Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem110 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem110 42378
Description: The integral of a piecewise continuous periodic function 𝐹 is unchanged if the domain is shifted by any value 𝑋. This lemma generalizes fourierdlem92 42360 where the integral was shifted by the exact period. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem110.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem110.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
fourierdlem110.t 𝑇 = (𝐵𝐴)
fourierdlem110.x (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem110.p 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐴 ∧ (𝑝𝑚) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
fourierdlem110.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
fourierdlem110.q (𝜑𝑄 ∈ (𝑃𝑀))
fourierdlem110.f (𝜑𝐹:ℝ⟶ℂ)
fourierdlem110.fper ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
fourierdlem110.fcn ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
fourierdlem110.r ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)))
fourierdlem110.l ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem110 (𝜑 → ∫((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))(𝐹𝑥) d𝑥 = ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑖,𝑥   𝐴,𝑚,𝑝,𝑖   𝐵,𝑖,𝑥   𝐵,𝑚,𝑝   𝑖,𝐹,𝑥   𝑥,𝐿   𝑖,𝑀,𝑥   𝑚,𝑀,𝑝   𝑄,𝑖,𝑥   𝑄,𝑚,𝑝   𝑥,𝑅   𝑇,𝑖,𝑥   𝑇,𝑚,𝑝   𝑖,𝑋,𝑥   𝑚,𝑋,𝑝   𝜑,𝑖,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚,𝑝)   𝑃(𝑥,𝑖,𝑚,𝑝)   𝑅(𝑖,𝑚,𝑝)   𝐹(𝑚,𝑝)   𝐿(𝑖,𝑚,𝑝)

Proof of Theorem fourierdlem110
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑗 𝑘 𝑤 𝑦 𝑧 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem110.a . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 fourierdlem110.b . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
3 fourierdlem110.t . 2 𝑇 = (𝐵𝐴)
4 fourierdlem110.x . 2 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
5 fourierdlem110.p . 2 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐴 ∧ (𝑝𝑚) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
6 fourierdlem110.m . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
7 fourierdlem110.q . 2 (𝜑𝑄 ∈ (𝑃𝑀))
8 fourierdlem110.f . 2 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℂ)
9 fourierdlem110.fper . 2 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
10 fourierdlem110.fcn . 2 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
11 fourierdlem110.r . 2 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)))
12 fourierdlem110.l . 2 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
13 eqid 2818 . 2 (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = (𝐴𝑋) ∧ (𝑝𝑚) = (𝐵𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))}) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = (𝐴𝑋) ∧ (𝑝𝑚) = (𝐵𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
14 oveq1 7152 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)))
1514eleq1d 2894 . . . . 5 (𝑦 = 𝑥 → ((𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄))
1615rexbidv 3294 . . . 4 (𝑦 = 𝑥 → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄))
1716cbvrabv 3489 . . 3 {𝑦 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄} = {𝑥 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}
1817uneq2i 4133 . 2 ({(𝐴𝑋), (𝐵𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}) = ({(𝐴𝑋), (𝐵𝑋)} ∪ {𝑥 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})
19 oveq1 7152 . . . . . . . . . 10 (𝑙 = 𝑘 → (𝑙 · 𝑇) = (𝑘 · 𝑇))
2019oveq2d 7161 . . . . . . . . 9 (𝑙 = 𝑘 → (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) = (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)))
2120eleq1d 2894 . . . . . . . 8 (𝑙 = 𝑘 → ((𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄))
2221cbvrexvw 3448 . . . . . . 7 (∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄)
2322a1i 11 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋)) → (∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄))
2423rabbiia 3470 . . . . 5 {𝑦 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋)) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄} = {𝑦 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}
2524uneq2i 4133 . . . 4 ({(𝐴𝑋), (𝐵𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋)) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}) = ({(𝐴𝑋), (𝐵𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})
2625fveq2i 6666 . . 3 (♯‘({(𝐴𝑋), (𝐵𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋)) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) = (♯‘({(𝐴𝑋), (𝐵𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}))
2726oveq1i 7155 . 2 ((♯‘({(𝐴𝑋), (𝐵𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋)) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1) = ((♯‘({(𝐴𝑋), (𝐵𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)
