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Theorem fourierdlem104 38903
Description: The half upper part of the integral equal to the fourier partial sum, converges to half the right limit of the original function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem104.f (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
fourierdlem104.xre (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem104.p 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = (-π + 𝑋) ∧ (𝑝𝑚) = (π + 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
fourierdlem104.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
fourierdlem104.v (𝜑𝑉 ∈ (𝑃𝑀))
fourierdlem104.x (𝜑𝑋 ∈ ran 𝑉)
fourierdlem104.fcn ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
fourierdlem104.fbdioo ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))(abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑤)
fourierdlem104.fdvcn ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))–cn→ℝ))
fourierdlem104.fdvbd ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧)
fourierdlem104.r ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑉𝑖)))
fourierdlem104.l ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑉‘(𝑖 + 1))))
fourierdlem104.h 𝐻 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠)))
fourierdlem104.k 𝐾 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
fourierdlem104.u 𝑈 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠)))
fourierdlem104.s 𝑆 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))
fourierdlem104.g 𝐺 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠)))
fourierdlem104.z 𝑍 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑚)‘𝑠)) d𝑠)
fourierdlem104.e 𝐸 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫(0(,)π)(𝐺𝑠) d𝑠 / π))
fourierdlem104.y (𝜑𝑌 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋))
fourierdlem104.w (𝜑𝑊 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋))
fourierdlem104.a (𝜑𝐴 ∈ (((ℝ D 𝐹) ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋))
fourierdlem104.b (𝜑𝐵 ∈ (((ℝ D 𝐹) ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋))
fourierdlem104.d 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
fourierdlem104.o 𝑂 = (𝑈 ↾ (𝑑[,]π))
fourierdlem104.t 𝑇 = ({𝑑, π} ∪ (ran 𝑄 ∩ (𝑑(,)π)))
fourierdlem104.n 𝑁 = ((#‘𝑇) − 1)
fourierdlem104.j 𝐽 = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝑇))
fourierdlem104.q 𝑄 = (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑉𝑖) − 𝑋))
fourierdlem104.1 𝐶 = (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1))))
fourierdlem104.ch (𝜒 ↔ (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ (abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem104 (𝜑𝑍 ⇝ (𝑌 / 2))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑠   𝐵,𝑠   𝐶,𝑖,𝑡,𝑤,𝑧   𝐷,𝑖,𝑚,𝑠   𝑛,𝐸   𝑖,𝐹,𝑘,𝑙,𝑠,𝑡   𝑚,𝐹,𝑘   𝑤,𝐹,𝑧,𝑘,𝑠   𝑒,𝐺,𝑘,𝑠   𝑖,𝐺,𝑡   𝑖,𝐻,𝑠   𝑘,𝐽,𝑙,𝑠   𝑓,𝐽,𝑘   𝑖,𝐽,𝑡   𝑚,𝐽   𝑤,𝐽,𝑧   𝐾,𝑠   𝐿,𝑙,𝑠,𝑡   𝑘,𝑀,𝑙,𝑠,𝑖,𝑡   𝑚,𝑀,𝑝,𝑖   𝑖,𝑁,𝑘,𝑙,𝑠,𝑡   𝑒,𝑁,𝑙   𝑓,𝑁   𝑚,𝑁   𝑤,𝑁,𝑧   𝑒,𝑂,𝑙,𝑠,𝑘   𝑡,𝑂   𝑄,𝑙,𝑠   𝑄,𝑓   𝑄,𝑖,𝑡   𝑄,𝑝   𝑅,𝑙,𝑠,𝑡   𝑆,𝑠   𝑇,𝑓   𝑈,𝑑,𝑘,𝑠,𝑙   𝑈,𝑛,𝑘,𝑠   𝑖,𝑉,𝑘,𝑠   𝑉,𝑝   𝑡,𝑉   𝑊,𝑠   𝑖,𝑋,𝑘,𝑙,𝑠,𝑡   𝑚,𝑋,𝑝   𝑤,𝑋,𝑧   𝑖,𝑌,𝑘,𝑙,𝑠,𝑡   𝑚,𝑌,𝑛,𝑖   𝑤,𝑌,𝑧   𝑛,𝑍   𝑒,𝑑   𝑖,𝑑,𝜑,𝑡,𝑘,𝑙,𝑠   𝜑,𝑒   𝜒,𝑠   𝑓,𝑑,𝜑   𝑤,𝑑,𝑧,𝜑   𝑒,𝑛,𝜑   𝜑,𝑚
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑝)   𝜒(𝑧,𝑤,𝑡,𝑒,𝑓,𝑖,𝑘,𝑚,𝑛,𝑝,𝑑,𝑙)   𝐴(𝑧,𝑤,𝑡,𝑒,𝑓,𝑖,𝑘,𝑚,𝑛,𝑝,𝑑,𝑙)   𝐵(𝑧,𝑤,𝑡,𝑒,𝑓,𝑖,𝑘,𝑚,𝑛,𝑝,𝑑,𝑙)   𝐶(𝑒,𝑓,𝑘,𝑚,𝑛,𝑠,𝑝,𝑑,𝑙)   𝐷(𝑧,𝑤,𝑡,𝑒,𝑓,𝑘,𝑛,𝑝,𝑑,𝑙)   𝑃(𝑧,𝑤,𝑡,𝑒,𝑓,𝑖,𝑘,𝑚,𝑛,𝑠,𝑝,𝑑,𝑙)   𝑄(𝑧,𝑤,𝑒,𝑘,𝑚,𝑛,𝑑)   𝑅(𝑧,𝑤,𝑒,𝑓,𝑖,𝑘,𝑚,𝑛,𝑝,𝑑)   𝑆(𝑧,𝑤,𝑡,𝑒,𝑓,𝑖,𝑘,𝑚,𝑛,𝑝,𝑑,𝑙)   𝑇(𝑧,𝑤,𝑡,𝑒,𝑖,𝑘,𝑚,𝑛,𝑠,𝑝,𝑑,𝑙)   𝑈(𝑧,𝑤,𝑡,𝑒,𝑓,𝑖,𝑚,𝑝)   𝐸(𝑧,𝑤,𝑡,𝑒,𝑓,𝑖,𝑘,𝑚,𝑠,𝑝,𝑑,𝑙)   𝐹(𝑒,𝑓,𝑛,𝑝,𝑑)   𝐺(𝑧,𝑤,𝑓,𝑚,𝑛,𝑝,𝑑,𝑙)   𝐻(𝑧,𝑤,𝑡,𝑒,𝑓,𝑘,𝑚,𝑛,𝑝,𝑑,𝑙)   𝐽(𝑒,𝑛,𝑝,𝑑)   𝐾(𝑧,𝑤,𝑡,𝑒,𝑓,𝑖,𝑘,𝑚,𝑛,𝑝,𝑑,𝑙)   𝐿(𝑧,𝑤,𝑒,𝑓,𝑖,𝑘,𝑚,𝑛,𝑝,𝑑)   𝑀(𝑧,𝑤,𝑒,𝑓,𝑛,𝑑)   𝑁(𝑛,𝑝,𝑑)   𝑂(𝑧,𝑤,𝑓,𝑖,𝑚,𝑛,𝑝,𝑑)   𝑉(𝑧,𝑤,𝑒,𝑓,𝑚,𝑛,𝑑,𝑙)   𝑊(𝑧,𝑤,𝑡,𝑒,𝑓,𝑖,𝑘,𝑚,𝑛,𝑝,𝑑,𝑙)   𝑋(𝑒,𝑓,𝑛,𝑑)   𝑌(𝑒,𝑓,𝑝,𝑑)   𝑍(𝑧,𝑤,𝑡,𝑒,𝑓,𝑖,𝑘,𝑚,𝑠,𝑝,𝑑,𝑙)

Proof of Theorem fourierdlem104
Dummy variables 𝑏 𝑟 𝑐 𝑢 𝑗 𝑦 𝑥 𝑣 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2605 . . 3 (ℤ‘1) = (ℤ‘1)
2 1zzd 11237 . . 3 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
3 nfv 1828 . . . . 5 𝑛𝜑
4 nfmpt1 4665 . . . . 5 𝑛(𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫(0(,)π)(𝐺𝑠) d𝑠)
5 nfmpt1 4665 . . . . 5 𝑛(𝑛 ∈ ℕ ↦ π)
6 fourierdlem104.e . . . . . 6 𝐸 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫(0(,)π)(𝐺𝑠) d𝑠 / π))
7 nfmpt1 4665 . . . . . 6 𝑛(𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫(0(,)π)(𝐺𝑠) d𝑠 / π))
86, 7nfcxfr 2744 . . . . 5 𝑛𝐸
9 nnuz 11551 . . . . 5 ℕ = (ℤ‘1)
10 elioore 12028 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑑 ∈ (0(,)π) → 𝑑 ∈ ℝ)
1110adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → 𝑑 ∈ ℝ)
12 pire 23927 . . . . . . . . . . . . . . . 16 π ∈ ℝ
1312a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → π ∈ ℝ)
14 fourierdlem104.f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
15 fourierdlem104.xre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
16 ioossre 12058 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑋(,)+∞) ⊆ ℝ
1716a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝑋(,)+∞) ⊆ ℝ)
1814, 17fssresd 5965 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)):(𝑋(,)+∞)⟶ℝ)
19 ioosscn 38363 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑋(,)+∞) ⊆ ℂ
2019a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝑋(,)+∞) ⊆ ℂ)
21 eqid 2605 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
22 pnfxr 11777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 +∞ ∈ ℝ*
2322a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
2415ltpnfd 11788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑𝑋 < +∞)
2521, 23, 15, 24lptioo1cn 38513 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝑋 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝑋(,)+∞)))
26 fourierdlem104.y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝑌 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋))
2718, 20, 25, 26limcrecl 38496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
28 ioossre 12058 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (-∞(,)𝑋) ⊆ ℝ
2928a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (-∞(,)𝑋) ⊆ ℝ)
3014, 29fssresd 5965 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)):(-∞(,)𝑋)⟶ℝ)
31 ioosscn 38363 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (-∞(,)𝑋) ⊆ ℂ
3231a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (-∞(,)𝑋) ⊆ ℂ)
33 mnfxr 11779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 -∞ ∈ ℝ*
3433a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → -∞ ∈ ℝ*)
3515mnfltd 11791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → -∞ < 𝑋)
3621, 34, 15, 35lptioo2cn 38512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝑋 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘(-∞(,)𝑋)))
37 fourierdlem104.w . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝑊 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋))
3830, 32, 36, 37limcrecl 38496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝑊 ∈ ℝ)
39 fourierdlem104.h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝐻 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠)))
40 fourierdlem104.k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝐾 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
41 fourierdlem104.u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑈 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠)))
4214, 15, 27, 38, 39, 40, 41fourierdlem55 38854 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑈:(-π[,]π)⟶ℝ)
43 ax-resscn 9845 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ℝ ⊆ ℂ
4443a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
4542, 44fssd 5952 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑈:(-π[,]π)⟶ℂ)
4645adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → 𝑈:(-π[,]π)⟶ℂ)
4712renegcli 10189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 -π ∈ ℝ
4847a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → -π ∈ ℝ)
4947a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑑 ∈ (0(,)π) → -π ∈ ℝ)
50 0red 9893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑑 ∈ (0(,)π) → 0 ∈ ℝ)
51 negpilt0 38232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 -π < 0
5251a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑑 ∈ (0(,)π) → -π < 0)
53 0xr 9938 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 0 ∈ ℝ*
5412rexri 9944 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 π ∈ ℝ*
55 ioogtlb 38364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*𝑑 ∈ (0(,)π)) → 0 < 𝑑)
5653, 54, 55mp3an12 1405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑑 ∈ (0(,)π) → 0 < 𝑑)
5749, 50, 10, 52, 56lttrd 10045 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑑 ∈ (0(,)π) → -π < 𝑑)
5849, 10, 57ltled 10032 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑑 ∈ (0(,)π) → -π ≤ 𝑑)
5958adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → -π ≤ 𝑑)
6013leidd 10439 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → π ≤ π)
61 iccss 12064 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((-π ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) ∧ (-π ≤ 𝑑 ∧ π ≤ π)) → (𝑑[,]π) ⊆ (-π[,]π))
6248, 13, 59, 60, 61syl22anc 1318 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → (𝑑[,]π) ⊆ (-π[,]π))
6346, 62fssresd 5965 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → (𝑈 ↾ (𝑑[,]π)):(𝑑[,]π)⟶ℂ)
64 fourierdlem104.o . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑂 = (𝑈 ↾ (𝑑[,]π))
6564a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → 𝑂 = (𝑈 ↾ (𝑑[,]π)))
6665feq1d 5925 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → (𝑂:(𝑑[,]π)⟶ℂ ↔ (𝑈 ↾ (𝑑[,]π)):(𝑑[,]π)⟶ℂ))
6763, 66mpbird 245 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → 𝑂:(𝑑[,]π)⟶ℂ)
68 fourierdlem104.n . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑁 = ((#‘𝑇) − 1)
6912elexi 3181 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 π ∈ V
7069prid2 4237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 π ∈ {𝑑, π}
71 elun1 3737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (π ∈ {𝑑, π} → π ∈ ({𝑑, π} ∪ (ran 𝑄 ∩ (𝑑(,)π))))
7270, 71ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 π ∈ ({𝑑, π} ∪ (ran 𝑄 ∩ (𝑑(,)π)))
73 fourierdlem104.t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑇 = ({𝑑, π} ∪ (ran 𝑄 ∩ (𝑑(,)π)))
7472, 73eleqtrri 2682 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 π ∈ 𝑇
7574ne0ii 3877 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑇 ≠ ∅
7675a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝑇 ≠ ∅)
77 prfi 8093 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 {𝑑, π} ∈ Fin
7877a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → {𝑑, π} ∈ Fin)
79 fzfi 12584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (0...𝑀) ∈ Fin
80 fourierdlem104.q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 𝑄 = (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑉𝑖) − 𝑋))
8180rnmptfi 38145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((0...𝑀) ∈ Fin → ran 𝑄 ∈ Fin)
8279, 81ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ran 𝑄 ∈ Fin
83 infi 8042 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (ran 𝑄 ∈ Fin → (ran 𝑄 ∩ (𝑑(,)π)) ∈ Fin)
8482, 83mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → (ran 𝑄 ∩ (𝑑(,)π)) ∈ Fin)
85 unfi 8085 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (({𝑑, π} ∈ Fin ∧ (ran 𝑄 ∩ (𝑑(,)π)) ∈ Fin) → ({𝑑, π} ∪ (ran 𝑄 ∩ (𝑑(,)π))) ∈ Fin)
8678, 84, 85syl2anc 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → ({𝑑, π} ∪ (ran 𝑄 ∩ (𝑑(,)π))) ∈ Fin)
8773, 86syl5eqel 2687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝑇 ∈ Fin)
88 hashnncl 12966 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑇 ∈ Fin → ((#‘𝑇) ∈ ℕ ↔ 𝑇 ≠ ∅))
8987, 88syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ((#‘𝑇) ∈ ℕ ↔ 𝑇 ≠ ∅))
9076, 89mpbird 245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (#‘𝑇) ∈ ℕ)
91 nnm1nn0 11177 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((#‘𝑇) ∈ ℕ → ((#‘𝑇) − 1) ∈ ℕ0)
9290, 91syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((#‘𝑇) − 1) ∈ ℕ0)
9368, 92syl5eqel 2687 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
9493adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
95 0red 9893 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → 0 ∈ ℝ)
96 1red 9907 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → 1 ∈ ℝ)
9794nn0red 11195 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → 𝑁 ∈ ℝ)
98 0lt1 10395 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 0 < 1
9998a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → 0 < 1)
100 2re 10933 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2 ∈ ℝ
101100a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → 2 ∈ ℝ)
10290nnred 10878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (#‘𝑇) ∈ ℝ)
103102adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → (#‘𝑇) ∈ ℝ)
104 iooltub 38382 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*𝑑 ∈ (0(,)π)) → 𝑑 < π)
10553, 54, 104mp3an12 1405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑑 ∈ (0(,)π) → 𝑑 < π)
10610, 105ltned 10020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑑 ∈ (0(,)π) → 𝑑 ≠ π)
107106adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → 𝑑 ≠ π)
108 hashprg 12991 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑑 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (𝑑 ≠ π ↔ (#‘{𝑑, π}) = 2))
10911, 12, 108sylancl 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → (𝑑 ≠ π ↔ (#‘{𝑑, π}) = 2))
110107, 109mpbid 220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → (#‘{𝑑, π}) = 2)
111110eqcomd 2611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → 2 = (#‘{𝑑, π}))
11287adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → 𝑇 ∈ Fin)
113 ssun1 3733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 {𝑑, π} ⊆ ({𝑑, π} ∪ (ran 𝑄 ∩ (𝑑(,)π)))
114113, 73sseqtr4i 3596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 {𝑑, π} ⊆ 𝑇
115 hashssle 38252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑇 ∈ Fin ∧ {𝑑, π} ⊆ 𝑇) → (#‘{𝑑, π}) ≤ (#‘𝑇))
116112, 114, 115sylancl 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → (#‘{𝑑, π}) ≤ (#‘𝑇))
117111, 116eqbrtrd 4595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → 2 ≤ (#‘𝑇))
118101, 103, 96, 117lesub1dd 10488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → (2 − 1) ≤ ((#‘𝑇) − 1))
119 1e2m1 10979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 = (2 − 1)
120118, 119, 683brtr4g 4607 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → 1 ≤ 𝑁)
12195, 96, 97, 99, 120ltletrd 10044 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → 0 < 𝑁)
122121gt0ne0d 10437 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → 𝑁 ≠ 0)
123 elnnne0 11149 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ≠ 0))
12494, 122, 123sylanbrc 694 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → 𝑁 ∈ ℕ)
125 fourierdlem104.j . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐽 = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝑇))
12611leidd 10439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → 𝑑𝑑)
12712a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑑 ∈ (0(,)π) → π ∈ ℝ)
12810, 127, 105ltled 10032 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑑 ∈ (0(,)π) → 𝑑 ≤ π)
129128adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → 𝑑 ≤ π)
13011, 13, 11, 126, 129eliccd 38373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → 𝑑 ∈ (𝑑[,]π))
13111, 13, 13, 129, 60eliccd 38373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → π ∈ (𝑑[,]π))
132130, 131jca 552 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → (𝑑 ∈ (𝑑[,]π) ∧ π ∈ (𝑑[,]π)))
133 vex 3171 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑑 ∈ V
134133, 69prss 4286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑑 ∈ (𝑑[,]π) ∧ π ∈ (𝑑[,]π)) ↔ {𝑑, π} ⊆ (𝑑[,]π))
135132, 134sylib 206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → {𝑑, π} ⊆ (𝑑[,]π))
