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Theorem fourierdlem19 40838
Description: If two elements of 𝐷 have the same periodic image in (𝐴(,]𝐵) then they are equal. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem19.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem19.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
fourierdlem19.altb (𝜑𝐴 < 𝐵)
fourierdlem19.x (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem19.d 𝐷 = {𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶}
fourierdlem19.t 𝑇 = (𝐵𝐴)
fourierdlem19.e 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
fourierdlem19.w (𝜑𝑊𝐷)
fourierdlem19.z (𝜑𝑍𝐷)
fourierdlem19.ezew (𝜑 → (𝐸𝑍) = (𝐸𝑊))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem19 (𝜑 → ¬ 𝑊 < 𝑍)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑦,𝐴   𝑥,𝐵   𝑦,𝐵   𝑥,𝑇   𝑥,𝑊   𝑦,𝑋   𝑥,𝑍   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑘)   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑥,𝑦,𝑘)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑘)   𝑇(𝑦,𝑘)   𝐸(𝑥,𝑦,𝑘)   𝑊(𝑦,𝑘)   𝑋(𝑥,𝑘)   𝑍(𝑦,𝑘)

Proof of Theorem fourierdlem19
StepHypRef Expression
1 fourierdlem19.a . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 fourierdlem19.x . . . . . 6 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
31, 2readdcld 10253 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 + 𝑋) ∈ ℝ)
43rexrd 10273 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 + 𝑋) ∈ ℝ*)
5 fourierdlem19.b . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
65, 2readdcld 10253 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵 + 𝑋) ∈ ℝ)
76rexrd 10273 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 + 𝑋) ∈ ℝ*)
8 fourierdlem19.d . . . . . 6 𝐷 = {𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶}
9 ssrab2 3820 . . . . . 6 {𝑦 ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋)) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐶} ⊆ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋))
108, 9eqsstri 3768 . . . . 5 𝐷 ⊆ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋))
11 fourierdlem19.z . . . . 5 (𝜑𝑍𝐷)
1210, 11sseldi 3734 . . . 4 (𝜑𝑍 ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋)))
13 iocleub 40220 . . . 4 (((𝐴 + 𝑋) ∈ ℝ* ∧ (𝐵 + 𝑋) ∈ ℝ*𝑍 ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋))) → 𝑍 ≤ (𝐵 + 𝑋))
144, 7, 12, 13syl3anc 1473 . . 3 (𝜑𝑍 ≤ (𝐵 + 𝑋))
1514adantr 472 . 2 ((𝜑𝑊 < 𝑍) → 𝑍 ≤ (𝐵 + 𝑋))
166adantr 472 . . . 4 ((𝜑𝑊 < 𝑍) → (𝐵 + 𝑋) ∈ ℝ)
17 iocssre 12438 . . . . . . . 8 (((𝐴 + 𝑋) ∈ ℝ* ∧ (𝐵 + 𝑋) ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋)) ⊆ ℝ)
184, 6, 17syl2anc 696 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋)) ⊆ ℝ)
19 fourierdlem19.w . . . . . . . 8 (𝜑𝑊𝐷)
2010, 19sseldi 3734 . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋)))
2118, 20sseldd 3737 . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ ℝ)
22 fourierdlem19.t . . . . . . 7 𝑇 = (𝐵𝐴)
235, 1resubcld 10642 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ ℝ)
2422, 23syl5eqel 2835 . . . . . 6 (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
2521, 24readdcld 10253 . . . . 5 (𝜑 → (𝑊 + 𝑇) ∈ ℝ)
2625adantr 472 . . . 4 ((𝜑𝑊 < 𝑍) → (𝑊 + 𝑇) ∈ ℝ)
2718, 12sseldd 3737 . . . . 5 (𝜑𝑍 ∈ ℝ)
