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Theorem fourierdlem46 39673
Description: The function 𝐹 has a limit at the bounds of every interval induced by the partition 𝑄. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem46.cn (𝜑𝐹 ∈ (dom 𝐹cn→ℂ))
fourierdlem46.rlim ((𝜑𝑥 ∈ ((-π[,)π) ∖ dom 𝐹)) → ((𝐹 ↾ (𝑥(,)+∞)) lim 𝑥) ≠ ∅)
fourierdlem46.llim ((𝜑𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom 𝐹)) → ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑥)) lim 𝑥) ≠ ∅)
fourierdlem46.qiso (𝜑𝑄 Isom < , < ((0...𝑀), 𝐻))
fourierdlem46.qf (𝜑𝑄:(0...𝑀)⟶𝐻)
fourierdlem46.i (𝜑𝐼 ∈ (0..^𝑀))
fourierdlem46.10 (𝜑 → (𝑄𝐼) < (𝑄‘(𝐼 + 1)))
fourierdlem46.qiss (𝜑 → ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))) ⊆ (-π(,)π))
fourierdlem46.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
fourierdlem46.h 𝐻 = ({-π, π, 𝐶} ∪ ((-π[,]π) ∖ dom 𝐹))
fourierdlem46.ranq (𝜑 → ran 𝑄 = 𝐻)
Assertion
Ref Expression
fourierdlem46 (𝜑 → (((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄𝐼)) ≠ ∅ ∧ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼 + 1))) ≠ ∅))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐼   𝑥,𝑄   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝐻(𝑥)   𝑀(𝑥)

Proof of Theorem fourierdlem46
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem46.h . . . . . . . . 9 𝐻 = ({-π, π, 𝐶} ∪ ((-π[,]π) ∖ dom 𝐹))
2 pire 24114 . . . . . . . . . . . . 13 π ∈ ℝ
32a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → π ∈ ℝ)
43renegcld 10401 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → -π ∈ ℝ)
5 fourierdlem46.c . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
6 tpssi 4337 . . . . . . . . . . 11 ((-π ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → {-π, π, 𝐶} ⊆ ℝ)
74, 3, 5, 6syl3anc 1323 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → {-π, π, 𝐶} ⊆ ℝ)
84, 3iccssred 39135 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (-π[,]π) ⊆ ℝ)
98ssdifssd 3726 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((-π[,]π) ∖ dom 𝐹) ⊆ ℝ)
107, 9unssd 3767 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ({-π, π, 𝐶} ∪ ((-π[,]π) ∖ dom 𝐹)) ⊆ ℝ)
111, 10syl5eqss 3628 . . . . . . . 8 (𝜑𝐻 ⊆ ℝ)
12 fourierdlem46.qf . . . . . . . . 9 (𝜑𝑄:(0...𝑀)⟶𝐻)
13 fourierdlem46.i . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐼 ∈ (0..^𝑀))
14 elfzofz 12426 . . . . . . . . . 10 (𝐼 ∈ (0..^𝑀) → 𝐼 ∈ (0...𝑀))
1513, 14syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐼 ∈ (0...𝑀))
1612, 15ffvelrnd 6316 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑄𝐼) ∈ 𝐻)
1711, 16sseldd 3584 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑄𝐼) ∈ ℝ)
1817adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑄𝐼) ∈ dom 𝐹) → (𝑄𝐼) ∈ ℝ)
19 fzofzp1 12506 . . . . . . . . . . 11 (𝐼 ∈ (0..^𝑀) → (𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀))
2013, 19syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀))
2112, 20ffvelrnd 6316 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ 𝐻)
2211, 21sseldd 3584 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ)
2322rexrd 10033 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*)
2423adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑄𝐼) ∈ dom 𝐹) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*)
25 fourierdlem46.10 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑄𝐼) < (𝑄‘(𝐼 + 1)))
2625adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑄𝐼) ∈ dom 𝐹) → (𝑄𝐼) < (𝑄‘(𝐼 + 1)))
27 simpr 477 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑄𝐼) ∈ dom 𝐹𝑥 = (𝑄𝐼)) → 𝑥 = (𝑄𝐼))
28 simpl 473 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑄𝐼) ∈ dom 𝐹𝑥 = (𝑄𝐼)) → (𝑄𝐼) ∈ dom 𝐹)
2927, 28eqeltrd 2698 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑄𝐼) ∈ dom 𝐹𝑥 = (𝑄𝐼)) → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
3029adantll 749 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑄𝐼) ∈ dom 𝐹) ∧ 𝑥 = (𝑄𝐼)) → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
3130adantlr 750 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑄𝐼) ∈ dom 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ 𝑥 = (𝑄𝐼)) → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
32 ssun2 3755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((-π[,]π) ∖ dom 𝐹) ⊆ ({-π, π, 𝐶} ∪ ((-π[,]π) ∖ dom 𝐹))
3332, 1sseqtr4i 3617 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((-π[,]π) ∖ dom 𝐹) ⊆ 𝐻
34 fourierdlem46.qiss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))) ⊆ (-π(,)π))
35 ioossicc 12201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (-π(,)π) ⊆ (-π[,]π)
3634, 35syl6ss 3595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))) ⊆ (-π[,]π))
3736sselda 3583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝑥 ∈ (-π[,]π))
3837adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → 𝑥 ∈ (-π[,]π))
39 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → ¬ 𝑥 ∈ dom 𝐹)
4038, 39eldifd 3566 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → 𝑥 ∈ ((-π[,]π) ∖ dom 𝐹))
4133, 40sseldi 3581 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → 𝑥𝐻)