136 inss2 3791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (ran 𝑄 ∩ (𝑑(,)π)) ⊆ (𝑑(,)π)
137136a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → (ran 𝑄 ∩ (𝑑(,)π)) ⊆ (𝑑(,)π))
138 ioossicc 12082 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑑(,)π) ⊆ (𝑑[,]π)
139137, 138syl6ss 3575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → (ran 𝑄 ∩ (𝑑(,)π)) ⊆ (𝑑[,]π))
140135, 139unssd 3746 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → ({𝑑, π} ∪ (ran 𝑄 ∩ (𝑑(,)π))) ⊆ (𝑑[,]π))
14173, 140syl5eqss 3607 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → 𝑇 ⊆ (𝑑[,]π))
142133prid1 4236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑑 ∈ {𝑑, π}
143 elun1 3737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑑 ∈ {𝑑, π} → 𝑑 ∈ ({𝑑, π} ∪ (ran 𝑄 ∩ (𝑑(,)π))))
144142, 143ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑑 ∈ ({𝑑, π} ∪ (ran 𝑄 ∩ (𝑑(,)π)))
145144, 73eleqtrri 2682 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑑𝑇
146145a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → 𝑑𝑇)
14774a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → π ∈ 𝑇)
148112, 68, 125, 11, 13, 141, 146, 147fourierdlem52 38851 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → ((𝐽:(0...𝑁)⟶(𝑑[,]π) ∧ (𝐽‘0) = 𝑑) ∧ (𝐽𝑁) = π))
149148simplld 786 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → 𝐽:(0...𝑁)⟶(𝑑[,]π))
150148simplrd 788 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → (𝐽‘0) = 𝑑)
151148simprd 477 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → (𝐽𝑁) = π)
152 elfzoelz 12290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ (0..^𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
153152zred 11310 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ (0..^𝑁) → 𝑘 ∈ ℝ)
154153adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑘 ∈ ℝ)
155154ltp1d 10799 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑘 < (𝑘 + 1))
15610, 127jca 552 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑑 ∈ (0(,)π) → (𝑑 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ))
157133, 69prss 4286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑑 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) ↔ {𝑑, π} ⊆ ℝ)
158156, 157sylib 206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑑 ∈ (0(,)π) → {𝑑, π} ⊆ ℝ)
159158adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → {𝑑, π} ⊆ ℝ)
160 ioossre 12058 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑑(,)π) ⊆ ℝ
161136, 160sstri 3572 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (ran 𝑄 ∩ (𝑑(,)π)) ⊆ ℝ
162161a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → (ran 𝑄 ∩ (𝑑(,)π)) ⊆ ℝ)
163159, 162unssd 3746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → ({𝑑, π} ∪ (ran 𝑄 ∩ (𝑑(,)π))) ⊆ ℝ)
16473, 163syl5eqss 3607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → 𝑇 ⊆ ℝ)
165112, 164, 125, 68fourierdlem36 38836 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → 𝐽 Isom < , < ((0...𝑁), 𝑇))
166165adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐽 Isom < , < ((0...𝑁), 𝑇))
167 elfzofz 12305 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ (0..^𝑁) → 𝑘 ∈ (0...𝑁))
168167adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑘 ∈ (0...𝑁))
169 fzofzp1 12382 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ (0..^𝑁) → (𝑘 + 1) ∈ (0...𝑁))
170169adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑘 + 1) ∈ (0...𝑁))
171 isorel 6450 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐽 Isom < , < ((0...𝑁), 𝑇) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑘 + 1) ∈ (0...𝑁))) → (𝑘 < (𝑘 + 1) ↔ (𝐽𝑘) < (𝐽‘(𝑘 + 1))))
172166, 168, 170, 171syl12anc 1315 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑘 < (𝑘 + 1) ↔ (𝐽𝑘) < (𝐽‘(𝑘 + 1))))
173155, 172mpbid 220 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐽𝑘) < (𝐽‘(𝑘 + 1)))
17442adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → 𝑈:(-π[,]π)⟶ℝ)
175174, 62feqresmpt 6141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → (𝑈 ↾ (𝑑[,]π)) = (𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ (𝑈𝑠)))
17662sselda 3563 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → 𝑠 ∈ (-π[,]π))
17714, 15, 27, 38, 39fourierdlem9 38809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑𝐻:(-π[,]π)⟶ℝ)
178177ad2antrr 757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → 𝐻:(-π[,]π)⟶ℝ)
179178, 176ffvelrnd 6249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → (𝐻𝑠) ∈ ℝ)
18040fourierdlem43 38843 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 𝐾:(-π[,]π)⟶ℝ
181180a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → 𝐾:(-π[,]π)⟶ℝ)
182181, 176ffvelrnd 6249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → (𝐾𝑠) ∈ ℝ)
183179, 182remulcld 9922 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → ((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠)) ∈ ℝ)
18441fvmpt2 6181 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠)) ∈ ℝ) → (𝑈𝑠) = ((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠)))
185176, 183, 184syl2anc 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → (𝑈𝑠) = ((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠)))
186 0red 9893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑑 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → 0 ∈ ℝ)
18710adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑑 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → 𝑑 ∈ ℝ)
18812a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑑 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → π ∈ ℝ)
189 simpr 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑑 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → 𝑠 ∈ (𝑑[,]π))
190 eliccre 38375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑑 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → 𝑠 ∈ ℝ)
191187, 188, 189, 190syl3anc 1317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑑 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → 𝑠 ∈ ℝ)
19256adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑑 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → 0 < 𝑑)
193187rexrd 9941 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑑 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → 𝑑 ∈ ℝ*)
19454a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑑 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → π ∈ ℝ*)
195 iccgelb 12053 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑑 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → 𝑑𝑠)
196193, 194, 189, 195syl3anc 1317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑑 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → 𝑑𝑠)
197186, 187, 191, 192, 196ltletrd 10044 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑑 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → 0 < 𝑠)
198197gt0ne0d 10437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑑 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → 𝑠 ≠ 0)
199198adantll 745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → 𝑠 ≠ 0)
200199neneqd 2782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → ¬ 𝑠 = 0)
201200iffalsed 4042 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠)) = (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠))
202197adantll 745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → 0 < 𝑠)
203202iftrued 4039 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊) = 𝑌)
204203oveq2d 6539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) = ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌))
205204oveq1d 6538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠) = (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠))
206201, 205eqtrd 2639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠)) = (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠))
20714ad2antrr 757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
20815ad2antrr 757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → 𝑋 ∈ ℝ)
209 iccssre 12078 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((-π ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (-π[,]π) ⊆ ℝ)
21047, 12, 209mp2an 703 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (-π[,]π) ⊆ ℝ
211210, 176sseldi 3561 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → 𝑠 ∈ ℝ)
212208, 211readdcld 9921 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → (𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ)
213207, 212ffvelrnd 6249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℝ)
21427ad2antrr 757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → 𝑌 ∈ ℝ)
215213, 214resubcld 10305 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) ∈ ℝ)
216215, 211, 199redivcld 10698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠) ∈ ℝ)
217206, 216eqeltrd 2683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠)) ∈ ℝ)
21839fvmpt2 6181 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠)) ∈ ℝ) → (𝐻𝑠) = if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠)))
219176, 217, 218syl2anc 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → (𝐻𝑠) = if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠)))
220219, 201, 2053eqtrd 2643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → (𝐻𝑠) = (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠))
221188renegcld 10304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑑 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → -π ∈ ℝ)
22251a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑑 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → -π < 0)
223221, 186, 191, 222, 197lttrd 10045 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑑 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → -π < 𝑠)
224221, 191, 223ltled 10032 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑑 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → -π ≤ 𝑠)
225 iccleub 12052 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑑 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → 𝑠 ≤ π)
226193, 194, 189, 225syl3anc 1317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑑 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → 𝑠 ≤ π)
227221, 188, 191, 224, 226eliccd 38373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑑 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → 𝑠 ∈ (-π[,]π))
228198neneqd 2782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑑 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → ¬ 𝑠 = 0)
229228iffalsed 4042 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑑 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
230100a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑑 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → 2 ∈ ℝ)
231191rehalfcld 11122 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑑 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → (𝑠 / 2) ∈ ℝ)
232231resincld 14654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑑 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → (sin‘(𝑠 / 2)) ∈ ℝ)
233230, 232remulcld 9922 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑑 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ ℝ)
234 2cnd 10936 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑑 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → 2 ∈ ℂ)
235191recnd 9920 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑑 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → 𝑠 ∈ ℂ)
236235halfcld 11120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑑 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → (𝑠 / 2) ∈ ℂ)
237236sincld 14641 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑑 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → (sin‘(𝑠 / 2)) ∈ ℂ)
238 2ne0 10956 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2 ≠ 0
239238a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑑 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → 2 ≠ 0)
240 fourierdlem44 38844 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝑠 ≠ 0) → (sin‘(𝑠 / 2)) ≠ 0)
241227, 198, 240syl2anc 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑑 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → (sin‘(𝑠 / 2)) ≠ 0)
242234, 237, 239, 241mulne0d 10524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑑 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ≠ 0)
243191, 233, 242redivcld 10698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑑 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ∈ ℝ)
244229, 243eqeltrd 2683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑑 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ∈ ℝ)
24540fvmpt2 6181 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ∈ ℝ) → (𝐾𝑠) = if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
246227, 244, 245syl2anc 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑑 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → (𝐾𝑠) = if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
247246adantll 745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → (𝐾𝑠) = if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
248220, 247oveq12d 6541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → ((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠)) = ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠) · if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
249200iffalsed 4042 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
250249oveq2d 6539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠) · if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) = ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
251185, 248, 2503eqtrd 2643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → (𝑈𝑠) = ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
252251mpteq2dva 4662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → (𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ (𝑈𝑠)) = (𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
25365, 175, 2523eqtrd 2643 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → 𝑂 = (𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
254253adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑂 = (𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
255254reseq1d 5299 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑂 ↾ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) = ((𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ↾ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))))
25614adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
25715adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → 𝑋 ∈ ℝ)
258 fourierdlem104.p . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = (-π + 𝑋) ∧ (𝑝𝑚) = (π + 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
259 fourierdlem104.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
260259adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → 𝑀 ∈ ℕ)
261 fourierdlem104.v . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑉 ∈ (𝑃𝑀))
262261adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → 𝑉 ∈ (𝑃𝑀))
263 fourierdlem104.fcn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
264263adantlr 746 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
265 fourierdlem104.r . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑉𝑖)))
266265adantlr 746 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑉𝑖)))
267 fourierdlem104.l . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑉‘(𝑖 + 1))))
268267adantlr 746 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑉‘(𝑖 + 1))))
269105adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → 𝑑 < π)
27050, 10ltnled 10031 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑑 ∈ (0(,)π) → (0 < 𝑑 ↔ ¬ 𝑑 ≤ 0))
27156, 270mpbid 220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑑 ∈ (0(,)π) → ¬ 𝑑 ≤ 0)
272271intn3an2d 1434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑑 ∈ (0(,)π) → ¬ (0 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ≤ 0 ∧ 0 ≤ π))
