Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem36 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem36 39664
 Description: 𝐹 is an isomorphism. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem36.a (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fourierdlem36.assr (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
fourierdlem36.f 𝐹 = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴))
fourierdlem36.n 𝑁 = ((#‘𝐴) − 1)
Assertion
Ref Expression
fourierdlem36 (𝜑𝐹 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝑓,𝐹   𝑓,𝑁   𝜑,𝑓

Proof of Theorem fourierdlem36
StepHypRef Expression
1 fourierdlem36.f . . 3 𝐹 = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴))
2 fourierdlem36.a . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
3 fourierdlem36.assr . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
4 ltso 10062 . . . . . . 7 < Or ℝ
5 soss 5013 . . . . . . 7 (𝐴 ⊆ ℝ → ( < Or ℝ → < Or 𝐴))
63, 4, 5mpisyl 21 . . . . . 6 (𝜑 → < Or 𝐴)
7 0zd 11333 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
8 eqid 2621 . . . . . 6 ((#‘𝐴) + (0 − 1)) = ((#‘𝐴) + (0 − 1))
92, 6, 7, 8fzisoeu 38975 . . . . 5 (𝜑 → ∃!𝑓 𝑓 Isom < , < ((0...((#‘𝐴) + (0 − 1))), 𝐴))
10 hashcl 13087 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ Fin → (#‘𝐴) ∈ ℕ0)
112, 10syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (#‘𝐴) ∈ ℕ0)
1211nn0cnd 11297 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (#‘𝐴) ∈ ℂ)
13 1cnd 10000 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
1412, 13negsubd 10342 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((#‘𝐴) + -1) = ((#‘𝐴) − 1))
15 df-neg 10213 . . . . . . . . . . 11 -1 = (0 − 1)
1615eqcomi 2630 . . . . . . . . . 10 (0 − 1) = -1
1716oveq2i 6615 . . . . . . . . 9 ((#‘𝐴) + (0 − 1)) = ((#‘𝐴) + -1)
18 fourierdlem36.n . . . . . . . . 9 𝑁 = ((#‘𝐴) − 1)
1914, 17, 183eqtr4g 2680 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((#‘𝐴) + (0 − 1)) = 𝑁)
2019oveq2d 6620 . . . . . . 7 (𝜑 → (0...((#‘𝐴) + (0 − 1))) = (0...𝑁))
21 isoeq4 6524 . . . . . . 7 ((0...((#‘𝐴) + (0 − 1))) = (0...𝑁) → (𝑓 Isom < , < ((0...((#‘𝐴) + (0 − 1))), 𝐴) ↔ 𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴)))
2220, 21syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑓 Isom < , < ((0...((#‘𝐴) + (0 − 1))), 𝐴) ↔ 𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴)))
2322eubidv 2489 . . . . 5 (𝜑 → (∃!𝑓 𝑓 Isom < , < ((0...((#‘𝐴) + (0 − 1))), 𝐴) ↔ ∃!𝑓 𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴)))
249, 23mpbid 222 . . . 4 (𝜑 → ∃!𝑓 𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴))
25 iotacl 5833 . . . 4 (∃!𝑓 𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴) → (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴)) ∈ {𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴)})
2624, 25syl 17 . . 3 (𝜑 → (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴)) ∈ {𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴)})
271, 26syl5eqel 2702 . 2 (𝜑𝐹 ∈ {𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴)})
28 iotaex 5827 . . . 4 (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴)) ∈ V
291, 28eqeltri 2694 . . 3 𝐹 ∈ V
30 isoeq1 6521 . . 3 (𝑓 = 𝐹 → (𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴) ↔ 𝐹 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴)))
3129, 30elab 3333 . 2 (𝐹 ∈ {𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴)} ↔ 𝐹 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴))
3227, 31sylib 208 1 (𝜑𝐹 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  ∃!weu 2469  {cab 2607  Vcvv 3186   ⊆ wss 3555   Or wor 4994  ℩cio 5808  ‘cfv 5847   Isom wiso 5848  (class class class)co 6604  Fincfn 7899  ℝcr 9879  0cc0 9880  1c1 9881   + caddc 9883   < clt 10018   − cmin 10210  -cneg 10211  ℕ0cn0 11236  ...cfz 12268  #chash 13057 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-oi 8359  df-card 8709  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-fz 12269  df-hash 13058 This theorem is referenced by:  fourierdlem50  39677  fourierdlem51  39678  fourierdlem52  39679  fourierdlem54  39681  fourierdlem76  39703  fourierdlem102  39729  fourierdlem103  39730  fourierdlem104  39731  fourierdlem114  39741
 Copyright terms: Public domain W3C validator