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Theorem fourierdlem48 40874
Description: The given periodic function 𝐹 has a right limit at every point in the reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem48.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem48.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
fourierdlem48.altb (𝜑𝐴 < 𝐵)
fourierdlem48.p 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐴 ∧ (𝑝𝑚) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
fourierdlem48.t 𝑇 = (𝐵𝐴)
fourierdlem48.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
fourierdlem48.q (𝜑𝑄 ∈ (𝑃𝑀))
fourierdlem48.f (𝜑𝐹:𝐷⟶ℝ)
fourierdlem48.dper ((𝜑𝑥𝐷𝑘 ∈ ℤ) → (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷)
fourierdlem48.per ((𝜑𝑥𝐷𝑘 ∈ ℤ) → (𝐹‘(𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) = (𝐹𝑥))
fourierdlem48.cn ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
fourierdlem48.r ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)))
fourierdlem48.x (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem48.z 𝑍 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇))
fourierdlem48.e 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + (𝑍𝑥)))
fourierdlem48.ch (𝜒 ↔ ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem48 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋) ≠ ∅)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑖,𝑥   𝐴,𝑚,𝑝,𝑖   𝐵,𝑖,𝑘,𝑥   𝐵,𝑚,𝑝   𝐷,𝑘,𝑥   𝑖,𝐸,𝑘,𝑦   𝑖,𝐹,𝑘,𝑥,𝑦   𝑖,𝑀,𝑘   𝑚,𝑀,𝑝   𝑦,𝑀   𝑄,𝑖,𝑘,𝑥   𝑄,𝑝   𝑦,𝑄   𝑇,𝑖,𝑘,𝑥,𝑦   𝑖,𝑋,𝑘,𝑥,𝑦   𝑥,𝑍   𝜒,𝑥   𝜑,𝑖,𝑘,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚,𝑝)   𝜒(𝑦,𝑖,𝑘,𝑚,𝑝)   𝐴(𝑦,𝑘)   𝐵(𝑦)   𝐷(𝑦,𝑖,𝑚,𝑝)   𝑃(𝑥,𝑦,𝑖,𝑘,𝑚,𝑝)   𝑄(𝑚)   𝑅(𝑥,𝑦,𝑖,𝑘,𝑚,𝑝)   𝑇(𝑚,𝑝)   𝐸(𝑥,𝑚,𝑝)   𝐹(𝑚,𝑝)   𝑀(𝑥)   𝑋(𝑚,𝑝)   𝑍(𝑦,𝑖,𝑘,𝑚,𝑝)

Proof of Theorem fourierdlem48
Dummy variables 𝑗 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 474 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) = 𝐵) → 𝜑)
2 0zd 11581 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
3 fourierdlem48.m . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
43nnzd 11673 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
53nngt0d 11256 . . . . . 6 (𝜑 → 0 < 𝑀)
6 fzolb 12670 . . . . . 6 (0 ∈ (0..^𝑀) ↔ (0 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑀))
72, 4, 5, 6syl3anbrc 1429 . . . . 5 (𝜑 → 0 ∈ (0..^𝑀))
87adantr 472 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) = 𝐵) → 0 ∈ (0..^𝑀))
9 fourierdlem48.b . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
10 fourierdlem48.x . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
119, 10resubcld 10650 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵𝑋) ∈ ℝ)
12 fourierdlem48.t . . . . . . . . . 10 𝑇 = (𝐵𝐴)
13 fourierdlem48.a . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
149, 13resubcld 10650 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ ℝ)
1512, 14syl5eqel 2843 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
16 fourierdlem48.altb . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 < 𝐵)
1713, 9posdifd 10806 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵𝐴)))
1816, 17mpbid 222 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 < (𝐵𝐴))
1918, 12syl6breqr 4846 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 < 𝑇)
2019gt0ne0d 10784 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑇 ≠ 0)
2111, 15, 20redivcld 11045 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐵𝑋) / 𝑇) ∈ ℝ)
2221adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) = 𝐵) → ((𝐵𝑋) / 𝑇) ∈ ℝ)
2322flcld 12793 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) = 𝐵) → (⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ)
24 1zzd 11600 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) = 𝐵) → 1 ∈ ℤ)
2523, 24zsubcld 11679 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) = 𝐵) → ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) − 1) ∈ ℤ)
26 id 22 . . . . . . . 8 ((𝐸𝑋) = 𝐵 → (𝐸𝑋) = 𝐵)
2712a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝐸𝑋) = 𝐵𝑇 = (𝐵𝐴))
2826, 27oveq12d 6831 . . . . . . 7 ((𝐸𝑋) = 𝐵 → ((𝐸𝑋) − 𝑇) = (𝐵 − (𝐵𝐴)))
299recnd 10260 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3013recnd 10260 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
3129, 30nncand 10589 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵 − (𝐵𝐴)) = 𝐴)
3228, 31sylan9eqr 2816 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) = 𝐵) → ((𝐸𝑋) − 𝑇) = 𝐴)
33 fourierdlem48.q . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑄 ∈ (𝑃𝑀))
34 fourierdlem48.p . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐴 ∧ (𝑝𝑚) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
3534fourierdlem2 40829 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑄 ∈ (𝑃𝑀) ↔ (𝑄 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑀)) ∧ (((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄𝑀) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))))))
363, 35syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑄 ∈ (𝑃𝑀) ↔ (𝑄 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑀)) ∧ (((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄𝑀) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))))))
3733, 36mpbid 222 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑄 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑀)) ∧ (((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄𝑀) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))))
3837simpld 477 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑄 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑀)))
39 elmapi 8045 . . . . . . . . . . . 12 (𝑄 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑀)) → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
4038, 39syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
413nnnn0d 11543 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
42 nn0uz 11915 . . . . . . . . . . . . 13 0 = (ℤ‘0)
4341, 42syl6eleq 2849 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘0))
44 eluzfz1 12541 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ (ℤ‘0) → 0 ∈ (0...𝑀))
4543, 44syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 ∈ (0...𝑀))
4640, 45ffvelrnd 6523 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑄‘0) ∈ ℝ)
4746rexrd 10281 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑄‘0) ∈ ℝ*)
48 1zzd 11600 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
492, 4, 483jca 1123 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (0 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ))
50 0le1 10743 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ≤ 1
5150a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 ≤ 1)
523nnge1d 11255 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 1 ≤ 𝑀)
5349, 51, 52jca32 559 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 1 ∧ 1 ≤ 𝑀)))
54 elfz2 12526 . . . . . . . . . . . 12 (1 ∈ (0...𝑀) ↔ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 1 ∧ 1 ≤ 𝑀)))
5553, 54sylibr 224 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 1 ∈ (0...𝑀))
5640, 55ffvelrnd 6523 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑄‘1) ∈ ℝ)
5756rexrd 10281 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑄‘1) ∈ ℝ*)
5813rexrd 10281 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
5937simprd 482 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄𝑀) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))))
6059simplld 808 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑄‘0) = 𝐴)
6113leidd 10786 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴𝐴)
6260, 61eqbrtrd 4826 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑄‘0) ≤ 𝐴)
6360eqcomd 2766 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 = (𝑄‘0))
64 0re 10232 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ ℝ
65 eleq1 2827 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 = 0 → (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↔ 0 ∈ (0..^𝑀)))
6665anbi2d 742 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = 0 → ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ↔ (𝜑 ∧ 0 ∈ (0..^𝑀))))
67 fveq2 6352 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 = 0 → (𝑄𝑖) = (𝑄‘0))
68 oveq1 6820 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 = 0 → (𝑖 + 1) = (0 + 1))
6968fveq2d 6356 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 = 0 → (𝑄‘(𝑖 + 1)) = (𝑄‘(0 + 1)))
7067, 69breq12d 4817 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = 0 → ((𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)) ↔ (𝑄‘0) < (𝑄‘(0 + 1))))
