspa 3206 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
710707, 708, 709syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
711706, 710jca 512 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
712711adantlr 711 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
713 nnre 11634 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℝ)
714713rexrd 10680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℝ*)
715714adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑗 ∈ ℝ*)
71622a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → +∞ ∈ ℝ*)
717 eluzelre 12243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 ∈ (ℤ𝑗) → 𝑘 ∈ ℝ)
718 halfre 11840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (1 / 2) ∈ ℝ
719718a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 ∈ (ℤ𝑗) → (1 / 2) ∈ ℝ)
720717, 719readdcld 10659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 ∈ (ℤ𝑗) → (𝑘 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
721720adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝑘 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
722713adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑗 ∈ ℝ)
723717adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘 ∈ ℝ)
724 eluzle 12245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 ∈ (ℤ𝑗) → 𝑗𝑘)
725724adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑗𝑘)
726 halfgt0 11842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 0 < (1 / 2)
727726a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 0 < (1 / 2))
728718a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (1 / 2) ∈ ℝ)
729728, 723ltaddposd 11213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (0 < (1 / 2) ↔ 𝑘 < (𝑘 + (1 / 2))))
730727, 729mpbid 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘 < (𝑘 + (1 / 2)))
731722, 723, 721, 725, 730lelttrd 10787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑗 < (𝑘 + (1 / 2)))
732721ltpnfd 12506 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝑘 + (1 / 2)) < +∞)
733715, 716, 721, 731, 732eliood 41653 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝑘 + (1 / 2)) ∈ (𝑗(,)+∞))
734733adantlr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑗 ∈ ℕ ∧ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝑘 + (1 / 2)) ∈ (𝑗(,)+∞))
735 simplr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑗 ∈ ℕ ∧ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
736 oveq1 7152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑙 = (𝑘 + (1 / 2)) → (𝑙 · 𝑠) = ((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))
737736fveq2d 6668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑙 = (𝑘 + (1 / 2)) → (sin‘(𝑙 · 𝑠)) = (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠)))
738737oveq2d 7161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑙 = (𝑘 + (1 / 2)) → ((𝑈𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) = ((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))))
739738adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑙 = (𝑘 + (1 / 2)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑(,)π)) → ((𝑈𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) = ((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))))
740739itgeq2dv 24311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑙 = (𝑘 + (1 / 2)) → ∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠 = ∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠)
741740fveq2d 6668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑙 = (𝑘 + (1 / 2)) → (abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) = (abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠))
742741breq1d 5068 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑙 = (𝑘 + (1 / 2)) → ((abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2) ↔ (abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
743742rspcv 3617 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑘 + (1 / 2)) ∈ (𝑗(,)+∞) → (∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2) → (abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
744734, 735, 743sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑗 ∈ ℕ ∧ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
745744adantlll 714 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
746 fourierdlem104.ch . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜒 ↔ (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ (abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
747712, 745, 746sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝜒)
748 0red 10633 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒 → 0 ∈ ℝ)
74912a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒 → π ∈ ℝ)
750 ioossicc 12812 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0(,)π) ⊆ (0[,]π)
751746biimpi 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜒 → (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ (abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
752 simp-4r 780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ (abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) → 𝑑 ∈ (0(,)π))
753751, 752syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒𝑑 ∈ (0(,)π))
754750, 753sseldi 3964 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒𝑑 ∈ (0[,]π))
755 simp-5l 781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ (abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) → 𝜑)
756751, 755syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜒𝜑)
75742adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)π)) → 𝑈:(-π[,]π)⟶ℝ)
75847rexri 10688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 -π ∈ ℝ*
759 0re 10632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 0 ∈ ℝ
76047, 759, 51ltleii 10752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 -π ≤ 0
761 iooss1 12763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((-π ∈ ℝ* ∧ -π ≤ 0) → (0(,)π) ⊆ (-π(,)π))
762758, 760, 761mp2an 688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (0(,)π) ⊆ (-π(,)π)
763 ioossicc 12812 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (-π(,)π) ⊆ (-π[,]π)
764762, 763sstri 3975 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (0(,)π) ⊆ (-π[,]π)
765764sseli 3962 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑠 ∈ (0(,)π) → 𝑠 ∈ (-π[,]π))
766765adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)π)) → 𝑠 ∈ (-π[,]π))
767757, 766ffvelrnd 6845 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)π)) → (𝑈𝑠) ∈ ℝ)
768756, 767sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜒𝑠 ∈ (0(,)π)) → (𝑈𝑠) ∈ ℝ)
769 simpllr 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ (abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) → 𝑘 ∈ ℕ)
770751, 769syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜒𝑘 ∈ ℕ)
771770nnred 11642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜒𝑘 ∈ ℝ)
772718a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜒 → (1 / 2) ∈ ℝ)
773771, 772readdcld 10659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜒 → (𝑘 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
774773adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜒𝑠 ∈ (0(,)π)) → (𝑘 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
775 elioore 12758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑠 ∈ (0(,)π) → 𝑠 ∈ ℝ)
776775adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜒𝑠 ∈ (0(,)π)) → 𝑠 ∈ ℝ)
777774, 776remulcld 10660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜒𝑠 ∈ (0(,)π)) → ((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠) ∈ ℝ)
778777resincld 15486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜒𝑠 ∈ (0(,)π)) → (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠)) ∈ ℝ)
779768, 778remulcld 10660 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜒𝑠 ∈ (0(,)π)) → ((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) ∈ ℝ)
780779recnd 10658 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜒𝑠 ∈ (0(,)π)) → ((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) ∈ ℂ)
78153a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜒 → 0 ∈ ℝ*)
78254a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜒 → π ∈ ℝ*)
783748leidd 11195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜒 → 0 ≤ 0)
784 ioossre 12788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (0(,)π) ⊆ ℝ
785784, 753sseldi 3964 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜒𝑑 ∈ ℝ)
786781, 782, 753, 104syl3anc 1363 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜒𝑑 < π)
787785, 749, 786ltled 10777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜒𝑑 ≤ π)
788 ioossioo 12819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 0 ∧ 𝑑 ≤ π)) → (0(,)𝑑) ⊆ (0(,)π))
789781, 782, 783, 787, 788syl22anc 834 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒 → (0(,)𝑑) ⊆ (0(,)π))
790 ioombl 24095 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (0(,)𝑑) ∈ dom vol
791790a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒 → (0(,)𝑑) ∈ dom vol)
792 eleq1 2900 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 ∈ ℕ ↔ 𝑘 ∈ ℕ))
793792anbi2d 628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 = 𝑘 → ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ↔ (𝜑𝑘 ∈ ℕ)))
794 simpl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑛 = 𝑘𝑠 ∈ (0(,)π)) → 𝑛 = 𝑘)
795794oveq1d 7160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑛 = 𝑘𝑠 ∈ (0(,)π)) → (𝑛 + (1 / 2)) = (𝑘 + (1 / 2)))
796795oveq1d 7160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑛 = 𝑘𝑠 ∈ (0(,)π)) → ((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠) = ((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))
797796fveq2d 6668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑛 = 𝑘𝑠 ∈ (0(,)π)) → (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) = (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠)))
798797oveq2d 7161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑛 = 𝑘𝑠 ∈ (0(,)π)) → ((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠))) = ((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))))
799798mpteq2dva 5153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑛 = 𝑘 → (𝑠 ∈ (0(,)π) ↦ ((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))) = (𝑠 ∈ (0(,)π) ↦ ((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠)))))
800799eleq1d 2897 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 = 𝑘 → ((𝑠 ∈ (0(,)π) ↦ ((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))) ∈ 𝐿1 ↔ (𝑠 ∈ (0(,)π) ↦ ((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠)))) ∈ 𝐿1))
801793, 800imbi12d 346 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 = 𝑘 → (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑠 ∈ (0(,)π) ↦ ((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))) ∈ 𝐿1) ↔ ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑠 ∈ (0(,)π) ↦ ((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠)))) ∈ 𝐿1)))
802764a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (0(,)π) ⊆ (-π[,]π))
803 ioombl 24095 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (0(,)π) ∈ dom vol
804803a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (0(,)π) ∈ dom vol)
80542ffvelrnda 6844 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (𝑈𝑠) ∈ ℝ)
806805adantlr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (𝑈𝑠) ∈ ℝ)
807 nnre 11634 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ)