2827adantr 472 . . . 4 ((𝜑𝑊 < 𝑍) → 𝑍 ∈ ℝ)
2922eqcomi 2761 . . . . . . . . . . 11 (𝐵𝐴) = 𝑇
3029a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐵𝐴) = 𝑇)
315recnd 10252 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
321recnd 10252 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
3324recnd 10252 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑇 ∈ ℂ)
3431, 32, 33subaddd 10594 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐵𝐴) = 𝑇 ↔ (𝐴 + 𝑇) = 𝐵))
3530, 34mpbid 222 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 + 𝑇) = 𝐵)
3635eqcomd 2758 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 = (𝐴 + 𝑇))
3736oveq1d 6820 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵 + 𝑋) = ((𝐴 + 𝑇) + 𝑋))
382recnd 10252 . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
3932, 33, 38add32d 10447 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴 + 𝑇) + 𝑋) = ((𝐴 + 𝑋) + 𝑇))
4037, 39eqtrd 2786 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵 + 𝑋) = ((𝐴 + 𝑋) + 𝑇))
41 iocgtlb 40219 . . . . . . . 8 (((𝐴 + 𝑋) ∈ ℝ* ∧ (𝐵 + 𝑋) ∈ ℝ*𝑊 ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,](𝐵 + 𝑋))) → (𝐴 + 𝑋) < 𝑊)
424, 7, 20, 41syl3anc 1473 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 + 𝑋) < 𝑊)
433, 21, 24, 42ltadd1dd 10822 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴 + 𝑋) + 𝑇) < (𝑊 + 𝑇))
4440, 43eqbrtrd 4818 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵 + 𝑋) < (𝑊 + 𝑇))
4544adantr 472 . . . 4 ((𝜑𝑊 < 𝑍) → (𝐵 + 𝑋) < (𝑊 + 𝑇))
46 fourierdlem19.e . . . . . . . . . . . . 13 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
4746a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇))))
48 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑊𝑥 = 𝑊)
49 oveq2 6813 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑊 → (𝐵𝑥) = (𝐵𝑊))
5049oveq1d 6820 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑊 → ((𝐵𝑥) / 𝑇) = ((𝐵𝑊) / 𝑇))
5150fveq2d 6348 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑊 → (⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) = (⌊‘((𝐵𝑊) / 𝑇)))
5251oveq1d 6820 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑊 → ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇) = ((⌊‘((𝐵𝑊) / 𝑇)) · 𝑇))
5348, 52oveq12d 6823 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑊 → (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) = (𝑊 + ((⌊‘((𝐵𝑊) / 𝑇)) · 𝑇)))
5453adantl 473 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 = 𝑊) → (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) = (𝑊 + ((⌊‘((𝐵𝑊) / 𝑇)) · 𝑇)))
555, 21resubcld 10642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐵𝑊) ∈ ℝ)
56 fourierdlem19.altb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝐴 < 𝐵)
571, 5posdifd 10798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵𝐴)))
5856, 57mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → 0 < (𝐵𝐴))
5958, 22syl6breqr 4838 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → 0 < 𝑇)
6059gt0ne0d 10776 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑇 ≠ 0)
6155, 24, 60redivcld 11037 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝐵𝑊) / 𝑇) ∈ ℝ)
6261flcld 12785 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (⌊‘((𝐵𝑊) / 𝑇)) ∈ ℤ)