7166, 70imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 0 → (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))) ↔ ((𝜑 ∧ 0 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘0) < (𝑄‘(0 + 1)))))
7237simprrd 814 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
7372r19.21bi 3070 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
7471, 73vtoclg 3406 . . . . . . . . . . . . 13 (0 ∈ ℝ → ((𝜑 ∧ 0 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘0) < (𝑄‘(0 + 1))))
7564, 74ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ 0 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘0) < (𝑄‘(0 + 1)))
767, 75mpdan 705 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑄‘0) < (𝑄‘(0 + 1)))
77 1e0p1 11744 . . . . . . . . . . . 12 1 = (0 + 1)
7877fveq2i 6355 . . . . . . . . . . 11 (𝑄‘1) = (𝑄‘(0 + 1))
7976, 78syl6breqr 4846 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑄‘0) < (𝑄‘1))
8063, 79eqbrtrd 4826 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 < (𝑄‘1))
8147, 57, 58, 62, 80elicod 12417 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ((𝑄‘0)[,)(𝑄‘1)))
8278oveq2i 6824 . . . . . . . 8 ((𝑄‘0)[,)(𝑄‘1)) = ((𝑄‘0)[,)(𝑄‘(0 + 1)))
8381, 82syl6eleq 2849 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ((𝑄‘0)[,)(𝑄‘(0 + 1))))
8483adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) = 𝐵) → 𝐴 ∈ ((𝑄‘0)[,)(𝑄‘(0 + 1))))
8532, 84eqeltrd 2839 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) = 𝐵) → ((𝐸𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄‘0)[,)(𝑄‘(0 + 1))))
86 fourierdlem48.e . . . . . . . . . . 11 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + (𝑍𝑥)))
8786a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + (𝑍𝑥))))
88 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑋𝑥 = 𝑋)
89 fveq2 6352 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑋 → (𝑍𝑥) = (𝑍𝑋))
9088, 89oveq12d 6831 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 + (𝑍𝑥)) = (𝑋 + (𝑍𝑋)))
9190adantl 473 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 = 𝑋) → (𝑥 + (𝑍𝑥)) = (𝑋 + (𝑍𝑋)))
92 fourierdlem48.z . . . . . . . . . . . . . 14 𝑍 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇))
9392a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑍 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
94 oveq2 6821 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑋 → (𝐵𝑥) = (𝐵𝑋))
9594oveq1d 6828 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑋 → ((𝐵𝑥) / 𝑇) = ((𝐵𝑋) / 𝑇))
9695fveq2d 6356 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑋 → (⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) = (⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)))
9796oveq1d 6828 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑋 → ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇) = ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))
9897adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 = 𝑋) → ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇) = ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))
9921flcld 12793 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ)
10099zred 11674 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) ∈ ℝ)
101100, 15remulcld 10262 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ ℝ)
10293, 98, 10, 101fvmptd 6450 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑍𝑋) = ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))
103102, 101eqeltrd 2839 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑍𝑋) ∈ ℝ)
10410, 103readdcld 10261 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑋 + (𝑍𝑋)) ∈ ℝ)
10587, 91, 10, 104fvmptd 6450 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐸𝑋) = (𝑋 + (𝑍𝑋)))
106102oveq2d 6829 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑋 + (𝑍𝑋)) = (𝑋 + ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)))
107105, 106eqtrd 2794 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐸𝑋) = (𝑋 + ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)))
108107oveq1d 6828 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐸𝑋) − 𝑇) = ((𝑋 + ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) − 𝑇))
10910recnd 10260 . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
110101recnd 10260 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ ℂ)
11115recnd 10260 . . . . . . . 8 (𝜑𝑇 ∈ ℂ)
112109, 110, 111addsubassd 10604 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑋 + ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) − 𝑇) = (𝑋 + (((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇) − 𝑇)))
11399zcnd 11675 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) ∈ ℂ)
114113, 111mulsubfacd 10684 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇) − 𝑇) = (((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) − 1) · 𝑇))
115114oveq2d 6829 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋 + (((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇) − 𝑇)) = (𝑋 + (((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) − 1) · 𝑇)))
116108, 112, 1153eqtrd 2798 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐸𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) − 1) · 𝑇)))
117116adantr 472 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) = 𝐵) → ((𝐸𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) − 1) · 𝑇)))
118 oveq1 6820 . . . . . . . . 9 (𝑘 = ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) − 1) → (𝑘 · 𝑇) = (((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) − 1) · 𝑇))
119118oveq2d 6829 . . . . . . . 8 (𝑘 = ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) − 1) → (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑋 + (((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) − 1) · 𝑇)))
120119eqeq2d 2770 . . . . . . 7 (𝑘 = ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) − 1) → (((𝐸𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)) ↔ ((𝐸𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) − 1) · 𝑇))))
121120anbi2d 742 . . . . . 6 (𝑘 = ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) − 1) → ((((𝐸𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄‘0)[,)(𝑄‘(0 + 1))) ∧ ((𝐸𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) ↔ (((𝐸𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄‘0)[,)(𝑄‘(0 + 1))) ∧ ((𝐸𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) − 1) · 𝑇)))))
122121rspcev 3449 . . . . 5 ((((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) − 1) ∈ ℤ ∧ (((𝐸𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄‘0)[,)(𝑄‘(0 + 1))) ∧ ((𝐸𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) − 1) · 𝑇)))) → ∃𝑘 ∈ ℤ (((𝐸𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄‘0)[,)(𝑄‘(0 + 1))) ∧ ((𝐸𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))))
12325, 85, 117, 122syl12anc 1475 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) = 𝐵) → ∃𝑘 ∈ ℤ (((𝐸𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄‘0)[,)(𝑄‘(0 + 1))) ∧ ((𝐸𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))))
12467, 69oveq12d 6831 . . . . . . . 8 (𝑖 = 0 → ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) = ((𝑄‘0)[,)(𝑄‘(0 + 1))))
125124eleq2d 2825 . . . . . . 7 (𝑖 = 0 → (((𝐸𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↔ ((𝐸𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄‘0)[,)(𝑄‘(0 + 1)))))
126125anbi1d 743 . . . . . 6 (𝑖 = 0 → ((((𝐸𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ ((𝐸𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) ↔ (((𝐸𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄‘0)[,)(𝑄‘(0 + 1))) ∧ ((𝐸𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))))
127126rexbidv 3190 . . . . 5 (𝑖 = 0 → (∃𝑘 ∈ ℤ (((𝐸𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ ((𝐸𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (((𝐸𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄‘0)[,)(𝑄‘(0 + 1))) ∧ ((𝐸𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))))
128127rspcev 3449 . . . 4 ((0 ∈ (0..^𝑀) ∧ ∃𝑘 ∈ ℤ (((𝐸𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄‘0)[,)(𝑄‘(0 + 1))) ∧ ((𝐸𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (((𝐸𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ ((𝐸𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))))
1298, 123, 128syl2anc 696 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) = 𝐵) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (((𝐸𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ ((𝐸𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))))
