Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem4 39656
Description: 𝐸 is a function that maps any point to a periodic corresponding point in (𝐴, 𝐵]. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem4.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem4.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
fourierdlem4.altb (𝜑𝐴 < 𝐵)
fourierdlem4.t 𝑇 = (𝐵𝐴)
fourierdlem4.e 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem4 (𝜑𝐸:ℝ⟶(𝐴(,]𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑇   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝐸(𝑥)

Proof of Theorem fourierdlem4
StepHypRef Expression
1 simpr 477 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
2 fourierdlem4.b . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
32adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
43, 1resubcld 10409 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐵𝑥) ∈ ℝ)
5 fourierdlem4.t . . . . . . . . . 10 𝑇 = (𝐵𝐴)
6 fourierdlem4.a . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
72, 6resubcld 10409 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ ℝ)
85, 7syl5eqel 2702 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
98adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝑇 ∈ ℝ)
105a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑇 = (𝐵𝐴))
112recnd 10019 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
126recnd 10019 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
13 fourierdlem4.altb . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 < 𝐵)
146, 13gtned 10123 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵𝐴)
1511, 12, 14subne0d 10352 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐵𝐴) ≠ 0)
1610, 15eqnetrd 2857 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑇 ≠ 0)
1716adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝑇 ≠ 0)
184, 9, 17redivcld 10804 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐵𝑥) / 𝑇) ∈ ℝ)
1918flcld 12546 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) ∈ ℤ)
2019zred 11433 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) ∈ ℝ)
2120, 9remulcld 10021 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ ℝ)
221, 21readdcld 10020 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) ∈ ℝ)
236adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
2423, 1resubcld 10409 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐴𝑥) ∈ ℝ)
2524, 9, 17redivcld 10804 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐴𝑥) / 𝑇) ∈ ℝ)
2625, 9remulcld 10021 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (((𝐴𝑥) / 𝑇) · 𝑇) ∈ ℝ)
2711addid1d 10187 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐵 + 0) = 𝐵)
2827eqcomd 2627 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐵 = (𝐵 + 0))
2911, 12subcld 10343 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ ℂ)
3029subidd 10331 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝐵𝐴) − (𝐵𝐴)) = 0)
3130eqcomd 2627 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 0 = ((𝐵𝐴) − (𝐵𝐴)))
3231oveq2d 6626 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐵 + 0) = (𝐵 + ((𝐵𝐴) − (𝐵𝐴))))
3311, 29, 29addsub12d 10366 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐵 + ((𝐵𝐴) − (𝐵𝐴))) = ((𝐵𝐴) + (𝐵 − (𝐵𝐴))))
3411, 12nncand 10348 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐵 − (𝐵𝐴)) = 𝐴)
3534oveq2d 6626 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝐵𝐴) + (𝐵 − (𝐵𝐴))) = ((𝐵𝐴) + 𝐴))
3629, 12addcomd 10189 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝐵𝐴) + 𝐴) = (𝐴 + (𝐵𝐴)))
3710eqcomd 2627 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐵𝐴) = 𝑇)
3837oveq2d 6626 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐴 + (𝐵𝐴)) = (𝐴 + 𝑇))
3936, 38eqtrd 2655 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝐵𝐴) + 𝐴) = (𝐴 + 𝑇))
4033, 35, 393eqtrd 2659 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐵 + ((𝐵𝐴) − (𝐵𝐴))) = (𝐴 + 𝑇))