808 readdcl 10609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑛 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → (𝑛 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
809807, 718, 808sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
810809adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (𝑛 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
811 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 𝑠 ∈ (-π[,]π))
812210, 811sseldi 3964 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 𝑠 ∈ ℝ)
813810, 812remulcld 10660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → ((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠) ∈ ℝ)
814813resincld 15486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) ∈ ℝ)
815814adantll 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) ∈ ℝ)
816806, 815remulcld 10660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → ((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠))) ∈ ℝ)
817 fourierdlem104.g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝐺 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠)))
818 fourierdlem104.s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 𝑆 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))
819818fvmpt2 6772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) ∈ ℝ) → (𝑆𝑠) = (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))
820811, 814, 819syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (𝑆𝑠) = (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))
821820adantll 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (𝑆𝑠) = (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))
822821oveq2d 7161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠)) = ((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠))))
823822mpteq2dva 5153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠))) = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))))
824817, 823syl5req 2869 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))) = 𝐺)
82514adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
826 fourierdlem104.x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑𝑋 ∈ ran 𝑉)
827826adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ ran 𝑉)
82826adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑌 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋))
82937adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑊 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋))
830807adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℝ)
831259adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℕ)
832261adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑉 ∈ (𝑃𝑀))
833263adantlr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
834265adantlr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑉𝑖)))
835267adantlr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑉‘(𝑖 + 1))))
836 eqid 2821 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = -π ∧ (𝑝𝑚) = π) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))}) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = -π ∧ (𝑝𝑚) = π) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
837 eqid 2821 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (ℝ D 𝐹) = (ℝ D 𝐹)
838593adantlr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))):((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))⟶ℝ)
839 fourierdlem104.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑𝐴 ∈ (((ℝ D 𝐹) ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋))
840839adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ (((ℝ D 𝐹) ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋))
841 fourierdlem104.b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑𝐵 ∈ (((ℝ D 𝐹) ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋))
842841adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ (((ℝ D 𝐹) ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋))
843258, 825, 827, 828, 829, 39, 40, 41, 830, 818, 817, 831, 832, 833, 834, 835, 80, 836, 837, 838, 840, 842fourierdlem88 42360 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐺 ∈ 𝐿1)
844824, 843eqeltrd 2913 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))) ∈ 𝐿1)
845802, 804, 816, 844iblss 24334 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑠 ∈ (0(,)π) ↦ ((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))) ∈ 𝐿1)
846801, 845chvarv 2408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑠 ∈ (0(,)π) ↦ ((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠)))) ∈ 𝐿1)
847756, 770, 846syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒 → (𝑠 ∈ (0(,)π) ↦ ((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠)))) ∈ 𝐿1)
848789, 791, 779, 847iblss 24334 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒 → (𝑠 ∈ (0(,)𝑑) ↦ ((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠)))) ∈ 𝐿1)
849781, 782, 753, 55syl3anc 1363 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜒 → 0 < 𝑑)
850748, 785, 849ltled 10777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜒 → 0 ≤ 𝑑)
851749leidd 11195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜒 → π ≤ π)
852 ioossioo 12819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 𝑑 ∧ π ≤ π)) → (𝑑(,)π) ⊆ (0(,)π))
853781, 782, 850, 851, 852syl22anc 834 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒 → (𝑑(,)π) ⊆ (0(,)π))
854 ioombl 24095 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑑(,)π) ∈ dom vol
855854a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒 → (𝑑(,)π) ∈ dom vol)
856853, 855, 779, 847iblss 24334 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒 → (𝑠 ∈ (𝑑(,)π) ↦ ((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠)))) ∈ 𝐿1)
857748, 749, 754, 780, 848, 856itgsplitioo 24367 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜒 → ∫(0(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠 = (∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠 + ∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠))
858857fveq2d 6668 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜒 → (abs‘∫(0(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) = (abs‘(∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠 + ∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠)))
859789sselda 3966 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜒𝑠 ∈ (0(,)𝑑)) → 𝑠 ∈ (0(,)π))
860859, 779syldan 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜒𝑠 ∈ (0(,)𝑑)) → ((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) ∈ ℝ)
861860, 848itgcl 24313 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒 → ∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠 ∈ ℂ)
862853sselda 3966 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜒𝑠 ∈ (𝑑(,)π)) → 𝑠 ∈ (0(,)π))
863862, 779syldan 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜒𝑠 ∈ (𝑑(,)π)) → ((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) ∈ ℝ)
864863, 856itgcl 24313 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒 → ∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠 ∈ ℂ)
865861, 864addcld 10649 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒 → (∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠 + ∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) ∈ ℂ)
866865abscld 14786 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜒 → (abs‘(∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠 + ∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠)) ∈ ℝ)
867861abscld 14786 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒 → (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) ∈ ℝ)
868864abscld 14786 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒 → (abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) ∈ ℝ)
869867, 868readdcld 10659 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜒 → ((abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) + (abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠)) ∈ ℝ)
870 simp-5r 782 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ (abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) → 𝑒 ∈ ℝ+)
871751, 870syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒𝑒 ∈ ℝ+)
872871rpred 12421 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜒𝑒 ∈ ℝ)
873861, 864abstrid 14806 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜒 → (abs‘(∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠 + ∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠)) ≤ ((abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) + (abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠)))
874751simplrd 766 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒 → (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
875751simprd 496 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒 → (abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
876867, 868, 872, 874, 875lt2halvesd 11874 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜒 → ((abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) + (abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠)) < 𝑒)
877866, 869, 872, 873, 876lelttrd 10787 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜒 → (abs‘(∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠 + ∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠)) < 𝑒)
878858, 877eqbrtrd 5080 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜒 → (abs‘∫(0(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < 𝑒)
879747, 878syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (abs‘∫(0(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < 𝑒)
880879ex 413 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) → (𝑘 ∈ (ℤ𝑗) → (abs‘∫(0(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < 𝑒))
881701, 880ralrimi 3216 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘∫(0(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < 𝑒)
882881ex 413 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘∫(0(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < 𝑒))
883882reximdva 3274 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘∫(0(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < 𝑒))
884694, 883mpd 15 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘∫(0(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < 𝑒)
885 pipos 24975 . . . . . . . . . . . . . 14 0 < π
88647, 759, 12lttri 10755 . . . . . . . . . . . . . 14 ((-π < 0 ∧ 0 < π) → -π < π)
88751, 885, 886mp2an 688 . . . . . . . . . . . . 13 -π < π
88847, 12, 887ltleii 10752 . . . . . . . . . . . 12 -π ≤ π
889888a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → -π ≤ π)
890258fourierdlem2 42275 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑉 ∈ (𝑃𝑀) ↔ (𝑉 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((𝑉‘0) = (-π + 𝑋) ∧ (𝑉𝑀) = (π + 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑉𝑖) < (𝑉‘(𝑖 + 1))))))
891259, 890syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑉 ∈ (𝑃𝑀) ↔ (𝑉 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((𝑉‘0) = (-π + 𝑋) ∧ (𝑉𝑀) = (π + 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑉𝑖) < (𝑉‘(𝑖 + 1))))))
892261, 891mpbid 233 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑉 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((𝑉‘0) = (-π + 𝑋) ∧ (𝑉𝑀) = (π + 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑉𝑖) < (𝑉‘(𝑖 + 1)))))