130 ovex 6841 . . . 4 ((𝐸𝑋) − 𝑇) ∈ V
131 eleq1 2827 . . . . . . . 8 (𝑦 = ((𝐸𝑋) − 𝑇) → (𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↔ ((𝐸𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
132 eqeq1 2764 . . . . . . . 8 (𝑦 = ((𝐸𝑋) − 𝑇) → (𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)) ↔ ((𝐸𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))))
133131, 132anbi12d 749 . . . . . . 7 (𝑦 = ((𝐸𝑋) − 𝑇) → ((𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) ↔ (((𝐸𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ ((𝐸𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))))
1341332rexbidv 3195 . . . . . 6 (𝑦 = ((𝐸𝑋) − 𝑇) → (∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) ↔ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (((𝐸𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ ((𝐸𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))))
135134anbi2d 742 . . . . 5 (𝑦 = ((𝐸𝑋) − 𝑇) → ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) ↔ (𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (((𝐸𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ ((𝐸𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))))))
136135imbi1d 330 . . . 4 (𝑦 = ((𝐸𝑋) − 𝑇) → (((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋) ≠ ∅) ↔ ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (((𝐸𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ ((𝐸𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋) ≠ ∅)))
137 simpr 479 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))))
138 nfv 1992 . . . . . . 7 𝑖𝜑
139 nfre1 3143 . . . . . . 7 𝑖𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))
140138, 139nfan 1977 . . . . . 6 𝑖(𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))))
141 nfv 1992 . . . . . . 7 𝑘𝜑
142 nfcv 2902 . . . . . . . 8 𝑘(0..^𝑀)
143 nfre1 3143 . . . . . . . 8 𝑘𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))
144142, 143nfrex 3145 . . . . . . 7 𝑘𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))
145141, 144nfan 1977 . . . . . 6 𝑘(𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))))
146 simp1 1131 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → 𝜑)
147 simp2l 1242 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑖 ∈ (0..^𝑀))
148 simp3l 1244 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
149146, 147, 148jca31 558 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
150 simp2r 1243 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑘 ∈ ℤ)
151 simp3r 1245 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))
152 fourierdlem48.ch . . . . . . . . . 10 (𝜒 ↔ ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))))
153152biimpi 206 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒 → ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))))
154153simplld 808 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒 → ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
155154simplld 808 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜒𝜑)
156 fourierdlem48.f . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐹:𝐷⟶ℝ)
157 frel 6211 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹:𝐷⟶ℝ → Rel 𝐹)
158155, 156, 1573syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜒 → Rel 𝐹)
159 resindm 5602 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Rel 𝐹 → (𝐹 ↾ ((𝑋(,)+∞) ∩ dom 𝐹)) = (𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)))
160159eqcomd 2766 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Rel 𝐹 → (𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) = (𝐹 ↾ ((𝑋(,)+∞) ∩ dom 𝐹)))
161158, 160syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜒 → (𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) = (𝐹 ↾ ((𝑋(,)+∞) ∩ dom 𝐹)))
162 fdm 6212 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹:𝐷⟶ℝ → dom 𝐹 = 𝐷)
163155, 156, 1623syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜒 → dom 𝐹 = 𝐷)
164163ineq2d 3957 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜒 → ((𝑋(,)+∞) ∩ dom 𝐹) = ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷))
165164reseq2d 5551 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜒 → (𝐹 ↾ ((𝑋(,)+∞) ∩ dom 𝐹)) = (𝐹 ↾ ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷)))
166161, 165eqtrd 2794 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜒 → (𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) = (𝐹 ↾ ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷)))
167166oveq1d 6828 . . . . . . . . . . . 12 (𝜒 → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋) = ((𝐹 ↾ ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷)) lim 𝑋))
168155, 156syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜒𝐹:𝐷⟶ℝ)
169 ax-resscn 10185 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ℝ ⊆ ℂ
170169a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜒 → ℝ ⊆ ℂ)
171168, 170fssd 6218 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜒𝐹:𝐷⟶ℂ)
172 inss2 3977 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ⊆ 𝐷
173172a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜒 → ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ⊆ 𝐷)
174171, 173fssresd 6232 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜒 → (𝐹 ↾ ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷)):((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷)⟶ℂ)
175 pnfxr 10284 . . . . . . . . . . . . . . . 16 +∞ ∈ ℝ*
176175a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜒 → +∞ ∈ ℝ*)
177154simplrd 810 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜒𝑖 ∈ (0..^𝑀))
17840adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
179 fzofzp1 12759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
180179adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
181178, 180ffvelrnd 6523 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
182155, 177, 181syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒 → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
183153simplrd 810 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜒𝑘 ∈ ℤ)
184183zred 11674 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜒𝑘 ∈ ℝ)
185155, 15syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜒𝑇 ∈ ℝ)
186184, 185remulcld 10262 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒 → (𝑘 · 𝑇) ∈ ℝ)
187182, 186resubcld 10650 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒 → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ)
188187rexrd 10281 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜒 → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ*)
189187ltpnfd 12148 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜒 → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) < +∞)
190188, 176, 189xrltled 39985 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜒 → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) ≤ +∞)
191 iooss2 12404 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((+∞ ∈ ℝ* ∧ ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) ≤ +∞) → (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ⊆ (𝑋(,)+∞))
192176, 190, 191syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜒 → (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ⊆ (𝑋(,)+∞))
193183adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑘 ∈ ℤ)
194193zcnd 11675 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑘 ∈ ℂ)
195185recnd 10260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜒𝑇 ∈ ℂ)
196195adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑇 ∈ ℂ)
197194, 196mulneg1d 10675 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (-𝑘 · 𝑇) = -(𝑘 · 𝑇))
198197oveq2d 6829 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (-𝑘 · 𝑇)) = ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + -(𝑘 · 𝑇)))
199 elioore 12398 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) → 𝑤 ∈ ℝ)
200199recnd 10260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) → 𝑤 ∈ ℂ)
201200adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑤 ∈ ℂ)
202194, 196mulcld 10252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑘 · 𝑇) ∈ ℂ)
203201, 202addcld 10251 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℂ)
204203, 202negsubd 10590 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + -(𝑘 · 𝑇)) = ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑘 · 𝑇)))
205201, 202pncand 10585 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑘 · 𝑇)) = 𝑤)