42 fourierdlem46.ranq . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ran 𝑄 = 𝐻)
4342eqcomd 2627 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐻 = ran 𝑄)
4443ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → 𝐻 = ran 𝑄)
4541, 44eleqtrd 2700 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → 𝑥 ∈ ran 𝑄)
46 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥 ∈ ran 𝑄) → 𝑥 ∈ ran 𝑄)
47 ffn 6002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑄:(0...𝑀)⟶𝐻𝑄 Fn (0...𝑀))
4812, 47syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑𝑄 Fn (0...𝑀))
4948adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑥 ∈ ran 𝑄) → 𝑄 Fn (0...𝑀))
50 fvelrnb 6200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑄 Fn (0...𝑀) → (𝑥 ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑄𝑗) = 𝑥))
5149, 50syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥 ∈ ran 𝑄) → (𝑥 ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑄𝑗) = 𝑥))
5246, 51mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥 ∈ ran 𝑄) → ∃𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑄𝑗) = 𝑥)
5352adantlr 750 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ran 𝑄) → ∃𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑄𝑗) = 𝑥)
54 elfzelz 12284 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ)
5554ad2antlr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ran 𝑄) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = 𝑥) → 𝑗 ∈ ℤ)
56 simplll 797 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = 𝑥) → 𝜑)
57 simplr 791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = 𝑥) → 𝑗 ∈ (0...𝑀))
58 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ (𝑄𝑗) = 𝑥) → (𝑄𝑗) = 𝑥)
59 simplr 791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ (𝑄𝑗) = 𝑥) → 𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))))
6058, 59eqeltrd 2698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ (𝑄𝑗) = 𝑥) → (𝑄𝑗) ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))))
6160adantlr 750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = 𝑥) → (𝑄𝑗) ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))))
62 elfzoelz 12411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝐼 ∈ (0..^𝑀) → 𝐼 ∈ ℤ)
6313, 62syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑𝐼 ∈ ℤ)
6463ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝐼 ∈ ℤ)
6517rexrd 10033 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑 → (𝑄𝐼) ∈ ℝ*)
6665ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → (𝑄𝐼) ∈ ℝ*)
6723ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*)
68 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → (𝑄𝑗) ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))))
69 ioogtlb 39125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑄𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ (𝑄𝑗) ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → (𝑄𝐼) < (𝑄𝑗))
7066, 67, 68, 69syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → (𝑄𝐼) < (𝑄𝑗))
71 fourierdlem46.qiso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑𝑄 Isom < , < ((0...𝑀), 𝐻))
7271ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝑄 Isom < , < ((0...𝑀), 𝐻))
7315ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝐼 ∈ (0...𝑀))
74 simplr 791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝑗 ∈ (0...𝑀))
75 isorel 6530 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑄 Isom < , < ((0...𝑀), 𝐻) ∧ (𝐼 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀))) → (𝐼 < 𝑗 ↔ (𝑄𝐼) < (𝑄𝑗)))
7672, 73, 74, 75syl12anc 1321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → (𝐼 < 𝑗 ↔ (𝑄𝐼) < (𝑄𝑗)))
7770, 76mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝐼 < 𝑗)
78 iooltub 39143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑄𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ (𝑄𝑗) ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → (𝑄𝑗) < (𝑄‘(𝐼 + 1)))
7966, 67, 68, 78syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → (𝑄𝑗) < (𝑄‘(𝐼 + 1)))
8020ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → (𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀))
81 isorel 6530 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑄 Isom < , < ((0...𝑀), 𝐻) ∧ (𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀))) → (𝑗 < (𝐼 + 1) ↔ (𝑄𝑗) < (𝑄‘(𝐼 + 1))))
8272, 74, 80, 81syl12anc 1321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → (𝑗 < (𝐼 + 1) ↔ (𝑄𝑗) < (𝑄‘(𝐼 + 1))))
8379, 82mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝑗 < (𝐼 + 1))
84 btwnnz 11397 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐼 < 𝑗𝑗 < (𝐼 + 1)) → ¬ 𝑗 ∈ ℤ)
8564, 77, 83, 84syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → ¬ 𝑗 ∈ ℤ)
8656, 57, 61, 85syl21anc 1322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = 𝑥) → ¬ 𝑗 ∈ ℤ)
8786adantllr 754 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ran 𝑄) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = 𝑥) → ¬ 𝑗 ∈ ℤ)
