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Theorem fourierdlem48 39678
Description: The given periodic function 𝐹 has a right limit at every point in the reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem48.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem48.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
fourierdlem48.altb (𝜑𝐴 < 𝐵)
fourierdlem48.p 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐴 ∧ (𝑝𝑚) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
fourierdlem48.t 𝑇 = (𝐵𝐴)
fourierdlem48.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
fourierdlem48.q (𝜑𝑄 ∈ (𝑃𝑀))
fourierdlem48.f (𝜑𝐹:𝐷⟶ℝ)
fourierdlem48.dper ((𝜑𝑥𝐷𝑘 ∈ ℤ) → (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷)
fourierdlem48.per ((𝜑𝑥𝐷𝑘 ∈ ℤ) → (𝐹‘(𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) = (𝐹𝑥))
fourierdlem48.cn ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
fourierdlem48.r ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)))
fourierdlem48.x (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem48.z 𝑍 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇))
fourierdlem48.e 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + (𝑍𝑥)))
fourierdlem48.ch (𝜒 ↔ ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem48 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋) ≠ ∅)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑖,𝑥   𝐴,𝑚,𝑝,𝑖   𝐵,𝑖,𝑘,𝑥   𝐵,𝑚,𝑝   𝐷,𝑘,𝑥   𝑖,𝐸,𝑘,𝑦   𝑖,𝐹,𝑘,𝑥,𝑦   𝑖,𝑀,𝑘   𝑚,𝑀,𝑝   𝑦,𝑀   𝑄,𝑖,𝑘,𝑥   𝑄,𝑝   𝑦,𝑄   𝑇,𝑖,𝑘,𝑥,𝑦   𝑖,𝑋,𝑘,𝑥,𝑦   𝑥,𝑍   𝜒,𝑥   𝜑,𝑖,𝑘,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚,𝑝)   𝜒(𝑦,𝑖,𝑘,𝑚,𝑝)   𝐴(𝑦,𝑘)   𝐵(𝑦)   𝐷(𝑦,𝑖,𝑚,𝑝)   𝑃(𝑥,𝑦,𝑖,𝑘,𝑚,𝑝)   𝑄(𝑚)   𝑅(𝑥,𝑦,𝑖,𝑘,𝑚,𝑝)   𝑇(𝑚,𝑝)   𝐸(𝑥,𝑚,𝑝)   𝐹(𝑚,𝑝)   𝑀(𝑥)   𝑋(𝑚,𝑝)   𝑍(𝑦,𝑖,𝑘,𝑚,𝑝)

Proof of Theorem fourierdlem48
Dummy variables 𝑗 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 473 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) = 𝐵) → 𝜑)
2 0zd 11333 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
3 fourierdlem48.m . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
43nnzd 11425 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
53nngt0d 11008 . . . . . 6 (𝜑 → 0 < 𝑀)
6 fzolb 12417 . . . . . 6 (0 ∈ (0..^𝑀) ↔ (0 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑀))
72, 4, 5, 6syl3anbrc 1244 . . . . 5 (𝜑 → 0 ∈ (0..^𝑀))
87adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) = 𝐵) → 0 ∈ (0..^𝑀))
9 fourierdlem48.b . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
10 fourierdlem48.x . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
119, 10resubcld 10402 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵𝑋) ∈ ℝ)
12 fourierdlem48.t . . . . . . . . . 10 𝑇 = (𝐵𝐴)
13 fourierdlem48.a . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
149, 13resubcld 10402 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ ℝ)
1512, 14syl5eqel 2702 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
16 fourierdlem48.altb . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 < 𝐵)
1713, 9posdifd 10558 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵𝐴)))
1816, 17mpbid 222 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 < (𝐵𝐴))
1918, 12syl6breqr 4655 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 < 𝑇)
2019gt0ne0d 10536 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑇 ≠ 0)
2111, 15, 20redivcld 10797 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐵𝑋) / 𝑇) ∈ ℝ)
2221adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) = 𝐵) → ((𝐵𝑋) / 𝑇) ∈ ℝ)
2322flcld 12539 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) = 𝐵) → (⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ)
24 1zzd 11352 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) = 𝐵) → 1 ∈ ℤ)
2523, 24zsubcld 11431 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) = 𝐵) → ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) − 1) ∈ ℤ)
26 id 22 . . . . . . . 8 ((𝐸𝑋) = 𝐵 → (𝐸𝑋) = 𝐵)
2712a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝐸𝑋) = 𝐵𝑇 = (𝐵𝐴))
2826, 27oveq12d 6622 . . . . . . 7 ((𝐸𝑋) = 𝐵 → ((𝐸𝑋) − 𝑇) = (𝐵 − (𝐵𝐴)))
299recnd 10012 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3013recnd 10012 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
3129, 30nncand 10341 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵 − (𝐵𝐴)) = 𝐴)
3228, 31sylan9eqr 2677 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) = 𝐵) → ((𝐸𝑋) − 𝑇) = 𝐴)
33 fourierdlem48.q . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑄 ∈ (𝑃𝑀))
34 fourierdlem48.p . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐴 ∧ (𝑝𝑚) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
3534fourierdlem2 39633 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑄 ∈ (𝑃𝑀) ↔ (𝑄 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑀)) ∧ (((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄𝑀) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))))))
363, 35syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑄 ∈ (𝑃𝑀) ↔ (𝑄 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑀)) ∧ (((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄𝑀) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))))))
3733, 36mpbid 222 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑄 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑀)) ∧ (((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄𝑀) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))))
3837simpld 475 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑄 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑀)))
39 elmapi 7823 . . . . . . . . . . . 12 (𝑄 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑀)) → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
4038, 39syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
413nnnn0d 11295 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
42 nn0uz 11666 . . . . . . . . . . . . 13 0 = (ℤ‘0)
4341, 42syl6eleq 2708 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘0))
44 eluzfz1 12290 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ (ℤ‘0) → 0 ∈ (0...𝑀))
4543, 44syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 ∈ (0...𝑀))
4640, 45ffvelrnd 6316 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑄‘0) ∈ ℝ)
4746rexrd 10033 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑄‘0) ∈ ℝ*)
48 1zzd 11352 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
492, 4, 483jca 1240 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (0 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ))
50 0le1 10495 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ≤ 1
5150a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 ≤ 1)
523nnge1d 11007 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 1 ≤ 𝑀)
5349, 51, 52jca32 557 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 1 ∧ 1 ≤ 𝑀)))
54 elfz2 12275 . . . . . . . . . . . 12 (1 ∈ (0...𝑀) ↔ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 1 ∧ 1 ≤ 𝑀)))
5553, 54sylibr 224 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 1 ∈ (0...𝑀))
5640, 55ffvelrnd 6316 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑄‘1) ∈ ℝ)
5756rexrd 10033 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑄‘1) ∈ ℝ*)
5813rexrd 10033 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
5937simprd 479 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄𝑀) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))))
6059simplld 790 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑄‘0) = 𝐴)
6113leidd 10538 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴𝐴)
6260, 61eqbrtrd 4635 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑄‘0) ≤ 𝐴)
6360eqcomd 2627 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 = (𝑄‘0))
64 0re 9984 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ ℝ
65 eleq1 2686 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 = 0 → (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↔ 0 ∈ (0..^𝑀)))
6665anbi2d 739 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = 0 → ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ↔ (𝜑 ∧ 0 ∈ (0..^𝑀))))
67 fveq2 6148 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 = 0 → (𝑄𝑖) = (𝑄‘0))
68 oveq1 6611 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 = 0 → (𝑖 + 1) = (0 + 1))
6968fveq2d 6152 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 = 0 → (𝑄‘(𝑖 + 1)) = (𝑄‘(0 + 1)))
7067, 69breq12d 4626 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = 0 → ((𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)) ↔ (𝑄‘0) < (𝑄‘(0 + 1))))
7166, 70imbi12d 334 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 0 → (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))) ↔ ((𝜑 ∧ 0 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘0) < (𝑄‘(0 + 1)))))
7237simprrd 796 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
7372r19.21bi 2927 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
7471, 73vtoclg 3252 . . . . . . . . . . . . 13 (0 ∈ ℝ → ((𝜑 ∧ 0 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘0) < (𝑄‘(0 + 1))))
7564, 74ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ 0 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘0) < (𝑄‘(0 + 1)))
767, 75mpdan 701 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑄‘0) < (𝑄‘(0 + 1)))
77 1e0p1 11496 . . . . . . . . . . . 12 1 = (0 + 1)
7877fveq2i 6151 . . . . . . . . . . 11 (𝑄‘1) = (𝑄‘(0 + 1))
7976, 78syl6breqr 4655 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑄‘0) < (𝑄‘1))
8063, 79eqbrtrd 4635 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 < (𝑄‘1))
8147, 57, 58, 62, 80elicod 12166 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ((𝑄‘0)[,)(𝑄‘1)))
8278oveq2i 6615 . . . . . . . 8 ((𝑄‘0)[,)(𝑄‘1)) = ((𝑄‘0)[,)(𝑄‘(0 + 1)))
8381, 82syl6eleq 2708 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ((𝑄‘0)[,)(𝑄‘(0 + 1))))
8483adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) = 𝐵) → 𝐴 ∈ ((𝑄‘0)[,)(𝑄‘(0 + 1))))
8532, 84eqeltrd 2698 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) = 𝐵) → ((𝐸𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄‘0)[,)(𝑄‘(0 + 1))))
86 fourierdlem48.e . . . . . . . . . . 11 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + (𝑍𝑥)))
8786a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + (𝑍𝑥))))
88 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑋𝑥 = 𝑋)
89 fveq2 6148 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑋 → (𝑍𝑥) = (𝑍𝑋))
9088, 89oveq12d 6622 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 + (𝑍𝑥)) = (𝑋 + (𝑍𝑋)))
9190adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 = 𝑋) → (𝑥 + (𝑍𝑥)) = (𝑋 + (𝑍𝑋)))
92 fourierdlem48.z . . . . . . . . . . . . . 14 𝑍 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇))
9392a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑍 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
94 oveq2 6612 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑋 → (𝐵𝑥) = (𝐵𝑋))
9594oveq1d 6619 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑋 → ((𝐵𝑥) / 𝑇) = ((𝐵𝑋) / 𝑇))
9695fveq2d 6152 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑋 → (⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) = (⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)))
9796oveq1d 6619 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑋 → ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇) = ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))
9897adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 = 𝑋) → ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇) = ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))
9921flcld 12539 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ)
10099zred 11426 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) ∈ ℝ)
101100, 15remulcld 10014 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ ℝ)
10293, 98, 10, 101fvmptd 6245 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑍𝑋) = ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))
103102, 101eqeltrd 2698 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑍𝑋) ∈ ℝ)
10410, 103readdcld 10013 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑋 + (𝑍𝑋)) ∈ ℝ)
10587, 91, 10, 104fvmptd 6245 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐸𝑋) = (𝑋 + (𝑍𝑋)))
106102oveq2d 6620 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑋 + (𝑍𝑋)) = (𝑋 + ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)))
107105, 106eqtrd 2655 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐸𝑋) = (𝑋 + ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)))
108107oveq1d 6619 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐸𝑋) − 𝑇) = ((𝑋 + ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) − 𝑇))
10910recnd 10012 . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
110101recnd 10012 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ ℂ)
11115recnd 10012 . . . . . . . 8 (𝜑𝑇 ∈ ℂ)
112109, 110, 111addsubassd 10356 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑋 + ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) − 𝑇) = (𝑋 + (((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇) − 𝑇)))
11399zcnd 11427 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) ∈ ℂ)
114113, 111mulsubfacd 10436 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇) − 𝑇) = (((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) − 1) · 𝑇))
115114oveq2d 6620 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋 + (((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇) − 𝑇)) = (𝑋 + (((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) − 1) · 𝑇)))
116108, 112, 1153eqtrd 2659 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐸𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) − 1) · 𝑇)))
117116adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) = 𝐵) → ((𝐸𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) − 1) · 𝑇)))
118 oveq1 6611 . . . . . . . . 9 (𝑘 = ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) − 1) → (𝑘 · 𝑇) = (((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) − 1) · 𝑇))
119118oveq2d 6620 . . . . . . . 8 (𝑘 = ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) − 1) → (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑋 + (((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) − 1) · 𝑇)))
120119eqeq2d 2631 . . . . . . 7 (𝑘 = ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) − 1) → (((𝐸𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)) ↔ ((𝐸𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) − 1) · 𝑇))))
121120anbi2d 739 . . . . . 6 (𝑘 = ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) − 1) → ((((𝐸𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄‘0)[,)(𝑄‘(0 + 1))) ∧ ((𝐸𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) ↔ (((𝐸𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄‘0)[,)(𝑄‘(0 + 1))) ∧ ((𝐸𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) − 1) · 𝑇)))))
122121rspcev 3295 . . . . 5 ((((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) − 1) ∈ ℤ ∧ (((𝐸𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄‘0)[,)(𝑄‘(0 + 1))) ∧ ((𝐸𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) − 1) · 𝑇)))) → ∃𝑘 ∈ ℤ (((𝐸𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄‘0)[,)(𝑄‘(0 + 1))) ∧ ((𝐸𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))))
