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Theorem fourierdlem21 39682
 Description: The coefficients of the fourier series are integrable and reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem21.f (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
fourierdlem21.c 𝐶 = (-π(,)π)
fourierdlem21.fibl (𝜑 → (𝐹𝐶) ∈ 𝐿1)
fourierdlem21.b 𝐵 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫𝐶((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π))
fourierdlem21.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
Assertion
Ref Expression
fourierdlem21 (𝜑 → (((𝐵𝑁) ∈ ℝ ∧ (𝑥𝐶 ↦ ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥)))) ∈ 𝐿1) ∧ ∫𝐶((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℝ))
Distinct variable groups:   𝐶,𝑛,𝑥   𝑛,𝐹,𝑥   𝑛,𝑁,𝑥   𝜑,𝑛,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem fourierdlem21
Dummy variables 𝑏 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnnn0 11259 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ0)
2 fourierdlem21.f . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
32adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐶) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
4 ioossre 12193 . . . . . . . . . . . 12 (-π(,)π) ⊆ ℝ
5 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥𝐶𝑥𝐶)
6 fourierdlem21.c . . . . . . . . . . . . 13 𝐶 = (-π(,)π)
75, 6syl6eleq 2708 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥𝐶𝑥 ∈ (-π(,)π))
84, 7sseldi 3586 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝐶𝑥 ∈ ℝ)
98adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐶) → 𝑥 ∈ ℝ)
103, 9ffvelrnd 6326 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐶) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
1110adantlr 750 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥𝐶) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
12 nn0re 11261 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℝ)
1312adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑥𝐶) → 𝑛 ∈ ℝ)
148adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑥𝐶) → 𝑥 ∈ ℝ)
1513, 14remulcld 10030 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑥𝐶) → (𝑛 · 𝑥) ∈ ℝ)
1615resincld 14817 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑥𝐶) → (sin‘(𝑛 · 𝑥)) ∈ ℝ)
1716adantll 749 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥𝐶) → (sin‘(𝑛 · 𝑥)) ∈ ℝ)
1811, 17remulcld 10030 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥𝐶) → ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) ∈ ℝ)
19 ioombl 23273 . . . . . . . . . . . 12 (-π(,)π) ∈ dom vol
206, 19eqeltri 2694 . . . . . . . . . . 11 𝐶 ∈ dom vol
2120a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ dom vol)
22 eqidd 2622 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥))) = (𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥))))
23 eqidd 2622 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑥𝐶 ↦ (𝐹𝑥)) = (𝑥𝐶 ↦ (𝐹𝑥)))
2421, 17, 11, 22, 23offval2 6879 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥))) ∘𝑓 · (𝑥𝐶 ↦ (𝐹𝑥))) = (𝑥𝐶 ↦ ((sin‘(𝑛 · 𝑥)) · (𝐹𝑥))))
2517recnd 10028 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥𝐶) → (sin‘(𝑛 · 𝑥)) ∈ ℂ)
2611recnd 10028 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥𝐶) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
2725, 26mulcomd 10021 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥𝐶) → ((sin‘(𝑛 · 𝑥)) · (𝐹𝑥)) = ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))))
2827mpteq2dva 4714 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑥𝐶 ↦ ((sin‘(𝑛 · 𝑥)) · (𝐹𝑥))) = (𝑥𝐶 ↦ ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥)))))
2924, 28eqtr2d 2656 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑥𝐶 ↦ ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥)))) = ((𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥))) ∘𝑓 · (𝑥𝐶 ↦ (𝐹𝑥))))
30 sincn 24136 . . . . . . . . . . . 12 sin ∈ (ℂ–cn→ℂ)
3130a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → sin ∈ (ℂ–cn→ℂ))
326, 4eqsstri 3620 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐶 ⊆ ℝ
33 ax-resscn 9953 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ℝ ⊆ ℂ
3432, 33sstri 3597 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐶 ⊆ ℂ
3534a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ0𝐶 ⊆ ℂ)
3612recnd 10028 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℂ)
37 ssid 3609 . . . . . . . . . . . . . . 15 ℂ ⊆ ℂ
3837a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ0 → ℂ ⊆ ℂ)
3935, 36, 38constcncfg 39419 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑥𝐶𝑛) ∈ (𝐶cn→ℂ))
4035, 38idcncfg 39420 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑥𝐶𝑥) ∈ (𝐶cn→ℂ))
4139, 40mulcncf 23155 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑥𝐶 ↦ (𝑛 · 𝑥)) ∈ (𝐶cn→ℂ))
4241adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑥𝐶 ↦ (𝑛 · 𝑥)) ∈ (𝐶cn→ℂ))
4331, 42cncfmpt1f 22656 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥))) ∈ (𝐶cn→ℂ))