28 isoeq5 7063 . . . . 5 (({(𝐴𝑋), (𝐵𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋)) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}) = ({(𝐴𝑋), (𝐵𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}) → (𝑔 Isom < , < ((0...((♯‘({(𝐴𝑋), (𝐵𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋)) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({(𝐴𝑋), (𝐵𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋)) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) ↔ 𝑔 Isom < , < ((0...((♯‘({(𝐴𝑋), (𝐵𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋)) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({(𝐴𝑋), (𝐵𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}))))
2925, 28ax-mp 5 . . . 4 (𝑔 Isom < , < ((0...((♯‘({(𝐴𝑋), (𝐵𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋)) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({(𝐴𝑋), (𝐵𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋)) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) ↔ 𝑔 Isom < , < ((0...((♯‘({(𝐴𝑋), (𝐵𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋)) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({(𝐴𝑋), (𝐵𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})))
30 isoeq1 7059 . . . 4 (𝑔 = 𝑓 → (𝑔 Isom < , < ((0...((♯‘({(𝐴𝑋), (𝐵𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋)) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({(𝐴𝑋), (𝐵𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) ↔ 𝑓 Isom < , < ((0...((♯‘({(𝐴𝑋), (𝐵𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋)) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({(𝐴𝑋), (𝐵𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}))))
3129, 30syl5bb 284 . . 3 (𝑔 = 𝑓 → (𝑔 Isom < , < ((0...((♯‘({(𝐴𝑋), (𝐵𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋)) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({(𝐴𝑋), (𝐵𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋)) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) ↔ 𝑓 Isom < , < ((0...((♯‘({(𝐴𝑋), (𝐵𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋)) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({(𝐴𝑋), (𝐵𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}))))
3231cbviotavw 6315 . 2 (℩𝑔𝑔 Isom < , < ((0...((♯‘({(𝐴𝑋), (𝐵𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋)) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({(𝐴𝑋), (𝐵𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋)) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}))) = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...((♯‘({(𝐴𝑋), (𝐵𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋)) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({(𝐴𝑋), (𝐵𝑋)} ∪ {𝑦 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})))
33 id 22 . . . 4 (𝑦 = 𝑥𝑦 = 𝑥)
34 oveq2 7153 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑥 → (𝐵𝑦) = (𝐵𝑥))
3534oveq1d 7160 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑥 → ((𝐵𝑦) / 𝑇) = ((𝐵𝑥) / 𝑇))
3635fveq2d 6667 . . . . 5 (𝑦 = 𝑥 → (⌊‘((𝐵𝑦) / 𝑇)) = (⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)))
3736oveq1d 7160 . . . 4 (𝑦 = 𝑥 → ((⌊‘((𝐵𝑦) / 𝑇)) · 𝑇) = ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇))
3833, 37oveq12d 7163 . . 3 (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 + ((⌊‘((𝐵𝑦) / 𝑇)) · 𝑇)) = (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
3938cbvmptv 5160 . 2 (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + ((⌊‘((𝐵𝑦) / 𝑇)) · 𝑇))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
40 eqeq1 2822 . . . 4 (𝑦 = 𝑤 → (𝑦 = 𝐵𝑤 = 𝐵))
41 id 22 . . . 4 (𝑦 = 𝑤𝑦 = 𝑤)
4240, 41ifbieq2d 4488 . . 3 (𝑦 = 𝑤 → if(𝑦 = 𝐵, 𝐴, 𝑦) = if(𝑤 = 𝐵, 𝐴, 𝑤))
4342cbvmptv 5160 . 2 (𝑦 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑦 = 𝐵, 𝐴, 𝑦)) = (𝑤 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑤 = 𝐵, 𝐴, 𝑤))
44 fveq2 6663 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑥 → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + ((⌊‘((𝐵𝑦) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑧) = ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + ((⌊‘((𝐵𝑦) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑥))
4544fveq2d 6667 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑥 → ((𝑦 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑦 = 𝐵, 𝐴, 𝑦))‘((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + ((⌊‘((𝐵𝑦) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑧)) = ((𝑦 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑦 = 𝐵, 𝐴, 𝑦))‘((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + ((⌊‘((𝐵𝑦) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑥)))
4645breq2d 5069 . . . . 5 (𝑧 = 𝑥 → ((𝑄𝑗) ≤ ((𝑦 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑦 = 𝐵, 𝐴, 𝑦))‘((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + ((⌊‘((𝐵𝑦) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑧)) ↔ (𝑄𝑗) ≤ ((𝑦 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑦 = 𝐵, 𝐴, 𝑦))‘((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + ((⌊‘((𝐵𝑦) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑥))))