4128, 32, 403eqtrd 2659 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐵 = (𝐴 + 𝑇))
4241adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝐵 = (𝐴 + 𝑇))
4342oveq1d 6625 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐵𝑥) = ((𝐴 + 𝑇) − 𝑥))
4412adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
459recnd 10019 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝑇 ∈ ℂ)
461recnd 10019 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℂ)
4744, 45, 46addsubd 10364 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝑇) − 𝑥) = ((𝐴𝑥) + 𝑇))
4843, 47eqtrd 2655 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐵𝑥) = ((𝐴𝑥) + 𝑇))
4948oveq1d 6625 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐵𝑥) / 𝑇) = (((𝐴𝑥) + 𝑇) / 𝑇))
5044, 46subcld 10343 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐴𝑥) ∈ ℂ)
5150, 45, 45, 17divdird 10790 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (((𝐴𝑥) + 𝑇) / 𝑇) = (((𝐴𝑥) / 𝑇) + (𝑇 / 𝑇)))
525, 29syl5eqel 2702 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑇 ∈ ℂ)
5352, 16dividd 10750 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑇 / 𝑇) = 1)
5453adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑇 / 𝑇) = 1)
5554oveq2d 6626 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (((𝐴𝑥) / 𝑇) + (𝑇 / 𝑇)) = (((𝐴𝑥) / 𝑇) + 1))
5649, 51, 553eqtrd 2659 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐵𝑥) / 𝑇) = (((𝐴𝑥) / 𝑇) + 1))
5756fveq2d 6157 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) = (⌊‘(((𝐴𝑥) / 𝑇) + 1)))
5857oveq1d 6625 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇) = ((⌊‘(((𝐴𝑥) / 𝑇) + 1)) · 𝑇))
5958, 21eqeltrrd 2699 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((⌊‘(((𝐴𝑥) / 𝑇) + 1)) · 𝑇) ∈ ℝ)
60 peano2re 10160 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑥) / 𝑇) ∈ ℝ → (((𝐴𝑥) / 𝑇) + 1) ∈ ℝ)
6125, 60syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (((𝐴𝑥) / 𝑇) + 1) ∈ ℝ)
62 reflcl 12544 . . . . . . 7 ((((𝐴𝑥) / 𝑇) + 1) ∈ ℝ → (⌊‘(((𝐴𝑥) / 𝑇) + 1)) ∈ ℝ)
6361, 62syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (⌊‘(((𝐴𝑥) / 𝑇) + 1)) ∈ ℝ)
646, 2posdifd 10565 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵𝐴)))
6513, 64mpbid 222 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 < (𝐵𝐴))
6665, 10breqtrrd 4646 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 < 𝑇)
678, 66elrpd 11820 . . . . . . 7 (𝜑𝑇 ∈ ℝ+)
6867adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝑇 ∈ ℝ+)
69 flltp1 12548 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑥) / 𝑇) ∈ ℝ → ((𝐴𝑥) / 𝑇) < ((⌊‘((𝐴𝑥) / 𝑇)) + 1))
7025, 69syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐴𝑥) / 𝑇) < ((⌊‘((𝐴𝑥) / 𝑇)) + 1))
71 1zzd 11359 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℤ)
72 fladdz 12573 . . . . . . . 8 ((((𝐴𝑥) / 𝑇) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ) → (⌊‘(((𝐴𝑥) / 𝑇) + 1)) = ((⌊‘((𝐴𝑥) / 𝑇)) + 1))
7325, 71, 72syl2anc 692 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (⌊‘(((𝐴𝑥) / 𝑇) + 1)) = ((⌊‘((𝐴𝑥) / 𝑇)) + 1))
7470, 73breqtrrd 4646 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐴𝑥) / 𝑇) < (⌊‘(((𝐴𝑥) / 𝑇) + 1)))
7525, 63, 68, 74ltmul1dd 11878 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (((𝐴𝑥) / 𝑇) · 𝑇) < ((⌊‘(((𝐴𝑥) / 𝑇) + 1)) · 𝑇))
7626, 59, 1, 75ltadd2dd 10147 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 + (((𝐴𝑥) / 𝑇) · 𝑇)) < (𝑥 + ((⌊‘(((𝐴𝑥) / 𝑇) + 1)) · 𝑇)))
7750, 45, 17divcan1d 10753 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (((𝐴𝑥) / 𝑇) · 𝑇) = (𝐴𝑥))
7877oveq2d 6626 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 + (((𝐴𝑥) / 𝑇) · 𝑇)) = (𝑥 + (𝐴𝑥)))
7946, 44pncan3d 10346 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 + (𝐴𝑥)) = 𝐴)
8078, 79eqtrd 2655 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 + (((𝐴𝑥) / 𝑇) · 𝑇)) = 𝐴)
8158oveq2d 6626 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) = (𝑥 + ((⌊‘(((𝐴𝑥) / 𝑇) + 1)) · 𝑇)))
