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Theorem fourierdlem4 39656
 Description: 𝐸 is a function that maps any point to a periodic corresponding point in (𝐴, 𝐵]. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem4.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem4.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
fourierdlem4.altb (𝜑𝐴 < 𝐵)
fourierdlem4.t 𝑇 = (𝐵𝐴)
fourierdlem4.e 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem4 (𝜑𝐸:ℝ⟶(𝐴(,]𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑇   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝐸(𝑥)

Proof of Theorem fourierdlem4
StepHypRef Expression
1 simpr 477 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
2 fourierdlem4.b . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
32adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
43, 1resubcld 10409 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐵𝑥) ∈ ℝ)
5 fourierdlem4.t . . . . . . . . . 10 𝑇 = (𝐵𝐴)
6 fourierdlem4.a . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
72, 6resubcld 10409 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ ℝ)
85, 7syl5eqel 2702 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
98adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝑇 ∈ ℝ)
105a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑇 = (𝐵𝐴))
112recnd 10019 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
126recnd 10019 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
13 fourierdlem4.altb . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 < 𝐵)
146, 13gtned 10123 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵𝐴)
1511, 12, 14subne0d 10352 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐵𝐴) ≠ 0)
1610, 15eqnetrd 2857 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑇 ≠ 0)
1716adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝑇 ≠ 0)
184, 9, 17redivcld 10804 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐵𝑥) / 𝑇) ∈ ℝ)
1918flcld 12546 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) ∈ ℤ)
2019zred 11433 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) ∈ ℝ)
2120, 9remulcld 10021 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ ℝ)
221, 21readdcld 10020 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) ∈ ℝ)
236adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
2423, 1resubcld 10409 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐴𝑥) ∈ ℝ)
2524, 9, 17redivcld 10804 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐴𝑥) / 𝑇) ∈ ℝ)
2625, 9remulcld 10021 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (((𝐴𝑥) / 𝑇) · 𝑇) ∈ ℝ)
2711addid1d 10187 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐵 + 0) = 𝐵)
2827eqcomd 2627 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐵 = (𝐵 + 0))
2911, 12subcld 10343 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ ℂ)
3029subidd 10331 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝐵𝐴) − (𝐵𝐴)) = 0)
3130eqcomd 2627 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 0 = ((𝐵𝐴) − (𝐵𝐴)))
3231oveq2d 6626 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐵 + 0) = (𝐵 + ((𝐵𝐴) − (𝐵𝐴))))
3311, 29, 29addsub12d 10366 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐵 + ((𝐵𝐴) − (𝐵𝐴))) = ((𝐵𝐴) + (𝐵 − (𝐵𝐴))))
3411, 12nncand 10348 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐵 − (𝐵𝐴)) = 𝐴)
3534oveq2d 6626 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝐵𝐴) + (𝐵 − (𝐵𝐴))) = ((𝐵𝐴) + 𝐴))
3629, 12addcomd 10189 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝐵𝐴) + 𝐴) = (𝐴 + (𝐵𝐴)))
3710eqcomd 2627 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐵𝐴) = 𝑇)
3837oveq2d 6626 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐴 + (𝐵𝐴)) = (𝐴 + 𝑇))
3936, 38eqtrd 2655 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝐵𝐴) + 𝐴) = (𝐴 + 𝑇))
4033, 35, 393eqtrd 2659 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐵 + ((𝐵𝐴) − (𝐵𝐴))) = (𝐴 + 𝑇))