893892simpld 495 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑉 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)))
894 elmapi 8418 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑉 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) → 𝑉:(0...𝑀)⟶ℝ)
895893, 894syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑉:(0...𝑀)⟶ℝ)
896895ffvelrnda 6844 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) → (𝑉𝑖) ∈ ℝ)
89715adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) → 𝑋 ∈ ℝ)
898896, 897resubcld 11057 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) → ((𝑉𝑖) − 𝑋) ∈ ℝ)
899898, 80fmptd 6871 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
90080a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑄 = (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑉𝑖) − 𝑋)))
901 fveq2 6664 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = 0 → (𝑉𝑖) = (𝑉‘0))
902901oveq1d 7160 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 0 → ((𝑉𝑖) − 𝑋) = ((𝑉‘0) − 𝑋))
903902adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 = 0) → ((𝑉𝑖) − 𝑋) = ((𝑉‘0) − 𝑋))
904259nnnn0d 11944 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
905 nn0uz 12269 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 = (ℤ‘0)
906904, 905eleqtrdi 2923 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘0))
907 eluzfz1 12904 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ (ℤ‘0) → 0 ∈ (0...𝑀))
908906, 907syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 ∈ (0...𝑀))
909895, 908ffvelrnd 6845 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑉‘0) ∈ ℝ)
910909, 15resubcld 11057 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑉‘0) − 𝑋) ∈ ℝ)
911900, 903, 908, 910fvmptd 6768 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑄‘0) = ((𝑉‘0) − 𝑋))
912892simprd 496 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((𝑉‘0) = (-π + 𝑋) ∧ (𝑉𝑀) = (π + 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑉𝑖) < (𝑉‘(𝑖 + 1))))
913912simplld 764 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑉‘0) = (-π + 𝑋))
914913oveq1d 7160 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑉‘0) − 𝑋) = ((-π + 𝑋) − 𝑋))
915445recnd 10658 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → -π ∈ ℂ)
91615recnd 10658 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
917915, 916pncand 10987 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((-π + 𝑋) − 𝑋) = -π)
918911, 914, 9173eqtrd 2860 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑄‘0) = -π)
919445, 447, 15, 258, 836, 259, 261, 80fourierdlem14 42287 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑄 ∈ ((𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = -π ∧ (𝑝𝑚) = π) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})‘𝑀))
920836fourierdlem2 42275 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑄 ∈ ((𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = -π ∧ (𝑝𝑚) = π) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})‘𝑀) ↔ (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((𝑄‘0) = -π ∧ (𝑄𝑀) = π) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))))))
921259, 920syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑄 ∈ ((𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = -π ∧ (𝑝𝑚) = π) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})‘𝑀) ↔ (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((𝑄‘0) = -π ∧ (𝑄𝑀) = π) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))))))
922919, 921mpbid 233 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((𝑄‘0) = -π ∧ (𝑄𝑀) = π) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))))
923922simprd 496 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝑄‘0) = -π ∧ (𝑄𝑀) = π) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))))
924923simplrd 766 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑄𝑀) = π)
925923simprd 496 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
926925r19.21bi 3208 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
92714adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
928836, 259, 919fourierdlem15 42288 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑄:(0...𝑀)⟶(-π[,]π))
929928adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑄:(0...𝑀)⟶(-π[,]π))
930 elfzofz 13043 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
931930adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
932929, 931ffvelrnd 6845 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) ∈ (-π[,]π))
933 fzofzp1 13124 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
934933adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
935929, 934ffvelrnd 6845 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ (-π[,]π))
93615adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑋 ∈ ℝ)
937 ffn 6508 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑉:(0...𝑀)⟶ℝ → 𝑉 Fn (0...𝑀))
938893, 894, 9373syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑉 Fn (0...𝑀))
939 fvelrnb 6720 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑉 Fn (0...𝑀) → (𝑋 ∈ ran 𝑉 ↔ ∃𝑖 ∈ (0...𝑀)(𝑉𝑖) = 𝑋))
940938, 939syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑋 ∈ ran 𝑉 ↔ ∃𝑖 ∈ (0...𝑀)(𝑉𝑖) = 𝑋))
941826, 940mpbid 233 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ∃𝑖 ∈ (0...𝑀)(𝑉𝑖) = 𝑋)
942 oveq1 7152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑉𝑖) = 𝑋 → ((𝑉𝑖) − 𝑋) = (𝑋𝑋))
943942adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑉𝑖) = 𝑋) → ((𝑉𝑖) − 𝑋) = (𝑋𝑋))
944916subidd 10974 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑋𝑋) = 0)
945944ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑉𝑖) = 𝑋) → (𝑋𝑋) = 0)
946943, 945eqtr2d 2857 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑉𝑖) = 𝑋) → 0 = ((𝑉𝑖) − 𝑋))
947946ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) → ((𝑉𝑖) = 𝑋 → 0 = ((𝑉𝑖) − 𝑋)))
948947reximdva 3274 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (∃𝑖 ∈ (0...𝑀)(𝑉𝑖) = 𝑋 → ∃𝑖 ∈ (0...𝑀)0 = ((𝑉𝑖) − 𝑋)))
949941, 948mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ∃𝑖 ∈ (0...𝑀)0 = ((𝑉𝑖) − 𝑋))
95080elrnmpt 5822 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0 ∈ ℝ → (0 ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑖 ∈ (0...𝑀)0 = ((𝑉𝑖) − 𝑋)))
951759, 950ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑖 ∈ (0...𝑀)0 = ((𝑉𝑖) − 𝑋))
952949, 951sylibr 235 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 ∈ ran 𝑄)
953836, 259, 919, 952fourierdlem12 42285 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ¬ 0 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
954895adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑉:(0...𝑀)⟶ℝ)
955954, 931ffvelrnd 6845 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑉𝑖) ∈ ℝ)
956955, 936resubcld 11057 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑉𝑖) − 𝑋) ∈ ℝ)
95780fvmpt2 6772 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑖 ∈ (0...𝑀) ∧ ((𝑉𝑖) − 𝑋) ∈ ℝ) → (𝑄𝑖) = ((𝑉𝑖) − 𝑋))
958931, 956, 957syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) = ((𝑉𝑖) − 𝑋))
959958oveq1d 7160 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖) + 𝑋) = (((𝑉𝑖) − 𝑋) + 𝑋))
960955recnd 10658 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑉𝑖) ∈ ℂ)
961916adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑋 ∈ ℂ)
962960, 961npcand 10990 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑉𝑖) − 𝑋) + 𝑋) = (𝑉𝑖))
963959, 962eqtrd 2856 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖) + 𝑋) = (𝑉𝑖))
964 fveq2 6664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑗 = 𝑖 → (𝑉𝑗) = (𝑉𝑖))
965964oveq1d 7160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 = 𝑖 → ((𝑉𝑗) − 𝑋) = ((𝑉𝑖) − 𝑋))
966965cbvmptv 5161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑉𝑗) − 𝑋)) = (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑉𝑖) − 𝑋))
96780, 966eqtr4i 2847 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑄 = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑉𝑗) − 𝑋))
968967a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑄 = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑉𝑗) − 𝑋)))
969 fveq2 6664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 = (𝑖 + 1) → (𝑉𝑗) = (𝑉‘(𝑖 + 1)))
970969oveq1d 7160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 = (𝑖 + 1) → ((𝑉𝑗) − 𝑋) = ((𝑉‘(𝑖 + 1)) − 𝑋))
971970adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑗 = (𝑖 + 1)) → ((𝑉𝑗) − 𝑋) = ((𝑉‘(𝑖 + 1)) − 𝑋))
972954, 934ffvelrnd 6845 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑉‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
973972, 936resubcld 11057 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑉‘(𝑖 + 1)) − 𝑋) ∈ ℝ)
974968, 971, 934, 973fvmptd 6768 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) = ((𝑉‘(𝑖 + 1)) − 𝑋))
975974oveq1d 7160 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑋) = (((𝑉‘(𝑖 + 1)) − 𝑋) + 𝑋))
976972recnd 10658 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑉‘(𝑖 + 1)) ∈ ℂ)
977976, 961npcand 10990 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑉‘(𝑖 + 1)) − 𝑋) + 𝑋) = (𝑉‘(𝑖 + 1)))
978975, 977eqtrd 2856 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑋) = (𝑉‘(𝑖 + 1)))
979963, 978oveq12d 7163 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑄𝑖) + 𝑋)(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑋)) = ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))
980979reseq2d 5847 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ (((𝑄𝑖) + 𝑋)(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑋))) = (𝐹 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))))
981979oveq1d 7160 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((((𝑄𝑖) + 𝑋)(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑋))–cn→ℂ) = (((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
982263, 980, 9813eltr4d 2928 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ (((𝑄𝑖) + 𝑋)(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑋))) ∈ ((((𝑄𝑖) + 𝑋)(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑋))–cn→ℂ))
98327adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑌 ∈ ℝ)
98438adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑊 ∈ ℝ)
985927, 932, 935, 936, 953, 982, 983, 984, 39fourierdlem40 42313 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐻 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
986 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14 (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))):((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))⟶ℝ → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))):((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))⟶ℝ)
98743a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))):((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))⟶ℝ → ℝ ⊆ ℂ)
988986, 987fssd 6522 . . . . . . . . . . . . 13 (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))):((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))⟶ℝ → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))):((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ)
989400, 592, 9883syl 18 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))):((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ)
990 eqid 2821 . . . . . . . . . . . 12 if((𝑉𝑖) = 𝑋, 𝐵, ((𝑅 − if((𝑉𝑖) < 𝑋, 𝑊, 𝑌)) / (𝑄𝑖))) = if((𝑉𝑖) = 𝑋, 𝐵, ((𝑅 − if((𝑉𝑖) < 𝑋, 𝑊, 𝑌)) / (𝑄𝑖)))
