Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem11 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem11 39658
Description: If there is a partition, than the lower bound is strictly less than the upper bound. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem11.p 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐴 ∧ (𝑝𝑚) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
fourierdlem11.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
fourierdlem11.q (𝜑𝑄 ∈ (𝑃𝑀))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem11 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑚,𝑝   𝐵,𝑚,𝑝   𝑖,𝑀,𝑚,𝑝   𝑄,𝑖,𝑝   𝜑,𝑖
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚,𝑝)   𝐴(𝑖)   𝐵(𝑖)   𝑃(𝑖,𝑚,𝑝)   𝑄(𝑚)

Proof of Theorem fourierdlem11
StepHypRef Expression
1 fourierdlem11.q . . . . . . 7 (𝜑𝑄 ∈ (𝑃𝑀))
2 fourierdlem11.m . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
3 fourierdlem11.p . . . . . . . . 9 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐴 ∧ (𝑝𝑚) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
43fourierdlem2 39649 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑄 ∈ (𝑃𝑀) ↔ (𝑄 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑀)) ∧ (((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄𝑀) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))))))
52, 4syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑄 ∈ (𝑃𝑀) ↔ (𝑄 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑀)) ∧ (((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄𝑀) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))))))
61, 5mpbid 222 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑄 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑀)) ∧ (((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄𝑀) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))))
76simprd 479 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄𝑀) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))))
87simpld 475 . . . 4 (𝜑 → ((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄𝑀) = 𝐵))
98simpld 475 . . 3 (𝜑 → (𝑄‘0) = 𝐴)
106simpld 475 . . . . 5 (𝜑𝑄 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑀)))
11 elmapi 7826 . . . . 5 (𝑄 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑀)) → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
1210, 11syl 17 . . . 4 (𝜑𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
13 0red 9988 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
1413leidd 10541 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ 0)
152nnred 10982 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
162nngt0d 11011 . . . . . 6 (𝜑 → 0 < 𝑀)
1713, 15, 16ltled 10132 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ 𝑀)
18 0zd 11336 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
192nnzd 11428 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
20 elfz 12277 . . . . . 6 ((0 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (0 ∈ (0...𝑀) ↔ (0 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝑀)))
2118, 18, 19, 20syl3anc 1323 . . . . 5 (𝜑 → (0 ∈ (0...𝑀) ↔ (0 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝑀)))
2214, 17, 21mpbir2and 956 . . . 4 (𝜑 → 0 ∈ (0...𝑀))
2312, 22ffvelrnd 6318 . . 3 (𝜑 → (𝑄‘0) ∈ ℝ)
249, 23eqeltrrd 2699 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
258simprd 479 . . 3 (𝜑 → (𝑄𝑀) = 𝐵)
2615leidd 10541 . . . . 5 (𝜑𝑀𝑀)
27 elfz 12277 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ (0...𝑀) ↔ (0 ≤ 𝑀𝑀𝑀)))
2819, 18, 19, 27syl3anc 1323 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀 ∈ (0...𝑀) ↔ (0 ≤ 𝑀𝑀𝑀)))
2917, 26, 28mpbir2and 956 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ (0...𝑀))
3012, 29ffvelrnd 6318 . . 3 (𝜑 → (𝑄𝑀) ∈ ℝ)
3125, 30eqeltrrd 2699 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
32 0le1 10498 . . . . . 6 0 ≤ 1
3332a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ 1)
342nnge1d 11010 . . . . 5 (𝜑 → 1 ≤ 𝑀)
35 1zzd 11355 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
36 elfz 12277 . . . . . 6 ((1 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (1 ∈ (0...𝑀) ↔ (0 ≤ 1 ∧ 1 ≤ 𝑀)))
3735, 18, 19, 36syl3anc 1323 . . . . 5 (𝜑 → (1 ∈ (0...𝑀) ↔ (0 ≤ 1 ∧ 1 ≤ 𝑀)))
3833, 34, 37mpbir2and 956 . . . 4 (𝜑 → 1 ∈ (0...𝑀))
3912, 38ffvelrnd 6318 . . 3 (𝜑 → (𝑄‘1) ∈ ℝ)
40 elfzo 12416 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (0 ∈ (0..^𝑀) ↔ (0 ≤ 0 ∧ 0 < 𝑀)))
4118, 18, 19, 40syl3anc 1323 . . . . . 6 (𝜑 → (0 ∈ (0..^𝑀) ↔ (0 ≤ 0 ∧ 0 < 𝑀)))
4214, 16, 41mpbir2and 956 . . . . 5 (𝜑 → 0 ∈ (0..^𝑀))
43 0re 9987 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
44 eleq1 2686 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 0 → (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↔ 0 ∈ (0..^𝑀)))
4544anbi2d 739 . . . . . . . 8 (𝑖 = 0 → ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ↔ (𝜑 ∧ 0 ∈ (0..^𝑀))))
46 fveq2 6150 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 0 → (𝑄𝑖) = (𝑄‘0))