8855, 87pm2.65da 599 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ran 𝑄) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ¬ (𝑄𝑗) = 𝑥)
8988nrexdv 2995 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ran 𝑄) → ¬ ∃𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑄𝑗) = 𝑥)
9053, 89pm2.65da 599 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → ¬ 𝑥 ∈ ran 𝑄)
9190adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → ¬ 𝑥 ∈ ran 𝑄)
9245, 91condan 834 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
9392ralrimiva 2960 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))𝑥 ∈ dom 𝐹)
94 dfss3 3573 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))) ⊆ dom 𝐹 ↔ ∀𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))𝑥 ∈ dom 𝐹)
9593, 94sylibr 224 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))) ⊆ dom 𝐹)
9695ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝐼)) → ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))) ⊆ dom 𝐹)
9765ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝐼)) → (𝑄𝐼) ∈ ℝ*)
9823ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝐼)) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*)
99 icossre 12196 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑄𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*) → ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1))) ⊆ ℝ)
10017, 23, 99syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1))) ⊆ ℝ)
101100sselda 3583 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝑥 ∈ ℝ)
102101adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝐼)) → 𝑥 ∈ ℝ)
10317ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝐼)) → (𝑄𝐼) ∈ ℝ)
10465adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → (𝑄𝐼) ∈ ℝ*)
10523adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*)
106 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1))))
107 icogelb 12167 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑄𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → (𝑄𝐼) ≤ 𝑥)
108104, 105, 106, 107syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → (𝑄𝐼) ≤ 𝑥)
109108adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝐼)) → (𝑄𝐼) ≤ 𝑥)
110 neqne 2798 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥 = (𝑄𝐼) → 𝑥 ≠ (𝑄𝐼))
111110adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝐼)) → 𝑥 ≠ (𝑄𝐼))
112103, 102, 109, 111leneltd 10135 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝐼)) → (𝑄𝐼) < 𝑥)
113 icoltub 39140 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑄𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝑥 < (𝑄‘(𝐼 + 1)))
114104, 105, 106, 113syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝑥 < (𝑄‘(𝐼 + 1)))
115114adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝐼)) → 𝑥 < (𝑄‘(𝐼 + 1)))
11697, 98, 102, 112, 115eliood 39128 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝐼)) → 𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))))
11796, 116sseldd 3584 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝐼)) → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
118117adantllr 754 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑄𝐼) ∈ dom 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄𝐼)) → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
11931, 118pm2.61dan 831 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑄𝐼) ∈ dom 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
120119ralrimiva 2960 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑄𝐼) ∈ dom 𝐹) → ∀𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))𝑥 ∈ dom 𝐹)
121 dfss3 3573 . . . . . . . 8 (((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1))) ⊆ dom 𝐹 ↔ ∀𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))𝑥 ∈ dom 𝐹)
122120, 121sylibr 224 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑄𝐼) ∈ dom 𝐹) → ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1))) ⊆ dom 𝐹)
123 fourierdlem46.cn . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 ∈ (dom 𝐹cn→ℂ))
124123adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑄𝐼) ∈ dom 𝐹) → 𝐹 ∈ (dom 𝐹cn→ℂ))
125 rescncf 22608 . . . . . . 7 (((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1))) ⊆ dom 𝐹 → (𝐹 ∈ (dom 𝐹cn→ℂ) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∈ (((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))–cn→ℂ)))
126122, 124, 125sylc 65 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑄𝐼) ∈ dom 𝐹) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∈ (((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))–cn→ℂ))
12718, 24, 26, 126icocncflimc 39403 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑄𝐼) ∈ dom 𝐹) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1))))‘(𝑄𝐼)) ∈ (((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄𝐼)))
12817leidd 10538 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑄𝐼) ≤ (𝑄𝐼))
12965, 23, 65, 128, 25elicod 12166 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑄𝐼) ∈ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1))))