12325, 85, 117, 122syl12anc 1321 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) = 𝐵) → ∃𝑘 ∈ ℤ (((𝐸𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄‘0)[,)(𝑄‘(0 + 1))) ∧ ((𝐸𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))))
12467, 69oveq12d 6622 . . . . . . . 8 (𝑖 = 0 → ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) = ((𝑄‘0)[,)(𝑄‘(0 + 1))))
125124eleq2d 2684 . . . . . . 7 (𝑖 = 0 → (((𝐸𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↔ ((𝐸𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄‘0)[,)(𝑄‘(0 + 1)))))
126125anbi1d 740 . . . . . 6 (𝑖 = 0 → ((((𝐸𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ ((𝐸𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) ↔ (((𝐸𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄‘0)[,)(𝑄‘(0 + 1))) ∧ ((𝐸𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))))
127126rexbidv 3045 . . . . 5 (𝑖 = 0 → (∃𝑘 ∈ ℤ (((𝐸𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ ((𝐸𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (((𝐸𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄‘0)[,)(𝑄‘(0 + 1))) ∧ ((𝐸𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))))
128127rspcev 3295 . . . 4 ((0 ∈ (0..^𝑀) ∧ ∃𝑘 ∈ ℤ (((𝐸𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄‘0)[,)(𝑄‘(0 + 1))) ∧ ((𝐸𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (((𝐸𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ ((𝐸𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))))
1298, 123, 128syl2anc 692 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) = 𝐵) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (((𝐸𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ ((𝐸𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))))
130 ovex 6632 . . . 4 ((𝐸𝑋) − 𝑇) ∈ V
131 eleq1 2686 . . . . . . . 8 (𝑦 = ((𝐸𝑋) − 𝑇) → (𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↔ ((𝐸𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
132 eqeq1 2625 . . . . . . . 8 (𝑦 = ((𝐸𝑋) − 𝑇) → (𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)) ↔ ((𝐸𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))))
133131, 132anbi12d 746 . . . . . . 7 (𝑦 = ((𝐸𝑋) − 𝑇) → ((𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) ↔ (((𝐸𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ ((𝐸𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))))
1341332rexbidv 3050 . . . . . 6 (𝑦 = ((𝐸𝑋) − 𝑇) → (∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) ↔ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (((𝐸𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ ((𝐸𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))))
135134anbi2d 739 . . . . 5 (𝑦 = ((𝐸𝑋) − 𝑇) → ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) ↔ (𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (((𝐸𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ ((𝐸𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))))))
136135imbi1d 331 . . . 4 (𝑦 = ((𝐸𝑋) − 𝑇) → (((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋) ≠ ∅) ↔ ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (((𝐸𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ ((𝐸𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋) ≠ ∅)))
137 simpr 477 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))))
138 nfv 1840 . . . . . . 7 𝑖𝜑
139 nfre1 2999 . . . . . . 7 𝑖𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))
140138, 139nfan 1825 . . . . . 6 𝑖(𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))))
141 nfv 1840 . . . . . . 7 𝑘𝜑
142 nfcv 2761 . . . . . . . 8 𝑘(0..^𝑀)
143 nfre1 2999 . . . . . . . 8 𝑘𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))
144142, 143nfrex 3001 . . . . . . 7 𝑘𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))
145141, 144nfan 1825 . . . . . 6 𝑘(𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))))
146 simp1 1059 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → 𝜑)
147 simp2l 1085 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑖 ∈ (0..^𝑀))
148 simp3l 1087 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
149146, 147, 148jca31 556 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
150 simp2r 1086 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑘 ∈ ℤ)
151 simp3r 1088 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))
152 fourierdlem48.ch . . . . . . . . . 10 (𝜒 ↔ ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))))
153152biimpi 206 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒 → ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))))
154153simplld 790 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒 → ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
155154simplld 790 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜒𝜑)
156 fourierdlem48.f . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐹:𝐷⟶ℝ)
157 frel 6007 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹:𝐷⟶ℝ → Rel 𝐹)
158155, 156, 1573syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜒 → Rel 𝐹)
159 resindm 5403 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Rel 𝐹 → (𝐹 ↾ ((𝑋(,)+∞) ∩ dom 𝐹)) = (𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)))
160159eqcomd 2627 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Rel 𝐹 → (𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) = (𝐹 ↾ ((𝑋(,)+∞) ∩ dom 𝐹)))
161158, 160syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜒 → (𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) = (𝐹 ↾ ((𝑋(,)+∞) ∩ dom 𝐹)))
162 fdm 6008 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹:𝐷⟶ℝ → dom 𝐹 = 𝐷)
163155, 156, 1623syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜒 → dom 𝐹 = 𝐷)
164163ineq2d 3792 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜒 → ((𝑋(,)+∞) ∩ dom 𝐹) = ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷))
165164reseq2d 5356 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜒 → (𝐹 ↾ ((𝑋(,)+∞) ∩ dom 𝐹)) = (𝐹 ↾ ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷)))
166161, 165eqtrd 2655 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜒 → (𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) = (𝐹 ↾ ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷)))
167166oveq1d 6619 . . . . . . . . . . . 12 (𝜒 → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋) = ((𝐹 ↾ ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷)) lim 𝑋))
168155, 156syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜒𝐹:𝐷⟶ℝ)
169 ax-resscn 9937 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ℝ ⊆ ℂ
170169a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜒 → ℝ ⊆ ℂ)
171168, 170fssd 6014 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜒𝐹:𝐷⟶ℂ)
172 inss2 3812 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ⊆ 𝐷
173172a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜒 → ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ⊆ 𝐷)
174171, 173fssresd 6028 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜒 → (𝐹 ↾ ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷)):((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷)⟶ℂ)
175 pnfxr 10036 . . . . . . . . . . . . . . . 16 +∞ ∈ ℝ*
176175a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜒 → +∞ ∈ ℝ*)
177154simplrd 792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜒𝑖 ∈ (0..^𝑀))
17840adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
179 fzofzp1 12506 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
180179adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
181178, 180ffvelrnd 6316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
182155, 177, 181syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒 → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
183153simplrd 792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜒𝑘 ∈ ℤ)
184183zred 11426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜒𝑘 ∈ ℝ)
185155, 15syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜒𝑇 ∈ ℝ)
186184, 185remulcld 10014 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒 → (𝑘 · 𝑇) ∈ ℝ)
187182, 186resubcld 10402 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒 → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ)
188187rexrd 10033 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜒 → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ*)
189187ltpnfd 11899 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜒 → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) < +∞)
190188, 176, 189xrltled 38950 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜒 → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) ≤ +∞)
191 iooss2 12153 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((+∞ ∈ ℝ* ∧ ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) ≤ +∞) → (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ⊆ (𝑋(,)+∞))
192176, 190, 191syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜒 → (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ⊆ (𝑋(,)+∞))
193183adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑘 ∈ ℤ)
194193zcnd 11427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑘 ∈ ℂ)
195185recnd 10012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜒𝑇 ∈ ℂ)
196195adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑇 ∈ ℂ)
197194, 196mulneg1d 10427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (-𝑘 · 𝑇) = -(𝑘 · 𝑇))
198197oveq2d 6620 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (-𝑘 · 𝑇)) = ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + -(𝑘 · 𝑇)))
199 elioore 12147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) → 𝑤 ∈ ℝ)
200199recnd 10012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) → 𝑤 ∈ ℂ)
201200adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑤 ∈ ℂ)
202194, 196mulcld 10004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑘 · 𝑇) ∈ ℂ)
203201, 202addcld 10003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℂ)
204203, 202negsubd 10342 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + -(𝑘 · 𝑇)) = ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑘 · 𝑇)))
205201, 202pncand 10337 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑘 · 𝑇)) = 𝑤)
206198, 204, 2053eqtrrd 2660 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑤 = ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (-𝑘 · 𝑇)))
207155adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝜑)
208154simpld 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜒 → (𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)))
209 fourierdlem48.cn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
210 cncff 22604 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))):((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ)
211 fdm 6008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))):((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ → dom (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
212209, 210, 2113syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → dom (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
213 ssdmres 5379 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ dom 𝐹 ↔ dom (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
214212, 213sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ dom 𝐹)
215156, 162syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐷)
216215adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → dom 𝐹 = 𝐷)
217214, 216sseqtrd 3620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ 𝐷)
218208, 217syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜒 → ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ 𝐷)
219218adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ 𝐷)
220 elfzofz 12426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
221220adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
222178, 221ffvelrnd 6316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ)
223155, 177, 222syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜒 → (𝑄𝑖) ∈ ℝ)
224223rexrd 10033 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜒 → (𝑄𝑖) ∈ ℝ*)
225224adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ*)
226182rexrd 10033 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜒 → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*)
227226adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*)
228199adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑤 ∈ ℝ)
229193zred 11426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑘 ∈ ℝ)
230207, 15syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑇 ∈ ℝ)
231229, 230remulcld 10014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑘 · 𝑇) ∈ ℝ)
232228, 231readdcld 10013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ)
233223adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ)
234155, 10syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜒𝑋 ∈ ℝ)
235234, 186readdcld 10013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜒 → (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ)
236235adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ)
237152simprbi 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜒𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))
238237eqcomd 2627 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜒 → (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)) = 𝑦)
239154simprd 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜒𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
240238, 239eqeltrd 2698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜒 → (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
241 icogelb 12167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑄𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ* ∧ (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄𝑖) ≤ (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))
242224, 226, 240, 241syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜒 → (𝑄𝑖) ≤ (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))
243242adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑄𝑖) ≤ (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))
244207, 10syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑋 ∈ ℝ)
245244rexrd 10033 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑋 ∈ ℝ*)
246182adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
247246, 231resubcld 10402 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ)
248247rexrd 10033 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ*)
249 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))))
250 ioogtlb 39128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑋 ∈ ℝ* ∧ ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ*𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑋 < 𝑤)
251245, 248, 249, 250syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑋 < 𝑤)
252244, 228, 231, 251ltadd1dd 10582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)))
253233, 236, 232, 243, 252lelttrd 10139 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑄𝑖) < (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)))
254 iooltub 39146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑋 ∈ ℝ* ∧ ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ*𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑤 < ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))
255245, 248, 249, 254syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑤 < ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))