6362zred 11666 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (⌊‘((𝐵𝑊) / 𝑇)) ∈ ℝ)
6463, 24remulcld 10254 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((⌊‘((𝐵𝑊) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ ℝ)
6521, 64readdcld 10253 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑊 + ((⌊‘((𝐵𝑊) / 𝑇)) · 𝑇)) ∈ ℝ)
6647, 54, 21, 65fvmptd 6442 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐸𝑊) = (𝑊 + ((⌊‘((𝐵𝑊) / 𝑇)) · 𝑇)))
6766, 65eqeltrd 2831 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐸𝑊) ∈ ℝ)
6867recnd 10252 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐸𝑊) ∈ ℂ)
6968adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑊 < 𝑍) → (𝐸𝑊) ∈ ℂ)
7064recnd 10252 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((⌊‘((𝐵𝑊) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ ℂ)
7170adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑊 < 𝑍) → ((⌊‘((𝐵𝑊) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ ℂ)
7233adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑊 < 𝑍) → 𝑇 ∈ ℂ)
7369, 71, 72subsubd 10604 . . . . . . 7 ((𝜑𝑊 < 𝑍) → ((𝐸𝑊) − (((⌊‘((𝐵𝑊) / 𝑇)) · 𝑇) − 𝑇)) = (((𝐸𝑊) − ((⌊‘((𝐵𝑊) / 𝑇)) · 𝑇)) + 𝑇))
7473eqcomd 2758 . . . . . 6 ((𝜑𝑊 < 𝑍) → (((𝐸𝑊) − ((⌊‘((𝐵𝑊) / 𝑇)) · 𝑇)) + 𝑇) = ((𝐸𝑊) − (((⌊‘((𝐵𝑊) / 𝑇)) · 𝑇) − 𝑇)))
755, 27resubcld 10642 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐵𝑍) ∈ ℝ)
7675, 24, 60redivcld 11037 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐵𝑍) / 𝑇) ∈ ℝ)
7776flcld 12785 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (⌊‘((𝐵𝑍) / 𝑇)) ∈ ℤ)
7877zred 11666 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (⌊‘((𝐵𝑍) / 𝑇)) ∈ ℝ)
7978adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑊 < 𝑍) → (⌊‘((𝐵𝑍) / 𝑇)) ∈ ℝ)
8024adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑊 < 𝑍) → 𝑇 ∈ ℝ)
8179, 80remulcld 10254 . . . . . . 7 ((𝜑𝑊 < 𝑍) → ((⌊‘((𝐵𝑍) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ ℝ)
8263adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑊 < 𝑍) → (⌊‘((𝐵𝑊) / 𝑇)) ∈ ℝ)
8382, 80remulcld 10254 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑊 < 𝑍) → ((⌊‘((𝐵𝑊) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ ℝ)
8483, 80resubcld 10642 . . . . . . 7 ((𝜑𝑊 < 𝑍) → (((⌊‘((𝐵𝑊) / 𝑇)) · 𝑇) − 𝑇) ∈ ℝ)
8567adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝑊 < 𝑍) → (𝐸𝑊) ∈ ℝ)
8678, 24remulcld 10254 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((⌊‘((𝐵𝑍) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ ℝ)
8786recnd 10252 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((⌊‘((𝐵𝑍) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ ℂ)
8887, 33pncand 10577 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((((⌊‘((𝐵𝑍) / 𝑇)) · 𝑇) + 𝑇) − 𝑇) = ((⌊‘((𝐵𝑍) / 𝑇)) · 𝑇))
8988eqcomd 2758 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((⌊‘((𝐵𝑍) / 𝑇)) · 𝑇) = ((((⌊‘((𝐵𝑍) / 𝑇)) · 𝑇) + 𝑇) − 𝑇))
9089adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑊 < 𝑍) → ((⌊‘((𝐵𝑍) / 𝑇)) · 𝑇) = ((((⌊‘((𝐵𝑍) / 𝑇)) · 𝑇) + 𝑇) − 𝑇))
9181, 80readdcld 10253 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑊 < 𝑍) → (((⌊‘((𝐵𝑍) / 𝑇)) · 𝑇) + 𝑇) ∈ ℝ)
9278recnd 10252 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (⌊‘((𝐵𝑍) / 𝑇)) ∈ ℂ)
