Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem108 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem108 39759
Description: The integral of a piecewise continuous periodic function 𝐹 is unchanged if the domain is shifted by any positive value 𝑋. This lemma generalizes fourierdlem92 39743 where the integral was shifted by the exact period. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem108.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem108.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
fourierdlem108.t 𝑇 = (𝐵𝐴)
fourierdlem108.x (𝜑𝑋 ∈ ℝ+)
fourierdlem108.p 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐴 ∧ (𝑝𝑚) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
fourierdlem108.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
fourierdlem108.q (𝜑𝑄 ∈ (𝑃𝑀))
fourierdlem108.f (𝜑𝐹:ℝ⟶ℂ)
fourierdlem108.fper ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
fourierdlem108.fcn ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
fourierdlem108.r ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)))
fourierdlem108.l ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem108 (𝜑 → ∫((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))(𝐹𝑥) d𝑥 = ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑖,𝑥   𝐴,𝑚,𝑝,𝑖   𝐵,𝑖,𝑥   𝐵,𝑚,𝑝   𝑖,𝐹,𝑥   𝑥,𝐿   𝑖,𝑀,𝑥   𝑚,𝑀,𝑝   𝑄,𝑖,𝑥   𝑄,𝑚,𝑝   𝑥,𝑅   𝑇,𝑖,𝑥   𝑇,𝑚,𝑝   𝑖,𝑋,𝑥   𝑚,𝑋,𝑝   𝜑,𝑖,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚,𝑝)   𝑃(𝑥,𝑖,𝑚,𝑝)   𝑅(𝑖,𝑚,𝑝)   𝐹(𝑚,𝑝)   𝐿(𝑖,𝑚,𝑝)

Proof of Theorem fourierdlem108
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑘 𝑤 𝑦 𝑗 𝑧 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem108.a . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 fourierdlem108.b . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
3 fourierdlem108.t . 2 𝑇 = (𝐵𝐴)
4 fourierdlem108.x . 2 (𝜑𝑋 ∈ ℝ+)
5 fourierdlem108.p . 2 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐴 ∧ (𝑝𝑚) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
6 fourierdlem108.m . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
7 fourierdlem108.q . 2 (𝜑𝑄 ∈ (𝑃𝑀))
8 fourierdlem108.f . 2 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℂ)
9 fourierdlem108.fper . 2 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
10 fourierdlem108.fcn . 2 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
11 fourierdlem108.r . 2 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)))
12 fourierdlem108.l . 2 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
13 eqid 2621 . 2 (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = (𝐴𝑋) ∧ (𝑝𝑚) = 𝐴) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))}) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = (𝐴𝑋) ∧ (𝑝𝑚) = 𝐴) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
14 oveq1 6617 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑦 → (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)))
1514eleq1d 2683 . . . . 5 (𝑤 = 𝑦 → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄))
1615rexbidv 3046 . . . 4 (𝑤 = 𝑦 → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄))