256228, 247, 231, 255ltadd1dd 10582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) < (((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) + (𝑘 · 𝑇)))
257182recnd 10012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜒 → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℂ)
258186recnd 10012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜒 → (𝑘 · 𝑇) ∈ ℂ)
259257, 258npcand 10340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜒 → (((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑄‘(𝑖 + 1)))
260259adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑄‘(𝑖 + 1)))
261256, 260breqtrd 4639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
262225, 227, 232, 253, 261eliood 39131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
263219, 262sseldd 3584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷)
264193znegcld 11428 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → -𝑘 ∈ ℤ)
265 ovex 6632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ V
266 eleq1 2686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) → (𝑥𝐷 ↔ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷))
2672663anbi2d 1401 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) → ((𝜑𝑥𝐷 ∧ -𝑘 ∈ ℤ) ↔ (𝜑 ∧ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷 ∧ -𝑘 ∈ ℤ)))
268 oveq1 6611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) → (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)) = ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (-𝑘 · 𝑇)))
269268eleq1d 2683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) → ((𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷 ↔ ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (-𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷))
270267, 269imbi12d 334 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) → (((𝜑𝑥𝐷 ∧ -𝑘 ∈ ℤ) → (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷 ∧ -𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (-𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷)))
271 negex 10223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 -𝑘 ∈ V
272 eleq1 2686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑗 = -𝑘 → (𝑗 ∈ ℤ ↔ -𝑘 ∈ ℤ))
2732723anbi3d 1402 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 = -𝑘 → ((𝜑𝑥𝐷𝑗 ∈ ℤ) ↔ (𝜑𝑥𝐷 ∧ -𝑘 ∈ ℤ)))
274 oveq1 6611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑗 = -𝑘 → (𝑗 · 𝑇) = (-𝑘 · 𝑇))
275274oveq2d 6620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑗 = -𝑘 → (𝑥 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)))
276275eleq1d 2683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 = -𝑘 → ((𝑥 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐷 ↔ (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷))
277273, 276imbi12d 334 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 = -𝑘 → (((𝜑𝑥𝐷𝑗 ∈ ℤ) → (𝑥 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐷) ↔ ((𝜑𝑥𝐷 ∧ -𝑘 ∈ ℤ) → (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷)))
278 eleq1 2686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 ∈ ℤ ↔ 𝑗 ∈ ℤ))
2792783anbi3d 1402 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑𝑥𝐷𝑘 ∈ ℤ) ↔ (𝜑𝑥𝐷𝑗 ∈ ℤ)))
280 oveq1 6611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 · 𝑇) = (𝑗 · 𝑇))
281280oveq2d 6620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑘 = 𝑗 → (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑥 + (𝑗 · 𝑇)))
282281eleq1d 2683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑘 = 𝑗 → ((𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷 ↔ (𝑥 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐷))
283279, 282imbi12d 334 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑𝑥𝐷𝑘 ∈ ℤ) → (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷) ↔ ((𝜑𝑥𝐷𝑗 ∈ ℤ) → (𝑥 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐷)))
284 fourierdlem48.dper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑥𝐷𝑘 ∈ ℤ) → (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷)
285283, 284chvarv 2262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥𝐷𝑗 ∈ ℤ) → (𝑥 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐷)
286271, 277, 285vtocl 3245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥𝐷 ∧ -𝑘 ∈ ℤ) → (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷)
287265, 270, 286vtocl 3245 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷 ∧ -𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (-𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷)
288207, 263, 264, 287syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (-𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷)
289206, 288eqeltrd 2698 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑤𝐷)
290289ralrimiva 2960 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜒 → ∀𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑤𝐷)
291 dfss3 3573 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ⊆ 𝐷 ↔ ∀𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑤𝐷)
292290, 291sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜒 → (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ⊆ 𝐷)
293192, 292ssind 3815 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜒 → (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ⊆ ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷))
294 ioosscn 39127 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋(,)+∞) ⊆ ℂ
295 ssinss1 3819 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋(,)+∞) ⊆ ℂ → ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ⊆ ℂ)
296294, 295mp1i 13 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜒 → ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ⊆ ℂ)
297 eqid 2621 . . . . . . . . . . . . 13 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
298 eqid 2621 . . . . . . . . . . . . 13 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))
299234rexrd 10033 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜒𝑋 ∈ ℝ*)
300234leidd 10538 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜒𝑋𝑋)
301237oveq1d 6619 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒 → (𝑦 − (𝑘 · 𝑇)) = ((𝑋 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑘 · 𝑇)))
302234recnd 10012 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒𝑋 ∈ ℂ)
303302, 258pncand 10337 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒 → ((𝑋 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑘 · 𝑇)) = 𝑋)
304301, 303eqtr2d 2656 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜒𝑋 = (𝑦 − (𝑘 · 𝑇)))
305 icossre 12196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑄𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*) → ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℝ)
306223, 226, 305syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒 → ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℝ)
307306, 239sseldd 3584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒𝑦 ∈ ℝ)
308 icoltub 39143 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑄𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑦 < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
309224, 226, 239, 308syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒𝑦 < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
310307, 182, 186, 309ltsub1dd 10583 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜒 → (𝑦 − (𝑘 · 𝑇)) < ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))
311304, 310eqbrtrd 4635 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜒𝑋 < ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))
312299, 188, 299, 300, 311elicod 12166 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜒𝑋 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))))
313 snunioo1 39149 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑋 ∈ ℝ* ∧ ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ*𝑋 < ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) → ((𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∪ {𝑋}) = (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))))
314299, 188, 311, 313syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜒 → ((𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∪ {𝑋}) = (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))))
315314fveq2d 6152 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜒 → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))‘((𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∪ {𝑋})) = ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))‘(𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))))
316297cnfldtop 22497 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
317 ovex 6632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑋(,)+∞) ∈ V
318317inex1 4759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∈ V
319 snex 4869 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 {𝑋} ∈ V
320318, 319unex 6909 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}) ∈ V
321 resttop 20874 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}) ∈ V) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∈ Top)
322316, 320, 321mp2an 707 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∈ Top
323322a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜒 → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∈ Top)
324 retop 22475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
325324a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒 → (topGen‘ran (,)) ∈ Top)
326320a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒 → (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}) ∈ V)
327 iooretop 22479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∈ (topGen‘ran (,))
328327a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒 → (-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∈ (topGen‘ran (,)))
329 elrestr 16010 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}) ∈ V ∧ (-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∈ (topGen‘ran (,))) → ((-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∩ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))
330325, 326, 328, 329syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒 → ((-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∩ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))
331 mnfxr 10040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 -∞ ∈ ℝ*
332331a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜒𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → -∞ ∈ ℝ*)
333188adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜒𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ*)
334 icossre 12196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ*) → (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ⊆ ℝ)
335234, 188, 334syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜒 → (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ⊆ ℝ)
336335sselda 3583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜒𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑥 ∈ ℝ)
337336mnfltd 11902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜒𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → -∞ < 𝑥)
338299adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜒𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑋 ∈ ℝ*)
339 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜒𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))))
340 icoltub 39143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑋 ∈ ℝ* ∧ ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑥 < ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))
341338, 333, 339, 340syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜒𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑥 < ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))
342332, 333, 336, 337, 341eliood 39131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜒𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑥 ∈ (-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))))
343 vsnid 4180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 𝑥 ∈ {𝑥}
344343a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 = 𝑋𝑥 ∈ {𝑥})
345 sneq 4158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 = 𝑋 → {𝑥} = {𝑋})
346344, 345eleqtrd 2700 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = 𝑋𝑥 ∈ {𝑋})
347 elun2 3759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 ∈ {𝑋} → 𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))
348346, 347syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = 𝑋𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))
349348adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜒𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))
350299ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜒𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑋 ∈ ℝ*)
351175a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜒𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → +∞ ∈ ℝ*)
352336adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜒𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 ∈ ℝ)
353234ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜒𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑋 ∈ ℝ)
354 icogelb 12167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑋 ∈ ℝ* ∧ ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑋𝑥)
355338, 333, 339, 354syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜒𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑋𝑥)
356355adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜒𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑋𝑥)
357 neqne 2798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 𝑥 = 𝑋𝑥𝑋)
358357adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜒𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥𝑋)
359353, 352, 356, 358leneltd 10135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜒𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑋 < 𝑥)
360352ltpnfd 11899 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜒𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 < +∞)
361350, 351, 352, 359, 360eliood 39131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜒𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 ∈ (𝑋(,)+∞))
362183zcnd 11427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝜒𝑘 ∈ ℂ)
363362, 195mulneg1d 10427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝜒 → (-𝑘 · 𝑇) = -(𝑘 · 𝑇))
364363oveq2d 6620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝜒 → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (-𝑘 · 𝑇)) = ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + -(𝑘 · 𝑇)))
365364adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (-𝑘 · 𝑇)) = ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + -(𝑘 · 𝑇)))
366 ioosscn 39127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ⊆ ℂ
367366sseli 3579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) → 𝑤 ∈ ℂ)
368367adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑤 ∈ ℂ)
369258adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑘 · 𝑇) ∈ ℂ)
370368, 369addcld 10003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℂ)
371370, 369negsubd 10342 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + -(𝑘 · 𝑇)) = ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑘 · 𝑇)))
372368, 369pncand 10337 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑘 · 𝑇)) = 𝑤)