9392, 33adddirp1d 10250 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((⌊‘((𝐵𝑍) / 𝑇)) + 1) · 𝑇) = (((⌊‘((𝐵𝑍) / 𝑇)) · 𝑇) + 𝑇))
9493eqcomd 2758 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((⌊‘((𝐵𝑍) / 𝑇)) · 𝑇) + 𝑇) = (((⌊‘((𝐵𝑍) / 𝑇)) + 1) · 𝑇))
9594adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑊 < 𝑍) → (((⌊‘((𝐵𝑍) / 𝑇)) · 𝑇) + 𝑇) = (((⌊‘((𝐵𝑍) / 𝑇)) + 1) · 𝑇))
96 1red 10239 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑊 < 𝑍) → 1 ∈ ℝ)
9779, 96readdcld 10253 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑊 < 𝑍) → ((⌊‘((𝐵𝑍) / 𝑇)) + 1) ∈ ℝ)
98 0red 10225 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
9998, 24, 59ltled 10369 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 ≤ 𝑇)
10099adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑊 < 𝑍) → 0 ≤ 𝑇)
10185, 28resubcld 10642 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑊 < 𝑍) → ((𝐸𝑊) − 𝑍) ∈ ℝ)
10221adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑊 < 𝑍) → 𝑊 ∈ ℝ)
10385, 102resubcld 10642 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑊 < 𝑍) → ((𝐸𝑊) − 𝑊) ∈ ℝ)
10424, 59elrpd 12054 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑇 ∈ ℝ+)
105104adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑊 < 𝑍) → 𝑇 ∈ ℝ+)
106 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑊 < 𝑍) → 𝑊 < 𝑍)
107102, 28, 85, 106ltsub2dd 10824 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑊 < 𝑍) → ((𝐸𝑊) − 𝑍) < ((𝐸𝑊) − 𝑊))
108101, 103, 105, 107ltdiv1dd 12114 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑊 < 𝑍) → (((𝐸𝑊) − 𝑍) / 𝑇) < (((𝐸𝑊) − 𝑊) / 𝑇))
109 fourierdlem19.ezew . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝐸𝑍) = (𝐸𝑊))
110 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = 𝑍𝑥 = 𝑍)
111 oveq2 6813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑥 = 𝑍 → (𝐵𝑥) = (𝐵𝑍))
112111oveq1d 6820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 = 𝑍 → ((𝐵𝑥) / 𝑇) = ((𝐵𝑍) / 𝑇))
113112fveq2d 6348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = 𝑍 → (⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) = (⌊‘((𝐵𝑍) / 𝑇)))
114113oveq1d 6820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = 𝑍 → ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇) = ((⌊‘((𝐵𝑍) / 𝑇)) · 𝑇))
115110, 114oveq12d 6823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = 𝑍 → (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) = (𝑍 + ((⌊‘((𝐵𝑍) / 𝑇)) · 𝑇)))
116115adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥 = 𝑍) → (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) = (𝑍 + ((⌊‘((𝐵𝑍) / 𝑇)) · 𝑇)))
11727, 86readdcld 10253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝑍 + ((⌊‘((𝐵𝑍) / 𝑇)) · 𝑇)) ∈ ℝ)
11847, 116, 27, 117fvmptd 6442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝐸𝑍) = (𝑍 + ((⌊‘((𝐵𝑍) / 𝑇)) · 𝑇)))
119109, 118eqtr3d 2788 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝐸𝑊) = (𝑍 + ((⌊‘((𝐵𝑍) / 𝑇)) · 𝑇)))
120119oveq1d 6820 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝐸𝑊) − 𝑍) = ((𝑍 + ((⌊‘((𝐵𝑍) / 𝑇)) · 𝑇)) − 𝑍))
12127recnd 10252 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑍 ∈ ℂ)
122121, 87pncan2d 10578 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝑍 + ((⌊‘((𝐵𝑍) / 𝑇)) · 𝑇)) − 𝑍) = ((⌊‘((𝐵𝑍) / 𝑇)) · 𝑇))