4128, 32, 403eqtrd 2659 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐵 = (𝐴 + 𝑇))
4241adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝐵 = (𝐴 + 𝑇))
4342oveq1d 6625 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐵𝑥) = ((𝐴 + 𝑇) − 𝑥))
4412adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
459recnd 10019 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝑇 ∈ ℂ)
461recnd 10019 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℂ)
4744, 45, 46addsubd 10364 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝑇) − 𝑥) = ((𝐴𝑥) + 𝑇))
4843, 47eqtrd 2655 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐵𝑥) = ((𝐴𝑥) + 𝑇))
4948oveq1d 6625 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐵𝑥) / 𝑇) = (((𝐴𝑥) + 𝑇) / 𝑇))
5044, 46subcld 10343 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐴𝑥) ∈ ℂ)
5150, 45, 45, 17divdird 10790 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (((𝐴𝑥) + 𝑇) / 𝑇) = (((𝐴𝑥) / 𝑇) + (𝑇 / 𝑇)))
525, 29syl5eqel 2702 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑇 ∈ ℂ)
5352, 16dividd 10750 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑇 / 𝑇) = 1)
5453adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑇 / 𝑇) = 1)
5554oveq2d 6626 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (((𝐴𝑥) / 𝑇) + (𝑇 / 𝑇)) = (((𝐴𝑥) / 𝑇) + 1))
5649, 51, 553eqtrd 2659 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐵𝑥) / 𝑇) = (((𝐴𝑥) / 𝑇) + 1))
5756fveq2d 6157 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) = (⌊‘(((𝐴𝑥) / 𝑇) + 1)))
5857oveq1d 6625 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇) = ((⌊‘(((𝐴𝑥) / 𝑇) + 1)) · 𝑇))
5958, 21eqeltrrd 2699 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((⌊‘(((𝐴𝑥) / 𝑇) + 1)) · 𝑇) ∈ ℝ)
60 peano2re 10160 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑥) / 𝑇) ∈ ℝ → (((𝐴𝑥) / 𝑇) + 1) ∈ ℝ)
6125, 60syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (((𝐴𝑥) / 𝑇) + 1) ∈ ℝ)
62 reflcl 12544 . . . . . . 7 ((((𝐴𝑥) / 𝑇) + 1) ∈ ℝ → (⌊‘(((𝐴𝑥) / 𝑇) + 1)) ∈ ℝ)
6361, 62syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (⌊‘(((𝐴𝑥) / 𝑇) + 1)) ∈ ℝ)
646, 2posdifd 10565 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵𝐴)))
6513, 64mpbid 222 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 < (𝐵𝐴))
6665, 10breqtrrd 4646 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 < 𝑇)
678, 66elrpd 11820 . . . . . . 7 (𝜑𝑇 ∈ ℝ+)
6867adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝑇 ∈ ℝ+)
69 flltp1 12548 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑥) / 𝑇) ∈ ℝ → ((𝐴𝑥) / 𝑇) < ((⌊‘((𝐴𝑥) / 𝑇)) + 1))
7025, 69syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐴𝑥) / 𝑇) < ((⌊‘((𝐴𝑥) / 𝑇)) + 1))
71 1zzd 11359 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℤ)
72 fladdz 12573 . . . . . . . 8 ((((𝐴𝑥) / 𝑇) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ) → (⌊‘(((𝐴𝑥) / 𝑇) + 1)) = ((⌊‘((𝐴𝑥) / 𝑇)) + 1))
7325, 71, 72syl2anc 692 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (⌊‘(((𝐴𝑥) / 𝑇) + 1)) = ((⌊‘((𝐴𝑥) / 𝑇)) + 1))
7470, 73breqtrrd 4646 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐴𝑥) / 𝑇) < (⌊‘(((𝐴𝑥) / 𝑇) + 1)))
7525, 63, 68, 74ltmul1dd 11878 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (((𝐴𝑥) / 𝑇) · 𝑇) < ((⌊‘(((𝐴𝑥) / 𝑇) + 1)) · 𝑇))
7626, 59, 1, 75ltadd2dd 10147 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 + (((𝐴𝑥) / 𝑇) · 𝑇)) < (𝑥 + ((⌊‘(((𝐴𝑥) / 𝑇) + 1)) · 𝑇)))
7750, 45, 17divcan1d 10753 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (((𝐴𝑥) / 𝑇) · 𝑇) = (𝐴𝑥))
7877oveq2d 6626 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 + (((𝐴𝑥) / 𝑇) · 𝑇)) = (𝑥 + (𝐴𝑥)))
7946, 44pncan3d 10346 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 + (𝐴𝑥)) = 𝐴)
8078, 79eqtrd 2655 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 + (((𝐴𝑥) / 𝑇) · 𝑇)) = 𝐴)
8158oveq2d 6626 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) = (𝑥 + ((⌊‘(((𝐴𝑥) / 𝑇) + 1)) · 𝑇)))
8281eqcomd 2627 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 + ((⌊‘(((𝐴𝑥) / 𝑇) + 1)) · 𝑇)) = (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