130 fvres 6164 . . . . . . . 8 ((𝑄𝐼) ∈ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1))) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1))))‘(𝑄𝐼)) = (𝐹‘(𝑄𝐼)))
131129, 130syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1))))‘(𝑄𝐼)) = (𝐹‘(𝑄𝐼)))
132131eqcomd 2627 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹‘(𝑄𝐼)) = ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1))))‘(𝑄𝐼)))
133132adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑄𝐼) ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘(𝑄𝐼)) = ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1))))‘(𝑄𝐼)))
134 ioossico 12204 . . . . . . . . 9 ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))) ⊆ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))
135134a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑄𝐼) ∈ dom 𝐹) → ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))) ⊆ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1))))
136135resabs1d 5387 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑄𝐼) ∈ dom 𝐹) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) = (𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))))
137136eqcomd 2627 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑄𝐼) ∈ dom 𝐹) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) = ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))))
138137oveq1d 6619 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑄𝐼) ∈ dom 𝐹) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄𝐼)) = (((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)[,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄𝐼)))
139127, 133, 1383eltr4d 2713 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑄𝐼) ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘(𝑄𝐼)) ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄𝐼)))
140 ne0i 3897 . . . 4 ((𝐹‘(𝑄𝐼)) ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄𝐼)) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄𝐼)) ≠ ∅)
141139, 140syl 17 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑄𝐼) ∈ dom 𝐹) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄𝐼)) ≠ ∅)
142 pnfxr 10036 . . . . . . . . 9 +∞ ∈ ℝ*
143142a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
14422ltpnfd 11899 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑄‘(𝐼 + 1)) < +∞)
14523, 143, 144xrltled 38947 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ +∞)
146 iooss2 12153 . . . . . . . . 9 ((+∞ ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ +∞) → ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))) ⊆ ((𝑄𝐼)(,)+∞))
147142, 145, 146sylancr 694 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))) ⊆ ((𝑄𝐼)(,)+∞))
148147resabs1d 5387 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)+∞)) ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) = (𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))))
149148oveq1d 6619 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)+∞)) ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄𝐼)) = ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄𝐼)))
150149eqcomd 2627 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄𝐼)) = (((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)+∞)) ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄𝐼)))
151150adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑄𝐼) ∈ dom 𝐹) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄𝐼)) = (((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)+∞)) ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄𝐼)))
152 limcresi 23555 . . . . 5 ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)+∞)) lim (𝑄𝐼)) ⊆ (((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)+∞)) ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄𝐼))
15317adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑄𝐼) ∈ dom 𝐹) → (𝑄𝐼) ∈ ℝ)
154 simpl 473 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑄𝐼) ∈ dom 𝐹) → 𝜑)
1552renegcli 10286 . . . . . . . . . . . 12 -π ∈ ℝ
156155rexri 10041 . . . . . . . . . . 11 -π ∈ ℝ*
157156a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → -π ∈ ℝ*)
1582rexri 10041 . . . . . . . . . . 11 π ∈ ℝ*
159158a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → π ∈ ℝ*)
1604, 3, 17, 22, 25, 34fourierdlem10 39638 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (-π ≤ (𝑄𝐼) ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ π))
161160simpld 475 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → -π ≤ (𝑄𝐼))
162160simprd 479 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ π)
16317, 22, 3, 25, 162ltletrd 10141 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑄𝐼) < π)
164157, 159, 65, 161, 163elicod 12166 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑄𝐼) ∈ (-π[,)π))
165164adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑄𝐼) ∈ dom 𝐹) → (𝑄𝐼) ∈ (-π[,)π))
166 simpr 477 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑄𝐼) ∈ dom 𝐹) → ¬ (𝑄𝐼) ∈ dom 𝐹)
167165, 166eldifd 3566 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑄𝐼) ∈ dom 𝐹) → (𝑄𝐼) ∈ ((-π[,)π) ∖ dom 𝐹))