206198, 204, 2053eqtrrd 2799 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑤 = ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (-𝑘 · 𝑇)))
207155adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝜑)
208154simpld 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜒 → (𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)))
209 fourierdlem48.cn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
210 cncff 22897 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))):((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ)
211 fdm 6212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))):((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ → dom (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
212209, 210, 2113syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → dom (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
213 ssdmres 5578 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ dom 𝐹 ↔ dom (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
214212, 213sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ dom 𝐹)
215156, 162syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐷)
216215adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → dom 𝐹 = 𝐷)
217214, 216sseqtrd 3782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ 𝐷)
218208, 217syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜒 → ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ 𝐷)
219218adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ 𝐷)
220 elfzofz 12679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
221220adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
222178, 221ffvelrnd 6523 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ)
223155, 177, 222syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜒 → (𝑄𝑖) ∈ ℝ)
224223rexrd 10281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜒 → (𝑄𝑖) ∈ ℝ*)
225224adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ*)
226182rexrd 10281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜒 → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*)
227226adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*)
228199adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑤 ∈ ℝ)
229193zred 11674 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑘 ∈ ℝ)
230207, 15syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑇 ∈ ℝ)
231229, 230remulcld 10262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑘 · 𝑇) ∈ ℝ)
232228, 231readdcld 10261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ)
233223adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ)
234155, 10syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜒𝑋 ∈ ℝ)
235234, 186readdcld 10261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜒 → (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ)
236235adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ)
237152simprbi 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜒𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))
238237eqcomd 2766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜒 → (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)) = 𝑦)
239154simprd 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜒𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
240238, 239eqeltrd 2839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜒 → (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
241 icogelb 12418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑄𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ* ∧ (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄𝑖) ≤ (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))
242224, 226, 240, 241syl3anc 1477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜒 → (𝑄𝑖) ≤ (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))
243242adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑄𝑖) ≤ (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))
244207, 10syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑋 ∈ ℝ)
245244rexrd 10281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑋 ∈ ℝ*)
246182adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
247246, 231resubcld 10650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ)
248247rexrd 10281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ*)
249 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))))
250 ioogtlb 40220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑋 ∈ ℝ* ∧ ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ*𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑋 < 𝑤)
251245, 248, 249, 250syl3anc 1477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑋 < 𝑤)
252244, 228, 231, 251ltadd1dd 10830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)))
253233, 236, 232, 243, 252lelttrd 10387 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑄𝑖) < (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)))
254 iooltub 40238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑋 ∈ ℝ* ∧ ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ*𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑤 < ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))
255245, 248, 249, 254syl3anc 1477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑤 < ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))
256228, 247, 231, 255ltadd1dd 10830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) < (((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) + (𝑘 · 𝑇)))
257182recnd 10260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜒 → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℂ)
258186recnd 10260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜒 → (𝑘 · 𝑇) ∈ ℂ)
259257, 258npcand 10588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜒 → (((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑄‘(𝑖 + 1)))
260259adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑄‘(𝑖 + 1)))
261256, 260breqtrd 4830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
262225, 227, 232, 253, 261eliood 40223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
263219, 262sseldd 3745 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷)
264193znegcld 11676 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → -𝑘 ∈ ℤ)
265 ovex 6841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ V
266 eleq1 2827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) → (𝑥𝐷 ↔ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷))
2672663anbi2d 1553 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) → ((𝜑𝑥𝐷 ∧ -𝑘 ∈ ℤ) ↔ (𝜑 ∧ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷 ∧ -𝑘 ∈ ℤ)))
268 oveq1 6820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) → (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)) = ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (-𝑘 · 𝑇)))
269268eleq1d 2824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) → ((𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷 ↔ ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (-𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷))
270267, 269imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) → (((𝜑𝑥𝐷 ∧ -𝑘 ∈ ℤ) → (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷 ∧ -𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (-𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷)))
271 negex 10471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 -𝑘 ∈ V
272 eleq1 2827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑗 = -𝑘 → (𝑗 ∈ ℤ ↔ -𝑘 ∈ ℤ))
2732723anbi3d 1554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 = -𝑘 → ((𝜑𝑥𝐷𝑗 ∈ ℤ) ↔ (𝜑𝑥𝐷 ∧ -𝑘 ∈ ℤ)))
274 oveq1 6820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑗 = -𝑘 → (𝑗 · 𝑇) = (-𝑘 · 𝑇))
275274oveq2d 6829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑗 = -𝑘 → (𝑥 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)))
276275eleq1d 2824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 = -𝑘 → ((𝑥 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐷 ↔ (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷))
277273, 276imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 = -𝑘 → (((𝜑𝑥𝐷𝑗 ∈ ℤ) → (𝑥 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐷) ↔ ((𝜑𝑥𝐷 ∧ -𝑘 ∈ ℤ) → (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷)))
278 eleq1 2827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 ∈ ℤ ↔ 𝑗 ∈ ℤ))
2792783anbi3d 1554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑𝑥𝐷𝑘 ∈ ℤ) ↔ (𝜑𝑥𝐷𝑗 ∈ ℤ)))