123120, 122eqtrd 2786 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝐸𝑊) − 𝑍) = ((⌊‘((𝐵𝑍) / 𝑇)) · 𝑇))
124123oveq1d 6820 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (((𝐸𝑊) − 𝑍) / 𝑇) = (((⌊‘((𝐵𝑍) / 𝑇)) · 𝑇) / 𝑇))
12592, 33, 60divcan4d 10991 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (((⌊‘((𝐵𝑍) / 𝑇)) · 𝑇) / 𝑇) = (⌊‘((𝐵𝑍) / 𝑇)))
126124, 125eqtr2d 2787 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (⌊‘((𝐵𝑍) / 𝑇)) = (((𝐸𝑊) − 𝑍) / 𝑇))
127126adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑊 < 𝑍) → (⌊‘((𝐵𝑍) / 𝑇)) = (((𝐸𝑊) − 𝑍) / 𝑇))
12866oveq1d 6820 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝐸𝑊) − 𝑊) = ((𝑊 + ((⌊‘((𝐵𝑊) / 𝑇)) · 𝑇)) − 𝑊))
129128oveq1d 6820 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (((𝐸𝑊) − 𝑊) / 𝑇) = (((𝑊 + ((⌊‘((𝐵𝑊) / 𝑇)) · 𝑇)) − 𝑊) / 𝑇))
13021recnd 10252 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑊 ∈ ℂ)
131130, 70pncan2d 10578 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝑊 + ((⌊‘((𝐵𝑊) / 𝑇)) · 𝑇)) − 𝑊) = ((⌊‘((𝐵𝑊) / 𝑇)) · 𝑇))
132131oveq1d 6820 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (((𝑊 + ((⌊‘((𝐵𝑊) / 𝑇)) · 𝑇)) − 𝑊) / 𝑇) = (((⌊‘((𝐵𝑊) / 𝑇)) · 𝑇) / 𝑇))
13363recnd 10252 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (⌊‘((𝐵𝑊) / 𝑇)) ∈ ℂ)
134133, 33, 60divcan4d 10991 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (((⌊‘((𝐵𝑊) / 𝑇)) · 𝑇) / 𝑇) = (⌊‘((𝐵𝑊) / 𝑇)))
135129, 132, 1343eqtrrd 2791 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (⌊‘((𝐵𝑊) / 𝑇)) = (((𝐸𝑊) − 𝑊) / 𝑇))
136135adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑊 < 𝑍) → (⌊‘((𝐵𝑊) / 𝑇)) = (((𝐸𝑊) − 𝑊) / 𝑇))
137108, 127, 1363brtr4d 4828 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑊 < 𝑍) → (⌊‘((𝐵𝑍) / 𝑇)) < (⌊‘((𝐵𝑊) / 𝑇)))
13877adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑊 < 𝑍) → (⌊‘((𝐵𝑍) / 𝑇)) ∈ ℤ)
13962adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑊 < 𝑍) → (⌊‘((𝐵𝑊) / 𝑇)) ∈ ℤ)
140 zltp1le 11611 . . . . . . . . . . . . 13 (((⌊‘((𝐵𝑍) / 𝑇)) ∈ ℤ ∧ (⌊‘((𝐵𝑊) / 𝑇)) ∈ ℤ) → ((⌊‘((𝐵𝑍) / 𝑇)) < (⌊‘((𝐵𝑊) / 𝑇)) ↔ ((⌊‘((𝐵𝑍) / 𝑇)) + 1) ≤ (⌊‘((𝐵𝑊) / 𝑇))))
141138, 139, 140syl2anc 696 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑊 < 𝑍) → ((⌊‘((𝐵𝑍) / 𝑇)) < (⌊‘((𝐵𝑊) / 𝑇)) ↔ ((⌊‘((𝐵𝑍) / 𝑇)) + 1) ≤ (⌊‘((𝐵𝑊) / 𝑇))))
142137, 141mpbid 222 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑊 < 𝑍) → ((⌊‘((𝐵𝑍) / 𝑇)) + 1) ≤ (⌊‘((𝐵𝑊) / 𝑇)))
14397, 82, 80, 100, 142lemul1ad 11147 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑊 < 𝑍) → (((⌊‘((𝐵𝑍) / 𝑇)) + 1) · 𝑇) ≤ ((⌊‘((𝐵𝑊) / 𝑇)) · 𝑇))
14495, 143eqbrtrd 4818 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑊 < 𝑍) → (((⌊‘((𝐵𝑍) / 𝑇)) · 𝑇) + 𝑇) ≤ ((⌊‘((𝐵𝑊) / 𝑇)) · 𝑇))
14591, 83, 80, 144lesub1dd 10827 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑊 < 𝑍) → ((((⌊‘((𝐵𝑍) / 𝑇)) · 𝑇) + 𝑇) − 𝑇) ≤ (((⌊‘((𝐵𝑊) / 𝑇)) · 𝑇) − 𝑇))
14690, 145eqbrtrd 4818 . . . . . . 7 ((𝜑𝑊 < 𝑍) → ((⌊‘((𝐵𝑍) / 𝑇)) · 𝑇) ≤ (((⌊‘((𝐵𝑊) / 𝑇)) · 𝑇) − 𝑇))
14781, 84, 85, 146lesub2dd 10828 . . . . . 6 ((𝜑𝑊 < 𝑍) → ((𝐸𝑊) − (((⌊‘((𝐵𝑊) / 𝑇)) · 𝑇) − 𝑇)) ≤ ((𝐸𝑊) − ((⌊‘((𝐵𝑍) / 𝑇)) · 𝑇)))
14874, 147eqbrtrd 4818 . . . . 5 ((𝜑𝑊 < 𝑍) → (((𝐸𝑊) − ((⌊‘((𝐵𝑊) / 𝑇)) · 𝑇)) + 𝑇) ≤ ((𝐸𝑊) − ((⌊‘((𝐵𝑍) / 𝑇)) · 𝑇)))
14966eqcomd 2758 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑊 + ((⌊‘((𝐵𝑊) / 𝑇)) · 𝑇)) = (𝐸𝑊))