44 cnmbf 23366 . . . . . . . . . 10 ((𝐶 ∈ dom vol ∧ (𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥))) ∈ (𝐶cn→ℂ)) → (𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥))) ∈ MblFn)
4520, 43, 44sylancr 694 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥))) ∈ MblFn)
462feqmptd 6216 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹𝑥)))
4746reseq1d 5365 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐹𝐶) = ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹𝑥)) ↾ 𝐶))
48 resmpt 5418 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐶 ⊆ ℝ → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹𝑥)) ↾ 𝐶) = (𝑥𝐶 ↦ (𝐹𝑥)))
4932, 48mp1i 13 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹𝑥)) ↾ 𝐶) = (𝑥𝐶 ↦ (𝐹𝑥)))
5047, 49eqtr2d 2656 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑥𝐶 ↦ (𝐹𝑥)) = (𝐹𝐶))
51 fourierdlem21.fibl . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐹𝐶) ∈ 𝐿1)
5250, 51eqeltrd 2698 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥𝐶 ↦ (𝐹𝑥)) ∈ 𝐿1)
5352adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑥𝐶 ↦ (𝐹𝑥)) ∈ 𝐿1)
54 1re 9999 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℝ
55 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑦 ∈ dom (𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))) → 𝑦 ∈ dom (𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥))))
56 nfv 1840 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑥 𝑛 ∈ ℕ0
57 nfmpt1 4717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑥(𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))
5857nfdm 5337 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑥dom (𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))
5958nfcri 2755 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑥 𝑦 ∈ dom (𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))
6056, 59nfan 1825 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑥(𝑛 ∈ ℕ0𝑦 ∈ dom (𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥))))
6116ex 450 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑥𝐶 → (sin‘(𝑛 · 𝑥)) ∈ ℝ))
6261adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑦 ∈ dom (𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))) → (𝑥𝐶 → (sin‘(𝑛 · 𝑥)) ∈ ℝ))
6360, 62ralrimi 2953 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑦 ∈ dom (𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))) → ∀𝑥𝐶 (sin‘(𝑛 · 𝑥)) ∈ ℝ)
64 dmmptg 5601 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∀𝑥𝐶 (sin‘(𝑛 · 𝑥)) ∈ ℝ → dom (𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥))) = 𝐶)
6563, 64syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑦 ∈ dom (𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))) → dom (𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥))) = 𝐶)
6655, 65eleqtrd 2700 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑦 ∈ dom (𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))) → 𝑦𝐶)
67 eqidd 2622 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑦𝐶) → (𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥))) = (𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥))))
68 oveq2 6623 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑦 → (𝑛 · 𝑥) = (𝑛 · 𝑦))
6968fveq2d 6162 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑦 → (sin‘(𝑛 · 𝑥)) = (sin‘(𝑛 · 𝑦)))
7069adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑛 ∈ ℕ0𝑦𝐶) ∧ 𝑥 = 𝑦) → (sin‘(𝑛 · 𝑥)) = (sin‘(𝑛 · 𝑦)))
71 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑦𝐶) → 𝑦𝐶)
7212adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑦𝐶) → 𝑛 ∈ ℝ)
7332, 71sseldi 3586 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑦𝐶) → 𝑦 ∈ ℝ)
7472, 73remulcld 10030 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑦𝐶) → (𝑛 · 𝑦) ∈ ℝ)
7574resincld 14817 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑦𝐶) → (sin‘(𝑛 · 𝑦)) ∈ ℝ)
7667, 70, 71, 75fvmptd 6255 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑦𝐶) → ((𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦) = (sin‘(𝑛 · 𝑦)))
7776fveq2d 6162 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑦𝐶) → (abs‘((𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) = (abs‘(sin‘(𝑛 · 𝑦))))
78 abssinbd 39008 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑛 · 𝑦) ∈ ℝ → (abs‘(sin‘(𝑛 · 𝑦))) ≤ 1)
7974, 78syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑦𝐶) → (abs‘(sin‘(𝑛 · 𝑦))) ≤ 1)
8077, 79eqbrtrd 4645 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑦𝐶) → (abs‘((𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 1)
8166, 80syldan 487 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑦 ∈ dom (𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))) → (abs‘((𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 1)
8281ralrimiva 2962 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ0 → ∀𝑦 ∈ dom (𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))(abs‘((𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 1)