273 elicc2 12061 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑑 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (0 ∈ (𝑑[,]π) ↔ (0 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ≤ 0 ∧ 0 ≤ π)))
27410, 12, 273sylancl 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑑 ∈ (0(,)π) → (0 ∈ (𝑑[,]π) ↔ (0 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ≤ 0 ∧ 0 ≤ π)))
275272, 274mtbird 313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑑 ∈ (0(,)π) → ¬ 0 ∈ (𝑑[,]π))
276275adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → ¬ 0 ∈ (𝑑[,]π))
27727adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → 𝑌 ∈ ℝ)
278 eqid 2605 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) = (𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
279 eqid 2605 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘((𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1)), (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) − 𝑌) / (𝐽‘(𝑘 + 1))) · ((𝐽‘(𝑘 + 1)) / (2 · (sin‘((𝐽‘(𝑘 + 1)) / 2))))) = (((if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘((𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1)), (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) − 𝑌) / (𝐽‘(𝑘 + 1))) · ((𝐽‘(𝑘 + 1)) / (2 · (sin‘((𝐽‘(𝑘 + 1)) / 2)))))
280 eqid 2605 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((if((𝐽𝑘) = (𝑄‘(𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1))))), (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖𝑅, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽𝑘)))) − 𝑌) / (𝐽𝑘)) · ((𝐽𝑘) / (2 · (sin‘((𝐽𝑘) / 2))))) = (((if((𝐽𝑘) = (𝑄‘(𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1))))), (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖𝑅, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽𝑘)))) − 𝑌) / (𝐽𝑘)) · ((𝐽𝑘) / (2 · (sin‘((𝐽𝑘) / 2)))))
281 fveq2 6084 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑙 = 𝑖 → (𝑄𝑙) = (𝑄𝑖))
282 oveq1 6530 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑙 = 𝑖 → (𝑙 + 1) = (𝑖 + 1))
283282fveq2d 6088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑙 = 𝑖 → (𝑄‘(𝑙 + 1)) = (𝑄‘(𝑖 + 1)))
284281, 283oveq12d 6541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑙 = 𝑖 → ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1))) = ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
285284sseq2d 3591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑙 = 𝑖 → (((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1))) ↔ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
286285cbvriotav 6496 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) = (𝑖 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
287256, 257, 258, 260, 262, 264, 266, 268, 11, 13, 269, 62, 276, 277, 278, 80, 73, 68, 125, 279, 280, 286fourierdlem86 38885 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (((((if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘((𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1)), (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) − 𝑌) / (𝐽‘(𝑘 + 1))) · ((𝐽‘(𝑘 + 1)) / (2 · (sin‘((𝐽‘(𝑘 + 1)) / 2))))) ∈ (((𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ↾ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) lim (𝐽‘(𝑘 + 1))) ∧ (((if((𝐽𝑘) = (𝑄‘(𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1))))), (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖𝑅, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽𝑘)))) − 𝑌) / (𝐽𝑘)) · ((𝐽𝑘) / (2 · (sin‘((𝐽𝑘) / 2))))) ∈ (((𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ↾ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) lim (𝐽𝑘))) ∧ ((𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ↾ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) ∈ (((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))–cn→ℂ)))
288287simprd 477 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ↾ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) ∈ (((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))–cn→ℂ))
289255, 288eqeltrd 2683 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑂 ↾ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) ∈ (((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))–cn→ℂ))
290287simplld 786 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (((if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘((𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1)), (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) − 𝑌) / (𝐽‘(𝑘 + 1))) · ((𝐽‘(𝑘 + 1)) / (2 · (sin‘((𝐽‘(𝑘 + 1)) / 2))))) ∈ (((𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ↾ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) lim (𝐽‘(𝑘 + 1))))
291254eqcomd 2611 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) = 𝑂)
292291reseq1d 5299 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ↾ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) = (𝑂 ↾ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))))
293292oveq1d 6538 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (((𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ↾ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) lim (𝐽‘(𝑘 + 1))) = ((𝑂 ↾ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) lim (𝐽‘(𝑘 + 1))))
294290, 293eleqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (((if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘((𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1)), (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) − 𝑌) / (𝐽‘(𝑘 + 1))) · ((𝐽‘(𝑘 + 1)) / (2 · (sin‘((𝐽‘(𝑘 + 1)) / 2))))) ∈ ((𝑂 ↾ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) lim (𝐽‘(𝑘 + 1))))
295287simplrd 788 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (((if((𝐽𝑘) = (𝑄‘(𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1))))), (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖𝑅, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽𝑘)))) − 𝑌) / (𝐽𝑘)) · ((𝐽𝑘) / (2 · (sin‘((𝐽𝑘) / 2))))) ∈ (((𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ↾ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) lim (𝐽𝑘)))
296292oveq1d 6538 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (((𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ↾ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) lim (𝐽𝑘)) = ((𝑂 ↾ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) lim (𝐽𝑘)))
297295, 296eleqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (((if((𝐽𝑘) = (𝑄‘(𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1))))), (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖𝑅, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽𝑘)))) − 𝑌) / (𝐽𝑘)) · ((𝐽𝑘) / (2 · (sin‘((𝐽𝑘) / 2))))) ∈ ((𝑂 ↾ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) lim (𝐽𝑘)))
298 eqid 2605 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ℝ D 𝑂) = (ℝ D 𝑂)
29967adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑂:(𝑑[,]π)⟶ℂ)
30011ad2antrr 757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → 𝑑 ∈ ℝ)
30112a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → π ∈ ℝ)
302 elioore 12028 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) → 𝑠 ∈ ℝ)
303302adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → 𝑠 ∈ ℝ)
30462, 210syl6ss 3575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → (𝑑[,]π) ⊆ ℝ)
305304adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑑[,]π) ⊆ ℝ)
306149adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐽:(0...𝑁)⟶(𝑑[,]π))
307306, 168ffvelrnd 6249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐽𝑘) ∈ (𝑑[,]π))
308305, 307sseldd 3564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐽𝑘) ∈ ℝ)
309308adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → (𝐽𝑘) ∈ ℝ)
31011adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑑 ∈ ℝ)
311310rexrd 9941 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑑 ∈ ℝ*)
31254a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → π ∈ ℝ*)
313 iccgelb 12053 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑑 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ (𝐽𝑘) ∈ (𝑑[,]π)) → 𝑑 ≤ (𝐽𝑘))
314311, 312, 307, 313syl3anc 1317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑑 ≤ (𝐽𝑘))
315314adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → 𝑑 ≤ (𝐽𝑘))
316309rexrd 9941 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → (𝐽𝑘) ∈ ℝ*)
317306, 170ffvelrnd 6249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐽‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝑑[,]π))
318305, 317sseldd 3564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐽‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
319318rexrd 9941 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐽‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ*)
320319adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → (𝐽‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ*)
321 simpr 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → 𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))))
322 ioogtlb 38364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝐽𝑘) ∈ ℝ* ∧ (𝐽‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ*𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → (𝐽𝑘) < 𝑠)
323316, 320, 321, 322syl3anc 1317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → (𝐽𝑘) < 𝑠)
324300, 309, 303, 315, 323lelttrd 10042 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → 𝑑 < 𝑠)
325300, 303, 324ltled 10032 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → 𝑑𝑠)
326318adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → (𝐽‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
327 iooltub 38382 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝐽𝑘) ∈ ℝ* ∧ (𝐽‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ*𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → 𝑠 < (𝐽‘(𝑘 + 1)))
328316, 320, 321, 327syl3anc 1317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → 𝑠 < (𝐽‘(𝑘 + 1)))
329 iccleub 12052 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑑 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ (𝐽‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝑑[,]π)) → (𝐽‘(𝑘 + 1)) ≤ π)
330311, 312, 317, 329syl3anc 1317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐽‘(𝑘 + 1)) ≤ π)
331330adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → (𝐽‘(𝑘 + 1)) ≤ π)
332303, 326, 301, 328, 331ltletrd 10044 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → 𝑠 < π)
333303, 301, 332ltled 10032 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → 𝑠 ≤ π)
334300, 301, 303, 325, 333eliccd 38373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → 𝑠 ∈ (𝑑[,]π))
335334ralrimiva 2944 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ∀𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))𝑠 ∈ (𝑑[,]π))
336 dfss3 3553 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ (𝑑[,]π) ↔ ∀𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))𝑠 ∈ (𝑑[,]π))
337335, 336sylibr 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ (𝑑[,]π))
338299, 337feqresmpt 6141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑂 ↾ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) = (𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (𝑂𝑠)))
339 simplll 793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → 𝜑)
340 simpllr 794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → 𝑑 ∈ (0(,)π))
34164fveq1i 6085 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑂𝑠) = ((𝑈 ↾ (𝑑[,]π))‘𝑠)
342341a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → (𝑂𝑠) = ((𝑈 ↾ (𝑑[,]π))‘𝑠))
343 fvres 6098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑠 ∈ (𝑑[,]π) → ((𝑈 ↾ (𝑑[,]π))‘𝑠) = (𝑈𝑠))
344343adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → ((𝑈 ↾ (𝑑[,]π))‘𝑠) = (𝑈𝑠))
345247, 249eqtrd 2639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → (𝐾𝑠) = (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
346220, 345oveq12d 6541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → ((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠)) = ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
347215recnd 9920 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) ∈ ℂ)
348235adantll 745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → 𝑠 ∈ ℂ)
349 2cnd 10936 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → 2 ∈ ℂ)
350348halfcld 11120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → (𝑠 / 2) ∈ ℂ)
351350sincld 14641 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → (sin‘(𝑠 / 2)) ∈ ℂ)
352349, 351mulcld 9912 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ ℂ)
353242adantll 745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ≠ 0)
354347, 348, 352, 199, 353dmdcan2d 10676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
355185, 346, 3543eqtrd 2643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → (𝑈𝑠) = (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
356342, 344, 3553eqtrd 2643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑[,]π)) → (𝑂𝑠) = (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
357339, 340, 334, 356syl21anc 1316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → (𝑂𝑠) = (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
358339, 340, 334, 354syl21anc 1316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
359358eqcomd 2611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) = ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
360 eqidd 2606 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → (𝑡 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) − 𝑌) / 𝑡)) = (𝑡 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) − 𝑌) / 𝑡)))
361 oveq2 6531 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑡 = 𝑠 → (𝑋 + 𝑡) = (𝑋 + 𝑠))
362361fveq2d 6088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑡 = 𝑠 → (𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) = (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)))
363362oveq1d 6538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑡 = 𝑠 → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) − 𝑌) = ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌))
364 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑡 = 𝑠𝑡 = 𝑠)
365363, 364oveq12d 6541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑡 = 𝑠 → (((𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) − 𝑌) / 𝑡) = (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠))
366365adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) ∧ 𝑡 = 𝑠) → (((𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) − 𝑌) / 𝑡) = (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠))
367 simpr 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → 𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))))
368 ovex 6551 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠) ∈ V
369368a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠) ∈ V)
370360, 366, 367, 369fvmptd 6178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → ((𝑡 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) − 𝑌) / 𝑡))‘𝑠) = (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠))
371 eqidd 2606 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → (𝑡 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (𝑡 / (2 · (sin‘(𝑡 / 2))))) = (𝑡 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (𝑡 / (2 · (sin‘(𝑡 / 2))))))
372 oveq1 6530 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑡 = 𝑠 → (𝑡 / 2) = (𝑠 / 2))
373372fveq2d 6088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑡 = 𝑠 → (sin‘(𝑡 / 2)) = (sin‘(𝑠 / 2)))
374373oveq2d 6539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑡 = 𝑠 → (2 · (sin‘(𝑡 / 2))) = (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))
375364, 374oveq12d 6541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑡 = 𝑠 → (𝑡 / (2 · (sin‘(𝑡 / 2)))) = (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
376375adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) ∧ 𝑡 = 𝑠) → (𝑡 / (2 · (sin‘(𝑡 / 2)))) = (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
377 ovex 6551 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ∈ V