47 oveq1 6614 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 0 → (𝑖 + 1) = (0 + 1))
4847fveq2d 6154 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 0 → (𝑄‘(𝑖 + 1)) = (𝑄‘(0 + 1)))
4946, 48breq12d 4628 . . . . . . . 8 (𝑖 = 0 → ((𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)) ↔ (𝑄‘0) < (𝑄‘(0 + 1))))
5045, 49imbi12d 334 . . . . . . 7 (𝑖 = 0 → (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))) ↔ ((𝜑 ∧ 0 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘0) < (𝑄‘(0 + 1)))))
517simprd 479 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
5251r19.21bi 2927 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
5350, 52vtoclg 3252 . . . . . 6 (0 ∈ ℝ → ((𝜑 ∧ 0 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘0) < (𝑄‘(0 + 1))))
5443, 53ax-mp 5 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘0) < (𝑄‘(0 + 1)))
5542, 54mpdan 701 . . . 4 (𝜑 → (𝑄‘0) < (𝑄‘(0 + 1)))
56 0p1e1 11079 . . . . . 6 (0 + 1) = 1
5756a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (0 + 1) = 1)
5857fveq2d 6154 . . . 4 (𝜑 → (𝑄‘(0 + 1)) = (𝑄‘1))
5955, 9, 583brtr3d 4646 . . 3 (𝜑𝐴 < (𝑄‘1))
60 nnuz 11670 . . . . . 6 ℕ = (ℤ‘1)
612, 60syl6eleq 2708 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘1))
6212adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
63 0red 9988 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ (1...𝑀) → 0 ∈ ℝ)
64 elfzelz 12287 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ (1...𝑀) → 𝑖 ∈ ℤ)
6564zred 11429 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ (1...𝑀) → 𝑖 ∈ ℝ)
66 1red 10002 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ (1...𝑀) → 1 ∈ ℝ)
67 0lt1 10497 . . . . . . . . . . 11 0 < 1
6867a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ (1...𝑀) → 0 < 1)
69 elfzle1 12289 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ (1...𝑀) → 1 ≤ 𝑖)
7063, 66, 65, 68, 69ltletrd 10144 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ (1...𝑀) → 0 < 𝑖)
7163, 65, 70ltled 10132 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ (1...𝑀) → 0 ≤ 𝑖)
72 elfzle2 12290 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ (1...𝑀) → 𝑖𝑀)
73 0zd 11336 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ (1...𝑀) → 0 ∈ ℤ)
74 elfzel2 12285 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ (1...𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
75 elfz 12277 . . . . . . . . 9 ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↔ (0 ≤ 𝑖𝑖𝑀)))
7664, 73, 74, 75syl3anc 1323 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ (1...𝑀) → (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↔ (0 ≤ 𝑖𝑖𝑀)))
7771, 72, 76mpbir2and 956 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ (1...𝑀) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
7877adantl 482 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
7962, 78ffvelrnd 6318 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ)
8012adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
81 0red 9988 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1)) → 0 ∈ ℝ)
82 elfzelz 12287 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1)) → 𝑖 ∈ ℤ)
8382zred 11429 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1)) → 𝑖 ∈ ℝ)
84 1red 10002 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1)) → 1 ∈ ℝ)
8567a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1)) → 0 < 1)
86 elfzle1 12289 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1)) → 1 ≤ 𝑖)
8781, 84, 83, 85, 86ltletrd 10144 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1)) → 0 < 𝑖)
8881, 83, 87ltled 10132 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1)) → 0 ≤ 𝑖)
8988adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → 0 ≤ 𝑖)
9083adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → 𝑖 ∈ ℝ)
9115adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → 𝑀 ∈ ℝ)
92 peano2rem 10295 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℝ → (𝑀 − 1) ∈ ℝ)
9391, 92syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → (𝑀 − 1) ∈ ℝ)
94 elfzle2 12290 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1)) → 𝑖 ≤ (𝑀 − 1))
9594adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → 𝑖 ≤ (𝑀 − 1))
9691ltm1d 10903 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → (𝑀 − 1) < 𝑀)
9790, 93, 91, 95, 96lelttrd 10142 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → 𝑖 < 𝑀)
9890, 91, 97ltled 10132 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → 𝑖𝑀)
9982adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → 𝑖 ∈ ℤ)
100 0zd 11336 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → 0 ∈ ℤ)
10119adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → 𝑀 ∈ ℤ)
10299, 100, 101, 75syl3anc 1323 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↔ (0 ≤ 𝑖𝑖𝑀)))
10389, 98, 102mpbir2and 956 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
10480, 103ffvelrnd 6318 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ)