83 breq2 4627 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 = 1 → ((abs‘((𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 𝑏 ↔ (abs‘((𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 1))
8483ralbidv 2982 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 = 1 → (∀𝑦 ∈ dom (𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))(abs‘((𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 𝑏 ↔ ∀𝑦 ∈ dom (𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))(abs‘((𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 1))
8584rspcev 3299 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom (𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))(abs‘((𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 1) → ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ dom (𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))(abs‘((𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 𝑏)
8654, 82, 85sylancr 694 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ0 → ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ dom (𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))(abs‘((𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 𝑏)
8786adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ dom (𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))(abs‘((𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 𝑏)
88 bddmulibl 23545 . . . . . . . . 9 (((𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥))) ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐶 ↦ (𝐹𝑥)) ∈ 𝐿1 ∧ ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ dom (𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))(abs‘((𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 𝑏) → ((𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥))) ∘𝑓 · (𝑥𝐶 ↦ (𝐹𝑥))) ∈ 𝐿1)
8945, 53, 87, 88syl3anc 1323 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑥𝐶 ↦ (sin‘(𝑛 · 𝑥))) ∘𝑓 · (𝑥𝐶 ↦ (𝐹𝑥))) ∈ 𝐿1)
9029, 89eqeltrd 2698 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑥𝐶 ↦ ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥)))) ∈ 𝐿1)
9118, 90itgrecl 23504 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → ∫𝐶((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℝ)
921, 91sylan2 491 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ∫𝐶((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℝ)
93 pire 24148 . . . . . 6 π ∈ ℝ
9493a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → π ∈ ℝ)
95 0re 10000 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
96 pipos 24150 . . . . . . 7 0 < π
9795, 96gtneii 10109 . . . . . 6 π ≠ 0
9897a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → π ≠ 0)
9992, 94, 98redivcld 10813 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (∫𝐶((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π) ∈ ℝ)
100 fourierdlem21.b . . . 4 𝐵 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫𝐶((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π))
10199, 100fmptd 6351 . . 3 (𝜑𝐵:ℕ⟶ℝ)
102 fourierdlem21.n . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
103101, 102ffvelrnd 6326 . 2 (𝜑 → (𝐵𝑁) ∈ ℝ)
104102nnnn0d 11311 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
105 eleq1 2686 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑁 → (𝑛 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))
106105anbi2d 739 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑁 → ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ↔ (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)))
107 simpl 473 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 = 𝑁𝑥𝐶) → 𝑛 = 𝑁)
108107oveq1d 6630 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 = 𝑁𝑥𝐶) → (𝑛 · 𝑥) = (𝑁 · 𝑥))
109108fveq2d 6162 . . . . . . . . 9 ((𝑛 = 𝑁𝑥𝐶) → (sin‘(𝑛 · 𝑥)) = (sin‘(𝑁 · 𝑥)))
110109oveq2d 6631 . . . . . . . 8 ((𝑛 = 𝑁𝑥𝐶) → ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) = ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))))
111110mpteq2dva 4714 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑁 → (𝑥𝐶 ↦ ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥)))) = (𝑥𝐶 ↦ ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥)))))
112111eleq1d 2683 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑁 → ((𝑥𝐶 ↦ ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥)))) ∈ 𝐿1 ↔ (𝑥𝐶 ↦ ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥)))) ∈ 𝐿1))
113106, 112imbi12d 334 . . . . 5 (𝑛 = 𝑁 → (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑥𝐶 ↦ ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥)))) ∈ 𝐿1) ↔ ((𝜑𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑥𝐶 ↦ ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥)))) ∈ 𝐿1)))
114113, 90vtoclg 3256 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝜑𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑥𝐶 ↦ ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥)))) ∈ 𝐿1))