378377a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ∈ V)
379371, 376, 367, 378fvmptd 6178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → ((𝑡 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (𝑡 / (2 · (sin‘(𝑡 / 2)))))‘𝑠) = (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
380370, 379oveq12d 6541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → (((𝑡 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) − 𝑌) / 𝑡))‘𝑠) · ((𝑡 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (𝑡 / (2 · (sin‘(𝑡 / 2)))))‘𝑠)) = ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
381380eqcomd 2611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (((𝑡 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) − 𝑌) / 𝑡))‘𝑠) · ((𝑡 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (𝑡 / (2 · (sin‘(𝑡 / 2)))))‘𝑠)))
382381adantllr 750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (((𝑡 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) − 𝑌) / 𝑡))‘𝑠) · ((𝑡 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (𝑡 / (2 · (sin‘(𝑡 / 2)))))‘𝑠)))
383357, 359, 3823eqtrd 2643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) → (𝑂𝑠) = (((𝑡 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) − 𝑌) / 𝑡))‘𝑠) · ((𝑡 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (𝑡 / (2 · (sin‘(𝑡 / 2)))))‘𝑠)))
384383mpteq2dva 4662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (𝑂𝑠)) = (𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝑡 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) − 𝑌) / 𝑡))‘𝑠) · ((𝑡 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (𝑡 / (2 · (sin‘(𝑡 / 2)))))‘𝑠))))
385338, 384eqtr2d 2640 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝑡 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) − 𝑌) / 𝑡))‘𝑠) · ((𝑡 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (𝑡 / (2 · (sin‘(𝑡 / 2)))))‘𝑠))) = (𝑂 ↾ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))))
386385oveq2d 6539 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (ℝ D (𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝑡 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) − 𝑌) / 𝑡))‘𝑠) · ((𝑡 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (𝑡 / (2 · (sin‘(𝑡 / 2)))))‘𝑠)))) = (ℝ D (𝑂 ↾ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))))))
38743a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ℝ ⊆ ℂ)
388337, 305sstrd 3573 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ℝ)
38921tgioo2 22342 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
39021, 389dvres 23394 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝑂:(𝑑[,]π)⟶ℂ) ∧ ((𝑑[,]π) ⊆ ℝ ∧ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ℝ)) → (ℝ D (𝑂 ↾ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))))) = ((ℝ D 𝑂) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))))))
391387, 299, 305, 388, 390syl22anc 1318 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (ℝ D (𝑂 ↾ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))))) = ((ℝ D 𝑂) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))))))
392 ioontr 38383 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) = ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))
393392a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) = ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))))
394393reseq2d 5300 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((ℝ D 𝑂) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))))) = ((ℝ D 𝑂) ↾ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))))
395386, 391, 3943eqtrrd 2644 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((ℝ D 𝑂) ↾ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) = (ℝ D (𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝑡 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) − 𝑌) / 𝑡))‘𝑠) · ((𝑡 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (𝑡 / (2 · (sin‘(𝑡 / 2)))))‘𝑠)))))
39614ad2antrr 757 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
39715ad2antrr 757 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑋 ∈ ℝ)
398259ad2antrr 757 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ)
399261ad2antrr 757 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑉 ∈ (𝑃𝑀))
400 fourierdlem104.fdvcn . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))–cn→ℝ))
401400ad4ant14 1284 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))–cn→ℝ))
40262adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑑[,]π) ⊆ (-π[,]π))
403337, 402sstrd 3573 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ (-π[,]π))
40453a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 0 ∈ ℝ*)
405 0red 9893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 0 ∈ ℝ)
40656ad2antlr 758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 0 < 𝑑)
407405, 310, 308, 406, 314ltletrd 10044 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 0 < (𝐽𝑘))
408308, 319, 404, 407ltnelicc 38366 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ¬ 0 ∈ ((𝐽𝑘)[,](𝐽‘(𝑘 + 1))))
40927ad2antrr 757 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑌 ∈ ℝ)
41012a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → π ∈ ℝ)
411269adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑑 < π)
412 simpr 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑘 ∈ (0..^𝑁))
413 biid 249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑣 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑣)(,)(𝑄‘(𝑣 + 1)))) ↔ ((((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑣 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑣)(,)(𝑄‘(𝑣 + 1)))))
414397, 258, 398, 399, 310, 410, 411, 402, 80, 73, 68, 125, 412, 286, 413fourierdlem50 38849 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) ∈ (0..^𝑀) ∧ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘(𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))))(,)(𝑄‘((𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1)))))
415414simpld 473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) ∈ (0..^𝑀))
416414simprd 477 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄‘(𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))))(,)(𝑄‘((𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1))))
417365cbvmptv 4668 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑡 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) − 𝑌) / 𝑡)) = (𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠))
418375cbvmptv 4668 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑡 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (𝑡 / (2 · (sin‘(𝑡 / 2))))) = (𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
419 eqid 2605 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝑡 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) − 𝑌) / 𝑡))‘𝑠) · ((𝑡 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (𝑡 / (2 · (sin‘(𝑡 / 2)))))‘𝑠))) = (𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝑡 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) − 𝑌) / 𝑡))‘𝑠) · ((𝑡 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (𝑡 / (2 · (sin‘(𝑡 / 2)))))‘𝑠)))
420396, 397, 258, 398, 399, 401, 308, 318, 173, 403, 408, 409, 80, 415, 416, 417, 418, 419fourierdlem72 38871 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (ℝ D (𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝑡 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) − 𝑌) / 𝑡))‘𝑠) · ((𝑡 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (𝑡 / (2 · (sin‘(𝑡 / 2)))))‘𝑠)))) ∈ (((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))–cn→ℂ))
421395, 420eqeltrd 2683 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((ℝ D 𝑂) ↾ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))) ∈ (((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1)))–cn→ℂ))
422 eqid 2605 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
423 eqid 2605 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))) = ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))
424 fourierdlem104.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝐶 = (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1))))
425424, 415syl5eqel 2687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐶 ∈ (0..^𝑀))
426 simpll 785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝜑)
427426, 425jca 552 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝜑𝐶 ∈ (0..^𝑀)))
428 eleq1 2671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑖 = 𝐶 → (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↔ 𝐶 ∈ (0..^𝑀)))
429428anbi2d 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑖 = 𝐶 → ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ↔ (𝜑𝐶 ∈ (0..^𝑀))))
430 fveq2 6084 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑖 = 𝐶 → (𝑉𝑖) = (𝑉𝐶))
431 oveq1 6530 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑖 = 𝐶 → (𝑖 + 1) = (𝐶 + 1))
432431fveq2d 6088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑖 = 𝐶 → (𝑉‘(𝑖 + 1)) = (𝑉‘(𝐶 + 1)))
433430, 432oveq12d 6541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑖 = 𝐶 → ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))) = ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1))))
434 raleq 3110 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))) = ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1))) → (∀𝑡 ∈ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))(abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑤))
435433, 434syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑖 = 𝐶 → (∀𝑡 ∈ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))(abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑤))
436435rexbidv 3029 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑖 = 𝐶 → (∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))(abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑤 ↔ ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑤))
437429, 436imbi12d 332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑖 = 𝐶 → (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))(abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑤) ↔ ((𝜑𝐶 ∈ (0..^𝑀)) → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑤)))
438 fourierdlem104.fbdioo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))(abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑤)
439437, 438vtoclg 3234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐶 ∈ (0..^𝑀) → ((𝜑𝐶 ∈ (0..^𝑀)) → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑤))
440425, 427, 439sylc 62 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑤)
441 nfv 1828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑡((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁))
442 nfra1 2920 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑡𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑤
443441, 442nfan 1814 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑡(((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑤)
444 simplr 787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑤) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑤)
44547a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝜑 → -π ∈ ℝ)
446445, 15readdcld 9921 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝜑 → (-π + 𝑋) ∈ ℝ)
44712a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝜑 → π ∈ ℝ)
448447, 15readdcld 9921 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝜑 → (π + 𝑋) ∈ ℝ)
449446, 448iccssred 38374 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝜑 → ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ⊆ ℝ)
450 ressxr 9935 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ℝ ⊆ ℝ*
451449, 450syl6ss 3575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝜑 → ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ⊆ ℝ*)
452451ad2antrr 757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ⊆ ℝ*)
453258, 398, 399fourierdlem15 38815 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑉:(0...𝑀)⟶((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)))
454 elfzofz 12305 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝐶 ∈ (0..^𝑀) → 𝐶 ∈ (0...𝑀))
455425, 454syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐶 ∈ (0...𝑀))
456453, 455ffvelrnd 6249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑉𝐶) ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)))
457452, 456sseldd 3564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑉𝐶) ∈ ℝ*)
458457adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → (𝑉𝐶) ∈ ℝ*)
459 fzofzp1 12382 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝐶 ∈ (0..^𝑀) → (𝐶 + 1) ∈ (0...𝑀))
460425, 459syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐶 + 1) ∈ (0...𝑀))
461453, 460ffvelrnd 6249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑉‘(𝐶 + 1)) ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)))
462452, 461sseldd 3564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑉‘(𝐶 + 1)) ∈ ℝ*)
463462adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → (𝑉‘(𝐶 + 1)) ∈ ℝ*)
464 elioore 12028 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))) → 𝑡 ∈ ℝ)
465464adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → 𝑡 ∈ ℝ)
46647a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → -π ∈ ℝ)
467466, 410, 397, 258, 398, 399, 455, 80fourierdlem13 38813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑄𝐶) = ((𝑉𝐶) − 𝑋) ∧ (𝑉𝐶) = (𝑋 + (𝑄𝐶))))
468467simprd 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑉𝐶) = (𝑋 + (𝑄𝐶)))
469468adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → (𝑉𝐶) = (𝑋 + (𝑄𝐶)))
470449ad2antrr 757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ⊆ ℝ)
471470, 456sseldd 3564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑉𝐶) ∈ ℝ)
472471adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → (𝑉𝐶) ∈ ℝ)
473469, 472eqeltrrd 2684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → (𝑋 + (𝑄𝐶)) ∈ ℝ)
474397, 308readdcld 9921 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑋 + (𝐽𝑘)) ∈ ℝ)
475474adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → (𝑋 + (𝐽𝑘)) ∈ ℝ)
476467simpld 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑄𝐶) = ((𝑉𝐶) − 𝑋))
477471, 397resubcld 10305 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑉𝐶) − 𝑋) ∈ ℝ)
478476, 477eqeltrd 2683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑄𝐶) ∈ ℝ)
479466, 410, 397, 258, 398, 399, 460, 80fourierdlem13 38813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑄‘(𝐶 + 1)) = ((𝑉‘(𝐶 + 1)) − 𝑋) ∧ (𝑉‘(𝐶 + 1)) = (𝑋 + (𝑄‘(𝐶 + 1)))))
480479simpld 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑄‘(𝐶 + 1)) = ((𝑉‘(𝐶 + 1)) − 𝑋))
481470, 461sseldd 3564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑉‘(𝐶 + 1)) ∈ ℝ)
482481, 397resubcld 10305 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑉‘(𝐶 + 1)) − 𝑋) ∈ ℝ)
483480, 482eqeltrd 2683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑄‘(𝐶 + 1)) ∈ ℝ)
484424eqcomi 2614 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) = 𝐶
485484fveq2i 6087 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑄‘(𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1))))) = (𝑄𝐶)
486484oveq1i 6533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1) = (𝐶 + 1)
487486fveq2i 6087 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑄‘((𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1)) = (𝑄‘(𝐶 + 1))
488485, 487oveq12i 6535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑄‘(𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))))(,)(𝑄‘((𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1))) = ((𝑄𝐶)(,)(𝑄‘(𝐶 + 1)))
489416, 488syl6sseq 3609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝐶)(,)(𝑄‘(𝐶 + 1))))
490478, 483, 308, 318, 173, 489fourierdlem10 38810 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑄𝐶) ≤ (𝐽𝑘) ∧ (𝐽‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝑄‘(𝐶 + 1))))
491490simpld 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑄𝐶) ≤ (𝐽𝑘))
492478, 308, 397, 491leadd2dd 10487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑋 + (𝑄𝐶)) ≤ (𝑋 + (𝐽𝑘)))