99115, 258, 14, 826, 26, 38, 39, 259, 261, 265, 80, 836, 837, 989, 841, 990fourierdlem75 42347 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → if((𝑉𝑖) = 𝑋, 𝐵, ((𝑅 − if((𝑉𝑖) < 𝑋, 𝑊, 𝑌)) / (𝑄𝑖))) ∈ ((𝐻 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)))
992 eqid 2821 . . . . . . . . . . . 12 if((𝑉‘(𝑖 + 1)) = 𝑋, 𝐴, ((𝐿 − if((𝑉‘(𝑖 + 1)) < 𝑋, 𝑊, 𝑌)) / (𝑄‘(𝑖 + 1)))) = if((𝑉‘(𝑖 + 1)) = 𝑋, 𝐴, ((𝐿 − if((𝑉‘(𝑖 + 1)) < 𝑋, 𝑊, 𝑌)) / (𝑄‘(𝑖 + 1))))
99315, 258, 14, 826, 27, 37, 39, 259, 261, 267, 80, 836, 837, 593, 839, 992fourierdlem74 42346 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → if((𝑉‘(𝑖 + 1)) = 𝑋, 𝐴, ((𝐿 − if((𝑉‘(𝑖 + 1)) < 𝑋, 𝑊, 𝑌)) / (𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ ((𝐻 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
994 fveq2 6664 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = 𝑖 → (𝑄𝑗) = (𝑄𝑖))
995 oveq1 7152 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = 𝑖 → (𝑗 + 1) = (𝑖 + 1))
996995fveq2d 6668 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = 𝑖 → (𝑄‘(𝑗 + 1)) = (𝑄‘(𝑖 + 1)))
997994, 996oveq12d 7163 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = 𝑖 → ((𝑄𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1))) = ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
998997cbvmptv 5161 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ (0..^𝑀) ↦ ((𝑄𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))) = (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↦ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
999445, 447, 889, 177, 259, 899, 918, 924, 926, 985, 991, 993, 998fourierdlem70 42342 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐻𝑠)) ≤ 𝑥)
1000 eqid 2821 . . . . . . . . . 10 ((𝑒 / 3) / 𝑦) = ((𝑒 / 3) / 𝑦)
1001 fveq2 6664 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑡 = 𝑠 → (𝐺𝑡) = (𝐺𝑠))
10021001fveq2d 6668 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑡 = 𝑠 → (abs‘(𝐺𝑡)) = (abs‘(𝐺𝑠)))
10031002breq1d 5068 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑡 = 𝑠 → ((abs‘(𝐺𝑡)) ≤ 𝑦 ↔ (abs‘(𝐺𝑠)) ≤ 𝑦))
10041003cbvralv 3453 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∀𝑡 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺𝑡)) ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺𝑠)) ≤ 𝑦)
10051004ralbii 3165 . . . . . . . . . . . . . 14 (∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑡 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺𝑡)) ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺𝑠)) ≤ 𝑦)
100610053anbi3i 1151 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑡 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺𝑡)) ≤ 𝑦) ↔ ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺𝑠)) ≤ 𝑦))
10071006anbi1i 623 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑡 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺𝑡)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑢 ∈ dom vol) ↔ (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺𝑠)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑢 ∈ dom vol))
10081007anbi1i 623 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑡 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺𝑡)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑢 ∈ dom vol) ∧ (𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ ((𝑒 / 3) / 𝑦))) ↔ ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺𝑠)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑢 ∈ dom vol) ∧ (𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ ((𝑒 / 3) / 𝑦))))
10091008anbi1i 623 . . . . . . . . . 10 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑡 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺𝑡)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑢 ∈ dom vol) ∧ (𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ ((𝑒 / 3) / 𝑦))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ↔ (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺𝑠)) ≤ 𝑦) ∧ 𝑢 ∈ dom vol) ∧ (𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ ((𝑒 / 3) / 𝑦))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ))
101014, 15, 27, 38, 39, 40, 41, 818, 817, 999, 843, 1000, 1009fourierdlem87 42359 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → ∃𝑐 ∈ ℝ+𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝑐) → ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
1011 iftrue 4471 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑐 ≤ (π / 2) → if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)) = 𝑐)
10121011adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑐 ∈ ℝ+𝑐 ≤ (π / 2)) → if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)) = 𝑐)
101353a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑐 ∈ ℝ+𝑐 ≤ (π / 2)) → 0 ∈ ℝ*)
101454a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑐 ∈ ℝ+𝑐 ≤ (π / 2)) → π ∈ ℝ*)
1015 rpre 12387 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑐 ∈ ℝ+𝑐 ∈ ℝ)
10161015adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑐 ∈ ℝ+𝑐 ≤ (π / 2)) → 𝑐 ∈ ℝ)
1017 rpgt0 12391 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑐 ∈ ℝ+ → 0 < 𝑐)
10181017adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑐 ∈ ℝ+𝑐 ≤ (π / 2)) → 0 < 𝑐)
101912rehalfcli 11875 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π / 2) ∈ ℝ
10201019a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑐 ∈ ℝ+𝑐 ≤ (π / 2)) → (π / 2) ∈ ℝ)
102112a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑐 ∈ ℝ+𝑐 ≤ (π / 2)) → π ∈ ℝ)
1022 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑐 ∈ ℝ+𝑐 ≤ (π / 2)) → 𝑐 ≤ (π / 2))
1023 halfpos 11856 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π ∈ ℝ → (0 < π ↔ (π / 2) < π))
102412, 1023ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0 < π ↔ (π / 2) < π)
1025885, 1024mpbi 231 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π / 2) < π
10261025a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑐 ∈ ℝ+𝑐 ≤ (π / 2)) → (π / 2) < π)
10271016, 1020, 1021, 1022, 1026lelttrd 10787 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑐 ∈ ℝ+𝑐 ≤ (π / 2)) → 𝑐 < π)
10281013, 1014, 1016, 1018, 1027eliood 41653 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑐 ∈ ℝ+𝑐 ≤ (π / 2)) → 𝑐 ∈ (0(,)π))
10291012, 1028eqeltrd 2913 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑐 ∈ ℝ+𝑐 ≤ (π / 2)) → if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)) ∈ (0(,)π))
1030 iffalse 4474 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑐 ≤ (π / 2) → if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)) = (π / 2))
1031 2pos 11729 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 < 2
103212, 100, 885, 1031divgt0ii 11546 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 < (π / 2)
1033 elioo2 12769 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*) → ((π / 2) ∈ (0(,)π) ↔ ((π / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < (π / 2) ∧ (π / 2) < π)))
103453, 54, 1033mp2an 688 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π / 2) ∈ (0(,)π) ↔ ((π / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < (π / 2) ∧ (π / 2) < π))
10351019, 1032, 1025, 1034mpbir3an 1333 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π / 2) ∈ (0(,)π)
10361035a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑐 ≤ (π / 2) → (π / 2) ∈ (0(,)π))
10371030, 1036eqeltrd 2913 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑐 ≤ (π / 2) → if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)) ∈ (0(,)π))
10381037adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ¬ 𝑐 ≤ (π / 2)) → if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)) ∈ (0(,)π))
10391029, 1038pm2.61dan 809 . . . . . . . . . . . 12 (𝑐 ∈ ℝ+ → if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)) ∈ (0(,)π))
104010393ad2ant2 1126 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝑐) → ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))) → if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)) ∈ (0(,)π))
1041 ioombl 24095 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0(,)if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))) ∈ dom vol
10421041a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝑐) → ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))) → (0(,)if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))) ∈ dom vol)
1043 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝑐) → ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))) → ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝑐) → ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
10441042, 1043jca 512 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝑐) → ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))) → ((0(,)if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))) ∈ dom vol ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝑐) → ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))))
1045 ioossicc 12812 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0(,)if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))) ⊆ (0[,]if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)))
104647a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑐 ∈ ℝ+ → -π ∈ ℝ)
104712a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑐 ∈ ℝ+ → π ∈ ℝ)
1048760a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑐 ∈ ℝ+ → -π ≤ 0)
1049784, 1039sseldi 3964 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑐 ∈ ℝ+ → if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)) ∈ ℝ)
10501019a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑐 ∈ ℝ+ → (π / 2) ∈ ℝ)
1051 min2 12573 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑐 ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ) → if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)) ≤ (π / 2))
10521015, 1019, 1051sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑐 ∈ ℝ+ → if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)) ≤ (π / 2))
10531025a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑐 ∈ ℝ+ → (π / 2) < π)
10541049, 1050, 1047, 1052, 1053lelttrd 10787 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑐 ∈ ℝ+ → if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)) < π)
10551049, 1047, 1054ltled 10777 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑐 ∈ ℝ+ → if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)) ≤ π)
1056 iccss 12794 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((-π ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) ∧ (-π ≤ 0 ∧ if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)) ≤ π)) → (0[,]if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))) ⊆ (-π[,]π))
10571046, 1047, 1048, 1055, 1056syl22anc 834 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑐 ∈ ℝ+ → (0[,]if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))) ⊆ (-π[,]π))
10581045, 1057sstrid 3977 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑐 ∈ ℝ+ → (0(,)if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))) ⊆ (-π[,]π))
1059 0red 10633 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑐 ∈ ℝ+ → 0 ∈ ℝ)
10601018, 1012breqtrrd 5086 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑐 ∈ ℝ+𝑐 ≤ (π / 2)) → 0 < if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)))
10611032, 1030breqtrrid 5096 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑐 ≤ (π / 2) → 0 < if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)))
10621061adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ¬ 𝑐 ≤ (π / 2)) → 0 < if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)))