168154, 167jca 554 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑄𝐼) ∈ dom 𝐹) → (𝜑 ∧ (𝑄𝐼) ∈ ((-π[,)π) ∖ dom 𝐹)))
169 eleq1 2686 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑄𝐼) → (𝑥 ∈ ((-π[,)π) ∖ dom 𝐹) ↔ (𝑄𝐼) ∈ ((-π[,)π) ∖ dom 𝐹)))
170169anbi2d 739 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑄𝐼) → ((𝜑𝑥 ∈ ((-π[,)π) ∖ dom 𝐹)) ↔ (𝜑 ∧ (𝑄𝐼) ∈ ((-π[,)π) ∖ dom 𝐹))))
171 oveq1 6611 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝑄𝐼) → (𝑥(,)+∞) = ((𝑄𝐼)(,)+∞))
172171reseq2d 5356 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑄𝐼) → (𝐹 ↾ (𝑥(,)+∞)) = (𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)+∞)))
173 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑄𝐼) → 𝑥 = (𝑄𝐼))
174172, 173oveq12d 6622 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑄𝐼) → ((𝐹 ↾ (𝑥(,)+∞)) lim 𝑥) = ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)+∞)) lim (𝑄𝐼)))
175174neeq1d 2849 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑄𝐼) → (((𝐹 ↾ (𝑥(,)+∞)) lim 𝑥) ≠ ∅ ↔ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)+∞)) lim (𝑄𝐼)) ≠ ∅))
176170, 175imbi12d 334 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑄𝐼) → (((𝜑𝑥 ∈ ((-π[,)π) ∖ dom 𝐹)) → ((𝐹 ↾ (𝑥(,)+∞)) lim 𝑥) ≠ ∅) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑄𝐼) ∈ ((-π[,)π) ∖ dom 𝐹)) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)+∞)) lim (𝑄𝐼)) ≠ ∅)))
177 fourierdlem46.rlim . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ((-π[,)π) ∖ dom 𝐹)) → ((𝐹 ↾ (𝑥(,)+∞)) lim 𝑥) ≠ ∅)
178176, 177vtoclg 3252 . . . . . 6 ((𝑄𝐼) ∈ ℝ → ((𝜑 ∧ (𝑄𝐼) ∈ ((-π[,)π) ∖ dom 𝐹)) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)+∞)) lim (𝑄𝐼)) ≠ ∅))
179153, 168, 178sylc 65 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑄𝐼) ∈ dom 𝐹) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)+∞)) lim (𝑄𝐼)) ≠ ∅)
180 ssn0 3948 . . . . 5 ((((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)+∞)) lim (𝑄𝐼)) ⊆ (((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)+∞)) ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄𝐼)) ∧ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)+∞)) lim (𝑄𝐼)) ≠ ∅) → (((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)+∞)) ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄𝐼)) ≠ ∅)
181152, 179, 180sylancr 694 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑄𝐼) ∈ dom 𝐹) → (((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)+∞)) ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄𝐼)) ≠ ∅)
182151, 181eqnetrd 2857 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑄𝐼) ∈ dom 𝐹) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄𝐼)) ≠ ∅)
183141, 182pm2.61dan 831 . 2 (𝜑 → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄𝐼)) ≠ ∅)
18465adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ dom 𝐹) → (𝑄𝐼) ∈ ℝ*)
18522adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ dom 𝐹) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ)
18625adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ dom 𝐹) → (𝑄𝐼) < (𝑄‘(𝐼 + 1)))
187 simpr 477 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ dom 𝐹𝑥 = (𝑄‘(𝐼 + 1))) → 𝑥 = (𝑄‘(𝐼 + 1)))
188 simpl 473 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ dom 𝐹𝑥 = (𝑄‘(𝐼 + 1))) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ dom 𝐹)
189187, 188eqeltrd 2698 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ dom 𝐹𝑥 = (𝑄‘(𝐼 + 1))) → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
190189adantll 749 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ dom 𝐹) ∧ 𝑥 = (𝑄‘(𝐼 + 1))) → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
191190adantlr 750 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ dom 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ 𝑥 = (𝑄‘(𝐼 + 1))) → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
19295ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝐼 + 1))) → ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))) ⊆ dom 𝐹)
19365ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝐼 + 1))) → (𝑄𝐼) ∈ ℝ*)
19423ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝐼 + 1))) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*)
19565adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))) → (𝑄𝐼) ∈ ℝ*)
19622adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ)
197 iocssre 12195 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑄𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ) → ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1))) ⊆ ℝ)
198195, 196, 197syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))) → ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1))) ⊆ ℝ)
199 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1))))
200198, 199sseldd 3584 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝑥 ∈ ℝ)
201200adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝐼 + 1))) → 𝑥 ∈ ℝ)
20223adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*)
203 iocgtlb 39132 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑄𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))) → (𝑄𝐼) < 𝑥)