493492adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → (𝑋 + (𝑄𝐶)) ≤ (𝑋 + (𝐽𝑘)))
494475rexrd 9941 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → (𝑋 + (𝐽𝑘)) ∈ ℝ*)
495397, 318readdcld 9921 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ)
496495rexrd 9941 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ*)
497496adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → (𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ*)
498 simpr 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))))
499 ioogtlb 38364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑋 + (𝐽𝑘)) ∈ ℝ* ∧ (𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ*𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → (𝑋 + (𝐽𝑘)) < 𝑡)
500494, 497, 498, 499syl3anc 1317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → (𝑋 + (𝐽𝑘)) < 𝑡)
501473, 475, 465, 493, 500lelttrd 10042 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → (𝑋 + (𝑄𝐶)) < 𝑡)
502469, 501eqbrtrd 4595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → (𝑉𝐶) < 𝑡)
503495adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → (𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ)
504479simprd 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑉‘(𝐶 + 1)) = (𝑋 + (𝑄‘(𝐶 + 1))))
505504, 481eqeltrrd 2684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑋 + (𝑄‘(𝐶 + 1))) ∈ ℝ)
506505adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → (𝑋 + (𝑄‘(𝐶 + 1))) ∈ ℝ)
507 iooltub 38382 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑋 + (𝐽𝑘)) ∈ ℝ* ∧ (𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ*𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → 𝑡 < (𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))
508494, 497, 498, 507syl3anc 1317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → 𝑡 < (𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))
509490simprd 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐽‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝑄‘(𝐶 + 1)))
510318, 483, 397, 509leadd2dd 10487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝑋 + (𝑄‘(𝐶 + 1))))
511510adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → (𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝑋 + (𝑄‘(𝐶 + 1))))
512465, 503, 506, 508, 511ltletrd 10044 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → 𝑡 < (𝑋 + (𝑄‘(𝐶 + 1))))
513504eqcomd 2611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑋 + (𝑄‘(𝐶 + 1))) = (𝑉‘(𝐶 + 1)))
514513adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → (𝑋 + (𝑄‘(𝐶 + 1))) = (𝑉‘(𝐶 + 1)))
515512, 514breqtrd 4599 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → 𝑡 < (𝑉‘(𝐶 + 1)))
516458, 463, 465, 502, 515eliood 38367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → 𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1))))
517516adantlr 746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑤) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → 𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1))))
518 rspa 2909 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((∀𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑤𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))) → (abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑤)
519444, 517, 518syl2anc 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑤) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → (abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑤)
520519ex 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑤) → (𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))) → (abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑤))
521443, 520ralrimi 2935 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑤) → ∀𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))(abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑤)
522521ex 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (∀𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑤 → ∀𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))(abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑤))
523522reximdv 2994 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑤 → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))(abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑤))
524440, 523mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))(abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑤)
525433raleqdv 3116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑖 = 𝐶 → (∀𝑡 ∈ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧 ↔ ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧))
526525rexbidv 3029 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑖 = 𝐶 → (∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧 ↔ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧))
527429, 526imbi12d 332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑖 = 𝐶 → (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧) ↔ ((𝜑𝐶 ∈ (0..^𝑀)) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧)))
528 fourierdlem104.fdvbd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧)
529527, 528vtoclg 3234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐶 ∈ (0..^𝑀) → ((𝜑𝐶 ∈ (0..^𝑀)) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧))
530425, 427, 529sylc 62 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧)
531 nfra1 2920 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑡𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧
532441, 531nfan 1814 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑡(((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧)
53314, 44fssd 5952 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℂ)
534 ssid 3582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ℝ ⊆ ℝ
535534a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝜑 → ℝ ⊆ ℝ)
536 ioossre 12058 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))) ⊆ ℝ
537536a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝜑 → ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))) ⊆ ℝ)
53821, 389dvres 23394 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝐹:ℝ⟶ℂ) ∧ (ℝ ⊆ ℝ ∧ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))) ⊆ ℝ)) → (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))))))
53944, 533, 535, 537, 538syl22anc 1318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝜑 → (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))))))
540 ioontr 38383 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) = ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))
541540reseq2i 5297 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))))
542539, 541syl6eq 2655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝜑 → (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))
543542fveq1d 6086 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜑 → ((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))‘𝑡) = (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))))‘𝑡))
544 fvres 6098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))) → (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))))‘𝑡) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑡))
545543, 544sylan9eq 2659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → ((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))‘𝑡) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑡))
546545ad4ant14 1284 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → ((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))‘𝑡) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑡))
547546fveq2d 6088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → (abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))‘𝑡)) = (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)))
548547adantlr 746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → (abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))‘𝑡)) = (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)))
549 simplr 787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧)
550516adantlr 746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → 𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1))))
551 rspa 2909 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((∀𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))) → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧)
552549, 550, 551syl2anc 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧)
553548, 552eqbrtrd 4595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) → (abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))‘𝑡)) ≤ 𝑧)
554553ex 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧) → (𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))) → (abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))‘𝑡)) ≤ 𝑧))
555532, 554ralrimi 2935 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧) → ∀𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))(abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))‘𝑡)) ≤ 𝑧)
556555ex 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (∀𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧 → ∀𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))(abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))‘𝑡)) ≤ 𝑧))
557556reximdv 2994 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧 → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))(abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))‘𝑡)) ≤ 𝑧))
558530, 557mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))(abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))‘𝑡)) ≤ 𝑧)
559311, 312, 306, 412fourierdlem8 38808 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐽𝑘)[,](𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ (𝑑[,]π))
560124ad2antrr 757 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑑[,]π)) ∧ ¬ 𝑟 ∈ ran 𝐽) → 𝑁 ∈ ℕ)
561149, 304fssd 5952 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → 𝐽:(0...𝑁)⟶ℝ)
562561ad2antrr 757 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑑[,]π)) ∧ ¬ 𝑟 ∈ ran 𝐽) → 𝐽:(0...𝑁)⟶ℝ)
563 simpr 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑑[,]π)) → 𝑟 ∈ (𝑑[,]π))
564150eqcomd 2611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → 𝑑 = (𝐽‘0))
565151eqcomd 2611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → π = (𝐽𝑁))
566564, 565oveq12d 6541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → (𝑑[,]π) = ((𝐽‘0)[,](𝐽𝑁)))
567566adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑑[,]π)) → (𝑑[,]π) = ((𝐽‘0)[,](𝐽𝑁)))
568563, 567eleqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑑[,]π)) → 𝑟 ∈ ((𝐽‘0)[,](𝐽𝑁)))
569568adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑑[,]π)) ∧ ¬ 𝑟 ∈ ran 𝐽) → 𝑟 ∈ ((𝐽‘0)[,](𝐽𝑁)))
570 simpr 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑑[,]π)) ∧ ¬ 𝑟 ∈ ran 𝐽) → ¬ 𝑟 ∈ ran 𝐽)
571 fveq2 6084 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 = 𝑘 → (𝐽𝑗) = (𝐽𝑘))
572571breq1d 4583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 = 𝑘 → ((𝐽𝑗) < 𝑟 ↔ (𝐽𝑘) < 𝑟))
573572cbvrabv 3167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 {𝑗 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝐽𝑗) < 𝑟} = {𝑘 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝐽𝑘) < 𝑟}
574573supeq1i 8209 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 sup({𝑗 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝐽𝑗) < 𝑟}, ℝ, < ) = sup({𝑘 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝐽𝑘) < 𝑟}, ℝ, < )
575560, 562, 569, 570, 574fourierdlem25 38825 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑟 ∈ (𝑑[,]π)) ∧ ¬ 𝑟 ∈ ran 𝐽) → ∃𝑚 ∈ (0..^𝑁)𝑟 ∈ ((𝐽𝑚)(,)(𝐽‘(𝑚 + 1))))
576533ad2antrr 757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
577534a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ℝ ⊆ ℝ)
578536a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))) ⊆ ℝ)
579387, 576, 577, 578, 538syl22anc 1318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))))))
580516ralrimiva 2944 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ∀𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1))))
581 dfss3 3553 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))) ⊆ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1))) ↔ ∀𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))𝑡 ∈ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1))))
582580, 581sylibr 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))) ⊆ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1))))
583 resabs2 5332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))) ⊆ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1))) → (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) ↾ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))
584582, 583syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) ↾ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))
585541, 579, 5843eqtr4a 2665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))))) = (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) ↾ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))))
586582resabs1d 5331 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))) ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))
587586eqcomd 2611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) = (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))) ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))
588585, 584, 5873eqtrrd 2644 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))) ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) = (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))))))
589433reseq2d 5300 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑖 = 𝐶 → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))))
590589, 433feq12d 5928 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑖 = 𝐶 → (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))):((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))⟶ℝ ↔ ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))):((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))⟶ℝ))
591429, 590imbi12d 332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑖 = 𝐶 → (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))):((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))⟶ℝ) ↔ ((𝜑𝐶 ∈ (0..^𝑀)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))):((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))⟶ℝ)))
592 cncff 22431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))–cn→ℝ) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))):((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))⟶ℝ)
593400, 592syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))):((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))⟶ℝ)
594591, 593vtoclg 3234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐶 ∈ (0..^𝑀) → ((𝜑𝐶 ∈ (0..^𝑀)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))):((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))⟶ℝ))
595594anabsi7 855 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝐶 ∈ (0..^𝑀)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))):((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))⟶ℝ)
596427, 595syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))):((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))⟶ℝ)
597596, 582fssresd 5965 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉𝐶)(,)(𝑉‘(𝐶 + 1)))) ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))):((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))⟶ℝ)
598588, 597feq1dd 38140 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))))):((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))⟶ℝ)
599363, 374oveq12d 6541 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑡 = 𝑠 → (((𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) − 𝑌) / (2 · (sin‘(𝑡 / 2)))) = (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
600599cbvmptv 4668 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑡 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) − 𝑌) / (2 · (sin‘(𝑡 / 2))))) = (𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