10631060, 1062pm2.61dan 809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑐 ∈ ℝ+ → 0 < if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)))
10641059, 1049, 1063ltled 10777 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑐 ∈ ℝ+ → 0 ≤ if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)))
1065 volioo 24099 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((0 ∈ ℝ ∧ if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))) → (vol‘(0(,)if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)))) = (if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)) − 0))
10661059, 1049, 1064, 1065syl3anc 1363 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑐 ∈ ℝ+ → (vol‘(0(,)if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)))) = (if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)) − 0))
10671049recnd 10658 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑐 ∈ ℝ+ → if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)) ∈ ℂ)
10681067subid1d 10975 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑐 ∈ ℝ+ → (if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)) − 0) = if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)))
10691066, 1068eqtrd 2856 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑐 ∈ ℝ+ → (vol‘(0(,)if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)))) = if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)))
1070 min1 12572 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑐 ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ) → if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)) ≤ 𝑐)
10711015, 1019, 1070sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑐 ∈ ℝ+ → if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)) ≤ 𝑐)
10721069, 1071eqbrtrd 5080 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑐 ∈ ℝ+ → (vol‘(0(,)if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)))) ≤ 𝑐)
10731058, 1072jca 512 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑐 ∈ ℝ+ → ((0(,)if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))) ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘(0(,)if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)))) ≤ 𝑐))
10741073adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝑐) → ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))) → ((0(,)if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))) ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘(0(,)if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)))) ≤ 𝑐))
1075 sseq1 3991 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑢 = (0(,)if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))) → (𝑢 ⊆ (-π[,]π) ↔ (0(,)if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))) ⊆ (-π[,]π)))
1076 fveq2 6664 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑢 = (0(,)if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))) → (vol‘𝑢) = (vol‘(0(,)if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)))))
10771076breq1d 5068 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑢 = (0(,)if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))) → ((vol‘𝑢) ≤ 𝑐 ↔ (vol‘(0(,)if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)))) ≤ 𝑐))
10781075, 1077anbi12d 630 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑢 = (0(,)if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))) → ((𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝑐) ↔ ((0(,)if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))) ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘(0(,)if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)))) ≤ 𝑐)))
1079 itgeq1 24302 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑢 = (0(,)if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))) → ∫𝑢((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠 = ∫(0(,)if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)))((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠)
10801079fveq2d 6668 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑢 = (0(,)if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))) → (abs‘∫𝑢((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) = (abs‘∫(0(,)if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)))((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠))
10811080breq1d 5068 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑢 = (0(,)if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))) → ((abs‘∫𝑢((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2) ↔ (abs‘∫(0(,)if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)))((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
10821081ralbidv 3197 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑢 = (0(,)if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))) → (∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2) ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(0(,)if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)))((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
10831078, 1082imbi12d 346 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑢 = (0(,)if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))) → (((𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝑐) → ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ↔ (((0(,)if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))) ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘(0(,)if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)))) ≤ 𝑐) → ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(0(,)if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)))((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))))
10841083rspcva 3620 . . . . . . . . . . . . 13 (((0(,)if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))) ∈ dom vol ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝑐) → ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))) → (((0(,)if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))) ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘(0(,)if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)))) ≤ 𝑐) → ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(0(,)if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)))((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
10851044, 1074, 1084sylc 65 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝑐) → ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))) → ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(0(,)if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)))((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
108610853adant1 1122 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝑐) → ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))) → ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(0(,)if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)))((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
1087 oveq2 7153 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑑 = if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)) → (0(,)𝑑) = (0(,)if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2))))
10881087itgeq1d 42122 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑑 = if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)) → ∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠 = ∫(0(,)if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)))((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠)
10891088fveq2d 6668 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑑 = if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)) → (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) = (abs‘∫(0(,)if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)))((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠))
10901089breq1d 5068 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑑 = if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)) → ((abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2) ↔ (abs‘∫(0(,)if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)))((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
10911090ralbidv 3197 . . . . . . . . . . . 12 (𝑑 = if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)) → (∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2) ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(0(,)if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)))((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
10921091rspcev 3622 . . . . . . . . . . 11 ((if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)) ∈ (0(,)π) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(0(,)if(𝑐 ≤ (π / 2), 𝑐, (π / 2)))((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) → ∃𝑑 ∈ (0(,)π)∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
10931040, 1086, 1092syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝑐) → ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))) → ∃𝑑 ∈ (0(,)π)∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
10941093rexlimdv3a 3286 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → (∃𝑐 ∈ ℝ+𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝑐) → ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) → ∃𝑑 ∈ (0(,)π)∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
10951010, 1094mpd 15 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → ∃𝑑 ∈ (0(,)π)∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
1096884, 1095r19.29a 3289 . . . . . . 7 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘∫(0(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < 𝑒)
10971096ralrimiva 3182 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘∫(0(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < 𝑒)
1098 nnex 11633 . . . . . . . . 9 ℕ ∈ V
10991098mptex 6978 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫(0(,)π)(𝐺𝑠) d𝑠) ∈ V
11001099a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫(0(,)π)(𝐺𝑠) d𝑠) ∈ V)
1101 eqidd 2822 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫(0(,)π)(𝐺𝑠) d𝑠) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫(0(,)π)(𝐺𝑠) d𝑠))
1102765adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 = 𝑘) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → 𝑠 ∈ (-π[,]π))
1103767ad4ant14 748 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 = 𝑘) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → (𝑈𝑠) ∈ ℝ)
1104765adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → 𝑠 ∈ (-π[,]π))
1105 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → 𝑛 = 𝑘)
1106 simpl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → 𝑘 ∈ ℕ)
11071105, 1106eqeltrd 2913 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → 𝑛 ∈ ℕ)
11081107nnred 11642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → 𝑛 ∈ ℝ)
1109718a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → (1 / 2) ∈ ℝ)
11101108, 1109readdcld 10659 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → (𝑛 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
11111110adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → (𝑛 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
1112210, 1104sseldi 3964 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → 𝑠 ∈ ℝ)
11131111, 1112remulcld 10660 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → ((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠) ∈ ℝ)