1716cbvrabv 3188 . . 3 {𝑤 ∈ ((𝐴𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄} = {𝑦 ∈ ((𝐴𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}
1817uneq2i 3747 . 2 ({(𝐴𝑋), 𝐴} ∪ {𝑤 ∈ ((𝐴𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}) = ({(𝐴𝑋), 𝐴} ∪ {𝑦 ∈ ((𝐴𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})
19 oveq1 6617 . . . . . . . . . 10 (𝑙 = 𝑘 → (𝑙 · 𝑇) = (𝑘 · 𝑇))
2019oveq2d 6626 . . . . . . . . 9 (𝑙 = 𝑘 → (𝑤 + (𝑙 · 𝑇)) = (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)))
2120eleq1d 2683 . . . . . . . 8 (𝑙 = 𝑘 → ((𝑤 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄))
2221cbvrexv 3163 . . . . . . 7 (∃𝑙 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄)
2322rgenw 2919 . . . . . 6 𝑤 ∈ ((𝐴𝑋)[,]𝐴)(∃𝑙 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄)
24 rabbi 3112 . . . . . 6 (∀𝑤 ∈ ((𝐴𝑋)[,]𝐴)(∃𝑙 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄) ↔ {𝑤 ∈ ((𝐴𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄} = {𝑤 ∈ ((𝐴𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})
2523, 24mpbi 220 . . . . 5 {𝑤 ∈ ((𝐴𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄} = {𝑤 ∈ ((𝐴𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}
2625uneq2i 3747 . . . 4 ({(𝐴𝑋), 𝐴} ∪ {𝑤 ∈ ((𝐴𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}) = ({(𝐴𝑋), 𝐴} ∪ {𝑤 ∈ ((𝐴𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})
2726fveq2i 6156 . . 3 (#‘({(𝐴𝑋), 𝐴} ∪ {𝑤 ∈ ((𝐴𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) = (#‘({(𝐴𝑋), 𝐴} ∪ {𝑤 ∈ ((𝐴𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}))
2827oveq1i 6620 . 2 ((#‘({(𝐴𝑋), 𝐴} ∪ {𝑤 ∈ ((𝐴𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1) = ((#‘({(𝐴𝑋), 𝐴} ∪ {𝑤 ∈ ((𝐴𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)
29 isoeq5 6531 . . . . 5 (({(𝐴𝑋), 𝐴} ∪ {𝑤 ∈ ((𝐴𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}) = ({(𝐴𝑋), 𝐴} ∪ {𝑤 ∈ ((𝐴𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}) → (𝑔 Isom < , < ((0...((#‘({(𝐴𝑋), 𝐴} ∪ {𝑤 ∈ ((𝐴𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({(𝐴𝑋), 𝐴} ∪ {𝑤 ∈ ((𝐴𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) ↔ 𝑔 Isom < , < ((0...((#‘({(𝐴𝑋), 𝐴} ∪ {𝑤 ∈ ((𝐴𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({(𝐴𝑋), 𝐴} ∪ {𝑤 ∈ ((𝐴𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}))))
3026, 29ax-mp 5 . . . 4 (𝑔 Isom < , < ((0...((#‘({(𝐴𝑋), 𝐴} ∪ {𝑤 ∈ ((𝐴𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({(𝐴𝑋), 𝐴} ∪ {𝑤 ∈ ((𝐴𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) ↔ 𝑔 Isom < , < ((0...((#‘({(𝐴𝑋), 𝐴} ∪ {𝑤 ∈ ((𝐴𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({(𝐴𝑋), 𝐴} ∪ {𝑤 ∈ ((𝐴𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})))
31 isoeq1 6527 . . . 4 (𝑔 = 𝑓 → (𝑔 Isom < , < ((0...((#‘({(𝐴𝑋), 𝐴} ∪ {𝑤 ∈ ((𝐴𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({(𝐴𝑋), 𝐴} ∪ {𝑤 ∈ ((𝐴𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) ↔ 𝑓 Isom < , < ((0...((#‘({(𝐴𝑋), 𝐴} ∪ {𝑤 ∈ ((𝐴𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({(𝐴𝑋), 𝐴} ∪ {𝑤 ∈ ((𝐴𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}))))