4746rabbidv 3478 . . . 4 (𝑧 = 𝑥 → {𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑗) ≤ ((𝑦 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑦 = 𝐵, 𝐴, 𝑦))‘((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + ((⌊‘((𝐵𝑦) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑧))} = {𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑗) ≤ ((𝑦 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑦 = 𝐵, 𝐴, 𝑦))‘((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + ((⌊‘((𝐵𝑦) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑥))})
4847supeq1d 8898 . . 3 (𝑧 = 𝑥 → sup({𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑗) ≤ ((𝑦 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑦 = 𝐵, 𝐴, 𝑦))‘((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + ((⌊‘((𝐵𝑦) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑧))}, ℝ, < ) = sup({𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑗) ≤ ((𝑦 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑦 = 𝐵, 𝐴, 𝑦))‘((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + ((⌊‘((𝐵𝑦) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑥))}, ℝ, < ))
4948cbvmptv 5160 . 2 (𝑧 ∈ ℝ ↦ sup({𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑗) ≤ ((𝑦 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑦 = 𝐵, 𝐴, 𝑦))‘((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + ((⌊‘((𝐵𝑦) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑧))}, ℝ, < )) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup({𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑗) ≤ ((𝑦 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑦 = 𝐵, 𝐴, 𝑦))‘((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + ((⌊‘((𝐵𝑦) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑥))}, ℝ, < ))
501, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 18, 27, 32, 39, 43, 49fourierdlem109 42377 1 (𝜑 → ∫((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))(𝐹𝑥) d𝑥 = ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  wral 3135  wrex 3136  {crab 3139  cun 3931  ifcif 4463  {cpr 4559   class class class wbr 5057  cmpt 5137  ran crn 5549  cres 5550  cio 6305  wf 6344  cfv 6348   Isom wiso 6349  (class class class)co 7145  m cmap 8395  supcsup 8892  cc 10523  cr 10524  0cc0 10525  1c1 10526   + caddc 10528   · cmul 10530   < clt 10663  cle 10664  cmin 10858   / cdiv 11285  cn 11626  cz 11969  (,)cioo 12726  (,]cioc 12727  [,]cicc 12729  ...cfz 12880  ..^cfzo 13021  cfl 13148  chash 13678  cnccncf 23411  citg 24146   lim climc 24387
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-inf2 9092  ax-cc 9845  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603  ax-addf 10604  ax-mulf 10605
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-symdif 4216  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-disj 5023  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7398  df-ofr 7399  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-supp 7820  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-2o 8092  df-oadd 8095  df-omul 8096  df-er 8278  df-map 8397  df-pm 8398  df-ixp 8450  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-fsupp 8822  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-dju 9318  df-card 9356  df-acn 9359  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-xnn0 11956  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ioo 12730  df-ioc 12731  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-fl 13150  df-mod 13226  df-seq 13358  df-exp 13418  df-hash 13679  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-limsup 14816  df-clim 14833  df-rlim 14834  df-sum 15031  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-starv 16568  df-sca 16569  df-vsca 16570  df-ip 16571  df-tset 16572  df-ple 16573  df-ds 16575  df-unif 16576  df-hom 16577  df-cco 16578  df-rest 16684  df-topn 16685  df-0g 16703  df-gsum 16704  df-topgen 16705  df-pt 16706  df-prds 16709  df-xrs 16763  df-qtop 16768  df-imas 16769  df-xps 16771  df-mre 16845  df-mrc 16846  df-acs 16848  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-submnd 17945  df-mulg 18163  df-cntz 18385  df-cmn 18837  df-psmet 20465  df-xmet 20466  df-met 20467  df-bl 20468  df-mopn 20469  df-fbas 20470  df-fg 20471  df-cnfld 20474  df-top 21430  df-topon 21447  df-topsp 21469  df-bases 21482  df-cld 21555  df-ntr 21556  df-cls 21557  df-nei 21634  df-lp 21672  df-perf 21673  df-cn 21763  df-cnp 21764  df-haus 21851  df-cmp 21923  df-tx 22098  df-hmeo 22291  df-fil 22382  df-fm 22474  df-flim 22475  df-flf 22476  df-xms 22857  df-ms 22858  df-tms 22859  df-cncf 23413  df-ovol 23992  df-vol 23993  df-mbf 24147  df-itg1 24148  df-itg2 24149  df-ibl 24150  df-itg 24151  df-0p 24198  df-ditg 24372  df-limc 24391  df-dv 24392
This theorem is referenced by:  fourierdlem111  42379
  Copyright terms: Public domain W3C validator