Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem44 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem44 39675
Description: A condition for having (sin‘(𝐴 / 2)) non zero. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
fourierdlem44 ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (sin‘(𝐴 / 2)) ≠ 0)

Proof of Theorem fourierdlem44
StepHypRef Expression
1 0xr 10030 . . . . . 6 0 ∈ ℝ*
21a1i 11 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 0 < 𝐴) → 0 ∈ ℝ*)
3 2re 11034 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ
4 pire 24114 . . . . . . . 8 π ∈ ℝ
53, 4remulcli 9998 . . . . . . 7 (2 · π) ∈ ℝ
65rexri 10041 . . . . . 6 (2 · π) ∈ ℝ*
76a1i 11 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 0 < 𝐴) → (2 · π) ∈ ℝ*)
84renegcli 10286 . . . . . . . 8 -π ∈ ℝ
98a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (-π[,]π) → -π ∈ ℝ)
104a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (-π[,]π) → π ∈ ℝ)
11 id 22 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (-π[,]π) → 𝐴 ∈ (-π[,]π))
12 eliccre 39139 . . . . . . 7 ((-π ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ (-π[,]π)) → 𝐴 ∈ ℝ)
139, 10, 11, 12syl3anc 1323 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (-π[,]π) → 𝐴 ∈ ℝ)
1413adantr 481 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
15 simpr 477 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 0 < 𝐴) → 0 < 𝐴)
165a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (-π[,]π) → (2 · π) ∈ ℝ)
179rexrd 10033 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (-π[,]π) → -π ∈ ℝ*)
1810rexrd 10033 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (-π[,]π) → π ∈ ℝ*)
19 iccleub 12171 . . . . . . . 8 ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*𝐴 ∈ (-π[,]π)) → 𝐴 ≤ π)
2017, 18, 11, 19syl3anc 1323 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (-π[,]π) → 𝐴 ≤ π)
21 pirp 24117 . . . . . . . . 9 π ∈ ℝ+
22 2timesgt 38964 . . . . . . . . 9 (π ∈ ℝ+ → π < (2 · π))
2321, 22ax-mp 5 . . . . . . . 8 π < (2 · π)
2423a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (-π[,]π) → π < (2 · π))
2513, 10, 16, 20, 24lelttrd 10139 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (-π[,]π) → 𝐴 < (2 · π))
2625adantr 481 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 < (2 · π))
272, 7, 14, 15, 26eliood 39131 . . . 4 ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)))
2827adantlr 750 . . 3 (((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)))
29 sinaover2ne0 39382 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) → (sin‘(𝐴 / 2)) ≠ 0)
3028, 29syl 17 . 2 (((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 0 < 𝐴) → (sin‘(𝐴 / 2)) ≠ 0)
31 simpll 789 . . 3 (((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ ¬ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ (-π[,]π))
3231, 13syl 17 . . . 4 (((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ ¬ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
33 0red 9985 . . . 4 (((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ ¬ 0 < 𝐴) → 0 ∈ ℝ)
34 simplr 791 . . . 4 (((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ ¬ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)
35 simpr 477 . . . 4 (((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ ¬ 0 < 𝐴) → ¬ 0 < 𝐴)
3632, 33, 34, 35lttri5d 38977 . . 3 (((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ ¬ 0 < 𝐴) → 𝐴 < 0)
3713recnd 10012 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (-π[,]π) → 𝐴 ∈ ℂ)
3837halfcld 11221 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (-π[,]π) → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)
39 sinneg 14801 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 / 2) ∈ ℂ → (sin‘-(𝐴 / 2)) = -(sin‘(𝐴 / 2)))
4038, 39syl 17 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (-π[,]π) → (sin‘-(𝐴 / 2)) = -(sin‘(𝐴 / 2)))
41 2cnd 11037 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (-π[,]π) → 2 ∈ ℂ)
42 2ne0 11057 . . . . . . . . . . . 12 2 ≠ 0
4342a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (-π[,]π) → 2 ≠ 0)
4437, 41, 43divnegd 10758 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (-π[,]π) → -(𝐴 / 2) = (-𝐴 / 2))
4544fveq2d 6152 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (-π[,]π) → (sin‘-(𝐴 / 2)) = (sin‘(-𝐴 / 2)))
4640, 45eqtr3d 2657 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (-π[,]π) → -(sin‘(𝐴 / 2)) = (sin‘(-𝐴 / 2)))
4746adantr 481 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → -(sin‘(𝐴 / 2)) = (sin‘(-𝐴 / 2)))
481a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → 0 ∈ ℝ*)
496a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → (2 · π) ∈ ℝ*)
5013renegcld 10401 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (-π[,]π) → -𝐴 ∈ ℝ)
5150adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → -𝐴 ∈ ℝ)
52 simpr 477 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐴 < 0)
5313adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
5453lt0neg1d 10541 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → (𝐴 < 0 ↔ 0 < -𝐴))
5552, 54mpbid 222 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → 0 < -𝐴)
565renegcli 10286 . . . . . . . . . . . . 13 -(2 · π) ∈ ℝ
5756a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → -(2 · π) ∈ ℝ)