204195, 202, 199, 203syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))) → (𝑄𝐼) < 𝑥)
205204adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝐼 + 1))) → (𝑄𝐼) < 𝑥)
20622ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝐼 + 1))) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ)
207 iocleub 39133 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑄𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝑥 ≤ (𝑄‘(𝐼 + 1)))
208195, 202, 199, 207syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝑥 ≤ (𝑄‘(𝐼 + 1)))
209208adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝐼 + 1))) → 𝑥 ≤ (𝑄‘(𝐼 + 1)))
210 neqne 2798 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑥 = (𝑄‘(𝐼 + 1)) → 𝑥 ≠ (𝑄‘(𝐼 + 1)))
211210necomd 2845 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥 = (𝑄‘(𝐼 + 1)) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≠ 𝑥)
212211adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝐼 + 1))) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≠ 𝑥)
213201, 206, 209, 212leneltd 10135 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝐼 + 1))) → 𝑥 < (𝑄‘(𝐼 + 1)))
214193, 194, 201, 205, 213eliood 39128 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝐼 + 1))) → 𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))))
215192, 214sseldd 3584 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝐼 + 1))) → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
216215adantllr 754 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ dom 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝑄‘(𝐼 + 1))) → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
217191, 216pm2.61dan 831 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ dom 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
218217ralrimiva 2960 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ dom 𝐹) → ∀𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))𝑥 ∈ dom 𝐹)
219 dfss3 3573 . . . . . . . 8 (((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1))) ⊆ dom 𝐹 ↔ ∀𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))𝑥 ∈ dom 𝐹)
220218, 219sylibr 224 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ dom 𝐹) → ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1))) ⊆ dom 𝐹)
221123adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ dom 𝐹) → 𝐹 ∈ (dom 𝐹cn→ℂ))
222 rescncf 22608 . . . . . . 7 (((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1))) ⊆ dom 𝐹 → (𝐹 ∈ (dom 𝐹cn→ℂ) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∈ (((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))–cn→ℂ)))
223220, 221, 222sylc 65 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ dom 𝐹) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))) ∈ (((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))–cn→ℂ))
224184, 185, 186, 223ioccncflimc 39399 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ dom 𝐹) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1))))‘(𝑄‘(𝐼 + 1))) ∈ (((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))) ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼 + 1))))
22522leidd 10538 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ (𝑄‘(𝐼 + 1)))
22665, 23, 23, 25, 225eliocd 39138 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1))))
227 fvres 6164 . . . . . . . . 9 ((𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1))) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1))))‘(𝑄‘(𝐼 + 1))) = (𝐹‘(𝑄‘(𝐼 + 1))))
228226, 227syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1))))‘(𝑄‘(𝐼 + 1))) = (𝐹‘(𝑄‘(𝐼 + 1))))
229228eqcomd 2627 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹‘(𝑄‘(𝐼 + 1))) = ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1))))‘(𝑄‘(𝐼 + 1))))
230 ioossioc 39121 . . . . . . . . . . 11 ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))) ⊆ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))
231 resabs1 5386 . . . . . . . . . . 11 (((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))) ⊆ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1))) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))) ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) = (𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))))
232230, 231ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))) ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) = (𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))))
233232eqcomi 2630 . . . . . . . . 9 (𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) = ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))) ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))))
234233oveq1i 6614 . . . . . . . 8 ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼 + 1))) = (((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))) ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼 + 1)))
235234a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼 + 1))) = (((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))) ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼 + 1))))
236229, 235eleq12d 2692 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐹‘(𝑄‘(𝐼 + 1))) ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼 + 1))) ↔ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1))))‘(𝑄‘(𝐼 + 1))) ∈ (((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))) ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼 + 1)))))
237236adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ dom 𝐹) → ((𝐹‘(𝑄‘(𝐼 + 1))) ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼 + 1))) ↔ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1))))‘(𝑄‘(𝐼 + 1))) ∈ (((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,](𝑄‘(𝐼 + 1)))) ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼 + 1)))))
238224, 237mpbird 247 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘(𝑄‘(𝐼 + 1))) ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼 + 1))))
239 ne0i 3897 . . . 4 ((𝐹‘(𝑄‘(𝐼 + 1))) ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼 + 1))) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼 + 1))) ≠ ∅)
240238, 239syl 17 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ dom 𝐹) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼 + 1))) ≠ ∅)
241 mnfxr 10040 . . . . . . . . 9 -∞ ∈ ℝ*
242241a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → -∞ ∈ ℝ*)
24317mnfltd 11902 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → -∞ < (𝑄𝐼))
244242, 65, 243xrltled 38947 . . . . . . . . 9 (𝜑 → -∞ ≤ (𝑄𝐼))
245 iooss1 12152 . . . . . . . . 9 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ -∞ ≤ (𝑄𝐼)) → ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))) ⊆ (-∞(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))))
246241, 244, 245sylancr 694 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))) ⊆ (-∞(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))))
247246resabs1d 5387 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (-∞(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) = (𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))))
248247eqcomd 2627 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) = ((𝐹 ↾ (-∞(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))))
249248adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ dom 𝐹) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) = ((𝐹 ↾ (-∞(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))))
250249oveq1d 6619 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ dom 𝐹) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼 + 1))) = (((𝐹 ↾ (-∞(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼 + 1))))
251 limcresi 23555 . . . . 5 ((𝐹 ↾ (-∞(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼 + 1))) ⊆ (((𝐹 ↾ (-∞(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼 + 1)))
25222adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ dom 𝐹) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ)
253 simpl 473 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ dom 𝐹) → 𝜑)
254156a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ dom 𝐹) → -π ∈ ℝ*)
255158a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ dom 𝐹) → π ∈ ℝ*)
25623adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ dom 𝐹) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*)
2574, 17, 22, 161, 25lelttrd 10139 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → -π < (𝑄‘(𝐼 + 1)))
258257adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ dom 𝐹) → -π < (𝑄‘(𝐼 + 1)))
259162adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ dom 𝐹) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ π)
260254, 255, 256, 258, 259eliocd 39138 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ dom 𝐹) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ (-π(,]π))
261 simpr 477 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ dom 𝐹) → ¬ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ dom 𝐹)
262260, 261eldifd 3566 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ dom 𝐹) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ((-π(,]π) ∖ dom 𝐹))
263253, 262jca 554 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ dom 𝐹) → (𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ((-π(,]π) ∖ dom 𝐹)))
264 eleq1 2686 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑄‘(𝐼 + 1)) → (𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom 𝐹) ↔ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ((-π(,]π) ∖ dom 𝐹)))
265264anbi2d 739 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑄‘(𝐼 + 1)) → ((𝜑𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom 𝐹)) ↔ (𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ((-π(,]π) ∖ dom 𝐹))))
266 oveq2 6612 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝑄‘(𝐼 + 1)) → (-∞(,)𝑥) = (-∞(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))))
267266reseq2d 5356 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑄‘(𝐼 + 1)) → (𝐹 ↾ (-∞(,)𝑥)) = (𝐹 ↾ (-∞(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))))