15068, 70, 130subadd2d 10595 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝐸𝑊) − ((⌊‘((𝐵𝑊) / 𝑇)) · 𝑇)) = 𝑊 ↔ (𝑊 + ((⌊‘((𝐵𝑊) / 𝑇)) · 𝑇)) = (𝐸𝑊)))
151149, 150mpbird 247 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐸𝑊) − ((⌊‘((𝐵𝑊) / 𝑇)) · 𝑇)) = 𝑊)
152151eqcomd 2758 . . . . . . 7 (𝜑𝑊 = ((𝐸𝑊) − ((⌊‘((𝐵𝑊) / 𝑇)) · 𝑇)))
153152oveq1d 6820 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑊 + 𝑇) = (((𝐸𝑊) − ((⌊‘((𝐵𝑊) / 𝑇)) · 𝑇)) + 𝑇))
154153adantr 472 . . . . 5 ((𝜑𝑊 < 𝑍) → (𝑊 + 𝑇) = (((𝐸𝑊) − ((⌊‘((𝐵𝑊) / 𝑇)) · 𝑇)) + 𝑇))
155118eqcomd 2758 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑍 + ((⌊‘((𝐵𝑍) / 𝑇)) · 𝑇)) = (𝐸𝑍))
1561rexrd 10273 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
157 iocssre 12438 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴(,]𝐵) ⊆ ℝ)
158156, 5, 157syl2anc 696 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴(,]𝐵) ⊆ ℝ)
1591, 5, 56, 22, 46fourierdlem4 40823 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐸:ℝ⟶(𝐴(,]𝐵))
160159, 27ffvelrnd 6515 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐸𝑍) ∈ (𝐴(,]𝐵))
161158, 160sseldd 3737 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐸𝑍) ∈ ℝ)
162161recnd 10252 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐸𝑍) ∈ ℂ)
163162, 87, 121subadd2d 10595 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐸𝑍) − ((⌊‘((𝐵𝑍) / 𝑇)) · 𝑇)) = 𝑍 ↔ (𝑍 + ((⌊‘((𝐵𝑍) / 𝑇)) · 𝑇)) = (𝐸𝑍)))
164155, 163mpbird 247 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐸𝑍) − ((⌊‘((𝐵𝑍) / 𝑇)) · 𝑇)) = 𝑍)
165109oveq1d 6820 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐸𝑍) − ((⌊‘((𝐵𝑍) / 𝑇)) · 𝑇)) = ((𝐸𝑊) − ((⌊‘((𝐵𝑍) / 𝑇)) · 𝑇)))
166164, 165eqtr3d 2788 . . . . . 6 (𝜑𝑍 = ((𝐸𝑊) − ((⌊‘((𝐵𝑍) / 𝑇)) · 𝑇)))
167166adantr 472 . . . . 5 ((𝜑𝑊 < 𝑍) → 𝑍 = ((𝐸𝑊) − ((⌊‘((𝐵𝑍) / 𝑇)) · 𝑇)))
168148, 154, 1673brtr4d 4828 . . . 4 ((𝜑𝑊 < 𝑍) → (𝑊 + 𝑇) ≤ 𝑍)
16916, 26, 28, 45, 168ltletrd 10381 . . 3 ((𝜑𝑊 < 𝑍) → (𝐵 + 𝑋) < 𝑍)
17016, 28ltnled 10368 . . 3 ((𝜑𝑊 < 𝑍) → ((𝐵 + 𝑋) < 𝑍 ↔ ¬ 𝑍 ≤ (𝐵 + 𝑋)))
171169, 170mpbid 222 . 2 ((𝜑𝑊 < 𝑍) → ¬ 𝑍 ≤ (𝐵 + 𝑋))
17215, 171pm2.65da 601 1 (𝜑 → ¬ 𝑊 < 𝑍)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1624  wcel 2131  wrex 3043  {crab 3046  wss 3707   class class class wbr 4796  cmpt 4873  cfv 6041  (class class class)co 6805  cc 10118  cr 10119  0cc0 10120  1c1 10121   + caddc 10123   · cmul 10125  *cxr 10257   < clt 10258  cle 10259  cmin 10450   / cdiv 10868  cz 11561  +crp 12017  (,]cioc 12361  cfl 12777
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-cnex 10176  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197  ax-pre-sup 10198
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rmo 3050  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-iun 4666  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-om 7223  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667  df-er 7903  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-sup 8505  df-inf 8506  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-div 10869  df-nn 11205  df-n0 11477  df-z 11562  df-uz 11872  df-rp 12018  df-ioc 12365  df-fl 12779
This theorem is referenced by:  fourierdlem51  40869
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