3230, 31syl5bb 272 . . 3 (𝑔 = 𝑓 → (𝑔 Isom < , < ((0...((#‘({(𝐴𝑋), 𝐴} ∪ {𝑤 ∈ ((𝐴𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({(𝐴𝑋), 𝐴} ∪ {𝑤 ∈ ((𝐴𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) ↔ 𝑓 Isom < , < ((0...((#‘({(𝐴𝑋), 𝐴} ∪ {𝑤 ∈ ((𝐴𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({(𝐴𝑋), 𝐴} ∪ {𝑤 ∈ ((𝐴𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}))))
3332cbviotav 5821 . 2 (℩𝑔𝑔 Isom < , < ((0...((#‘({(𝐴𝑋), 𝐴} ∪ {𝑤 ∈ ((𝐴𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({(𝐴𝑋), 𝐴} ∪ {𝑤 ∈ ((𝐴𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}))) = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...((#‘({(𝐴𝑋), 𝐴} ∪ {𝑤 ∈ ((𝐴𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({(𝐴𝑋), 𝐴} ∪ {𝑤 ∈ ((𝐴𝑋)[,]𝐴) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})))
34 id 22 . . . 4 (𝑤 = 𝑥𝑤 = 𝑥)
35 oveq2 6618 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑥 → (𝐵𝑤) = (𝐵𝑥))
3635oveq1d 6625 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑥 → ((𝐵𝑤) / 𝑇) = ((𝐵𝑥) / 𝑇))
3736fveq2d 6157 . . . . 5 (𝑤 = 𝑥 → (⌊‘((𝐵𝑤) / 𝑇)) = (⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)))
3837oveq1d 6625 . . . 4 (𝑤 = 𝑥 → ((⌊‘((𝐵𝑤) / 𝑇)) · 𝑇) = ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇))
3934, 38oveq12d 6628 . . 3 (𝑤 = 𝑥 → (𝑤 + ((⌊‘((𝐵𝑤) / 𝑇)) · 𝑇)) = (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
4039cbvmptv 4715 . 2 (𝑤 ∈ ℝ ↦ (𝑤 + ((⌊‘((𝐵𝑤) / 𝑇)) · 𝑇))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
41 eqeq1 2625 . . . 4 (𝑤 = 𝑦 → (𝑤 = 𝐵𝑦 = 𝐵))
42 id 22 . . . 4 (𝑤 = 𝑦𝑤 = 𝑦)
4341, 42ifbieq2d 4088 . . 3 (𝑤 = 𝑦 → if(𝑤 = 𝐵, 𝐴, 𝑤) = if(𝑦 = 𝐵, 𝐴, 𝑦))
4443cbvmptv 4715 . 2 (𝑤 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑤 = 𝐵, 𝐴, 𝑤)) = (𝑦 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑦 = 𝐵, 𝐴, 𝑦))
45 fveq2 6153 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑥 → ((𝑤 ∈ ℝ ↦ (𝑤 + ((⌊‘((𝐵𝑤) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑧) = ((𝑤 ∈ ℝ ↦ (𝑤 + ((⌊‘((𝐵𝑤) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑥))
4645fveq2d 6157 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑥 → ((𝑤 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑤 = 𝐵, 𝐴, 𝑤))‘((𝑤 ∈ ℝ ↦ (𝑤 + ((⌊‘((𝐵𝑤) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑧)) = ((𝑤 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑤 = 𝐵, 𝐴, 𝑤))‘((𝑤 ∈ ℝ ↦ (𝑤 + ((⌊‘((𝐵𝑤) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑥)))
4746breq2d 4630 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑥 → ((𝑄𝑗) ≤ ((𝑤 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑤 = 𝐵, 𝐴, 𝑤))‘((𝑤 ∈ ℝ ↦ (𝑤 + ((⌊‘((𝐵𝑤) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑧)) ↔ (𝑄𝑗) ≤ ((𝑤 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑤 = 𝐵, 𝐴, 𝑤))‘((𝑤 ∈ ℝ ↦ (𝑤 + ((⌊‘((𝐵𝑤) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑥))))
4847rabbidv 3180 . . . . 5 (𝑧 = 𝑥 → {𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑗) ≤ ((𝑤 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑤 = 𝐵, 𝐴, 𝑤))‘((𝑤 ∈ ℝ ↦ (𝑤 + ((⌊‘((𝐵𝑤) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑧))} = {𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑗) ≤ ((𝑤 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑤 = 𝐵, 𝐴, 𝑤))‘((𝑤 ∈ ℝ ↦ (𝑤 + ((⌊‘((𝐵𝑤) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑥))})