8281eqcomd 2627 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 + ((⌊‘(((𝐴𝑥) / 𝑇) + 1)) · 𝑇)) = (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
8376, 80, 823brtr3d 4649 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝐴 < (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
8418, 9remulcld 10021 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (((𝐵𝑥) / 𝑇) · 𝑇) ∈ ℝ)
85 flle 12547 . . . . . . 7 (((𝐵𝑥) / 𝑇) ∈ ℝ → (⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) ≤ ((𝐵𝑥) / 𝑇))
8618, 85syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) ≤ ((𝐵𝑥) / 𝑇))
8720, 18, 68lemul1d 11866 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) ≤ ((𝐵𝑥) / 𝑇) ↔ ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇) ≤ (((𝐵𝑥) / 𝑇) · 𝑇)))
8886, 87mpbid 222 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇) ≤ (((𝐵𝑥) / 𝑇) · 𝑇))
8921, 84, 1, 88leadd2dd 10593 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) ≤ (𝑥 + (((𝐵𝑥) / 𝑇) · 𝑇)))
904recnd 10019 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐵𝑥) ∈ ℂ)
9190, 45, 17divcan1d 10753 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (((𝐵𝑥) / 𝑇) · 𝑇) = (𝐵𝑥))
9291oveq2d 6626 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 + (((𝐵𝑥) / 𝑇) · 𝑇)) = (𝑥 + (𝐵𝑥)))
9311adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℂ)
9446, 93pncan3d 10346 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 + (𝐵𝑥)) = 𝐵)
9592, 94eqtrd 2655 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 + (((𝐵𝑥) / 𝑇) · 𝑇)) = 𝐵)
9689, 95breqtrd 4644 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) ≤ 𝐵)
9723rexrd 10040 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ*)
98 elioc2 12185 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → ((𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) ∈ (𝐴(,]𝐵) ↔ ((𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) ∈ ℝ ∧ 𝐴 < (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) ∧ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) ≤ 𝐵)))
9997, 3, 98syl2anc 692 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) ∈ (𝐴(,]𝐵) ↔ ((𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) ∈ ℝ ∧ 𝐴 < (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) ∧ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) ≤ 𝐵)))
10022, 83, 96, 99mpbir3and 1243 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) ∈ (𝐴(,]𝐵))
101 fourierdlem4.e . 2 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
102100, 101fmptd 6346 1 (𝜑𝐸:ℝ⟶(𝐴(,]𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790   class class class wbr 4618  cmpt 4678  wf 5848  cfv 5852  (class class class)co 6610  cc 9885  cr 9886  0cc0 9887  1c1 9888   + caddc 9890   · cmul 9892  *cxr 10024   < clt 10025  cle 10026  cmin 10217   / cdiv 10635  cz 11328  +crp 11783  (,]cioc 12125  cfl 12538
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9943  ax-resscn 9944  ax-1cn 9945  ax-icn 9946  ax-addcl 9947  ax-addrcl 9948  ax-mulcl 9949  ax-mulrcl 9950  ax-mulcom 9951  ax-addass 9952  ax-mulass 9953  ax-distr 9954  ax-i2m1 9955  ax-1ne0 9956  ax-1rid 9957  ax-rnegex 9958  ax-rrecex 9959  ax-cnre 9960  ax-pre-lttri 9961  ax-pre-lttrn 9962  ax-pre-ltadd 9963  ax-pre-mulgt0 9964  ax-pre-sup 9965
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-er 7694  df-en 7907  df-dom 7908  df-sdom 7909  df-sup 8299  df-inf 8300  df-pnf 10027  df-mnf 10028  df-xr 10029  df-ltxr 10030  df-le 10031  df-sub 10219  df-neg 10220  df-div 10636  df-nn 10972  df-n0 11244  df-z 11329  df-uz 11639  df-rp 11784  df-ioc 12129  df-fl 12540
This theorem is referenced by:  fourierdlem19  39671  fourierdlem37  39689  fourierdlem41  39693  fourierdlem48  39699  fourierdlem49  39700  fourierdlem51  39702  fourierdlem63  39714  fourierdlem65  39716  fourierdlem71  39722  fourierdlem79  39730  fourierdlem89  39740  fourierdlem90  39741  fourierdlem91  39742  fourierdlem102  39753  fourierdlem114  39765
  Copyright terms: Public domain W3C validator