588a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → -π ∈ ℝ)
594, 5ltnegi 10516 . . . . . . . . . . . . . 14 (π < (2 · π) ↔ -(2 · π) < -π)
6023, 59mpbi 220 . . . . . . . . . . . . 13 -(2 · π) < -π
6160a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → -(2 · π) < -π)
62 iccgelb 12172 . . . . . . . . . . . . . 14 ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*𝐴 ∈ (-π[,]π)) → -π ≤ 𝐴)
6317, 18, 11, 62syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ (-π[,]π) → -π ≤ 𝐴)
6463adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → -π ≤ 𝐴)
6557, 58, 53, 61, 64ltletrd 10141 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → -(2 · π) < 𝐴)
6657, 53ltnegd 10549 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → (-(2 · π) < 𝐴 ↔ -𝐴 < --(2 · π)))
6765, 66mpbid 222 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → -𝐴 < --(2 · π))
6816recnd 10012 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ (-π[,]π) → (2 · π) ∈ ℂ)
6968negnegd 10327 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (-π[,]π) → --(2 · π) = (2 · π))
7069adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → --(2 · π) = (2 · π))
7167, 70breqtrd 4639 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → -𝐴 < (2 · π))
7248, 49, 51, 55, 71eliood 39131 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → -𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)))
73 sinaover2ne0 39382 . . . . . . . 8 (-𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) → (sin‘(-𝐴 / 2)) ≠ 0)
7472, 73syl 17 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → (sin‘(-𝐴 / 2)) ≠ 0)
7547, 74eqnetrd 2857 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → -(sin‘(𝐴 / 2)) ≠ 0)
7675neneqd 2795 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → ¬ -(sin‘(𝐴 / 2)) = 0)
7738sincld 14785 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (-π[,]π) → (sin‘(𝐴 / 2)) ∈ ℂ)
7877adantr 481 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → (sin‘(𝐴 / 2)) ∈ ℂ)
7978negeq0d 10328 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → ((sin‘(𝐴 / 2)) = 0 ↔ -(sin‘(𝐴 / 2)) = 0))
8076, 79mtbird 315 . . . 4 ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → ¬ (sin‘(𝐴 / 2)) = 0)
8180neqned 2797 . . 3 ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → (sin‘(𝐴 / 2)) ≠ 0)
8231, 36, 81syl2anc 692 . 2 (((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ ¬ 0 < 𝐴) → (sin‘(𝐴 / 2)) ≠ 0)
8330, 82pm2.61dan 831 1 ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (sin‘(𝐴 / 2)) ≠ 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790   class class class wbr 4613  cfv 5847  (class class class)co 6604  cc 9878  cr 9879  0cc0 9880   · cmul 9885  *cxr 10017   < clt 10018  cle 10019  -cneg 10211   / cdiv 10628  2c2 11014  +crp 11776  (,)cioo 12117  [,]cicc 12120  sincsin 14719  πcpi 14722
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958  ax-addf 9959  ax-mulf 9960
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-iin 4488  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-of 6850  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-supp 7241  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-pm 7805  df-ixp 7853  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-fsupp 8220  df-fi 8261  df-sup 8292  df-inf 8293  df-oi 8359  df-card 8709  df-cda 8934  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-z 11322  df-dec 11438  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-xneg 11890  df-xadd 11891  df-xmul 11892  df-ioo 12121  df-ioc 12122  df-ico 12123  df-icc 12124  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-fl 12533  df-mod 12609  df-seq 12742  df-exp 12801  df-fac 13001  df-bc 13030  df-hash 13058  df-shft 13741  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-limsup 14136  df-clim 14153  df-rlim 14154  df-sum 14351  df-ef 14723  df-sin 14725  df-cos 14726  df-pi 14728  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-starv 15877  df-sca 15878  df-vsca 15879  df-ip 15880  df-tset 15881  df-ple 15882  df-ds 15885  df-unif 15886  df-hom 15887  df-cco 15888  df-rest 16004  df-topn 16005  df-0g 16023  df-gsum 16024  df-topgen 16025  df-pt 16026  df-prds 16029  df-xrs 16083  df-qtop 16088  df-imas 16089  df-xps 16091  df-mre 16167  df-mrc 16168  df-acs 16170  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-submnd 17257  df-mulg 17462  df-cntz 17671  df-cmn 18116  df-psmet 19657  df-xmet 19658  df-met 19659  df-bl 19660  df-mopn 19661  df-fbas 19662  df-fg 19663  df-cnfld 19666  df-top 20621  df-bases 20622  df-topon 20623  df-topsp 20624  df-cld 20733  df-ntr 20734  df-cls 20735  df-nei 20812  df-lp 20850  df-perf 20851  df-cn 20941  df-cnp 20942  df-haus 21029  df-tx 21275  df-hmeo 21468  df-fil 21560  df-fm 21652  df-flim 21653  df-flf 21654  df-xms 22035  df-ms 22036  df-tms 22037  df-cncf 22589  df-limc 23536  df-dv 23537
This theorem is referenced by:  fourierdlem56  39686  fourierdlem57  39687  fourierdlem58  39688  fourierdlem62  39692  fourierdlem66  39696  fourierdlem68  39698  fourierdlem72  39702  fourierdlem76  39706  fourierdlem78  39708  fourierdlem80  39710  fourierdlem103  39733  fourierdlem104  39734
  Copyright terms: Public domain W3C validator