373365, 371, 3723eqtrrd 2660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑤 = ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (-𝑘 · 𝑇)))
374186adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑘 · 𝑇) ∈ ℝ)
375228, 374readdcld 10013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ)
376225, 227, 375, 253, 261eliood 39131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
377219, 376sseldd 3584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷)
3782723anbi3d 1402 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑗 = -𝑘 → ((𝜑 ∧ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷𝑗 ∈ ℤ) ↔ (𝜑 ∧ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷 ∧ -𝑘 ∈ ℤ)))
379274oveq2d 6620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑗 = -𝑘 → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (𝑗 · 𝑇)) = ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (-𝑘 · 𝑇)))
380379eleq1d 2683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑗 = -𝑘 → (((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐷 ↔ ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (-𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷))
381378, 380imbi12d 334 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑗 = -𝑘 → (((𝜑 ∧ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷𝑗 ∈ ℤ) → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐷) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷 ∧ -𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (-𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷)))
3822663anbi2d 1401 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑥 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) → ((𝜑𝑥𝐷𝑗 ∈ ℤ) ↔ (𝜑 ∧ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷𝑗 ∈ ℤ)))
383 oveq1 6611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑥 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) → (𝑥 + (𝑗 · 𝑇)) = ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (𝑗 · 𝑇)))
384383eleq1d 2683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑥 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) → ((𝑥 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐷 ↔ ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐷))
385382, 384imbi12d 334 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑥 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) → (((𝜑𝑥𝐷𝑗 ∈ ℤ) → (𝑥 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐷) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷𝑗 ∈ ℤ) → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐷)))
386265, 385, 285vtocl 3245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑 ∧ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷𝑗 ∈ ℤ) → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐷)
387271, 381, 386vtocl 3245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑 ∧ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷 ∧ -𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (-𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷)
388207, 377, 264, 387syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (-𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷)
389373, 388eqeltrd 2698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑤𝐷)
390389ralrimiva 2960 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜒 → ∀𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑤𝐷)
391390, 291sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜒 → (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ⊆ 𝐷)
392391ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜒𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ⊆ 𝐷)
393188ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜒𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ*)
394341adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜒𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 < ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))
395350, 393, 352, 359, 394eliood 39131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜒𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))))
396392, 395sseldd 3584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜒𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥𝐷)
397361, 396elind 3776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜒𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 ∈ ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷))
398 elun1 3758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 ∈ ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) → 𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))
399397, 398syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜒𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))
400349, 399pm2.61dan 831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜒𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))
401342, 400elind 3776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜒𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑥 ∈ ((-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∩ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))
402299adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜒𝑥 ∈ ((-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∩ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) → 𝑋 ∈ ℝ*)
403188adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜒𝑥 ∈ ((-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∩ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ*)
404 elinel1 3777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 ∈ ((-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∩ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) → 𝑥 ∈ (-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))))
405 elioore 12147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 ∈ (-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) → 𝑥 ∈ ℝ)
406404, 405syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 ∈ ((-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∩ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) → 𝑥 ∈ ℝ)
407406rexrd 10033 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ ((-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∩ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) → 𝑥 ∈ ℝ*)
408407adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜒𝑥 ∈ ((-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∩ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) → 𝑥 ∈ ℝ*)
409 elinel2 3778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ ((-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∩ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) → 𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))
410234adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜒𝑥 = 𝑋) → 𝑋 ∈ ℝ)
41188eqcomd 2627 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑥 = 𝑋𝑋 = 𝑥)
412411adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜒𝑥 = 𝑋) → 𝑋 = 𝑥)
413410, 412eqled 10084 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜒𝑥 = 𝑋) → 𝑋𝑥)
414413adantlr 750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜒𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∧ 𝑥 = 𝑋) → 𝑋𝑥)
415 simpll 789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜒𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝜒)
416 simplr 791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜒𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))
417 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 𝑥 = 𝑋 → ¬ 𝑥 = 𝑋)
418 velsn 4164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑥 ∈ {𝑋} ↔ 𝑥 = 𝑋)
419417, 418sylnibr 319 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 𝑥 = 𝑋 → ¬ 𝑥 ∈ {𝑋})
420419adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜒𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → ¬ 𝑥 ∈ {𝑋})
421 elunnel2 38681 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}) ∧ ¬ 𝑥 ∈ {𝑋}) → 𝑥 ∈ ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷))
422416, 420, 421syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜒𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 ∈ ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷))
423 elinel1 3777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 ∈ ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) → 𝑥 ∈ (𝑋(,)+∞))
424422, 423syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜒𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 ∈ (𝑋(,)+∞))
425234adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜒𝑥 ∈ (𝑋(,)+∞)) → 𝑋 ∈ ℝ)
426 elioore 12147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑥 ∈ (𝑋(,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ)
427426adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜒𝑥 ∈ (𝑋(,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℝ)
428299adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜒𝑥 ∈ (𝑋(,)+∞)) → 𝑋 ∈ ℝ*)
429175a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜒𝑥 ∈ (𝑋(,)+∞)) → +∞ ∈ ℝ*)
430 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜒𝑥 ∈ (𝑋(,)+∞)) → 𝑥 ∈ (𝑋(,)+∞))
431 ioogtlb 39128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑋 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝑋(,)+∞)) → 𝑋 < 𝑥)
432428, 429, 430, 431syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜒𝑥 ∈ (𝑋(,)+∞)) → 𝑋 < 𝑥)
433425, 427, 432ltled 10129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜒𝑥 ∈ (𝑋(,)+∞)) → 𝑋𝑥)
434415, 424, 433syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜒𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑋𝑥)
435414, 434pm2.61dan 831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜒𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) → 𝑋𝑥)
436409, 435sylan2 491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜒𝑥 ∈ ((-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∩ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) → 𝑋𝑥)
437331a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜒𝑥 ∈ (-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → -∞ ∈ ℝ*)
438188adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜒𝑥 ∈ (-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ*)
439 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜒𝑥 ∈ (-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑥 ∈ (-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))))
440 iooltub 39146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ*𝑥 ∈ (-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑥 < ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))
441437, 438, 439, 440syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜒𝑥 ∈ (-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑥 < ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))
442404, 441sylan2 491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜒𝑥 ∈ ((-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∩ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) → 𝑥 < ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))
443402, 403, 408, 436, 442elicod 12166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜒𝑥 ∈ ((-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∩ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) → 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))))
444401, 443impbida 876 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒 → (𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ↔ 𝑥 ∈ ((-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∩ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))))
445444eqrdv 2619 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒 → (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) = ((-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∩ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))
446 ioossre 12177 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑋(,)+∞) ⊆ ℝ
447 ssinss1 3819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑋(,)+∞) ⊆ ℝ → ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ⊆ ℝ)
448446, 447mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜒 → ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ⊆ ℝ)
449234snssd 4309 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜒 → {𝑋} ⊆ ℝ)
450448, 449unssd 3767 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒 → (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}) ⊆ ℝ)
451 eqid 2621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
452297, 451tgiooss 39144 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}) ⊆ ℝ → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))
453450, 452syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒 → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))
454330, 445, 4533eltr4d 2713 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜒 → (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))
455 isopn3i 20796 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∈ Top ∧ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))‘(𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) = (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))))
456323, 454, 455syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜒 → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))‘(𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) = (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))))
457315, 456eqtr2d 2656 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜒 → (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) = ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))‘((𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∪ {𝑋})))
458312, 457eleqtrd 2700 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜒𝑋 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))‘((𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∪ {𝑋})))
459174, 293, 296, 297, 298, 458limcres 23556 . . . . . . . . . . . 12 (𝜒 → (((𝐹 ↾ ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷)) ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) lim 𝑋) = ((𝐹 ↾ ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷)) lim 𝑋))
460293resabs1d 5387 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜒 → ((𝐹 ↾ ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷)) ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) = (𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))))
461460oveq1d 6619 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜒 → (((𝐹 ↾ ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷)) ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) lim 𝑋) = ((𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) lim 𝑋))
462169a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
463156, 462fssd 6014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝐹:𝐷⟶ℂ)
464215feq2d 5988 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ↔ 𝐹:𝐷⟶ℂ))
465463, 464mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
466155, 465syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
467466adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜒𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) lim 𝑋)) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
468366a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜒𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) lim 𝑋)) → (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ⊆ ℂ)