49 fveq2 6153 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑖 → (𝑄𝑗) = (𝑄𝑖))
5049breq1d 4628 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑖 → ((𝑄𝑗) ≤ ((𝑤 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑤 = 𝐵, 𝐴, 𝑤))‘((𝑤 ∈ ℝ ↦ (𝑤 + ((⌊‘((𝐵𝑤) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑥)) ↔ (𝑄𝑖) ≤ ((𝑤 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑤 = 𝐵, 𝐴, 𝑤))‘((𝑤 ∈ ℝ ↦ (𝑤 + ((⌊‘((𝐵𝑤) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑥))))
5150cbvrabv 3188 . . . . 5 {𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑗) ≤ ((𝑤 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑤 = 𝐵, 𝐴, 𝑤))‘((𝑤 ∈ ℝ ↦ (𝑤 + ((⌊‘((𝐵𝑤) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑥))} = {𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑖) ≤ ((𝑤 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑤 = 𝐵, 𝐴, 𝑤))‘((𝑤 ∈ ℝ ↦ (𝑤 + ((⌊‘((𝐵𝑤) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑥))}
5248, 51syl6eq 2671 . . . 4 (𝑧 = 𝑥 → {𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑗) ≤ ((𝑤 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑤 = 𝐵, 𝐴, 𝑤))‘((𝑤 ∈ ℝ ↦ (𝑤 + ((⌊‘((𝐵𝑤) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑧))} = {𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑖) ≤ ((𝑤 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑤 = 𝐵, 𝐴, 𝑤))‘((𝑤 ∈ ℝ ↦ (𝑤 + ((⌊‘((𝐵𝑤) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑥))})
5352supeq1d 8303 . . 3 (𝑧 = 𝑥 → sup({𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑗) ≤ ((𝑤 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑤 = 𝐵, 𝐴, 𝑤))‘((𝑤 ∈ ℝ ↦ (𝑤 + ((⌊‘((𝐵𝑤) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑧))}, ℝ, < ) = sup({𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑖) ≤ ((𝑤 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑤 = 𝐵, 𝐴, 𝑤))‘((𝑤 ∈ ℝ ↦ (𝑤 + ((⌊‘((𝐵𝑤) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑥))}, ℝ, < ))
5453cbvmptv 4715 . 2 (𝑧 ∈ ℝ ↦ sup({𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑗) ≤ ((𝑤 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑤 = 𝐵, 𝐴, 𝑤))‘((𝑤 ∈ ℝ ↦ (𝑤 + ((⌊‘((𝐵𝑤) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑧))}, ℝ, < )) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup({𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑖) ≤ ((𝑤 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑤 = 𝐵, 𝐴, 𝑤))‘((𝑤 ∈ ℝ ↦ (𝑤 + ((⌊‘((𝐵𝑤) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑥))}, ℝ, < ))
551, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 18, 28, 33, 40, 44, 54fourierdlem107 39758 1 (𝜑 → ∫((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))(𝐹𝑥) d𝑥 = ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2907  wrex 2908  {crab 2911  cun 3557  ifcif 4063  {cpr 4155   class class class wbr 4618  cmpt 4678  ran crn 5080  cres 5081  cio 5813  wf 5848  cfv 5852   Isom wiso 5853  (class class class)co 6610  𝑚 cmap 7809  supcsup 8297  cc 9885  cr 9886  0cc0 9887  1c1 9888   + caddc 9890   · cmul 9892   < clt 10025  cle 10026  cmin 10217   / cdiv 10635  cn 10971  cz 11328  +crp 11783  (,)cioo 12124  (,]cioc 12125  [,]cicc 12127  ...cfz 12275  ..^cfzo 12413  cfl 12538  #chash 13064  cnccncf 22598  citg 23306   lim climc 23545