8376, 80, 823brtr3d 4649 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝐴 < (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
8418, 9remulcld 10021 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (((𝐵𝑥) / 𝑇) · 𝑇) ∈ ℝ)
85 flle 12547 . . . . . . 7 (((𝐵𝑥) / 𝑇) ∈ ℝ → (⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) ≤ ((𝐵𝑥) / 𝑇))
8618, 85syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) ≤ ((𝐵𝑥) / 𝑇))
8720, 18, 68lemul1d 11866 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) ≤ ((𝐵𝑥) / 𝑇) ↔ ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇) ≤ (((𝐵𝑥) / 𝑇) · 𝑇)))
8886, 87mpbid 222 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇) ≤ (((𝐵𝑥) / 𝑇) · 𝑇))
8921, 84, 1, 88leadd2dd 10593 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) ≤ (𝑥 + (((𝐵𝑥) / 𝑇) · 𝑇)))
904recnd 10019 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐵𝑥) ∈ ℂ)
9190, 45, 17divcan1d 10753 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (((𝐵𝑥) / 𝑇) · 𝑇) = (𝐵𝑥))
9291oveq2d 6626 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 + (((𝐵𝑥) / 𝑇) · 𝑇)) = (𝑥 + (𝐵𝑥)))
9311adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℂ)
9446, 93pncan3d 10346 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 + (𝐵𝑥)) = 𝐵)
9592, 94eqtrd 2655 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 + (((𝐵𝑥) / 𝑇) · 𝑇)) = 𝐵)
9689, 95breqtrd 4644 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) ≤ 𝐵)
9723rexrd 10040 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ*)
98 elioc2 12185 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → ((𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) ∈ (𝐴(,]𝐵) ↔ ((𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) ∈ ℝ ∧ 𝐴 < (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) ∧ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) ≤ 𝐵)))
9997, 3, 98syl2anc 692 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) ∈ (𝐴(,]𝐵) ↔ ((𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) ∈ ℝ ∧ 𝐴 < (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) ∧ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) ≤ 𝐵)))
10022, 83, 96, 99mpbir3and 1243 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) ∈ (𝐴(,]𝐵))
101 fourierdlem4.e . 2 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
102100, 101fmptd 6346 1 (𝜑𝐸:ℝ⟶(𝐴(,]𝐵))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1036   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ≠ wne 2790   class class class wbr 4618   ↦ cmpt 4678  ⟶wf 5848  ‘cfv 5852  (class class class)co 6610  ℂcc 9885  ℝcr 9886  0cc0 9887  1c1 9888   + caddc 9890   · cmul 9892  ℝ*cxr 10024   < clt 10025   ≤ cle 10026   − cmin 10217   / cdiv 10635  ℤcz 11328  ℝ+crp 11783  (,]cioc 12125  ⌊cfl 12538 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9943  ax-resscn 9944  ax-1cn 9945  ax-icn 9946  ax-addcl 9947  ax-addrcl 9948  ax-mulcl 9949  ax-mulrcl 9950  ax-mulcom 9951  ax-addass 9952  ax-mulass 9953  ax-distr 9954  ax-i2m1 9955  ax-1ne0 9956  ax-1rid 9957  ax-rnegex 9958  ax-rrecex 9959  ax-cnre 9960  ax-pre-lttri 9961  ax-pre-lttrn 9962  ax-pre-ltadd 9963  ax-pre-mulgt0 9964  ax-pre-sup 9965 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-er 7694  df-en 7907  df-dom 7908  df-sdom 7909  df-sup 8299  df-inf 8300  df-pnf 10027  df-mnf 10028  df-xr 10029  df-ltxr 10030  df-le 10031  df-sub 10219  df-neg 10220  df-div 10636  df-nn 10972  df-n0 11244  df-z 11329  df-uz 11639  df-rp 11784  df-ioc 12129  df-fl 12540 This theorem is referenced by:  fourierdlem19  39671  fourierdlem37  39689  fourierdlem41  39693  fourierdlem48  39699  fourierdlem49  39700  fourierdlem51  39702  fourierdlem63  39714  fourierdlem65  39716  fourierdlem71  39722  fourierdlem79  39730  fourierdlem89  39740  fourierdlem90  39741  fourierdlem91  39742  fourierdlem102  39753  fourierdlem114  39765
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