469391, 163sseqtr4d 3621 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒 → (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ⊆ dom 𝐹)
470469adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜒𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) lim 𝑋)) → (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ⊆ dom 𝐹)
471258adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜒𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) lim 𝑋)) → (𝑘 · 𝑇) ∈ ℂ)
472 eqid 2621 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))} = {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))}
473 eqeq1 2625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ↔ 𝑤 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))))
474473rexbidv 3045 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑧 = 𝑤 → (∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑤 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))))
475474elrab 3346 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))} ↔ (𝑤 ∈ ℂ ∧ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑤 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))))
476475simprbi 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))} → ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑤 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)))
477476adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜒𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))}) → ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑤 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)))
478 nfv 1840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝑥𝜒
479 nfre1 2999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 𝑥𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))
480 nfcv 2761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 𝑥
481479, 480nfrab 3112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 𝑥{𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))}
482481nfcri 2755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝑥 𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))}
483478, 482nfan 1825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑥(𝜒𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))})
484 nfv 1840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑥 𝑤𝐷
485 simp3 1061 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜒𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∧ 𝑤 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝑤 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)))
486 eleq1 2686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑤 = 𝑥 → (𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ↔ 𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))))
487486anbi2d 739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑤 = 𝑥 → ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ↔ (𝜒𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))))))
488 oveq1 6611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑤 = 𝑥 → (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)))
489488eleq1d 2683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑤 = 𝑥 → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷 ↔ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷))
490487, 489imbi12d 334 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑤 = 𝑥 → (((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷) ↔ ((𝜒𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷)))
491490, 263chvarv 2262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜒𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷)
4924913adant3 1079 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜒𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∧ 𝑤 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) → (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷)
493485, 492eqeltrd 2698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜒𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∧ 𝑤 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝑤𝐷)
4944933exp 1261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜒 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) → (𝑤 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) → 𝑤𝐷)))
495494adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜒𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))}) → (𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) → (𝑤 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) → 𝑤𝐷)))
496483, 484, 495rexlimd 3019 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜒𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))}) → (∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑤 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) → 𝑤𝐷))
497477, 496mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜒𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))}) → 𝑤𝐷)
498497ralrimiva 2960 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜒 → ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))}𝑤𝐷)
499 dfss3 3573 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ({𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))} ⊆ 𝐷 ↔ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))}𝑤𝐷)
500498, 499sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜒 → {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))} ⊆ 𝐷)
501500, 163sseqtr4d 3621 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒 → {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))} ⊆ dom 𝐹)
502501adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜒𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) lim 𝑋)) → {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))} ⊆ dom 𝐹)
503155adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜒𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝜑)
504391sselda 3583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜒𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑥𝐷)
505183adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜒𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑘 ∈ ℤ)
506 fourierdlem48.per . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥𝐷𝑘 ∈ ℤ) → (𝐹‘(𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) = (𝐹𝑥))
507503, 504, 505, 506syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜒𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝐹‘(𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) = (𝐹𝑥))
508507adantlr 750 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜒𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) lim 𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝐹‘(𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) = (𝐹𝑥))
509 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜒𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) lim 𝑋)) → 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) lim 𝑋))
510467, 468, 470, 471, 472, 502, 508, 509limcperiod 39264 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜒𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) lim 𝑋)) → 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))}) lim (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))))
511259eqcomd 2627 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜒 → (𝑄‘(𝑖 + 1)) = (((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) + (𝑘 · 𝑇)))
512237, 511oveq12d 6622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜒 → (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) = ((𝑋 + (𝑘 · 𝑇))(,)(((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) + (𝑘 · 𝑇))))
513234, 187, 186iooshift 39159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜒 → ((𝑋 + (𝑘 · 𝑇))(,)(((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) + (𝑘 · 𝑇))) = {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))})
514512, 513eqtr2d 2656 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜒 → {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))} = (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
515514reseq2d 5356 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒 → (𝐹 ↾ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))}) = (𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
516515, 238oveq12d 6622 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒 → ((𝐹 ↾ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))}) lim (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) = ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim 𝑦))
517516adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜒𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) lim 𝑋)) → ((𝐹 ↾ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))}) lim (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) = ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim 𝑦))
518510, 517eleqtrd 2700 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜒𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) lim 𝑋)) → 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim 𝑦))
519466adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜒𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim 𝑦)) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
520 ioosscn 39127 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℂ
521520a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜒𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim 𝑦)) → (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℂ)
522 icogelb 12167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑄𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄𝑖) ≤ 𝑦)
523224, 226, 239, 522syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜒 → (𝑄𝑖) ≤ 𝑦)
524 iooss1 12152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑄𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝑄𝑖) ≤ 𝑦) → (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
525224, 523, 524syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜒 → (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
526525, 218sstrd 3593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜒 → (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ 𝐷)
527526, 163sseqtr4d 3621 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒 → (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ dom 𝐹)
528527adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜒𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim 𝑦)) → (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ dom 𝐹)
529362negcld 10323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜒 → -𝑘 ∈ ℂ)
530529, 195mulcld 10004 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒 → (-𝑘 · 𝑇) ∈ ℂ)
531530adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜒𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim 𝑦)) → (-𝑘 · 𝑇) ∈ ℂ)
532 eqid 2621 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))} = {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))}
533 eqeq1 2625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)) ↔ 𝑤 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))))
534533rexbidv 3045 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑧 = 𝑤 → (∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑤 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))))
535534elrab 3346 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))} ↔ (𝑤 ∈ ℂ ∧ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑤 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))))
536535simprbi 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))} → ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑤 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)))
537536adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜒𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))}) → ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑤 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)))
538 nfre1 2999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 𝑥𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))
539538, 480nfrab 3112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 𝑥{𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))}
540539nfcri 2755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝑥 𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))}
541478, 540nfan 1825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑥(𝜒𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))})
542 simp3 1061 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜒𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑤 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))) → 𝑤 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)))
543155adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜒𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝜑)
544526sselda 3583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜒𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥𝐷)
545183adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜒𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑘 ∈ ℤ)
546545znegcld 11428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜒𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → -𝑘 ∈ ℤ)
547543, 544, 546, 286syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜒𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷)
5485473adant3 1079 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜒𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑤 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))) → (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷)
549542, 548eqeltrd 2698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜒𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑤 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))) → 𝑤𝐷)
5505493exp 1261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜒 → (𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝑤 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)) → 𝑤𝐷)))
551550adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜒𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))}) → (𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝑤 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)) → 𝑤𝐷)))
552541, 484, 551rexlimd 3019 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜒𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))}) → (∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑤 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)) → 𝑤𝐷))
553537, 552mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜒𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))}) → 𝑤𝐷)
554553ralrimiva 2960 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜒 → ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))}𝑤𝐷)
555 dfss3 3573 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ({𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))} ⊆ 𝐷 ↔ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))}𝑤𝐷)
556554, 555sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜒 → {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))} ⊆ 𝐷)
557556, 163sseqtr4d 3621 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒 → {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))} ⊆ dom 𝐹)
558557adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜒𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim 𝑦)) → {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))} ⊆ dom 𝐹)