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-inf2 8489  ax-cc 9208  ax-cnex 9943  ax-resscn 9944  ax-1cn 9945  ax-icn 9946  ax-addcl 9947  ax-addrcl 9948  ax-mulcl 9949  ax-mulrcl 9950  ax-mulcom 9951  ax-addass 9952  ax-mulass 9953  ax-distr 9954  ax-i2m1 9955  ax-1ne0 9956  ax-1rid 9957  ax-rnegex 9958  ax-rrecex 9959  ax-cnre 9960  ax-pre-lttri 9961  ax-pre-lttrn 9962  ax-pre-ltadd 9963  ax-pre-mulgt0 9964  ax-pre-sup 9965  ax-addf 9966  ax-mulf 9967
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-iin 4493  df-disj 4589  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-isom 5861  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-of 6857  df-ofr 6858  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-supp 7248  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-2o 7513  df-oadd 7516  df-omul 7517  df-er 7694  df-map 7811  df-pm 7812  df-ixp 7860  df-en 7907  df-dom 7908  df-sdom 7909  df-fin 7910  df-fsupp 8227  df-fi 8268  df-sup 8299  df-inf 8300  df-oi 8366  df-card 8716  df-acn 8719  df-cda 8941  df-pnf 10027  df-mnf 10028  df-xr 10029  df-ltxr 10030  df-le 10031  df-sub 10219  df-neg 10220  df-div 10636  df-nn 10972  df-2 11030  df-3 11031  df-4 11032  df-5 11033  df-6 11034  df-7 11035  df-8 11036  df-9 11037  df-n0 11244  df-xnn0 11315  df-z 11329  df-dec 11445  df-uz 11639  df-q 11740  df-rp 11784  df-xneg 11897  df-xadd 11898  df-xmul 11899  df-ioo 12128  df-ioc 12129  df-ico 12130  df-icc 12131  df-fz 12276  df-fzo 12414  df-fl 12540  df-mod 12616  df-seq 12749  df-exp 12808  df-hash 13065  df-cj 13780  df-re 13781  df-im 13782  df-sqrt 13916  df-abs 13917  df-limsup 14143  df-clim 14160  df-rlim 14161  df-sum 14358  df-struct 15790  df-ndx 15791  df-slot 15792  df-base 15793  df-sets 15794  df-ress 15795  df-plusg 15882  df-mulr 15883  df-starv 15884  df-sca 15885  df-vsca 15886  df-ip 15887  df-tset 15888  df-ple 15889  df-ds 15892  df-unif 15893  df-hom 15894  df-cco 15895  df-rest 16011  df-topn 16012  df-0g 16030  df-gsum 16031  df-topgen 16032  df-pt 16033  df-prds 16036  df-xrs 16090  df-qtop 16095  df-imas 16096  df-xps 16098  df-mre 16174  df-mrc 16175  df-acs 16177  df-mgm 17170  df-sgrp 17212  df-mnd 17223  df-submnd 17264  df-mulg 17469  df-cntz 17678  df-cmn 18123  df-psmet 19666  df-xmet 19667  df-met 19668  df-bl 19669  df-mopn 19670  df-fbas 19671  df-fg 19672  df-cnfld 19675  df-top 20627  df-topon 20644  df-topsp 20657  df-bases 20670  df-cld 20742  df-ntr 20743  df-cls 20744  df-nei 20821  df-lp 20859  df-perf 20860  df-cn 20950  df-cnp 20951  df-haus 21038  df-cmp 21109  df-tx 21284  df-hmeo 21477  df-fil 21569  df-fm 21661  df-flim 21662  df-flf 21663  df-xms 22044  df-ms 22045  df-tms 22046  df-cncf 22600  df-ovol 23152  df-vol 23153  df-mbf 23307  df-itg1 23308  df-itg2 23309  df-ibl 23310  df-itg 23311  df-0p 23356  df-ditg 23530  df-limc 23549  df-dv 23550
This theorem is referenced by:  fourierdlem109  39760
  Copyright terms: Public domain W3C validator