280 oveq1 6820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 · 𝑇) = (𝑗 · 𝑇))
281280oveq2d 6829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑘 = 𝑗 → (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑥 + (𝑗 · 𝑇)))
282281eleq1d 2824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑘 = 𝑗 → ((𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷 ↔ (𝑥 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐷))
283279, 282imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑𝑥𝐷𝑘 ∈ ℤ) → (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷) ↔ ((𝜑𝑥𝐷𝑗 ∈ ℤ) → (𝑥 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐷)))
284 fourierdlem48.dper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑥𝐷𝑘 ∈ ℤ) → (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷)
285283, 284chvarv 2408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥𝐷𝑗 ∈ ℤ) → (𝑥 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐷)
286271, 277, 285vtocl 3399 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥𝐷 ∧ -𝑘 ∈ ℤ) → (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷)
287265, 270, 286vtocl 3399 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷 ∧ -𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (-𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷)
288207, 263, 264, 287syl3anc 1477 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (-𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷)
289206, 288eqeltrd 2839 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑤𝐷)
290289ralrimiva 3104 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜒 → ∀𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑤𝐷)
291 dfss3 3733 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ⊆ 𝐷 ↔ ∀𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑤𝐷)
292290, 291sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜒 → (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ⊆ 𝐷)
293192, 292ssind 3980 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜒 → (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ⊆ ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷))
294 ioosscn 40219 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋(,)+∞) ⊆ ℂ
295 ssinss1 3984 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋(,)+∞) ⊆ ℂ → ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ⊆ ℂ)
296294, 295mp1i 13 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜒 → ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ⊆ ℂ)
297 eqid 2760 . . . . . . . . . . . . 13 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
298 eqid 2760 . . . . . . . . . . . . 13 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))
299234rexrd 10281 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜒𝑋 ∈ ℝ*)
300234leidd 10786 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜒𝑋𝑋)
301237oveq1d 6828 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒 → (𝑦 − (𝑘 · 𝑇)) = ((𝑋 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑘 · 𝑇)))
302234recnd 10260 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒𝑋 ∈ ℂ)
303302, 258pncand 10585 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒 → ((𝑋 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑘 · 𝑇)) = 𝑋)
304301, 303eqtr2d 2795 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜒𝑋 = (𝑦 − (𝑘 · 𝑇)))
305 icossre 12447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑄𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*) → ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℝ)
306223, 226, 305syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒 → ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℝ)
307306, 239sseldd 3745 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒𝑦 ∈ ℝ)
308 icoltub 40235 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑄𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑦 < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
309224, 226, 239, 308syl3anc 1477 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒𝑦 < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
310307, 182, 186, 309ltsub1dd 10831 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜒 → (𝑦 − (𝑘 · 𝑇)) < ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))
311304, 310eqbrtrd 4826 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜒𝑋 < ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))
312299, 188, 299, 300, 311elicod 12417 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜒𝑋 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))))
313 snunioo1 40241 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑋 ∈ ℝ* ∧ ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ*𝑋 < ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) → ((𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∪ {𝑋}) = (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))))
314299, 188, 311, 313syl3anc 1477 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜒 → ((𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∪ {𝑋}) = (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))))
315314fveq2d 6356 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜒 → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))‘((𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∪ {𝑋})) = ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))‘(𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))))
316297cnfldtop 22788 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
317 ovex 6841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑋(,)+∞) ∈ V
318317inex1 4951 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∈ V
319 snex 5057 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 {𝑋} ∈ V
320318, 319unex 7121 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}) ∈ V
321 resttop 21166 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}) ∈ V) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∈ Top)
322316, 320, 321mp2an 710 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∈ Top
323322a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜒 → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∈ Top)
324 retop 22766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
325324a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒 → (topGen‘ran (,)) ∈ Top)
326320a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒 → (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}) ∈ V)
327 iooretop 22770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∈ (topGen‘ran (,))
328327a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒 → (-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∈ (topGen‘ran (,)))
329 elrestr 16291 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}) ∈ V ∧ (-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∈ (topGen‘ran (,))) → ((-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∩ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))
330325, 326, 328, 329syl3anc 1477 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒 → ((-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∩ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))
331 mnfxr 10288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 -∞ ∈ ℝ*
332331a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜒𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → -∞ ∈ ℝ*)
333188adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜒𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ*)
334 icossre 12447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ*) → (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ⊆ ℝ)
335234, 188, 334syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜒 → (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ⊆ ℝ)
336335sselda 3744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜒𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑥 ∈ ℝ)
337336mnfltd 12151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜒𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → -∞ < 𝑥)
338299adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜒𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑋 ∈ ℝ*)
339 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜒𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))))
340 icoltub 40235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑋 ∈ ℝ* ∧ ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑥 < ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))