559155ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜒𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim 𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝜑)
560544adantlr 750 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜒𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim 𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥𝐷)
561546adantlr 750 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜒𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim 𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → -𝑘 ∈ ℤ)
562275fveq2d 6152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 = -𝑘 → (𝐹‘(𝑥 + (𝑗 · 𝑇))) = (𝐹‘(𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))))
563562eqeq1d 2623 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 = -𝑘 → ((𝐹‘(𝑥 + (𝑗 · 𝑇))) = (𝐹𝑥) ↔ (𝐹‘(𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))) = (𝐹𝑥)))
564273, 563imbi12d 334 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 = -𝑘 → (((𝜑𝑥𝐷𝑗 ∈ ℤ) → (𝐹‘(𝑥 + (𝑗 · 𝑇))) = (𝐹𝑥)) ↔ ((𝜑𝑥𝐷 ∧ -𝑘 ∈ ℤ) → (𝐹‘(𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))) = (𝐹𝑥))))
565281fveq2d 6152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑘 = 𝑗 → (𝐹‘(𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) = (𝐹‘(𝑥 + (𝑗 · 𝑇))))
566565eqeq1d 2623 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹‘(𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) = (𝐹𝑥) ↔ (𝐹‘(𝑥 + (𝑗 · 𝑇))) = (𝐹𝑥)))
567279, 566imbi12d 334 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑𝑥𝐷𝑘 ∈ ℤ) → (𝐹‘(𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) = (𝐹𝑥)) ↔ ((𝜑𝑥𝐷𝑗 ∈ ℤ) → (𝐹‘(𝑥 + (𝑗 · 𝑇))) = (𝐹𝑥))))
568567, 506chvarv 2262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥𝐷𝑗 ∈ ℤ) → (𝐹‘(𝑥 + (𝑗 · 𝑇))) = (𝐹𝑥))
569271, 564, 568vtocl 3245 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥𝐷 ∧ -𝑘 ∈ ℤ) → (𝐹‘(𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))) = (𝐹𝑥))
570559, 560, 561, 569syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜒𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim 𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐹‘(𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))) = (𝐹𝑥))
571 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜒𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim 𝑦)) → 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim 𝑦))
572519, 521, 528, 531, 532, 558, 570, 571limcperiod 39264 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜒𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim 𝑦)) → 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))}) lim (𝑦 + (-𝑘 · 𝑇))))
573363oveq2d 6620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜒 → (𝑦 + (-𝑘 · 𝑇)) = (𝑦 + -(𝑘 · 𝑇)))
574307recnd 10012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜒𝑦 ∈ ℂ)
575574, 258negsubd 10342 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜒 → (𝑦 + -(𝑘 · 𝑇)) = (𝑦 − (𝑘 · 𝑇)))
576304eqcomd 2627 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜒 → (𝑦 − (𝑘 · 𝑇)) = 𝑋)
577573, 575, 5763eqtrd 2659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜒 → (𝑦 + (-𝑘 · 𝑇)) = 𝑋)
578577eqcomd 2627 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜒𝑋 = (𝑦 + (-𝑘 · 𝑇)))
579363oveq2d 6620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜒 → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) + (-𝑘 · 𝑇)) = ((𝑄‘(𝑖 + 1)) + -(𝑘 · 𝑇)))
580257, 258negsubd 10342 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜒 → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) + -(𝑘 · 𝑇)) = ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))
581579, 580eqtr2d 2656 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜒 → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) = ((𝑄‘(𝑖 + 1)) + (-𝑘 · 𝑇)))
582578, 581oveq12d 6622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜒 → (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) = ((𝑦 + (-𝑘 · 𝑇))(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) + (-𝑘 · 𝑇))))
583184renegcld 10401 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜒 → -𝑘 ∈ ℝ)
584583, 185remulcld 10014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜒 → (-𝑘 · 𝑇) ∈ ℝ)
585307, 182, 584iooshift 39159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜒 → ((𝑦 + (-𝑘 · 𝑇))(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) + (-𝑘 · 𝑇))) = {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))})
586582, 585eqtr2d 2656 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜒 → {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))} = (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))))
587586adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜒𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim 𝑦)) → {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))} = (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))))
588587reseq2d 5356 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜒𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim 𝑦)) → (𝐹 ↾ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))}) = (𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))))
589577adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜒𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim 𝑦)) → (𝑦 + (-𝑘 · 𝑇)) = 𝑋)
590588, 589oveq12d 6622 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜒𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim 𝑦)) → ((𝐹 ↾ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))}) lim (𝑦 + (-𝑘 · 𝑇))) = ((𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) lim 𝑋))
591572, 590eleqtrd 2700 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜒𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim 𝑦)) → 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) lim 𝑋))
592518, 591impbida 876 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜒 → (𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) lim 𝑋) ↔ 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim 𝑦)))
593592eqrdv 2619 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜒 → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) lim 𝑋) = ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim 𝑦))
594461, 593eqtrd 2655 . . . . . . . . . . . 12 (𝜒 → (((𝐹 ↾ ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷)) ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) lim 𝑋) = ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim 𝑦))
595167, 459, 5943eqtr2d 2661 . . . . . . . . . . 11 (𝜒 → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋) = ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim 𝑦))
596155, 177, 73syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜒 → (𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
597155, 177, 209syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜒 → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
598 fourierdlem48.r . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)))
599155, 177, 598syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜒𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)))
600 eqid 2621 . . . . . . . . . . . . . 14 if(𝑦 = (𝑄𝑖), 𝑅, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑦)) = if(𝑦 = (𝑄𝑖), 𝑅, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑦))
601 eqid 2621 . . . . . . . . . . . . . 14 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
602223, 182, 596, 597, 599, 307, 182, 309, 525, 600, 601fourierdlem32 39663 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜒 → if(𝑦 = (𝑄𝑖), 𝑅, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑦)) ∈ (((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim 𝑦))
603525resabs1d 5387 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜒 → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = (𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
604603oveq1d 6619 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜒 → (((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim 𝑦) = ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim 𝑦))
605602, 604eleqtrd 2700 . . . . . . . . . . . 12 (𝜒 → if(𝑦 = (𝑄𝑖), 𝑅, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑦)) ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim 𝑦))
606 ne0i 3897 . . . . . . . . . . . 12 (if(𝑦 = (𝑄𝑖), 𝑅, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑦)) ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim 𝑦) → ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim 𝑦) ≠ ∅)
607605, 606syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜒 → ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim 𝑦) ≠ ∅)
608595, 607eqnetrd 2857 . . . . . . . . . 10 (𝜒 → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋) ≠ ∅)
609152, 608sylbir 225 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋) ≠ ∅)
610149, 150, 151, 609syl21anc 1322 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋) ≠ ∅)
6116103exp 1261 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋) ≠ ∅)))
612611adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋) ≠ ∅)))
613140, 145, 612rexlim2d 39261 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → (∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋) ≠ ∅))
614137, 613mpd 15 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋) ≠ ∅)
615130, 136, 614vtocl 3245 . . 3 ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (((𝐸𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ ((𝐸𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋) ≠ ∅)
6161, 129, 615syl2anc 692 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) = 𝐵) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋) ≠ ∅)
617 iocssre 12195 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴(,]𝐵) ⊆ ℝ)
61858, 9, 617syl2anc 692 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴(,]𝐵) ⊆ ℝ)
619 ovex 6632 . . . . . . . . . . 11 ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ V
62092fvmpt2 6248 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ V) → (𝑍𝑥) = ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇))
621619, 620mpan2 706 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑍𝑥) = ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇))
622621oveq2d 6620 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 + (𝑍𝑥)) = (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
623622mpteq2ia 4700 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + (𝑍𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
62486, 623eqtri 2643 . . . . . . 7 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
62513, 9, 16, 12, 624fourierdlem4 39635 . . . . . 6 (𝜑𝐸:ℝ⟶(𝐴(,]𝐵))
626625, 10ffvelrnd 6316 . . . . 5 (𝜑 → (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵))
627618, 626sseldd 3584 . . . 4 (𝜑 → (𝐸𝑋) ∈ ℝ)
628627adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) → (𝐸𝑋) ∈ ℝ)
629 simpl 473 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) → 𝜑)
630 simpr 477 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ran 𝑄) → (𝐸𝑋) ∈ ran 𝑄)
631 ffn 6002 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ → 𝑄 Fn (0...𝑀))
63240, 631syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑄 Fn (0...𝑀))
633632ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ran 𝑄) → 𝑄 Fn (0...𝑀))
634 fvelrnb 6200 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑄 Fn (0...𝑀) → ((𝐸𝑋) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)))
635633, 634syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ran 𝑄) → ((𝐸𝑋) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)))
636630, 635mpbid 222 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ran 𝑄) → ∃𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑄𝑗) = (𝐸𝑋))
637 1zzd 11352 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → 1 ∈ ℤ)
638 elfzelz 12284 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ)
639638ad2antlr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → 𝑗 ∈ ℤ)
640639zred 11426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → 𝑗 ∈ ℝ)
641 elfzle1 12286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 0 ≤ 𝑗)
642641ad2antlr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → 0 ≤ 𝑗)
643 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑄𝑗) = (𝐸𝑋) → (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋))
644643eqcomd 2627 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑄𝑗) = (𝐸𝑋) → (𝐸𝑋) = (𝑄𝑗))
645644ad2antlr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑 ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) ∧ 𝑗 = 0) → (𝐸𝑋) = (𝑄𝑗))
646 fveq2 6148 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑗 = 0 → (𝑄𝑗) = (𝑄‘0))
647646adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑 ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) ∧ 𝑗 = 0) → (𝑄𝑗) = (𝑄‘0))
64837simprld 794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝜑 → ((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄𝑀) = 𝐵))
649648simpld 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝜑 → (𝑄‘0) = 𝐴)
650649ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑 ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) ∧ 𝑗 = 0) → (𝑄‘0) = 𝐴)
651645, 647, 6503eqtrd 2659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑 ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) ∧ 𝑗 = 0) → (𝐸𝑋) = 𝐴)
652651adantllr 754 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) ∧ 𝑗 = 0) → (𝐸𝑋) = 𝐴)
653652adantllr 754 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) ∧ 𝑗 = 0) → (𝐸𝑋) = 𝐴)
65413adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
65558adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
6569rexrd 10033 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
657656adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
658 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵))
659 iocgtlb 39135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐴 < (𝐸𝑋))
660655, 657, 658, 659syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐴 < (𝐸𝑋))
661654, 660gtned 10116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝐸𝑋) ≠ 𝐴)
662661neneqd 2795 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → ¬ (𝐸𝑋) = 𝐴)
663662ad3antrrr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) ∧ 𝑗 = 0) → ¬ (𝐸𝑋) = 𝐴)
664653, 663pm2.65da 599 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → ¬ 𝑗 = 0)
665664neqned 2797 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → 𝑗 ≠ 0)
666640, 642, 665ne0gt0d 10118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → 0 < 𝑗)
667 0zd 11333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → 0 ∈ ℤ)
668 zltp1le 11371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (0 < 𝑗 ↔ (0 + 1) ≤ 𝑗))
669667, 639, 668syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (0 < 𝑗 ↔ (0 + 1) ≤ 𝑗))
670666, 669mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (0 + 1) ≤ 𝑗)
67177, 670syl5eqbr 4648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → 1 ≤ 𝑗)
672 eluz2 11637 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 ∈ (ℤ‘1) ↔ (1 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑗))
673637, 639, 671, 672syl3anbrc 1244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → 𝑗 ∈ (ℤ‘1))
674 nnuz 11667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ℕ = (ℤ‘1)
675673, 674syl6eleqr 2709 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → 𝑗 ∈ ℕ)
