Theorem fourierdlem36 42422

Description: 𝐹 is an isomorphism. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem36.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fourierdlem36.assr	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
fourierdlem36.f	⊢ 𝐹 = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴))
fourierdlem36.n	⊢ 𝑁 = ((♯‘𝐴) − 1)

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem36	⊢ (𝜑 → 𝐹 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝑓,𝐹   𝑓,𝑁   𝜑,𝑓

Proof of Theorem fourierdlem36

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem36.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴))
2		fourierdlem36.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
3		fourierdlem36.assr	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
4		ltso 10715	. . . . . . 7 ⊢ < Or ℝ
5		soss 5487	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → ( < Or ℝ → < Or 𝐴))
6	3, 4, 5	mpisyl 21	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → < Or 𝐴)
7		0zd 11987	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
8		eqid 2821	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝐴) + (0 − 1)) = ((♯‘𝐴) + (0 − 1))
9	2, 6, 7, 8	fzisoeu 41560	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑓 𝑓 Isom < , < ((0...((♯‘𝐴) + (0 − 1))), 𝐴))
10		hashcl 13711	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
11	2, 10	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
12	11	nn0cnd 11951	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℂ)
13		1cnd 10630	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
14	12, 13	negsubd 10997	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐴) + -1) = ((♯‘𝐴) − 1))
15		df-neg 10867	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -1 = (0 − 1)
16	15	eqcomi 2830	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 − 1) = -1
17	16	oveq2i 7161	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝐴) + (0 − 1)) = ((♯‘𝐴) + -1)
18		fourierdlem36.n	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑁 = ((♯‘𝐴) − 1)
19	14, 17, 18	3eqtr4g 2881	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐴) + (0 − 1)) = 𝑁)
20	19	oveq2d 7166	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0...((♯‘𝐴) + (0 − 1))) = (0...𝑁))
21		isoeq4 7067	. . . . . . 7 ⊢ ((0...((♯‘𝐴) + (0 − 1))) = (0...𝑁) → (𝑓 Isom < , < ((0...((♯‘𝐴) + (0 − 1))), 𝐴) ↔ 𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴)))
22	20, 21	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑓 Isom < , < ((0...((♯‘𝐴) + (0 − 1))), 𝐴) ↔ 𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴)))
23	22	eubidv 2668	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∃!𝑓 𝑓 Isom < , < ((0...((♯‘𝐴) + (0 − 1))), 𝐴) ↔ ∃!𝑓 𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴)))
24	9, 23	mpbid 234	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑓 𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴))
25		iotacl 6335	. . . 4 ⊢ (∃!𝑓 𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴) → (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴)) ∈ {𝑓 ∣ 𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴)})
26	24, 25	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴)) ∈ {𝑓 ∣ 𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴)})
27	1, 26	eqeltrid 2917	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ {𝑓 ∣ 𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴)})
28		iotaex 6329	. . . 4 ⊢ (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴)) ∈ V
29	1, 28	eqeltri 2909	. . 3 ⊢ 𝐹 ∈ V
30		isoeq1 7064	. . 3 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴) ↔ 𝐹 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴)))
31	29, 30	elab 3666	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ {𝑓 ∣ 𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴)} ↔ 𝐹 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴))
32	27, 31	sylib 220	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  ∃!weu 2649  {cab 2799  Vcvv 3494   ⊆ wss 3935   Or wor 5467  ℩cio 6306  ‘cfv 6349   Isom wiso 6350  (class class class)co 7150  Fincfn 8503  ℝcr 10530  0cc0 10531  1c1 10532   + caddc 10534   < clt 10669   − cmin 10864  -cneg 10865  ℕ₀cn0 11891  ...cfz 12886  ♯chash 13684

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-inf2 9098  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-int 4869  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-se 5509  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-isom 6358  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-oi 8968  df-card 9362  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-fz 12887  df-hash 13685

This theorem is referenced by:  fourierdlem50  42435  fourierdlem51  42436  fourierdlem52  42437  fourierdlem54  42439  fourierdlem76  42461  fourierdlem102  42487  fourierdlem103  42488  fourierdlem104  42489  fourierdlem114  42499