341338, 333, 339, 340syl3anc 1477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜒𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑥 < ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))
342332, 333, 336, 337, 341eliood 40223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜒𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑥 ∈ (-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))))
343 vsnid 4354 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 𝑥 ∈ {𝑥}
344343a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 = 𝑋𝑥 ∈ {𝑥})
345 sneq 4331 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 = 𝑋 → {𝑥} = {𝑋})
346344, 345eleqtrd 2841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = 𝑋𝑥 ∈ {𝑋})
347 elun2 3924 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 ∈ {𝑋} → 𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))
348346, 347syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = 𝑋𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))
349348adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜒𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))
350299ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜒𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑋 ∈ ℝ*)
351175a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜒𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → +∞ ∈ ℝ*)
352336adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜒𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 ∈ ℝ)
353234ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜒𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑋 ∈ ℝ)
354 icogelb 12418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑋 ∈ ℝ* ∧ ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑋𝑥)
355338, 333, 339, 354syl3anc 1477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜒𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑋𝑥)
356355adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜒𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑋𝑥)
357 neqne 2940 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 𝑥 = 𝑋𝑥𝑋)
358357adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜒𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥𝑋)
359353, 352, 356, 358leneltd 10383 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜒𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑋 < 𝑥)
360352ltpnfd 12148 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜒𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 < +∞)
361350, 351, 352, 359, 360eliood 40223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜒𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 ∈ (𝑋(,)+∞))
362183zcnd 11675 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝜒𝑘 ∈ ℂ)
363362, 195mulneg1d 10675 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝜒 → (-𝑘 · 𝑇) = -(𝑘 · 𝑇))
364363oveq2d 6829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝜒 → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (-𝑘 · 𝑇)) = ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + -(𝑘 · 𝑇)))
365364adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (-𝑘 · 𝑇)) = ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + -(𝑘 · 𝑇)))
366 ioosscn 40219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ⊆ ℂ
367366sseli 3740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) → 𝑤 ∈ ℂ)
368367adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑤 ∈ ℂ)
369258adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑘 · 𝑇) ∈ ℂ)
370368, 369addcld 10251 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℂ)
371370, 369negsubd 10590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + -(𝑘 · 𝑇)) = ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑘 · 𝑇)))
372368, 369pncand 10585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑘 · 𝑇)) = 𝑤)
373365, 371, 3723eqtrrd 2799 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑤 = ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (-𝑘 · 𝑇)))
374186adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑘 · 𝑇) ∈ ℝ)
375228, 374readdcld 10261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ)
376225, 227, 375, 253, 261eliood 40223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
377219, 376sseldd 3745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷)
3782723anbi3d 1554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑗 = -𝑘 → ((𝜑 ∧ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷𝑗 ∈ ℤ) ↔ (𝜑 ∧ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷 ∧ -𝑘 ∈ ℤ)))
379274oveq2d 6829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑗 = -𝑘 → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (𝑗 · 𝑇)) = ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (-𝑘 · 𝑇)))
380379eleq1d 2824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑗 = -𝑘 → (((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐷 ↔ ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (-𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷))
381378, 380imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑗 = -𝑘 → (((𝜑 ∧ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷𝑗 ∈ ℤ) → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐷) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷 ∧ -𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (-𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷)))
3822663anbi2d 1553 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑥 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) → ((𝜑𝑥𝐷𝑗 ∈ ℤ) ↔ (𝜑 ∧ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷𝑗 ∈ ℤ)))
383 oveq1 6820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑥 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) → (𝑥 + (𝑗 · 𝑇)) = ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (𝑗 · 𝑇)))
384383eleq1d 2824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑥 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) → ((𝑥 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐷 ↔ ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐷))
385382, 384imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑥 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) → (((𝜑𝑥𝐷𝑗 ∈ ℤ) → (𝑥 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐷) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷𝑗 ∈ ℤ) → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐷)))
386265, 385, 285vtocl 3399 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑 ∧ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷𝑗 ∈ ℤ) → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐷)
387271, 381, 386vtocl 3399 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑 ∧ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷 ∧ -𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (-𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷)
388207, 377, 264, 387syl3anc 1477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (-𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷)
389373, 388eqeltrd 2839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑤𝐷)
390389ralrimiva 3104 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜒 → ∀𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑤𝐷)
391390, 291sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜒 → (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ⊆ 𝐷)
392391ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜒𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ⊆ 𝐷)
393188ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜒𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ*)
394341adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜒𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 < ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))
395350, 393, 352, 359, 394eliood 40223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜒𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))))
396392, 395sseldd 3745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜒𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥𝐷)
397361, 396elind 3941 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜒𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 ∈ ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷))
398 elun1 3923 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 ∈ ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) → 𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))
399397, 398syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜒𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))