601 fveq2 6084 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑟 = 𝑡 → (𝐹𝑟) = (𝐹𝑡))
602601fveq2d 6088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑟 = 𝑡 → (abs‘(𝐹𝑟)) = (abs‘(𝐹𝑡)))
603602breq1d 4583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑟 = 𝑡 → ((abs‘(𝐹𝑟)) ≤ 𝑤 ↔ (abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑤))
604603cbvralv 3142 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (∀𝑟 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))(abs‘(𝐹𝑟)) ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))(abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑤)
605604anbi2i 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑟 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))(abs‘(𝐹𝑟)) ≤ 𝑤) ↔ (((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))(abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑤))
606 fveq2 6084 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑟 = 𝑡 → ((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))‘𝑟) = ((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))‘𝑡))
607606fveq2d 6088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑟 = 𝑡 → (abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))‘𝑟)) = (abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))‘𝑡)))
608607breq1d 4583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑟 = 𝑡 → ((abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))‘𝑟)) ≤ 𝑧 ↔ (abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))‘𝑡)) ≤ 𝑧))
609608cbvralv 3142 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (∀𝑟 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))(abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))‘𝑟)) ≤ 𝑧 ↔ ∀𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))(abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))‘𝑡)) ≤ 𝑧)
610605, 609anbi12i 728 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑟 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))(abs‘(𝐹𝑟)) ≤ 𝑤) ∧ ∀𝑟 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))(abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))‘𝑟)) ≤ 𝑧) ↔ ((((((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))(abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝑤) ∧ ∀𝑡 ∈ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))(abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + (𝐽𝑘))(,)(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))‘𝑡)) ≤ 𝑧))
611256, 257, 11, 13, 62, 276, 277, 422, 423, 524, 558, 149, 173, 559, 575, 598, 600, 610fourierdlem80 38879 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑠 ∈ dom (ℝ D (𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))(abs‘((ℝ D (𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))‘𝑠)) ≤ 𝑏)
612354mpteq2dva 4662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → (𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) = (𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
613253, 612eqtrd 2639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → 𝑂 = (𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
614613oveq2d 6539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → (ℝ D 𝑂) = (ℝ D (𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
615614dmeqd 5231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → dom (ℝ D 𝑂) = dom (ℝ D (𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
616 nfcv 2746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑠dom (ℝ D 𝑂)
617 nfcv 2746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑠
618 nfcv 2746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑠 D
619 nfmpt1 4665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑠(𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
620617, 618, 619nfov 6549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑠(ℝ D (𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
621620nfdm 5271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑠dom (ℝ D (𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
622616, 621raleqf 3106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (dom (ℝ D 𝑂) = dom (ℝ D (𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) → (∀𝑠 ∈ dom (ℝ D 𝑂)(abs‘((ℝ D 𝑂)‘𝑠)) ≤ 𝑏 ↔ ∀𝑠 ∈ dom (ℝ D (𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))(abs‘((ℝ D 𝑂)‘𝑠)) ≤ 𝑏))
623615, 622syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → (∀𝑠 ∈ dom (ℝ D 𝑂)(abs‘((ℝ D 𝑂)‘𝑠)) ≤ 𝑏 ↔ ∀𝑠 ∈ dom (ℝ D (𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))(abs‘((ℝ D 𝑂)‘𝑠)) ≤ 𝑏))
624614fveq1d 6086 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → ((ℝ D 𝑂)‘𝑠) = ((ℝ D (𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))‘𝑠))
625624fveq2d 6088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → (abs‘((ℝ D 𝑂)‘𝑠)) = (abs‘((ℝ D (𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))‘𝑠)))
626625breq1d 4583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → ((abs‘((ℝ D 𝑂)‘𝑠)) ≤ 𝑏 ↔ (abs‘((ℝ D (𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))‘𝑠)) ≤ 𝑏))
627626ralbidv 2964 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → (∀𝑠 ∈ dom (ℝ D (𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))(abs‘((ℝ D 𝑂)‘𝑠)) ≤ 𝑏 ↔ ∀𝑠 ∈ dom (ℝ D (𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))(abs‘((ℝ D (𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))‘𝑠)) ≤ 𝑏))
628623, 627bitrd 266 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → (∀𝑠 ∈ dom (ℝ D 𝑂)(abs‘((ℝ D 𝑂)‘𝑠)) ≤ 𝑏 ↔ ∀𝑠 ∈ dom (ℝ D (𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))(abs‘((ℝ D (𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))‘𝑠)) ≤ 𝑏))
629628rexbidv 3029 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → (∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑠 ∈ dom (ℝ D 𝑂)(abs‘((ℝ D 𝑂)‘𝑠)) ≤ 𝑏 ↔ ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑠 ∈ dom (ℝ D (𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))(abs‘((ℝ D (𝑠 ∈ (𝑑[,]π) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝑌) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))‘𝑠)) ≤ 𝑏))
630611, 629mpbird 245 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑠 ∈ dom (ℝ D 𝑂)(abs‘((ℝ D 𝑂)‘𝑠)) ≤ 𝑏)
631 eqid 2605 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑙 ∈ ℝ+ ↦ ∫(𝑑(,)π)((𝑂𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) = (𝑙 ∈ ℝ+ ↦ ∫(𝑑(,)π)((𝑂𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠)
632 eqeq1 2609 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑡 = 𝑠 → (𝑡 = (𝐽𝑘) ↔ 𝑠 = (𝐽𝑘)))
633 fveq2 6084 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ( = 𝑙 → (𝑄) = (𝑄𝑙))
634 oveq1 6530 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ( = 𝑙 → ( + 1) = (𝑙 + 1))
635634fveq2d 6088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ( = 𝑙 → (𝑄‘( + 1)) = (𝑄‘(𝑙 + 1)))
636633, 635oveq12d 6541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ( = 𝑙 → ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1))) = ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1))))
637636sseq2d 3591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ( = 𝑙 → (((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1))) ↔ ((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))))
638637cbvriotav 6496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) = (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1))))
639638fveq2i 6087 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑄‘( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1))))) = (𝑄‘(𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))))
640639eqeq2i 2617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐽𝑘) = (𝑄‘( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1))))) ↔ (𝐽𝑘) = (𝑄‘(𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1))))))
641640a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (⊤ → ((𝐽𝑘) = (𝑄‘( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1))))) ↔ (𝐽𝑘) = (𝑄‘(𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))))))
642 csbeq1 3497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) = (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) → ( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) / 𝑖𝑅 = (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖𝑅)
643638, 642mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (⊤ → ( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) / 𝑖𝑅 = (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖𝑅)
644641, 643ifbieq1d 4054 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (⊤ → if((𝐽𝑘) = (𝑄‘( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1))))), ( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) / 𝑖𝑅, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽𝑘)))) = if((𝐽𝑘) = (𝑄‘(𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1))))), (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖𝑅, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽𝑘)))))
645644trud 1483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 if((𝐽𝑘) = (𝑄‘( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1))))), ( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) / 𝑖𝑅, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽𝑘)))) = if((𝐽𝑘) = (𝑄‘(𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1))))), (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖𝑅, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽𝑘))))
646645oveq1i 6533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (if((𝐽𝑘) = (𝑄‘( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1))))), ( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) / 𝑖𝑅, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽𝑘)))) − 𝑌) = (if((𝐽𝑘) = (𝑄‘(𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1))))), (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖𝑅, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽𝑘)))) − 𝑌)
647646oveq1i 6533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((if((𝐽𝑘) = (𝑄‘( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1))))), ( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) / 𝑖𝑅, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽𝑘)))) − 𝑌) / (𝐽𝑘)) = ((if((𝐽𝑘) = (𝑄‘(𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1))))), (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖𝑅, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽𝑘)))) − 𝑌) / (𝐽𝑘))
648647oveq1i 6533 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((if((𝐽𝑘) = (𝑄‘( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1))))), ( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) / 𝑖𝑅, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽𝑘)))) − 𝑌) / (𝐽𝑘)) · ((𝐽𝑘) / (2 · (sin‘((𝐽𝑘) / 2))))) = (((if((𝐽𝑘) = (𝑄‘(𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1))))), (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖𝑅, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽𝑘)))) − 𝑌) / (𝐽𝑘)) · ((𝐽𝑘) / (2 · (sin‘((𝐽𝑘) / 2)))))
649648a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑡 = 𝑠 → (((if((𝐽𝑘) = (𝑄‘( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1))))), ( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) / 𝑖𝑅, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽𝑘)))) − 𝑌) / (𝐽𝑘)) · ((𝐽𝑘) / (2 · (sin‘((𝐽𝑘) / 2))))) = (((if((𝐽𝑘) = (𝑄‘(𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1))))), (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖𝑅, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽𝑘)))) − 𝑌) / (𝐽𝑘)) · ((𝐽𝑘) / (2 · (sin‘((𝐽𝑘) / 2))))))
650 eqeq1 2609 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑡 = 𝑠 → (𝑡 = (𝐽‘(𝑘 + 1)) ↔ 𝑠 = (𝐽‘(𝑘 + 1))))
651638oveq1i 6533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) + 1) = ((𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1)
652651fveq2i 6087 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑄‘(( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) + 1)) = (𝑄‘((𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1))
653652eqeq2i 2617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘(( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) + 1)) ↔ (𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘((𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1)))
654653a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (⊤ → ((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘(( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) + 1)) ↔ (𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘((𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1))))
655 csbeq1 3497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) = (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) → ( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) / 𝑖𝐿 = (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖𝐿)
656638, 655mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (⊤ → ( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) / 𝑖𝐿 = (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖𝐿)
657654, 656ifbieq1d 4054 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (⊤ → if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘(( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) + 1)), ( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) / 𝑖𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) = if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘((𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1)), (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))))
658657trud 1483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘(( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) + 1)), ( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) / 𝑖𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) = if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘((𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1)), (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1)))))
659658oveq1i 6533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘(( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) + 1)), ( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) / 𝑖𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) − 𝑌) = (if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘((𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1)), (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) − 𝑌)
660659oveq1i 6533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘(( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) + 1)), ( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) / 𝑖𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) − 𝑌) / (𝐽‘(𝑘 + 1))) = ((if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘((𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1)), (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) − 𝑌) / (𝐽‘(𝑘 + 1)))
661660oveq1i 6533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘(( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) + 1)), ( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) / 𝑖𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) − 𝑌) / (𝐽‘(𝑘 + 1))) · ((𝐽‘(𝑘 + 1)) / (2 · (sin‘((𝐽‘(𝑘 + 1)) / 2))))) = (((if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘((𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1)), (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) − 𝑌) / (𝐽‘(𝑘 + 1))) · ((𝐽‘(𝑘 + 1)) / (2 · (sin‘((𝐽‘(𝑘 + 1)) / 2)))))
662661a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑡 = 𝑠 → (((if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘(( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) + 1)), ( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) / 𝑖𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) − 𝑌) / (𝐽‘(𝑘 + 1))) · ((𝐽‘(𝑘 + 1)) / (2 · (sin‘((𝐽‘(𝑘 + 1)) / 2))))) = (((if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘((𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1)), (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) − 𝑌) / (𝐽‘(𝑘 + 1))) · ((𝐽‘(𝑘 + 1)) / (2 · (sin‘((𝐽‘(𝑘 + 1)) / 2))))))