115114anabsi7 859 . . 3 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑥𝐶 ↦ ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥)))) ∈ 𝐿1)
116104, 115mpdan 701 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐶 ↦ ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥)))) ∈ 𝐿1)
117102ancli 573 . . 3 (𝜑 → (𝜑𝑁 ∈ ℕ))
118 eleq1 2686 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑁 → (𝑛 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ ℕ))
119118anbi2d 739 . . . . 5 (𝑛 = 𝑁 → ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ↔ (𝜑𝑁 ∈ ℕ)))
120110itgeq2dv 23488 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑁 → ∫𝐶((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 = ∫𝐶((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥)
121120eleq1d 2683 . . . . 5 (𝑛 = 𝑁 → (∫𝐶((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℝ ↔ ∫𝐶((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℝ))
122119, 121imbi12d 334 . . . 4 (𝑛 = 𝑁 → (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ∫𝐶((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℝ) ↔ ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ∫𝐶((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℝ)))
123122, 92vtoclg 3256 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ∫𝐶((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℝ))
124102, 117, 123sylc 65 . 2 (𝜑 → ∫𝐶((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℝ)
125103, 116, 124jca31 556 1 (𝜑 → (((𝐵𝑁) ∈ ℝ ∧ (𝑥𝐶 ↦ ((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥)))) ∈ 𝐿1) ∧ ∫𝐶((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℝ))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ≠ wne 2790  ∀wral 2908  ∃wrex 2909   ⊆ wss 3560   class class class wbr 4623   ↦ cmpt 4683  dom cdm 5084   ↾ cres 5086  ⟶wf 5853  ‘cfv 5857  (class class class)co 6615   ∘𝑓 cof 6860  ℂcc 9894  ℝcr 9895  0cc0 9896  1c1 9897   · cmul 9901   ≤ cle 10035  -cneg 10227   / cdiv 10644  ℕcn 10980  ℕ0cn0 11252  (,)cioo 12133  abscabs 13924  sincsin 14738  πcpi 14741  –cn→ccncf 22619  volcvol 23172  MblFncmbf 23323  𝐿1cibl 23326  ∫citg 23327 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-inf2 8498  ax-cc 9217  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973  ax-pre-sup 9974  ax-addf 9975  ax-mulf 9976 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-iin 4495  df-disj 4594  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-se 5044  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-isom 5866  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-of 6862  df-ofr 6863  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-supp 7256  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-2o 7521  df-oadd 7524  df-omul 7525  df-er 7702  df-map 7819  df-pm 7820  df-ixp 7869  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-fsupp 8236  df-fi 8277  df-sup 8308  df-inf 8309  df-oi 8375  df-card 8725  df-acn 8728  df-cda 8950  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-div 10645  df-nn 10981  df-2 11039  df-3 11040  df-4 11041  df-5 11042  df-6 11043  df-7 11044  df-8 11045  df-9 11046  df-n0 11253  df-z 11338  df-dec 11454  df-uz 11648  df-q 11749  df-rp 11793  df-xneg 11906  df-xadd 11907  df-xmul 11908  df-ioo 12137  df-ioc 12138  df-ico 12139  df-icc 12140  df-fz 12285  df-fzo 12423  df-fl 12549  df-mod 12625  df-seq 12758  df-exp 12817  df-fac 13017  df-bc 13046  df-hash 13074  df-shft 13757  df-cj 13789  df-re 13790  df-im 13791  df-sqrt 13925  df-abs 13926  df-limsup 14152  df-clim 14169  df-rlim 14170  df-sum 14367  df-ef 14742  df-sin 14744  df-cos 14745  df-pi 14747  df-struct 15802  df-ndx 15803  df-slot 15804  df-base 15805  df-sets 15806  df-ress 15807  df-plusg 15894  df-mulr 15895  df-starv 15896  df-sca 15897  df-vsca 15898  df-ip 15899  df-tset 15900  df-ple 15901  df-ds 15904  df-unif 15905  df-hom 15906  df-cco 15907  df-rest 16023  df-topn 16024  df-0g 16042  df-gsum 16043  df-topgen 16044  df-pt 16045  df-prds 16048  df-xrs 16102  df-qtop 16107  df-imas 16108  df-xps 16110  df-mre 16186  df-mrc 16187  df-acs 16189  df-mgm 17182  df-sgrp 17224  df-mnd 17235  df-submnd 17276  df-mulg 17481  df-cntz 17690  df-cmn 18135  df-psmet 19678  df-xmet 19679  df-met 19680  df-bl 19681  df-mopn 19682  df-fbas 19683  df-fg 19684  df-cnfld 19687  df-top 20639  df-topon 20656  df-topsp 20677  df-bases 20690  df-cld 20763  df-ntr 20764  df-cls 20765  df-nei 20842  df-lp 20880  df-perf 20881  df-cn 20971  df-cnp 20972  df-haus 21059  df-cmp 21130  df-tx 21305  df-hmeo 21498  df-fil 21590  df-fm 21682  df-flim 21683  df-flf 21684  df-xms 22065  df-ms 22066  df-tms 22067  df-cncf 22621  df-ovol 23173  df-vol 23174  df-mbf 23328  df-itg1 23329  df-itg2 23330  df-ibl 23331  df-itg 23332  df-0p 23377  df-limc 23570  df-dv 23571 This theorem is referenced by:  fourierdlem83  39743  fourierdlem112  39772
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