11141113resincld 15486 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) ∈ ℝ)
11151104, 1114, 819syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → (𝑆𝑠) = (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))
11161115adantlll 714 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 = 𝑘) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → (𝑆𝑠) = (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))
11171108adantll 710 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 = 𝑘) → 𝑛 ∈ ℝ)
11181117adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 = 𝑘) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → 𝑛 ∈ ℝ)
1119 1red 10631 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 = 𝑘) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → 1 ∈ ℝ)
11201119rehalfcld 11873 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 = 𝑘) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → (1 / 2) ∈ ℝ)
11211118, 1120readdcld 10659 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 = 𝑘) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → (𝑛 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
1122210, 1102sseldi 3964 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 = 𝑘) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → 𝑠 ∈ ℝ)
11231121, 1122remulcld 10660 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 = 𝑘) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → ((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠) ∈ ℝ)
11241123resincld 15486 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 = 𝑘) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) ∈ ℝ)
11251116, 1124eqeltrd 2913 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 = 𝑘) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → (𝑆𝑠) ∈ ℝ)
11261103, 1125remulcld 10660 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 = 𝑘) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠)) ∈ ℝ)
1127817fvmpt2 6772 . . . . . . . . . . 11 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠)) ∈ ℝ) → (𝐺𝑠) = ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠)))
11281102, 1126, 1127syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 = 𝑘) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → (𝐺𝑠) = ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠)))
1129 oveq1 7152 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 + (1 / 2)) = (𝑘 + (1 / 2)))
11301129oveq1d 7160 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝑘 → ((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠) = ((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))
11311130fveq2d 6668 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝑘 → (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) = (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠)))
11321131ad2antlr 723 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 = 𝑘) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) = (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠)))
11331116, 1132eqtrd 2856 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 = 𝑘) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → (𝑆𝑠) = (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠)))
11341133oveq2d 7161 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 = 𝑘) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠)) = ((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))))
11351128, 1134eqtrd 2856 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 = 𝑘) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → (𝐺𝑠) = ((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))))
11361135itgeq2dv 24311 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 = 𝑘) → ∫(0(,)π)(𝐺𝑠) d𝑠 = ∫(0(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠)
1137 simpr 485 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
1138798itgeq2dv 24311 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑘 → ∫(0(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠 = ∫(0(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠)
11391138eleq1d 2897 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑘 → (∫(0(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠 ∈ ℂ ↔ ∫(0(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠 ∈ ℂ))
1140793, 1139imbi12d 346 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑘 → (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ∫(0(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ∫(0(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠 ∈ ℂ)))
1141767adantlr 711 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → (𝑈𝑠) ∈ ℝ)
1142 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ)
11431142, 765, 814syl2an 595 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) ∈ ℝ)
11441141, 1143remulcld 10660 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → ((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠))) ∈ ℝ)
11451144, 845itgcl 24313 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ∫(0(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠 ∈ ℂ)
11461140, 1145chvarv 2408 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ∫(0(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠 ∈ ℂ)
11471101, 1136, 1137, 1146fvmptd 6768 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫(0(,)π)(𝐺𝑠) d𝑠)‘𝑘) = ∫(0(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠)
11489, 2, 1100, 1147, 1146clim0c 14854 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫(0(,)π)(𝐺𝑠) d𝑠) ⇝ 0 ↔ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘∫(0(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < 𝑒))
11491097, 1148mpbird 258 . . . . 5 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫(0(,)π)(𝐺𝑠) d𝑠) ⇝ 0)
11501098mptex 6978 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫(0(,)π)(𝐺𝑠) d𝑠 / π)) ∈ V
11516, 1150eqeltri 2909 . . . . . 6 𝐸 ∈ V
11521151a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝐸 ∈ V)
11531098mptex 6978 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ ↦ π) ∈ V
11541153a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ π) ∈ V)
115512recni 10644 . . . . . . 7 π ∈ ℂ
11561155a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → π ∈ ℂ)
1157 eqidd 2822 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ ℕ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ π) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ π))
1158 eqidd 2822 . . . . . . . 8 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑚) → π = π)
1159 id 22 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℕ)
116012a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ ℕ → π ∈ ℝ)
11611157, 1158, 1159, 1160fvmptd 6768 . . . . . . 7 (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ π)‘𝑚) = π)
11621161adantl 482 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ π)‘𝑚) = π)
11639, 2, 1154, 1156, 1162climconst 14890 . . . . 5 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ π) ⇝ π)
1164759, 885gtneii 10741 . . . . . 6 π ≠ 0
11651164a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → π ≠ 0)
116615adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ ℝ)
116727adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑌 ∈ ℝ)
116838adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑊 ∈ ℝ)
1169825, 1166, 1167, 1168, 39, 40, 41, 830, 818, 817fourierdlem67 42339 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐺:(-π[,]π)⟶ℝ)
11701169adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → 𝐺:(-π[,]π)⟶ℝ)
1171802sselda 3966 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → 𝑠 ∈ (-π[,]π))
11721170, 1171ffvelrnd 6845 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → (𝐺𝑠) ∈ ℝ)
11731169ffvelrnda 6844 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (𝐺𝑠) ∈ ℝ)
11741169feqmptd 6727 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐺 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ (𝐺𝑠)))
11751174, 843eqeltrrd 2914 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ (𝐺𝑠)) ∈ 𝐿1)
1176802, 804, 1173, 1175iblss 24334 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑠 ∈ (0(,)π) ↦ (𝐺𝑠)) ∈ 𝐿1)
11771172, 1176itgcl 24313 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ∫(0(,)π)(𝐺𝑠) d𝑠 ∈ ℂ)
1178 eqid 2821 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫(0(,)π)(𝐺𝑠) d𝑠) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫(0(,)π)(𝐺𝑠) d𝑠)
11791178fvmpt2 6772 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ ∫(0(,)π)(𝐺𝑠) d𝑠 ∈ ℂ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫(0(,)π)(𝐺𝑠) d𝑠)‘𝑛) = ∫(0(,)π)(𝐺𝑠) d𝑠)
11801142, 1177, 1179syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫(0(,)π)(𝐺𝑠) d𝑠)‘𝑛) = ∫(0(,)π)(𝐺𝑠) d𝑠)
11811180, 1177eqeltrd 2913 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫(0(,)π)(𝐺𝑠) d𝑠)‘𝑛) ∈ ℂ)
1182 eqid 2821 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ ↦ π) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ π)
11831182fvmpt2 6772 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ π ∈ ℝ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ π)‘𝑛) = π)
118412, 1183mpan2 687 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ π)‘𝑛) = π)
11851155a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → π ∈ ℂ)
11861164a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → π ≠ 0)
1187 eldifsn 4713 . . . . . . . 8 (π ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (π ∈ ℂ ∧ π ≠ 0))
11881185, 1186, 1187sylanbrc 583 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → π ∈ (ℂ ∖ {0}))
11891184, 1188eqeltrd 2913 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ π)‘𝑛) ∈ (ℂ ∖ {0}))
11901189adantl 482 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ π)‘𝑛) ∈ (ℂ ∖ {0}))
11911155a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → π ∈ ℂ)
11921164a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → π ≠ 0)
11931177, 1191, 1192divcld 11405 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (∫(0(,)π)(𝐺𝑠) d𝑠 / π) ∈ ℂ)
11946fvmpt2 6772 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (∫(0(,)π)(𝐺𝑠) d𝑠 / π) ∈ ℂ) → (𝐸𝑛) = (∫(0(,)π)(𝐺𝑠) d𝑠 / π))
11951142, 1193, 1194syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐸𝑛) = (∫(0(,)π)(𝐺𝑠) d𝑠 / π))
11961180eqcomd 2827 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ∫(0(,)π)(𝐺𝑠) d𝑠 = ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫(0(,)π)(𝐺𝑠) d𝑠)‘𝑛))
11971184eqcomd 2827 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → π = ((𝑛 ∈ ℕ ↦ π)‘𝑛))
11981197adantl 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → π = ((𝑛 ∈ ℕ ↦ π)‘𝑛))
11991196, 1198oveq12d 7163 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (∫(0(,)π)(𝐺𝑠) d𝑠 / π) = (((𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫(0(,)π)(𝐺𝑠) d𝑠)‘𝑛) / ((𝑛 ∈ ℕ ↦ π)‘𝑛)))
12001195, 1199eqtrd 2856 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐸𝑛) = (((𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫(0(,)π)(𝐺𝑠) d𝑠)‘𝑛) / ((𝑛 ∈ ℕ ↦ π)‘𝑛)))
12013, 4, 5, 8, 9, 2, 1149, 1152, 1163, 1165, 1181, 1190, 1200climdivf 41773 . . . 4 (𝜑𝐸 ⇝ (0 / π))
12021155, 1164div0i 11363 . . . . 5 (0 / π) = 0
12031202a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (0 / π) = 0)
12041201, 1203breqtrd 5084 . . 3 (𝜑𝐸 ⇝ 0)
1205 fourierdlem104.z . . . . 5 𝑍 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑚)‘𝑠)) d𝑠)
12061098mptex 6978 . . . . 5 (𝑚 ∈ ℕ ↦ ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑚)‘𝑠)) d𝑠) ∈ V
12071205, 1206eqeltri 2909 . . . 4 𝑍 ∈ V