663 fveq2 6084 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑡 = 𝑠 → (𝑂𝑡) = (𝑂𝑠))
664650, 662, 663ifeq123d 38030 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑡 = 𝑠 → if(𝑡 = (𝐽‘(𝑘 + 1)), (((if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘(( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) + 1)), ( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) / 𝑖𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) − 𝑌) / (𝐽‘(𝑘 + 1))) · ((𝐽‘(𝑘 + 1)) / (2 · (sin‘((𝐽‘(𝑘 + 1)) / 2))))), (𝑂𝑡)) = if(𝑠 = (𝐽‘(𝑘 + 1)), (((if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘((𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1)), (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) − 𝑌) / (𝐽‘(𝑘 + 1))) · ((𝐽‘(𝑘 + 1)) / (2 · (sin‘((𝐽‘(𝑘 + 1)) / 2))))), (𝑂𝑠)))
665632, 649, 664ifeq123d 38030 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑡 = 𝑠 → if(𝑡 = (𝐽𝑘), (((if((𝐽𝑘) = (𝑄‘( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1))))), ( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) / 𝑖𝑅, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽𝑘)))) − 𝑌) / (𝐽𝑘)) · ((𝐽𝑘) / (2 · (sin‘((𝐽𝑘) / 2))))), if(𝑡 = (𝐽‘(𝑘 + 1)), (((if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘(( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) + 1)), ( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) / 𝑖𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) − 𝑌) / (𝐽‘(𝑘 + 1))) · ((𝐽‘(𝑘 + 1)) / (2 · (sin‘((𝐽‘(𝑘 + 1)) / 2))))), (𝑂𝑡))) = if(𝑠 = (𝐽𝑘), (((if((𝐽𝑘) = (𝑄‘(𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1))))), (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖𝑅, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽𝑘)))) − 𝑌) / (𝐽𝑘)) · ((𝐽𝑘) / (2 · (sin‘((𝐽𝑘) / 2))))), if(𝑠 = (𝐽‘(𝑘 + 1)), (((if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘((𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1)), (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) − 𝑌) / (𝐽‘(𝑘 + 1))) · ((𝐽‘(𝑘 + 1)) / (2 · (sin‘((𝐽‘(𝑘 + 1)) / 2))))), (𝑂𝑠))))
666665cbvmptv 4668 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑡 ∈ ((𝐽𝑘)[,](𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ if(𝑡 = (𝐽𝑘), (((if((𝐽𝑘) = (𝑄‘( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1))))), ( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) / 𝑖𝑅, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽𝑘)))) − 𝑌) / (𝐽𝑘)) · ((𝐽𝑘) / (2 · (sin‘((𝐽𝑘) / 2))))), if(𝑡 = (𝐽‘(𝑘 + 1)), (((if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘(( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) + 1)), ( ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄)(,)(𝑄‘( + 1)))) / 𝑖𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) − 𝑌) / (𝐽‘(𝑘 + 1))) · ((𝐽‘(𝑘 + 1)) / (2 · (sin‘((𝐽‘(𝑘 + 1)) / 2))))), (𝑂𝑡)))) = (𝑠 ∈ ((𝐽𝑘)[,](𝐽‘(𝑘 + 1))) ↦ if(𝑠 = (𝐽𝑘), (((if((𝐽𝑘) = (𝑄‘(𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1))))), (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖𝑅, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽𝑘)))) − 𝑌) / (𝐽𝑘)) · ((𝐽𝑘) / (2 · (sin‘((𝐽𝑘) / 2))))), if(𝑠 = (𝐽‘(𝑘 + 1)), (((if((𝐽‘(𝑘 + 1)) = (𝑄‘((𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) + 1)), (𝑙 ∈ (0..^𝑀)((𝐽𝑘)(,)(𝐽‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑙)(,)(𝑄‘(𝑙 + 1)))) / 𝑖𝐿, (𝐹‘(𝑋 + (𝐽‘(𝑘 + 1))))) − 𝑌) / (𝐽‘(𝑘 + 1))) · ((𝐽‘(𝑘 + 1)) / (2 · (sin‘((𝐽‘(𝑘 + 1)) / 2))))), (𝑂𝑠))))
66711, 13, 67, 124, 149, 150, 151, 173, 289, 294, 297, 298, 421, 630, 631, 666fourierdlem73 38872 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑂𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < 𝑒)
668 breq2 4577 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑒 = 𝑎 → ((abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑂𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < 𝑒 ↔ (abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑂𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < 𝑎))
669668rexralbidv 3035 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑒 = 𝑎 → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑂𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < 𝑒 ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑂𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < 𝑎))
670669cbvralv 3142 . . . . . . . . . . . . . 14 (∀𝑒 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑂𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < 𝑒 ↔ ∀𝑎 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑂𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < 𝑎)
671667, 670sylib 206 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → ∀𝑎 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑂𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < 𝑎)
672671adantlr 746 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) → ∀𝑎 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑂𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < 𝑎)
673 rphalfcl 11686 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑒 ∈ ℝ+ → (𝑒 / 2) ∈ ℝ+)
674673ad2antlr 758 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) → (𝑒 / 2) ∈ ℝ+)
675 breq2 4577 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎 = (𝑒 / 2) → ((abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑂𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < 𝑎 ↔ (abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑂𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
676675rexralbidv 3035 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 = (𝑒 / 2) → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑂𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < 𝑎 ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑂𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
677676rspccva 3276 . . . . . . . . . . . 12 ((∀𝑎 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑂𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < 𝑎 ∧ (𝑒 / 2) ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑂𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
678672, 674, 677syl2anc 690 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑂𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
679138a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → (𝑑(,)π) ⊆ (𝑑[,]π))
680679sselda 3563 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑(,)π)) → 𝑠 ∈ (𝑑[,]π))
681680, 343syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑(,)π)) → ((𝑈 ↾ (𝑑[,]π))‘𝑠) = (𝑈𝑠))
682341, 681syl5req 2652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑(,)π)) → (𝑈𝑠) = (𝑂𝑠))
683682oveq1d 6538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑(,)π)) → ((𝑈𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) = ((𝑂𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))))
684683itgeq2dv 23267 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → ∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠 = ∫(𝑑(,)π)((𝑂𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠)
685684adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ (abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑂𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) → ∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠 = ∫(𝑑(,)π)((𝑂𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠)
686685fveq2d 6088 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ (abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑂𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) → (abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) = (abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑂𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠))
687 simpr 475 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ (abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑂𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) → (abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑂𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
688686, 687eqbrtrd 4595 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ (abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑂𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) → (abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
689688ex 448 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑑 ∈ (0(,)π)) → ((abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑂𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2) → (abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
690689adantlr 746 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) → ((abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑂𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2) → (abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
691690ralimdv 2941 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) → (∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑂𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2) → ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
692691reximdv 2994 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑂𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
693678, 692mpd 15 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
694693adantr 479 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
695 nfv 1828 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑘((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π))
696 nfra1 2920 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑘𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)
697695, 696nfan 1814 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑘(((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
698 nfv 1828 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑘 𝑗 ∈ ℕ
699697, 698nfan 1814 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ)
700 nfv 1828 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)
701699, 700nfan 1814 . . . . . . . . . . . 12 𝑘(((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
702 simpll 785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)))
703 eluznn 11586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘 ∈ ℕ)
704703adantll 745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘 ∈ ℕ)
705702, 704jca 552 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ))
706705adantllr 750 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ))
707 simpllr 794 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
708703adantll 745 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘 ∈ ℕ)
709 rspa 2909 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
710707, 708, 709syl2anc 690 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
711706, 710jca 552 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
712711adantlr 746 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
713 nnre 10870 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℝ)
714713rexrd 9941 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℝ*)
715714adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑗 ∈ ℝ*)
71622a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → +∞ ∈ ℝ*)
717 eluzelre 11526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 ∈ (ℤ𝑗) → 𝑘 ∈ ℝ)
718 halfre 11089 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (1 / 2) ∈ ℝ
719718a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 ∈ (ℤ𝑗) → (1 / 2) ∈ ℝ)
720717, 719readdcld 9921 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 ∈ (ℤ𝑗) → (𝑘 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
721720adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝑘 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
722713adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑗 ∈ ℝ)
723717adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘 ∈ ℝ)
724 eluzle 11528 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 ∈ (ℤ𝑗) → 𝑗𝑘)
725724adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑗𝑘)
726 halfgt0 11091 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 0 < (1 / 2)
727726a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 0 < (1 / 2))
728718a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (1 / 2) ∈ ℝ)
729728, 723ltaddposd 10456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (0 < (1 / 2) ↔ 𝑘 < (𝑘 + (1 / 2))))
730727, 729mpbid 220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘 < (𝑘 + (1 / 2)))
731722, 723, 721, 725, 730lelttrd 10042 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑗 < (𝑘 + (1 / 2)))
732721ltpnfd 11788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝑘 + (1 / 2)) < +∞)
733715, 716, 721, 731, 732eliood 38367 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝑘 + (1 / 2)) ∈ (𝑗(,)+∞))
734733adantlr 746 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑗 ∈ ℕ ∧ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝑘 + (1 / 2)) ∈ (𝑗(,)+∞))
735 simplr 787 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑗 ∈ ℕ ∧ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
736 oveq1 6530 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑙 = (𝑘 + (1 / 2)) → (𝑙 · 𝑠) = ((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))
737736fveq2d 6088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑙 = (𝑘 + (1 / 2)) → (sin‘(𝑙 · 𝑠)) = (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠)))
738737oveq2d 6539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑙 = (𝑘 + (1 / 2)) → ((𝑈𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) = ((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))))
739738adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑙 = (𝑘 + (1 / 2)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑑(,)π)) → ((𝑈𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) = ((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))))
740739itgeq2dv 23267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑙 = (𝑘 + (1 / 2)) → ∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠 = ∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠)
741740fveq2d 6088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑙 = (𝑘 + (1 / 2)) → (abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) = (abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠))
742741breq1d 4583 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑙 = (𝑘 + (1 / 2)) → ((abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2) ↔ (abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
743742rspcv 3273 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑘 + (1 / 2)) ∈ (𝑗(,)+∞) → (∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2) → (abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
744734, 735, 743sylc 62 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑗 ∈ ℕ ∧ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
745744adantlll 749 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
746 fourierdlem104.ch . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜒 ↔ (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ (abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
747712, 745, 746sylanbrc 694 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝜒)
748 0red 9893 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒 → 0 ∈ ℝ)
74912a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒 → π ∈ ℝ)
750 ioossicc 12082 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0(,)π) ⊆ (0[,]π)
751746biimpi 204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜒 → (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ (abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
752 simp-4r 802 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ (abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) → 𝑑 ∈ (0(,)π))
753751, 752syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒𝑑 ∈ (0(,)π))
754750, 753sseldi 3561 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒𝑑 ∈ (0[,]π))
755 simp-5l 803 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ (abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) → 𝜑)
756751, 755syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜒𝜑)