676 nnm1nn0 11278 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 ∈ ℕ → (𝑗 − 1) ∈ ℕ0)
677675, 676syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝑗 − 1) ∈ ℕ0)
678677, 42syl6eleq 2708 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝑗 − 1) ∈ (ℤ‘0))
6794ad3antrrr 765 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → 𝑀 ∈ ℤ)
680 peano2zm 11364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 ∈ ℤ → (𝑗 − 1) ∈ ℤ)
681638, 680syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → (𝑗 − 1) ∈ ℤ)
682681zred 11426 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → (𝑗 − 1) ∈ ℝ)
683638zred 11426 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑗 ∈ ℝ)
684 elfzel2 12282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
685684zred 11426 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
686683ltm1d 10900 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → (𝑗 − 1) < 𝑗)
687 elfzle2 12287 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑗𝑀)
688682, 683, 685, 686, 687ltletrd 10141 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → (𝑗 − 1) < 𝑀)
689688ad2antlr 762 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝑗 − 1) < 𝑀)
690 elfzo2 12414 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑗 − 1) ∈ (0..^𝑀) ↔ ((𝑗 − 1) ∈ (ℤ‘0) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑗 − 1) < 𝑀))
691678, 679, 689, 690syl3anbrc 1244 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝑗 − 1) ∈ (0..^𝑀))
69240ad3antrrr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
693639, 680syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝑗 − 1) ∈ ℤ)
694667, 679, 6933jca 1240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (0 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑗 − 1) ∈ ℤ))
695677nn0ge0d 11298 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → 0 ≤ (𝑗 − 1))
696682, 685, 688ltled 10129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → (𝑗 − 1) ≤ 𝑀)
697696ad2antlr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝑗 − 1) ≤ 𝑀)
698694, 695, 697jca32 557 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑗 − 1) ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ (𝑗 − 1) ∧ (𝑗 − 1) ≤ 𝑀)))
699 elfz2 12275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑗 − 1) ∈ (0...𝑀) ↔ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑗 − 1) ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ (𝑗 − 1) ∧ (𝑗 − 1) ≤ 𝑀)))
700698, 699sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝑗 − 1) ∈ (0...𝑀))
701692, 700ffvelrnd 6316 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝑄‘(𝑗 − 1)) ∈ ℝ)
702701rexrd 10033 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝑄‘(𝑗 − 1)) ∈ ℝ*)
70340ffvelrnda 6315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝑄𝑗) ∈ ℝ)
704703rexrd 10033 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝑄𝑗) ∈ ℝ*)
705704adantlr 750 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝑄𝑗) ∈ ℝ*)
706705adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝑄𝑗) ∈ ℝ*)
707618sselda 3583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝐸𝑋) ∈ ℝ)
708707rexrd 10033 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝐸𝑋) ∈ ℝ*)
709708ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝐸𝑋) ∈ ℝ*)
710 simplll 797 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → 𝜑)
711 ovex 6632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 − 1) ∈ V
712 eleq1 2686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑖 = (𝑗 − 1) → (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↔ (𝑗 − 1) ∈ (0..^𝑀)))
713712anbi2d 739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑖 = (𝑗 − 1) → ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ↔ (𝜑 ∧ (𝑗 − 1) ∈ (0..^𝑀))))
714 fveq2 6148 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑖 = (𝑗 − 1) → (𝑄𝑖) = (𝑄‘(𝑗 − 1)))
715 oveq1 6611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑖 = (𝑗 − 1) → (𝑖 + 1) = ((𝑗 − 1) + 1))
716715fveq2d 6152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑖 = (𝑗 − 1) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) = (𝑄‘((𝑗 − 1) + 1)))
717714, 716breq12d 4626 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑖 = (𝑗 − 1) → ((𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)) ↔ (𝑄‘(𝑗 − 1)) < (𝑄‘((𝑗 − 1) + 1))))
718713, 717imbi12d 334 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑖 = (𝑗 − 1) → (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑗 − 1) ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑗 − 1)) < (𝑄‘((𝑗 − 1) + 1)))))
719711, 718, 73vtocl 3245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑗 − 1) ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑗 − 1)) < (𝑄‘((𝑗 − 1) + 1)))
720710, 691, 719syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝑄‘(𝑗 − 1)) < (𝑄‘((𝑗 − 1) + 1)))
721638zcnd 11427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑗 ∈ ℂ)
722 1cnd 10000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 1 ∈ ℂ)
723721, 722npcand 10340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → ((𝑗 − 1) + 1) = 𝑗)
724723eqcomd 2627 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑗 = ((𝑗 − 1) + 1))
725724fveq2d 6152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → (𝑄𝑗) = (𝑄‘((𝑗 − 1) + 1)))
726725eqcomd 2627 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → (𝑄‘((𝑗 − 1) + 1)) = (𝑄𝑗))
727726ad2antlr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝑄‘((𝑗 − 1) + 1)) = (𝑄𝑗))
728720, 727breqtrd 4639 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝑄‘(𝑗 − 1)) < (𝑄𝑗))
729 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋))
730728, 729breqtrd 4639 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝑄‘(𝑗 − 1)) < (𝐸𝑋))
731627leidd 10538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝐸𝑋) ≤ (𝐸𝑋))
732731ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝐸𝑋) ≤ (𝐸𝑋))
733644adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝐸𝑋) = (𝑄𝑗))
734732, 733breqtrd 4639 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝐸𝑋) ≤ (𝑄𝑗))
735734adantllr 754 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝐸𝑋) ≤ (𝑄𝑗))
736702, 706, 709, 730, 735eliocd 39141 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄‘(𝑗 − 1))(,](𝑄𝑗)))
737725oveq2d 6620 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → ((𝑄‘(𝑗 − 1))(,](𝑄𝑗)) = ((𝑄‘(𝑗 − 1))(,](𝑄‘((𝑗 − 1) + 1))))
738737ad2antlr 762 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → ((𝑄‘(𝑗 − 1))(,](𝑄𝑗)) = ((𝑄‘(𝑗 − 1))(,](𝑄‘((𝑗 − 1) + 1))))
739736, 738eleqtrd 2700 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄‘(𝑗 − 1))(,](𝑄‘((𝑗 − 1) + 1))))
740714, 716oveq12d 6622 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 = (𝑗 − 1) → ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))) = ((𝑄‘(𝑗 − 1))(,](𝑄‘((𝑗 − 1) + 1))))
741740eleq2d 2684 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 = (𝑗 − 1) → ((𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↔ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄‘(𝑗 − 1))(,](𝑄‘((𝑗 − 1) + 1)))))
742741rspcev 3295 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑗 − 1) ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄‘(𝑗 − 1))(,](𝑄‘((𝑗 − 1) + 1)))) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
743691, 739, 742syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
744743ex 450 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ((𝑄𝑗) = (𝐸𝑋) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))))
745744adantlr 750 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ran 𝑄) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ((𝑄𝑗) = (𝐸𝑋) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))))
746745rexlimdva 3024 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ran 𝑄) → (∃𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑄𝑗) = (𝐸𝑋) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))))
747636, 746mpd 15 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ran 𝑄) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
7483ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ ¬ (𝐸𝑋) ∈ ran 𝑄) → 𝑀 ∈ ℕ)
74940ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ ¬ (𝐸𝑋) ∈ ran 𝑄) → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
750 iocssicc 12203 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴(,]𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
751649eqcomd 2627 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐴 = (𝑄‘0))
752648simprd 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑄𝑀) = 𝐵)
753752eqcomd 2627 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐵 = (𝑄𝑀))
754751, 753oveq12d 6622 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) = ((𝑄‘0)[,](𝑄𝑀)))
755750, 754syl5sseq 3632 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐴(,]𝐵) ⊆ ((𝑄‘0)[,](𝑄𝑀)))
756755sselda 3583 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄‘0)[,](𝑄𝑀)))
757756adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ ¬ (𝐸𝑋) ∈ ran 𝑄) → (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄‘0)[,](𝑄𝑀)))
758 simpr 477 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ ¬ (𝐸𝑋) ∈ ran 𝑄) → ¬ (𝐸𝑋) ∈ ran 𝑄)
759 fveq2 6148 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = 𝑗 → (𝑄𝑘) = (𝑄𝑗))
760759breq1d 4623 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑗 → ((𝑄𝑘) < (𝐸𝑋) ↔ (𝑄𝑗) < (𝐸𝑋)))
761760cbvrabv 3185 . . . . . . . . . . . . 13 {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) < (𝐸𝑋)} = {𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑗) < (𝐸𝑋)}
762761supeq1i 8297 . . . . . . . . . . . 12 sup({𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) < (𝐸𝑋)}, ℝ, < ) = sup({𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑗) < (𝐸𝑋)}, ℝ, < )
763748, 749, 757, 758, 762fourierdlem25 39656 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ ¬ (𝐸𝑋) ∈ ran 𝑄) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
764 ioossioc 39124 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))
765764sseli 3579 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
766765a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ ¬ (𝐸𝑋) ∈ ran 𝑄) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))))
767766reximdva 3011 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ ¬ (𝐸𝑋) ∈ ran 𝑄) → (∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))))
768763, 767mpd 15 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ ¬ (𝐸𝑋) ∈ ran 𝑄) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
769747, 768pm2.61dan 831 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
770626, 769mpdan 701 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
771 fveq2 6148 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 𝑗 → (𝑄𝑖) = (𝑄𝑗))
772 oveq1 6611 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝑗 → (𝑖 + 1) = (𝑗 + 1))
773772fveq2d 6152 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 𝑗 → (𝑄‘(𝑖 + 1)) = (𝑄‘(𝑗 + 1)))
774771, 773oveq12d 6622 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑗 → ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))) = ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1))))
775774eleq2d 2684 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑗 → ((𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↔ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))))
776775cbvrexv 3160 . . . . . . . 8 (∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↔ ∃𝑗 ∈ (0..^𝑀)(𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1))))
777770, 776sylib 208 . . . . . . 7 (𝜑 → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑀)(𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1))))
778777adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑀)(𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1))))
779 elfzonn0 12453 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ (0..^𝑀) → 𝑗 ∈ ℕ0)
780 1nn0 11252 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℕ0
781780a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ (0..^𝑀) → 1 ∈ ℕ0)
782779, 781nn0addcld 11299 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (0..^𝑀) → (𝑗 + 1) ∈ ℕ0)
783782, 42syl6eleq 2708 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ (0..^𝑀) → (𝑗 + 1) ∈ (ℤ‘0))
784783adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑗 + 1) ∈ (ℤ‘0))
7857843ad2antl2 1222 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑗 + 1) ∈ (ℤ‘0))
7864ad2antrr 761 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → 𝑀 ∈ ℤ)
7877863ad2antl1 1221 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → 𝑀 ∈ ℤ)
788779nn0red 11296 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ (0..^𝑀) → 𝑗 ∈ ℝ)
789788adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → 𝑗 ∈ ℝ)
7907893ad2antl2 1222 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → 𝑗 ∈ ℝ)
791 1red 9999 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → 1 ∈ ℝ)
792790, 791readdcld 10013 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑗 + 1) ∈ ℝ)
793787zred 11426 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → 𝑀 ∈ ℝ)
794 elfzop1le2 38966 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (0..^𝑀) → (𝑗 + 1) ≤ 𝑀)
795794adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑗 + 1) ≤ 𝑀)
7967953ad2antl2 1222 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑗 + 1) ≤ 𝑀)
797 simplr 791 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) ∧ 𝑀 = (𝑗 + 1)) → (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1)))
798 fveq2 6148 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 = (𝑗 + 1) → (𝑄𝑀) = (𝑄‘(𝑗 + 1)))
799798eqcomd 2627 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 = (𝑗 + 1) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) = (𝑄𝑀))
800799adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) ∧ 𝑀 = (𝑗 + 1)) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) = (𝑄𝑀))
801752ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) ∧ 𝑀 = (𝑗 + 1)) → (𝑄𝑀) = 𝐵)
802797, 800, 8013eqtrd 2659 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) ∧ 𝑀 = (𝑗 + 1)) → (𝐸𝑋) = 𝐵)
803802adantllr 754 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) ∧ 𝑀 = (𝑗 + 1)) → (𝐸𝑋) = 𝐵)
804 simpllr 798 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) ∧ 𝑀 = (𝑗 + 1)) → (𝐸𝑋) ≠ 𝐵)
805804neneqd 2795 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) ∧ 𝑀 = (𝑗 + 1)) → ¬ (𝐸𝑋) = 𝐵)
806803, 805pm2.65da 599 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → ¬ 𝑀 = (𝑗 + 1))
807806neqned 2797 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → 𝑀 ≠ (𝑗 + 1))
8088073ad2antl1 1221 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → 𝑀 ≠ (𝑗 + 1))
809792, 793, 796, 808leneltd 10135 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑗 + 1) < 𝑀)
810 elfzo2 12414 . . . . . . . . . 10 ((𝑗 + 1) ∈ (0..^𝑀) ↔ ((𝑗 + 1) ∈ (ℤ‘0) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑗 + 1) < 𝑀))
811785, 787, 809, 810syl3anbrc 1244 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑗 + 1) ∈ (0..^𝑀))
81240adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
813 fzofzp1 12506 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ (0..^𝑀) → (𝑗 + 1) ∈ (0...𝑀))
814813adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑗 + 1) ∈ (0...𝑀))
815812, 814ffvelrnd 6316 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ)
816815rexrd 10033 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ*)
817816adantlr 750 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ*)