400349, 399pm2.61dan 867 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜒𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))
401342, 400elind 3941 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜒𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑥 ∈ ((-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∩ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))
402299adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜒𝑥 ∈ ((-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∩ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) → 𝑋 ∈ ℝ*)
403188adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜒𝑥 ∈ ((-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∩ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ*)
404 elinel1 3942 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 ∈ ((-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∩ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) → 𝑥 ∈ (-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))))
405 elioore 12398 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 ∈ (-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) → 𝑥 ∈ ℝ)
406404, 405syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 ∈ ((-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∩ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) → 𝑥 ∈ ℝ)
407406rexrd 10281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ ((-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∩ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) → 𝑥 ∈ ℝ*)
408407adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜒𝑥 ∈ ((-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∩ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) → 𝑥 ∈ ℝ*)
409 elinel2 3943 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ ((-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∩ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) → 𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))
410234adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜒𝑥 = 𝑋) → 𝑋 ∈ ℝ)
41188eqcomd 2766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑥 = 𝑋𝑋 = 𝑥)
412411adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜒𝑥 = 𝑋) → 𝑋 = 𝑥)
413410, 412eqled 10332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜒𝑥 = 𝑋) → 𝑋𝑥)
414413adantlr 753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜒𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∧ 𝑥 = 𝑋) → 𝑋𝑥)
415 simpll 807 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜒𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝜒)
416 simplr 809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜒𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))
417 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 𝑥 = 𝑋 → ¬ 𝑥 = 𝑋)
418 velsn 4337 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑥 ∈ {𝑋} ↔ 𝑥 = 𝑋)
419417, 418sylnibr 318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 𝑥 = 𝑋 → ¬ 𝑥 ∈ {𝑋})
420419adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜒𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → ¬ 𝑥 ∈ {𝑋})
421 elunnel2 39697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}) ∧ ¬ 𝑥 ∈ {𝑋}) → 𝑥 ∈ ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷))
422416, 420, 421syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜒𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 ∈ ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷))
423 elinel1 3942 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 ∈ ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) → 𝑥 ∈ (𝑋(,)+∞))
424422, 423syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜒𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 ∈ (𝑋(,)+∞))
425234adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜒𝑥 ∈ (𝑋(,)+∞)) → 𝑋 ∈ ℝ)
426 elioore 12398 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑥 ∈ (𝑋(,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ)
427426adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜒𝑥 ∈ (𝑋(,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℝ)
428299adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜒𝑥 ∈ (𝑋(,)+∞)) → 𝑋 ∈ ℝ*)
429175a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜒𝑥 ∈ (𝑋(,)+∞)) → +∞ ∈ ℝ*)
430 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜒𝑥 ∈ (𝑋(,)+∞)) → 𝑥 ∈ (𝑋(,)+∞))
431 ioogtlb 40220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑋 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝑋(,)+∞)) → 𝑋 < 𝑥)
432428, 429, 430, 431syl3anc 1477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜒𝑥 ∈ (𝑋(,)+∞)) → 𝑋 < 𝑥)
433425, 427, 432ltled 10377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜒𝑥 ∈ (𝑋(,)+∞)) → 𝑋𝑥)
434415, 424, 433syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜒𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑋𝑥)
435414, 434pm2.61dan 867 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜒𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) → 𝑋𝑥)
436409, 435sylan2 492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜒𝑥 ∈ ((-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∩ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) → 𝑋𝑥)
437331a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜒𝑥 ∈ (-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → -∞ ∈ ℝ*)
438188adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜒𝑥 ∈ (-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ*)
439 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜒𝑥 ∈ (-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑥 ∈ (-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))))
440 iooltub 40238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ*𝑥 ∈ (-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑥 < ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))
441437, 438, 439, 440syl3anc 1477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜒𝑥 ∈ (-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑥 < ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))
442404, 441sylan2 492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜒𝑥 ∈ ((-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∩ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) → 𝑥 < ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))
443402, 403, 408, 436, 442elicod 12417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜒𝑥 ∈ ((-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∩ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) → 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))))
444401, 443impbida 913 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒 → (𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ↔ 𝑥 ∈ ((-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∩ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))))
445444eqrdv 2758 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒 → (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) = ((-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∩ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))
446 ioossre 12428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑋(,)+∞) ⊆ ℝ
447 ssinss1 3984 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑋(,)+∞) ⊆ ℝ → ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ⊆ ℝ)
448446, 447mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜒 → ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ⊆ ℝ)
449234snssd 4485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜒 → {𝑋} ⊆ ℝ)
450448, 449unssd 3932 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒 → (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}) ⊆ ℝ)
451 eqid 2760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
452297, 451tgiooss 40236 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}) ⊆ ℝ → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))
453450, 452syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒 → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))
454330, 445, 4533eltr4d 2854 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜒 → (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))
455 isopn3i 21088 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∈ Top ∧ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))‘(𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) = (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))))