75742adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)π)) → 𝑈:(-π[,]π)⟶ℝ)
75847rexri 9944 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 -π ∈ ℝ*
759 0re 9892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 0 ∈ ℝ
76047, 759, 51ltleii 10007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 -π ≤ 0
761 iooss1 12033 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((-π ∈ ℝ* ∧ -π ≤ 0) → (0(,)π) ⊆ (-π(,)π))
762758, 760, 761mp2an 703 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (0(,)π) ⊆ (-π(,)π)
763 ioossicc 12082 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (-π(,)π) ⊆ (-π[,]π)
764762, 763sstri 3572 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (0(,)π) ⊆ (-π[,]π)
765764sseli 3559 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑠 ∈ (0(,)π) → 𝑠 ∈ (-π[,]π))
766765adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)π)) → 𝑠 ∈ (-π[,]π))
767757, 766ffvelrnd 6249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)π)) → (𝑈𝑠) ∈ ℝ)
768756, 767sylan 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜒𝑠 ∈ (0(,)π)) → (𝑈𝑠) ∈ ℝ)
769 simpllr 794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ (abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) → 𝑘 ∈ ℕ)
770751, 769syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜒𝑘 ∈ ℕ)
771770nnred 10878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜒𝑘 ∈ ℝ)
772718a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜒 → (1 / 2) ∈ ℝ)
773771, 772readdcld 9921 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜒 → (𝑘 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
774773adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜒𝑠 ∈ (0(,)π)) → (𝑘 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
775 elioore 12028 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑠 ∈ (0(,)π) → 𝑠 ∈ ℝ)
776775adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜒𝑠 ∈ (0(,)π)) → 𝑠 ∈ ℝ)
777774, 776remulcld 9922 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜒𝑠 ∈ (0(,)π)) → ((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠) ∈ ℝ)
778777resincld 14654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜒𝑠 ∈ (0(,)π)) → (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠)) ∈ ℝ)
779768, 778remulcld 9922 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜒𝑠 ∈ (0(,)π)) → ((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) ∈ ℝ)
780779recnd 9920 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜒𝑠 ∈ (0(,)π)) → ((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) ∈ ℂ)
78153a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜒 → 0 ∈ ℝ*)
78254a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜒 → π ∈ ℝ*)
783748leidd 10439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜒 → 0 ≤ 0)
784 ioossre 12058 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (0(,)π) ⊆ ℝ
785784, 753sseldi 3561 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜒𝑑 ∈ ℝ)
786781, 782, 753, 104syl3anc 1317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜒𝑑 < π)
787785, 749, 786ltled 10032 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜒𝑑 ≤ π)
788 ioossioo 12088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 0 ∧ 𝑑 ≤ π)) → (0(,)𝑑) ⊆ (0(,)π))
789781, 782, 783, 787, 788syl22anc 1318 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒 → (0(,)𝑑) ⊆ (0(,)π))
790 ioombl 23053 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (0(,)𝑑) ∈ dom vol
791790a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒 → (0(,)𝑑) ∈ dom vol)
792 eleq1 2671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 ∈ ℕ ↔ 𝑘 ∈ ℕ))
793792anbi2d 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 = 𝑘 → ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ↔ (𝜑𝑘 ∈ ℕ)))
794 simpl 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑛 = 𝑘𝑠 ∈ (0(,)π)) → 𝑛 = 𝑘)
795794oveq1d 6538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑛 = 𝑘𝑠 ∈ (0(,)π)) → (𝑛 + (1 / 2)) = (𝑘 + (1 / 2)))
796795oveq1d 6538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑛 = 𝑘𝑠 ∈ (0(,)π)) → ((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠) = ((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))
797796fveq2d 6088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑛 = 𝑘𝑠 ∈ (0(,)π)) → (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) = (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠)))
798797oveq2d 6539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑛 = 𝑘𝑠 ∈ (0(,)π)) → ((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠))) = ((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))))
799798mpteq2dva 4662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑛 = 𝑘 → (𝑠 ∈ (0(,)π) ↦ ((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))) = (𝑠 ∈ (0(,)π) ↦ ((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠)))))
800799eleq1d 2667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 = 𝑘 → ((𝑠 ∈ (0(,)π) ↦ ((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))) ∈ 𝐿1 ↔ (𝑠 ∈ (0(,)π) ↦ ((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠)))) ∈ 𝐿1))
801793, 800imbi12d 332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 = 𝑘 → (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑠 ∈ (0(,)π) ↦ ((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))) ∈ 𝐿1) ↔ ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑠 ∈ (0(,)π) ↦ ((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠)))) ∈ 𝐿1)))
802764a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (0(,)π) ⊆ (-π[,]π))
803 ioombl 23053 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (0(,)π) ∈ dom vol
804803a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (0(,)π) ∈ dom vol)
80542ffvelrnda 6248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (𝑈𝑠) ∈ ℝ)
806805adantlr 746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (𝑈𝑠) ∈ ℝ)
807 nnre 10870 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ)
808 readdcl 9871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑛 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → (𝑛 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
809807, 718, 808sylancl 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
810809adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (𝑛 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
811 simpr 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 𝑠 ∈ (-π[,]π))
812210, 811sseldi 3561 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 𝑠 ∈ ℝ)
813810, 812remulcld 9922 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → ((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠) ∈ ℝ)
814813resincld 14654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) ∈ ℝ)
815814adantll 745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) ∈ ℝ)
816806, 815remulcld 9922 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → ((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠))) ∈ ℝ)
817 fourierdlem104.g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝐺 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠)))
818 fourierdlem104.s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 𝑆 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))
819818fvmpt2 6181 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) ∈ ℝ) → (𝑆𝑠) = (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))
820811, 814, 819syl2anc 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (𝑆𝑠) = (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))
821820adantll 745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (𝑆𝑠) = (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))
822821oveq2d 6539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠)) = ((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠))))
823822mpteq2dva 4662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠))) = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))))
824817, 823syl5req 2652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))) = 𝐺)
82514adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
826 fourierdlem104.x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑𝑋 ∈ ran 𝑉)
827826adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ ran 𝑉)
82826adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑌 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋))
82937adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑊 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋))
830807adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℝ)
831259adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℕ)
832261adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑉 ∈ (𝑃𝑀))
833263adantlr 746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
834265adantlr 746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑉𝑖)))
835267adantlr 746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑉‘(𝑖 + 1))))
836 eqid 2605 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = -π ∧ (𝑝𝑚) = π) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))}) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = -π ∧ (𝑝𝑚) = π) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
837 eqid 2605 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (ℝ D 𝐹) = (ℝ D 𝐹)
838593adantlr 746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))):((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))⟶ℝ)
839 fourierdlem104.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑𝐴 ∈ (((ℝ D 𝐹) ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋))
840839adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ (((ℝ D 𝐹) ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋))
841 fourierdlem104.b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑𝐵 ∈ (((ℝ D 𝐹) ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋))
842841adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ (((ℝ D 𝐹) ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋))
843258, 825, 827, 828, 829, 39, 40, 41, 830, 818, 817, 831, 832, 833, 834, 835, 80, 836, 837, 838, 840, 842fourierdlem88 38887 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐺 ∈ 𝐿1)
844824, 843eqeltrd 2683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))) ∈ 𝐿1)
845802, 804, 816, 844iblss 23290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑠 ∈ (0(,)π) ↦ ((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))) ∈ 𝐿1)
846801, 845chvarv 2245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑠 ∈ (0(,)π) ↦ ((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠)))) ∈ 𝐿1)
847756, 770, 846syl2anc 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒 → (𝑠 ∈ (0(,)π) ↦ ((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠)))) ∈ 𝐿1)
848789, 791, 779, 847iblss 23290 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒 → (𝑠 ∈ (0(,)𝑑) ↦ ((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠)))) ∈ 𝐿1)
849781, 782, 753, 55syl3anc 1317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜒 → 0 < 𝑑)
850748, 785, 849ltled 10032 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜒 → 0 ≤ 𝑑)
851749leidd 10439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜒 → π ≤ π)
852 ioossioo 12088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 𝑑 ∧ π ≤ π)) → (𝑑(,)π) ⊆ (0(,)π))
853781, 782, 850, 851, 852syl22anc 1318 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒 → (𝑑(,)π) ⊆ (0(,)π))
854 ioombl 23053 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑑(,)π) ∈ dom vol
855854a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒 → (𝑑(,)π) ∈ dom vol)
856853, 855, 779, 847iblss 23290 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒 → (𝑠 ∈ (𝑑(,)π) ↦ ((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠)))) ∈ 𝐿1)
857748, 749, 754, 780, 848, 856itgsplitioo 23323 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜒 → ∫(0(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠 = (∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠 + ∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠))
858857fveq2d 6088 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜒 → (abs‘∫(0(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) = (abs‘(∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠 + ∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠)))
859789sselda 3563 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜒𝑠 ∈ (0(,)𝑑)) → 𝑠 ∈ (0(,)π))
860859, 779syldan 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜒𝑠 ∈ (0(,)𝑑)) → ((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) ∈ ℝ)
861860, 848itgcl 23269 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒 → ∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠 ∈ ℂ)
862853sselda 3563 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜒𝑠 ∈ (𝑑(,)π)) → 𝑠 ∈ (0(,)π))
863862, 779syldan 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜒𝑠 ∈ (𝑑(,)π)) → ((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) ∈ ℝ)
864863, 856itgcl 23269 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒 → ∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠 ∈ ℂ)
865861, 864addcld 9911 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒 → (∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠 + ∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) ∈ ℂ)
866865abscld 13965 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜒 → (abs‘(∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠 + ∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠)) ∈ ℝ)
867861abscld 13965 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒 → (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) ∈ ℝ)
868864abscld 13965 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒 → (abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) ∈ ℝ)
869867, 868readdcld 9921 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜒 → ((abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) + (abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠)) ∈ ℝ)
870 simp-5r 804 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ (abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) → 𝑒 ∈ ℝ+)
871751, 870syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒𝑒 ∈ ℝ+)
872871rpred 11700 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜒𝑒 ∈ ℝ)
873861, 864abstrid 13985 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜒 → (abs‘(∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠 + ∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠)) ≤ ((abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) + (abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠)))
874751simplrd 788 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒 → (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
875751simprd 477 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒 → (abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
876867, 868, 872, 874, 875lt2halvesd 11123 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜒 → ((abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) + (abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠)) < 𝑒)
877866, 869, 872, 873, 876lelttrd 10042 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜒 → (abs‘(∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠 + ∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠)) < 𝑒)
878858, 877eqbrtrd 4595 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜒 → (abs‘∫(0(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < 𝑒)
879747, 878syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (abs‘∫(0(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < 𝑒)
880879ex 448 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑙 ∈ (𝑗(,)+∞)(abs‘∫(𝑑(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘(𝑙 · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) → (𝑘 ∈ (ℤ𝑗) → (abs‘∫(0(,)π)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < 𝑒))
881701, 880ralrimi 2935 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (0(,)π)) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫(0(,)𝑑)((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) ·