8188173adant3 1079 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ*)
819818adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ*)
820 simpl1l 1110 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → 𝜑)
821820, 40syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
822 fzofzp1 12506 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑗 + 1) ∈ (0..^𝑀) → ((𝑗 + 1) + 1) ∈ (0...𝑀))
823811, 822syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → ((𝑗 + 1) + 1) ∈ (0...𝑀))
824821, 823ffvelrnd 6316 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄‘((𝑗 + 1) + 1)) ∈ ℝ)
825824rexrd 10033 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄‘((𝑗 + 1) + 1)) ∈ ℝ*)
826627rexrd 10033 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐸𝑋) ∈ ℝ*)
827826ad2antrr 761 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝐸𝑋) ∈ ℝ*)
8288273ad2antl1 1221 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝐸𝑋) ∈ ℝ*)
829815leidd 10538 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ≤ (𝑄‘(𝑗 + 1)))
830829adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ≤ (𝑄‘(𝑗 + 1)))
831 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1)) → (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1)))
832831eqcomd 2627 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1)) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) = (𝐸𝑋))
833832adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) = (𝐸𝑋))
834830, 833breqtrd 4639 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ≤ (𝐸𝑋))
835834adantllr 754 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ≤ (𝐸𝑋))
8368353adantl3 1217 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ≤ (𝐸𝑋))
837 simpr 477 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1)))
838 simpr 477 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑗 + 1) ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1)))
839 ovex 6632 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 + 1) ∈ V
840 eleq1 2686 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 = (𝑗 + 1) → (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↔ (𝑗 + 1) ∈ (0..^𝑀)))
841840anbi2d 739 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = (𝑗 + 1) → ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ↔ (𝜑 ∧ (𝑗 + 1) ∈ (0..^𝑀))))
842 fveq2 6148 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 = (𝑗 + 1) → (𝑄𝑖) = (𝑄‘(𝑗 + 1)))
843 oveq1 6611 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 = (𝑗 + 1) → (𝑖 + 1) = ((𝑗 + 1) + 1))
844843fveq2d 6152 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 = (𝑗 + 1) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) = (𝑄‘((𝑗 + 1) + 1)))
845842, 844breq12d 4626 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = (𝑗 + 1) → ((𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)) ↔ (𝑄‘(𝑗 + 1)) < (𝑄‘((𝑗 + 1) + 1))))
846841, 845imbi12d 334 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = (𝑗 + 1) → (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑗 + 1) ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) < (𝑄‘((𝑗 + 1) + 1)))))
847839, 846, 73vtocl 3245 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑗 + 1) ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) < (𝑄‘((𝑗 + 1) + 1)))
848847adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑗 + 1) ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) < (𝑄‘((𝑗 + 1) + 1)))
849838, 848eqbrtrd 4635 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑗 + 1) ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝐸𝑋) < (𝑄‘((𝑗 + 1) + 1)))
850820, 811, 837, 849syl21anc 1322 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝐸𝑋) < (𝑄‘((𝑗 + 1) + 1)))
851819, 825, 828, 836, 850elicod 12166 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄‘(𝑗 + 1))[,)(𝑄‘((𝑗 + 1) + 1))))
852842, 844oveq12d 6622 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = (𝑗 + 1) → ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) = ((𝑄‘(𝑗 + 1))[,)(𝑄‘((𝑗 + 1) + 1))))
853852eleq2d 2684 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = (𝑗 + 1) → ((𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↔ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄‘(𝑗 + 1))[,)(𝑄‘((𝑗 + 1) + 1)))))
854853rspcev 3295 . . . . . . . . 9 (((𝑗 + 1) ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄‘(𝑗 + 1))[,)(𝑄‘((𝑗 + 1) + 1)))) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
855811, 851, 854syl2anc 692 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
856 simpl2 1063 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ ¬ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → 𝑗 ∈ (0..^𝑀))
857 id 22 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) → (𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))))
8588573adant1r 1316 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) → (𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))))
859 elfzofz 12426 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ (0..^𝑀) → 𝑗 ∈ (0...𝑀))
860859adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑗 ∈ (0...𝑀))
861812, 860ffvelrnd 6316 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑗) ∈ ℝ)
862861rexrd 10033 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑗) ∈ ℝ*)
863862adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ¬ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄𝑗) ∈ ℝ*)
8648633adantl3 1217 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ ¬ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄𝑗) ∈ ℝ*)
865816adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ¬ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ*)
8668653adantl3 1217 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ ¬ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ*)
867826adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝐸𝑋) ∈ ℝ*)
8688673ad2antl1 1221 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ ¬ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝐸𝑋) ∈ ℝ*)
8698613adant3 1079 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) → (𝑄𝑗) ∈ ℝ)
8706273ad2ant1 1080 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) → (𝐸𝑋) ∈ ℝ)
8718623adant3 1079 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) → (𝑄𝑗) ∈ ℝ*)
8728163adant3 1079 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ*)
873 simp3 1061 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) → (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1))))
874 iocgtlb 39135 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑄𝑗) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ* ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) → (𝑄𝑗) < (𝐸𝑋))
875871, 872, 873, 874syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) → (𝑄𝑗) < (𝐸𝑋))
876869, 870, 875ltled 10129 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) → (𝑄𝑗) ≤ (𝐸𝑋))
877876adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ ¬ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄𝑗) ≤ (𝐸𝑋))
878870adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ ¬ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝐸𝑋) ∈ ℝ)
879815adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ¬ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ)
8808793adantl3 1217 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ ¬ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ)
881 iocleub 39136 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑄𝑗) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ* ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) → (𝐸𝑋) ≤ (𝑄‘(𝑗 + 1)))
882871, 872, 873, 881syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) → (𝐸𝑋) ≤ (𝑄‘(𝑗 + 1)))
883882adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ ¬ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝐸𝑋) ≤ (𝑄‘(𝑗 + 1)))
884 neqne 2798 . . . . . . . . . . . . . 14 (¬ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1)) → (𝐸𝑋) ≠ (𝑄‘(𝑗 + 1)))
885884necomd 2845 . . . . . . . . . . . . 13 (¬ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1)) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ≠ (𝐸𝑋))
886885adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ ¬ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ≠ (𝐸𝑋))
887878, 880, 883, 886leneltd 10135 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ ¬ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝐸𝑋) < (𝑄‘(𝑗 + 1)))
888864, 866, 868, 877, 887elicod 12166 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ ¬ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)[,)(𝑄‘(𝑗 + 1))))
889858, 888sylan 488 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ ¬ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)[,)(𝑄‘(𝑗 + 1))))
890771, 773oveq12d 6622 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 𝑗 → ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) = ((𝑄𝑗)[,)(𝑄‘(𝑗 + 1))))
891890eleq2d 2684 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑗 → ((𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↔ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)[,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))))
892891rspcev 3295 . . . . . . . . 9 ((𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)[,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
893856, 889, 892syl2anc 692 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ ¬ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
894855, 893pm2.61dan 831 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
895894rexlimdv3a 3026 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) → (∃𝑗 ∈ (0..^𝑀)(𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1))) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
896778, 895mpd 15 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
897 simpr 477 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
898 oveq1 6611 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = (⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) → (𝑘 · 𝑇) = ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))
899898oveq2d 6620 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = (⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) → (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑋 + ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)))
900899eqeq2d 2631 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = (⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) → ((𝐸𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)) ↔ (𝐸𝑋) = (𝑋 + ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))))
901900rspcev 3295 . . . . . . . . . 10 (((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ ∧ (𝐸𝑋) = (𝑋 + ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))) → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝐸𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))
90299, 107, 901syl2anc 692 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝐸𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))
903902ad2antrr 761 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝐸𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))
904 r19.42v 3084 . . . . . . . 8 (∃𝑘 ∈ ℤ ((𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) ↔ ((𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝐸𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))))
905897, 903, 904sylanbrc 697 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))))
906905ex 450 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) → ((𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))))
907906reximdv 3010 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) → (∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ ((𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))))
908896, 907mpd 15 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ ((𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))))
909629, 908jca 554 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) → (𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ ((𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))))
910 eleq1 2686 . . . . . . . 8 (𝑦 = (𝐸𝑋) → (𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↔ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
911 eqeq1 2625 . . . . . . . 8 (𝑦 = (𝐸𝑋) → (𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)) ↔ (𝐸𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))))
912910, 911anbi12d 746 . . . . . . 7 (𝑦 = (𝐸𝑋) → ((𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) ↔ ((𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))))
9139122rexbidv 3050 . . . . . 6 (𝑦 = (𝐸𝑋) → (∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) ↔ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ ((𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))))
914913anbi2d 739 . . . . 5 (𝑦 = (𝐸𝑋) → ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) ↔ (𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ ((𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))))))
915914imbi1d 331 . . . 4 (𝑦 = (𝐸𝑋) → (((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋) ≠ ∅) ↔ ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ ((𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋) ≠ ∅)))
916915, 614vtoclg 3252 . . 3 ((𝐸𝑋) ∈ ℝ → ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ ((𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋) ≠ ∅))
917628, 909, 916sylc 65 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋) ≠ ∅)
918616, 917pm2.61dane 2877 1 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋) ≠ ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  wral 2907  wrex 2908  {crab 2911  Vcvv 3186  cun 3553  cin 3554  wss 3555  c0 3891  ifcif 4058  {csn 4148   class class class wbr 4613  cmpt 4673  dom cdm 5074  ran crn 5075  cres 5076  Rel wrel 5079   Fn wfn 5842  wf 5843  cfv 5847  (class class class)co 6604  𝑚 cmap 7802  supcsup 8290  cc 9878  cr 9879  0cc0 9880  1c1 9881   + caddc 9883   · cmul 9885  +∞cpnf 10015  -∞cmnf 10016  *cxr 10017   < clt 10018  cle 10019  cmin 10210  -cneg 10211   / cdiv 10628  cn 10964  0cn0 11236  cz 11321  cuz 11631  (,)cioo 12117  (,]cioc 12118  [,)cico 12119  [,]cicc 12120  ...cfz 12268  ..^cfzo 12406  cfl 12531  t crest 16002  TopOpenctopn 16003  topGenctg 16019  fldccnfld 19665  Topctop 20617  intcnt 20731  cnccncf 22587   lim climc 23532
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-pm 7805  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-fi 8261  df-sup 8292  df-inf 8293  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-z 11322  df-dec 11438  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-xneg 11890  df-xadd 11891  df-xmul 11892  df-ioo 12121  df-ioc 12122  df-ico 12123  df-icc 12124  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-fl 12533  df-seq 12742  df-exp 12801  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-starv 15877  df-tset 15881  df-ple 15882  df-ds 15885  df-unif 15886  df-rest 16004  df-topn 16005  df-topgen 16025  df-psmet 19657  df-xmet 19658  df-met 19659  df-bl 19660  df-mopn 19661  df-cnfld 19666  df-top 20621  df-bases 20622  df-topon 20623  df-topsp 20624  df-ntr 20734  df-cn 20941  df-cnp 20942  df-xms 22035  df-ms 22036  df-cncf 22589  df-limc 23536
This theorem is referenced by:  fourierdlem94  39724  fourierdlem113  39743
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