268 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑄‘(𝐼 + 1)) → 𝑥 = (𝑄‘(𝐼 + 1)))
269267, 268oveq12d 6622 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑄‘(𝐼 + 1)) → ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑥)) lim 𝑥) = ((𝐹 ↾ (-∞(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼 + 1))))
270269neeq1d 2849 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑄‘(𝐼 + 1)) → (((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑥)) lim 𝑥) ≠ ∅ ↔ ((𝐹 ↾ (-∞(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼 + 1))) ≠ ∅))
271265, 270imbi12d 334 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑄‘(𝐼 + 1)) → (((𝜑𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom 𝐹)) → ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑥)) lim 𝑥) ≠ ∅) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ((-π(,]π) ∖ dom 𝐹)) → ((𝐹 ↾ (-∞(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼 + 1))) ≠ ∅)))
272 fourierdlem46.llim . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom 𝐹)) → ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑥)) lim 𝑥) ≠ ∅)
273271, 272vtoclg 3252 . . . . . 6 ((𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ → ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ((-π(,]π) ∖ dom 𝐹)) → ((𝐹 ↾ (-∞(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼 + 1))) ≠ ∅))
274252, 263, 273sylc 65 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ dom 𝐹) → ((𝐹 ↾ (-∞(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼 + 1))) ≠ ∅)
275 ssn0 3948 . . . . 5 ((((𝐹 ↾ (-∞(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼 + 1))) ⊆ (((𝐹 ↾ (-∞(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼 + 1))) ∧ ((𝐹 ↾ (-∞(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼 + 1))) ≠ ∅) → (((𝐹 ↾ (-∞(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼 + 1))) ≠ ∅)
276251, 274, 275sylancr 694 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ dom 𝐹) → (((𝐹 ↾ (-∞(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼 + 1))) ≠ ∅)
277250, 276eqnetrd 2857 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ dom 𝐹) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼 + 1))) ≠ ∅)
278240, 277pm2.61dan 831 . 2 (𝜑 → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼 + 1))) ≠ ∅)
279183, 278jca 554 1 (𝜑 → (((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄𝐼)) ≠ ∅ ∧ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼 + 1))) ≠ ∅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  wral 2907  wrex 2908  cdif 3552  cun 3553  wss 3555  c0 3891  {ctp 4152   class class class wbr 4613  dom cdm 5074  ran crn 5075  cres 5076   Fn wfn 5842  wf 5843  cfv 5847   Isom wiso 5848  (class class class)co 6604  cc 9878  cr 9879  0cc0 9880  1c1 9881   + caddc 9883  +∞cpnf 10015  -∞cmnf 10016  *cxr 10017   < clt 10018  cle 10019  -cneg 10211  cz 11321  (,)cioo 12117  (,]cioc 12118  [,)cico 12119  [,]cicc 12120  ...cfz 12268  ..^cfzo 12406  πcpi 14722  cnccncf 22587   lim climc 23532
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958  ax-addf 9959  ax-mulf 9960
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-iin 4488  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-of 6850  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-supp 7241  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-pm 7805  df-ixp 7853  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-fsupp 8220  df-fi 8261  df-sup 8292  df-inf 8293  df-oi 8359  df-card 8709  df-cda 8934  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-z 11322  df-dec 11438  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-xneg 11890  df-xadd 11891  df-xmul 11892  df-ioo 12121  df-ioc 12122  df-ico 12123  df-icc 12124  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-fl 12533  df-seq 12742  df-exp 12801  df-fac 13001  df-bc 13030  df-hash 13058  df-shft 13741  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-limsup 14136  df-clim 14153  df-rlim 14154  df-sum 14351  df-ef 14723  df-sin 14725  df-cos 14726  df-pi 14728  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-starv 15877  df-sca 15878  df-vsca 15879  df-ip 15880  df-tset 15881  df-ple 15882  df-ds 15885  df-unif 15886  df-hom 15887  df-cco 15888  df-rest 16004  df-topn 16005  df-0g 16023  df-gsum 16024  df-topgen 16025  df-pt 16026  df-prds 16029  df-xrs 16083  df-qtop 16088  df-imas 16089  df-xps 16091  df-mre 16167  df-mrc 16168  df-acs 16170  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-submnd 17257  df-mulg 17462  df-cntz 17671  df-cmn 18116  df-psmet 19657  df-xmet 19658  df-met 19659  df-bl 19660  df-mopn 19661  df-fbas 19662  df-fg 19663  df-cnfld 19666  df-top 20621  df-bases 20622  df-topon 20623  df-topsp 20624  df-cld 20733  df-ntr 20734  df-cls 20735  df-nei 20812  df-lp 20850  df-perf 20851  df-cn 20941  df-cnp 20942  df-haus 21029  df-tx 21275  df-hmeo 21468  df-fil 21560  df-fm 21652  df-flim 21653  df-flf 21654  df-xms 22035  df-ms 22036  df-tms 22037  df-cncf 22589  df-limc 23536  df-dv 23537
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