105 0red 9988 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → 0 ∈ ℝ)
106 peano2re 10156 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ ℝ → (𝑖 + 1) ∈ ℝ)
10790, 106syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → (𝑖 + 1) ∈ ℝ)
108 1red 10002 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → 1 ∈ ℝ)
10967a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → 0 < 1)
11083, 106syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1)) → (𝑖 + 1) ∈ ℝ)
11183ltp1d 10901 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1)) → 𝑖 < (𝑖 + 1))
11284, 83, 110, 86, 111lelttrd 10142 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1)) → 1 < (𝑖 + 1))
113112adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → 1 < (𝑖 + 1))
114105, 108, 107, 109, 113lttrd 10145 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → 0 < (𝑖 + 1))
115105, 107, 114ltled 10132 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → 0 ≤ (𝑖 + 1))
11690, 93, 108, 95leadd1dd 10588 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → (𝑖 + 1) ≤ ((𝑀 − 1) + 1))
1172nncnd 10983 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
118 1cnd 10003 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
119117, 118npcand 10343 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑀 − 1) + 1) = 𝑀)
120119adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → ((𝑀 − 1) + 1) = 𝑀)
121116, 120breqtrd 4641 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → (𝑖 + 1) ≤ 𝑀)
12299peano2zd 11432 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → (𝑖 + 1) ∈ ℤ)
123 elfz 12277 . . . . . . . . 9 (((𝑖 + 1) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀) ↔ (0 ≤ (𝑖 + 1) ∧ (𝑖 + 1) ≤ 𝑀)))
124122, 100, 101, 123syl3anc 1323 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → ((𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀) ↔ (0 ≤ (𝑖 + 1) ∧ (𝑖 + 1) ≤ 𝑀)))
125115, 121, 124mpbir2and 956 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
12680, 125ffvelrnd 6318 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
127 elfzo 12416 . . . . . . . . 9 ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↔ (0 ≤ 𝑖𝑖 < 𝑀)))
12899, 100, 101, 127syl3anc 1323 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↔ (0 ≤ 𝑖𝑖 < 𝑀)))
12989, 97, 128mpbir2and 956 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → 𝑖 ∈ (0..^𝑀))
130129, 52syldan 487 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → (𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
131104, 126, 130ltled 10132 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → (𝑄𝑖) ≤ (𝑄‘(𝑖 + 1)))
13261, 79, 131monoord 12774 . . . 4 (𝜑 → (𝑄‘1) ≤ (𝑄𝑀))
133132, 25breqtrd 4641 . . 3 (𝜑 → (𝑄‘1) ≤ 𝐵)
13424, 39, 31, 59, 133ltletrd 10144 . 2 (𝜑𝐴 < 𝐵)
13524, 31, 1343jca 1240 1 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2907  {crab 2911   class class class wbr 4615  cmpt 4675  wf 5845  cfv 5849  (class class class)co 6607  𝑚 cmap 7805  cr 9882  0cc0 9883  1c1 9884   + caddc 9886   < clt 10021  cle 10022  cmin 10213  cn 10967  cz 11324  cuz 11634  ...cfz 12271  ..^cfzo 12409
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4743  ax-nul 4751  ax-pow 4805  ax-pr 4869  ax-un 6905  ax-cnex 9939  ax-resscn 9940  ax-1cn 9941  ax-icn 9942  ax-addcl 9943  ax-addrcl 9944  ax-mulcl 9945  ax-mulrcl 9946  ax-mulcom 9947  ax-addass 9948  ax-mulass 9949  ax-distr 9950  ax-i2m1 9951  ax-1ne0 9952  ax-1rid 9953  ax-rnegex 9954  ax-rrecex 9955  ax-cnre 9956  ax-pre-lttri 9957  ax-pre-lttrn 9958  ax-pre-ltadd 9959  ax-pre-mulgt0 9960
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3419  df-csb 3516  df-dif 3559  df-un 3561  df-in 3563  df-ss 3570  df-pss 3572  df-nul 3894  df-if 4061  df-pw 4134  df-sn 4151  df-pr 4153  df-tp 4155  df-op 4157  df-uni 4405  df-iun 4489  df-br 4616  df-opab 4676  df-mpt 4677  df-tr 4715  df-eprel 4987  df-id 4991  df-po 4997  df-so 4998  df-fr 5035  df-we 5037  df-xp 5082  df-rel 5083  df-cnv 5084  df-co 5085  df-dm 5086  df-rn 5087  df-res 5088  df-ima 5089  df-pred 5641  df-ord 5687  df-on 5688  df-lim 5689  df-suc 5690  df-iota 5812  df-fun 5851  df-fn 5852  df-f 5853  df-f1 5854  df-fo 5855  df-f1o 5856  df-fv 5857  df-riota 6568  df-ov 6610  df-oprab 6611  df-mpt2 6612  df-om 7016  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7355  df-recs 7416  df-rdg 7454  df-er 7690  df-map 7807  df-en 7903  df-dom 7904  df-sdom 7905  df-pnf 10023  df-mnf 10024  df-xr 10025  df-ltxr 10026  df-le 10027  df-sub 10215  df-neg 10216  df-nn 10968  df-n0 11240  df-z 11325  df-uz 11635  df-fz 12272  df-fzo 12410
This theorem is referenced by:  fourierdlem37  39684  fourierdlem54  39700  fourierdlem63  39709  fourierdlem64  39710  fourierdlem65  39711  fourierdlem69  39715  fourierdlem79  39725  fourierdlem89  39735  fourierdlem90  39736  fourierdlem91  39737  fourierdlem107  39753  fourierdlem109  39755
  Copyright terms: Public domain W3C validator