12081207a1i 11 . . 3 (𝜑𝑍 ∈ V)
12091098mptex 6978 . . . . 5 (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑌 / 2)) ∈ V
12101209a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑌 / 2)) ∈ V)
1211 limccl 24402 . . . . . 6 ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋) ⊆ ℂ
12121211, 26sseldi 3964 . . . . 5 (𝜑𝑌 ∈ ℂ)
12131212halfcld 11871 . . . 4 (𝜑 → (𝑌 / 2) ∈ ℂ)
1214 eqidd 2822 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘1)) → (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑌 / 2)) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑌 / 2)))
1215 eqidd 2822 . . . . 5 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘1)) ∧ 𝑚 = 𝑛) → (𝑌 / 2) = (𝑌 / 2))
12169eqcomi 2830 . . . . . . . 8 (ℤ‘1) = ℕ
12171216eleq2i 2904 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ (ℤ‘1) ↔ 𝑛 ∈ ℕ)
12181217biimpi 217 . . . . . 6 (𝑛 ∈ (ℤ‘1) → 𝑛 ∈ ℕ)
12191218adantl 482 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘1)) → 𝑛 ∈ ℕ)
12201213adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘1)) → (𝑌 / 2) ∈ ℂ)
12211214, 1215, 1219, 1220fvmptd 6768 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘1)) → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑌 / 2))‘𝑛) = (𝑌 / 2))
12221, 2, 1210, 1213, 1221climconst 14890 . . 3 (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑌 / 2)) ⇝ (𝑌 / 2))
12231193, 6fmptd 6871 . . . . 5 (𝜑𝐸:ℕ⟶ℂ)
12241223adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘1)) → 𝐸:ℕ⟶ℂ)
12251224, 1219ffvelrnd 6845 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘1)) → (𝐸𝑛) ∈ ℂ)
12261221, 1220eqeltrd 2913 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘1)) → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑌 / 2))‘𝑛) ∈ ℂ)
12271221oveq2d 7161 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘1)) → ((𝐸𝑛) + ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑌 / 2))‘𝑛)) = ((𝐸𝑛) + (𝑌 / 2)))
1228803a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (0(,)π) ∈ dom vol)
1229 0red 10633 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 ∈ (0(,)π) → 0 ∈ ℝ)
12301229rexrd 10680 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 ∈ (0(,)π) → 0 ∈ ℝ*)
123154a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 ∈ (0(,)π) → π ∈ ℝ*)
1232 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 ∈ (0(,)π) → 𝑠 ∈ (0(,)π))
1233 ioogtlb 41650 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*𝑠 ∈ (0(,)π)) → 0 < 𝑠)
12341230, 1231, 1232, 1233syl3anc 1363 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 ∈ (0(,)π) → 0 < 𝑠)
12351234gt0ne0d 11193 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ (0(,)π) → 𝑠 ≠ 0)
12361235neneqd 3021 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ (0(,)π) → ¬ 𝑠 = 0)
1237 velsn 4575 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ {0} ↔ 𝑠 = 0)
12381236, 1237sylnibr 330 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ (0(,)π) → ¬ 𝑠 ∈ {0})
1239765, 1238eldifd 3946 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ (0(,)π) → 𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}))
12401239ssriv 3970 . . . . . . 7 (0(,)π) ⊆ ((-π[,]π) ∖ {0})
12411240a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (0(,)π) ⊆ ((-π[,]π) ∖ {0}))
1242 fourierdlem104.d . . . . . 6 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
12431234adantl 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)π)) → 0 < 𝑠)
12441243iftrued 4473 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)π)) → if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊) = 𝑌)
1245 eqid 2821 . . . . . . . 8 (𝐷𝑛) = (𝐷𝑛)
1246 0red 10633 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 0 ∈ ℝ)
124712a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → π ∈ ℝ)
1248759, 12, 885ltleii 10752 . . . . . . . . 9 0 ≤ π
12491248a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 0 ≤ π)
1250 eqid 2821 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ (0[,]π) ↦ (((𝑠 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘)) / π)) = (𝑠 ∈ (0[,]π) ↦ (((𝑠 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘)) / π))
12511242, 1142, 1245, 1246, 1247, 1249, 1250dirkeritg 42268 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ∫(0(,)π)((𝐷𝑛)‘𝑠) d𝑠 = (((𝑠 ∈ (0[,]π) ↦ (((𝑠 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘)) / π))‘π) − ((𝑠 ∈ (0[,]π) ↦ (((𝑠 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘)) / π))‘0)))
1252 ubicc2 12843 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ π) → π ∈ (0[,]π))
125353, 54, 1248, 1252mp3an 1452 . . . . . . . . . 10 π ∈ (0[,]π)
1254 oveq1 7152 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 = π → (𝑠 / 2) = (π / 2))
1255 oveq2 7153 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑠 = π → (𝑘 · 𝑠) = (𝑘 · π))
12561255fveq2d 6668 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑠 = π → (sin‘(𝑘 · 𝑠)) = (sin‘(𝑘 · π)))
12571256oveq1d 7160 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑠 = π → ((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘) = ((sin‘(𝑘 · π)) / 𝑘))
1258 elfzelz 12898 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑘 ∈ (1...𝑛) → 𝑘 ∈ ℤ)
12591258zcnd 12077 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 ∈ (1...𝑛) → 𝑘 ∈ ℂ)
12601155a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 ∈ (1...𝑛) → π ∈ ℂ)
12611164a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 ∈ (1...𝑛) → π ≠ 0)
12621259, 1260, 1261divcan4d 11411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 ∈ (1...𝑛) → ((𝑘 · π) / π) = 𝑘)
12631262, 1258eqeltrd 2913 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ (1...𝑛) → ((𝑘 · π) / π) ∈ ℤ)
12641259, 1260mulcld 10650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 ∈ (1...𝑛) → (𝑘 · π) ∈ ℂ)
1265 sineq0 25038 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑘 · π) ∈ ℂ → ((sin‘(𝑘 · π)) = 0 ↔ ((𝑘 · π) / π) ∈ ℤ))
12661264, 1265syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ (1...𝑛) → ((sin‘(𝑘 · π)) = 0 ↔ ((𝑘 · π) / π) ∈ ℤ))
12671263, 1266mpbird 258 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ (1...𝑛) → (sin‘(𝑘 · π)) = 0)
12681267oveq1d 7160 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ (1...𝑛) → ((sin‘(𝑘 · π)) / 𝑘) = (0 / 𝑘))
1269 0red 10633 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 ∈ (1...𝑛) → 0 ∈ ℝ)
1270 1red 10631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 ∈ (1...𝑛) → 1 ∈ ℝ)
12711258zred 12076 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 ∈ (1...𝑛) → 𝑘 ∈ ℝ)
127298a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 ∈ (1...𝑛) → 0 < 1)
1273 elfzle1 12900 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 ∈ (1...𝑛) → 1 ≤ 𝑘)
12741269, 1270, 1271, 1272, 1273ltletrd 10789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ (1...𝑛) → 0 < 𝑘)
12751274gt0ne0d 11193 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ (1...𝑛) → 𝑘 ≠ 0)
12761259, 1275div0d 11404 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ (1...𝑛) → (0 / 𝑘) = 0)
12771268, 1276eqtrd 2856 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ (1...𝑛) → ((sin‘(𝑘 · π)) / 𝑘) = 0)
12781257, 1277sylan9eq 2876 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑠 = π ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → ((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘) = 0)
12791278sumeq2dv 15050 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 = π → Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)0)
1280 fzfi 13330 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1...𝑛) ∈ Fin
12811280olci 860 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1...𝑛) ⊆ (ℤ ) ∨ (1...𝑛) ∈ Fin)
1282 sumz 15069 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((1...𝑛) ⊆ (ℤ ) ∨ (1...𝑛) ∈ Fin) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)0 = 0)
12831281, 1282ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)0 = 0
12841279, 1283syl6eq 2872 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 = π → Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘) = 0)
12851254, 1284oveq12d 7163 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 = π → ((𝑠 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘)) = ((π / 2) + 0))
12861285oveq1d 7160 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 = π → (((𝑠 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘)) / π) = (((π / 2) + 0) / π))
1287 ovex 7178 . . . . . . . . . . 11 (((π / 2) + 0) / π) ∈ V
12881286, 1250, 1287fvmpt 6762 . . . . . . . . . 10 (π ∈ (0[,]π) → ((𝑠 ∈ (0[,]π) ↦ (((𝑠 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘)) / π))‘π) = (((π / 2) + 0) / π))
12891253, 1288ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ((𝑠 ∈ (0[,]π) ↦ (((𝑠 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘)) / π))‘π) = (((π / 2) + 0) / π)
1290 lbicc2 12842 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ π) → 0 ∈ (0[,]π))
129153, 54, 1248, 1290mp3an 1452 . . . . . . . . . 10 0 ∈ (0[,]π)
1292 oveq1 7152 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑠 = 0 → (𝑠 / 2) = (0 / 2))
1293 2cn 11701 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ∈ ℂ
12941293, 238div0i 11363 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0 / 2) = 0
12951292, 1294syl6eq 2872 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑠 = 0 → (𝑠 / 2) = 0)
1296 oveq2 7153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑠 = 0 → (𝑘 · 𝑠) = (𝑘 · 0))
12971259mul01d 10828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑘 ∈ (1...𝑛) → (𝑘 · 0) = 0)
12981296, 1297sylan9eq 2876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑠 = 0 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → (𝑘 · 𝑠) = 0)
12991298fveq2d 6668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑠 = 0 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → (sin‘(𝑘 · 𝑠)) = (sin‘0))
1300 sin0 15492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (sin‘0) = 0
13011299, 1300syl6eq 2872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑠 = 0 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → (sin‘(𝑘 · 𝑠)) = 0)
13021301oveq1d 7160 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑠 = 0 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → ((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘) = (0 / 𝑘))
13031276adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑠 = 0 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → (0 / 𝑘) = 0)
13041302, 1303eqtrd 2856 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑠 = 0 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → ((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘) = 0)
13051304sumeq2dv 15050 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑠 = 0 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)0)
13061305, 1283syl6eq 2872 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑠 = 0 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘) = 0)
13071295, 1306oveq12d 7163 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 = 0 → ((𝑠 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘)) = (0 + 0))
1308 00id 10804 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 + 0) = 0
13091307, 1308syl6eq 2872 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 = 0 → ((𝑠 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘)) = 0)
13101309oveq1d 7160 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 = 0 → (((𝑠 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘)) / π) = (0 / π))
13111310, 1202syl6eq 2872 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 = 0 → (((𝑠 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘)) / π) = 0)
1312 c0ex 10624 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ V
13131311, 1250, 1312fvmpt 6762 . . . . . . . . . 10 (0 ∈ (0[,]π) → ((𝑠 ∈ (0[,]π) ↦ (((𝑠 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘)) / π))‘0) = 0)
13141291, 1313ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ((𝑠 ∈ (0[,]π) ↦ (((𝑠 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘)) / π))‘0) = 0
13151289, 1314oveq12i 7157 . . . . . . . 8 (((𝑠 ∈ (0[,]π) ↦ (((𝑠 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘)) / π))‘π) − ((𝑠 ∈ (0[,]π) ↦ (((𝑠 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘)) / π))‘0)) = ((((π / 2) + 0) / π) − 0)
13161315a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (((𝑠 ∈ (0[,]π) ↦ (((𝑠 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘)) / π))‘π) − ((𝑠 ∈ (0[,]π) ↦ (((𝑠 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑛)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘)) / π))‘0)) = ((((π / 2) + 0) / π) − 0))
13171019recni 10644 . . . . . . . . . . . . 13 (π / 2) ∈ ℂ
13181317addid1i 10816 . . . . . . . . . . . 12 ((π / 2) + 0) = (π / 2)
13191318oveq1i 7155 . . . . . . . . . . 11 (((π / 2) + 0) / π) = ((π / 2) / π)
13201155, 1293, 1155, 238, 1164divdiv32i 11384 . . . . . . . . . . 11 ((π / 2) / π) = ((π / π) / 2)
13211155, 1164dividi 11362 . . . . . . . . . . . 12 (π / π) = 1
13221321oveq1i 7155 . . . . . . . . . . 11 ((π / π) / 2) = (1 / 2)
13231319, 1320, 13223eqtri 2848 . . . . . . . . . 10 (((π / 2) + 0) / π) = (1 / 2)
13241323oveq1i 7155 . . . . . . . . 9 ((((π / 2) + 0) / π) − 0) = ((1 / 2) − 0)
1325 halfcn 11841 . . . . . . . . . 10 (1 / 2) ∈ ℂ
13261325subid1i 10947 . . . . . . . . 9 ((1 / 2) − 0) = (1 / 2)
13271324, 1326eqtri 2844 . . . . . . . 8 ((((π / 2) + 0) / π) − 0) = (1 / 2)
13281327a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((((π / 2) + 0) / π) − 0) = (1 / 2))
13291251, 1316, 13283eqtrd 2860 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ∫(0(,)π)((𝐷𝑛)‘𝑠) d𝑠 = (1 / 2))
133014, 15, 258, 259, 261, 826, 263, 265, 267, 39, 40, 41, 818, 817, 837, 593, 839, 841, 26, 37, 1228, 1241, 6, 1242, 27, 1244, 1329fourierdlem95 42367 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐸𝑛) + (𝑌 / 2)) = ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)) d𝑠)
13311219, 1330syldan 591 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘1)) → ((𝐸𝑛) + (𝑌 / 2)) = ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)) d𝑠)
13321205a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑍 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑚)‘𝑠)) d𝑠))
1333 fveq2 6664 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = 𝑛 → (𝐷𝑚) = (𝐷𝑛))
13341333fveq1d 6666 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = 𝑛 → ((𝐷𝑚)‘𝑠) = ((𝐷𝑛)‘𝑠))
13351334oveq2d 7161 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑛 → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑚)‘𝑠)) = ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)))
13361335adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝑚 = 𝑛𝑠 ∈ (0(,)π)) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑚)‘𝑠)) = ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)))
13371336itgeq2dv 24311 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑛 → ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑚)‘𝑠)) d𝑠 = ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)) d𝑠)
13381337adantl 482 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 = 𝑛) → ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑚)‘𝑠)) d𝑠 = ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)) d𝑠)
133914adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)π)) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
134015adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)π)) → 𝑋 ∈ ℝ)
1341775adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)π)) → 𝑠 ∈ ℝ)
13421340, 1341readdcld 10659 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)π)) → (𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ)
13431339, 1342ffvelrnd 6845 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)π)) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℝ)
13441343adantlr 711 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℝ)
13451242dirkerf 42263 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ → (𝐷𝑛):ℝ⟶ℝ)
13461345ad2antlr 723 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → (𝐷𝑛):ℝ⟶ℝ)
1347775adantl 482 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → 𝑠 ∈ ℝ)
13481346, 1347ffvelrnd 6845 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → ((𝐷𝑛)‘𝑠) ∈ ℝ)
13491344, 1348remulcld 10660 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)) ∈ ℝ)
135014adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
135115adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 𝑋 ∈ ℝ)
1352210sseli 3962 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 ∈ (-π[,]π) → 𝑠 ∈ ℝ)
13531352adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 𝑠 ∈ ℝ)
13541351, 1353readdcld 10659 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ)
13551350, 1354ffvelrnd 6845 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℝ)
13561355adantlr 711 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℝ)
13571345ad2antlr 723 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (𝐷𝑛):ℝ⟶ℝ)
13581352adantl 482 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 𝑠 ∈ ℝ)
13591357, 1358ffvelrnd 6845 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → ((𝐷𝑛)‘𝑠) ∈ ℝ)
13601356, 1359remulcld 10660 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)) ∈ ℝ)
136147a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → -π ∈ ℝ)
13621242dirkercncf 42273 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ → (𝐷𝑛) ∈ (ℝ–cn→ℝ))
13631362adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐷𝑛) ∈ (ℝ–cn→ℝ))
1364 eqid 2821 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠))) = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)))
13651361, 1247, 825, 1166, 258, 831, 832, 833, 834, 835, 80, 836, 1363, 1364fourierdlem84 42356 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠))) ∈ 𝐿1)
1366802, 804, 1360, 1365iblss 24334 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑠 ∈ (0(,)π) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠))) ∈ 𝐿1)
13671349, 1366itgrecl 24327 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)) d𝑠 ∈ ℝ)
13681332, 1338, 1142, 1367fvmptd 6768 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑍𝑛) = ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)) d𝑠)
13691368eqcomd 2827 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)) d𝑠 = (𝑍𝑛))
13701219, 1369syldan 591 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘1)) → ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)) d𝑠 = (𝑍𝑛))
13711227, 1331, 13703eqtrrd 2861 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘1)) → (𝑍𝑛) = ((𝐸𝑛) + ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑌 / 2))‘𝑛)))
13721, 2, 1204, 1208, 1222, 1225, 1226, 1371climadd 14978 . 2 (𝜑𝑍 ⇝ (0 + (𝑌 / 2)))
13731213addid2d 10830 . 2 (𝜑 → (0 + (𝑌 / 2)) = (𝑌 / 2))
13741372, 1373breqtrd 5084 1 (𝜑𝑍 ⇝ (𝑌 / 2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  wo 841  w3a 1079   = wceq 1528  wtru 1529  wcel 2105  wne 3016  wral 3138  wrex 3139  {crab 3142  Vcvv 3495  csb 3882  cdif 3932  cun 3933  cin 3934  wss 3935  c0 4290  ifcif 4465  {csn 4559  {cpr 4561   class class class wbr 5058  cmpt 5138  dom cdm 5549  ran crn 5550  cres 5551  cio 6306   Fn wfn 6344  wf 6345  cfv 6349   Isom wiso 6350  crio 7102  (class class class)co 7145  m cmap 8396  Fincfn 8498  supcsup 8893  cc 10524  cr 10525  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529   · cmul 10531  +∞cpnf 10661  -∞cmnf 10662  *cxr 10663   < clt 10664  cle 10665  cmin 10859  -cneg 10860   / cdiv 11286  cn 11627  2c2 11681  3c3 11682  0cn0 11886  cz 11970  cuz 12232  +crp 12379  (,)cioo 12728  [,]cicc 12731  ...cfz 12882  ..^cfzo 13023   mod cmo 13227  chash 13680  abscabs 14583  cli 14831  Σcsu 15032  sincsin 15407  πcpi 15410  TopOpenctopn 16685  topGenctg 16701  fldccnfld 20475  intcnt 21555  cnccncf 23413  volcvol 23993  𝐿1cibl 24147  citg 24148   lim climc 24389   D cdv 24390
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-13 2383  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7450  ax-inf2 9093  ax-cc 9846  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604  ax-addf 10605  ax-mulf 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-symdif 4218  df-nul 4291  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4833  df-int 4870  df-iun 4914  df-iin 4915  df-disj 5024  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-se 5509  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-isom 6358  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7398  df-ofr 7399  df-om 7569  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-supp 7822  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-1o 8093  df-2o 8094  df-oadd 8097  df-omul 8098  df-er 8279  df-map 8398  df-pm 8399  df-ixp 8451  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-fin 8502  df-fsupp 8823  df-fi 8864  df-sup 8895  df-inf 8896  df-oi 8963  df-dju 9319  df-card 9357  df-acn 9360  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11628  df-2 11689  df-3 11690  df-4 11691  df-5 11692  df-6 11693  df-7 11694  df-8 11695  df-9 11696  df-n0 11887  df-xnn0 11957  df-z 11971  df-dec 12088  df-uz 12233  df-q 12338  df-rp 12380  df-xneg 12497  df-xadd 12498  df-xmul 12499  df-ioo 12732  df-ioc 12733  df-ico 12734  df-icc 12735  df-fz 12883  df-fzo 13024  df-fl 13152  df-mod 13228  df-seq 13360  df-exp 13420  df-fac 13624  df-bc 13653  df-hash 13681  df-shft 14416  df-cj 14448  df-re 14449  df-im 14450  df-sqrt 14584  df-abs 14585  df-limsup 14818  df-clim 14835  df-rlim 14836  df-sum 15033  df-ef 15411  df-sin 15413  df-cos 15414  df-pi 15416  df-struct 16475  df-ndx 16476  df-slot 16477  df-base 16479  df-sets 16480  df-ress 16481  df-plusg 16568  df-mulr 16569  df-starv 16570  df-sca 16571  df-vsca 16572  df-ip 16573  df-tset 16574  df-ple 16575  df-ds 16577  df-unif 16578  df-hom 16579  df-cco 16580  df-rest 16686  df-topn 16687  df-0g 16705  df-gsum 16706  df-topgen 16707  df-pt 16708  df-prds 16711  df-xrs 16765  df-qtop 16770  df-imas 16771  df-xps 16773  df-mre 16847  df-mrc 16848  df-acs 16850  df-mgm 17842  df-sgrp 17891  df-mnd 17902  df-submnd 17947  df-mulg 18165  df-cntz 18387  df-cmn 18839  df-psmet 20467  df-xmet 20468  df-met 20469  df-bl 20470  df-mopn 20471  df-fbas 20472  df-fg 20473  df-cnfld 20476  df-top 21432  df-topon 21449  df-topsp 21471  df-bases 21484  df-cld 21557  df-ntr 21558  df-cls 21559  df-nei 21636  df-lp 21674  df-perf 21675  df-cn 21765  df-cnp 21766  df-t1 21852  df-haus 21853  df-cmp 21925  df-tx 22100  df-hmeo 22293  df-fil 22384  df-fm 22476  df-flim 22477  df-flf 22478  df-xms 22859  df-ms 22860  df-tms 22861  df-cncf 23415  df-ovol 23994  df-vol 23995  df-mbf 24149  df-itg1 24150  df-itg2 24151  df-ibl 24152  df-itg 24153  df-0p 24200  df-limc 24393  df-dv 24394
This theorem is referenced by:  fourierdlem112  42384
  Copyright terms: Public domain W3C validator