456323, 454, 455syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜒 → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))‘(𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) = (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))))
457315, 456eqtr2d 2795 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜒 → (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) = ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))‘((𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∪ {𝑋})))
458312, 457eleqtrd 2841 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜒𝑋 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))‘((𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∪ {𝑋})))
459174, 293, 296, 297, 298, 458limcres 23849 . . . . . . . . . . . 12 (𝜒 → (((𝐹 ↾ ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷)) ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) lim 𝑋) = ((𝐹 ↾ ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷)) lim 𝑋))
460293resabs1d 5586 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜒 → ((𝐹 ↾ ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷)) ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) = (𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))))
461460oveq1d 6828 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜒 → (((𝐹 ↾ ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷)) ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) lim 𝑋) = ((𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) lim 𝑋))
462169a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
463156, 462fssd 6218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝐹:𝐷⟶ℂ)
464215feq2d 6192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ↔ 𝐹:𝐷⟶ℂ))
465463, 464mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
466155, 465syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
467466adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜒𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) lim 𝑋)) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
468366a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜒𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) lim 𝑋)) → (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ⊆ ℂ)
469391, 163sseqtr4d 3783 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒 → (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ⊆ dom 𝐹)
470469adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜒𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) lim 𝑋)) → (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ⊆ dom 𝐹)
471258adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜒𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) lim 𝑋)) → (𝑘 · 𝑇) ∈ ℂ)
472 eqid 2760 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))} = {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))}
473 eqeq1 2764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ↔ 𝑤 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))))
474473rexbidv 3190 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑧 = 𝑤 → (∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑤 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))))
475474elrab 3504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))} ↔ (𝑤 ∈ ℂ ∧ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑤 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))))
476475simprbi 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))} → ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑤 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)))
477476adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜒𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))}) → ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑤 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)))
478 nfv 1992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝑥𝜒
479 nfre1 3143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 𝑥𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))
480 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 𝑥
481479, 480nfrab 3262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 𝑥{𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))}
482481nfcri 2896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝑥 𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))}
483478, 482nfan 1977 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑥(𝜒𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))})
484 nfv 1992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑥 𝑤𝐷
485 simp3 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜒𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∧ 𝑤 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝑤 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)))
486 eleq1 2827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑤 = 𝑥 → (𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ↔ 𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))))
487486anbi2d 742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑤 = 𝑥 → ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ↔ (𝜒𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))))))
488 oveq1 6820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑤 = 𝑥 → (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)))
489488eleq1d 2824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑤 = 𝑥 → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷 ↔ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷))
490487, 489imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑤 = 𝑥 → (((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷) ↔ ((𝜒𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷)))
491490, 263chvarv 2408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜒𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷)
4924913adant3 1127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜒𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∧ 𝑤 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) → (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷)
493485, 492eqeltrd 2839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜒𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∧ 𝑤 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝑤𝐷)
4944933exp 1113 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜒 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) → (𝑤 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) → 𝑤𝐷)))
495494adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜒𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))}) → (𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) → (𝑤 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) → 𝑤𝐷)))
496483, 484, 495rexlimd 3164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜒𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))}) → (∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑤 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) → 𝑤𝐷))
497477, 496mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜒𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))}) → 𝑤𝐷)
498497ralrimiva 3104 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜒 → ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))}𝑤𝐷)
499 dfss3 3733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ({𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))} ⊆ 𝐷 ↔ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))}𝑤𝐷)
500498, 499sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜒 → {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))} ⊆ 𝐷)
501500, 163sseqtr4d 3783 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒 → {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))} ⊆ dom 𝐹)
502501adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜒𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) lim 𝑋)) → {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))} ⊆ dom 𝐹)
503155adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜒𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝜑)
504391sselda 3744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜒𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑥𝐷)
505183adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜒𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑘 ∈ ℤ)
506 fourierdlem48.per . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥𝐷𝑘 ∈ ℤ) → (𝐹‘(𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) = (𝐹𝑥))
507503, 504, 505, 506syl3anc 1477 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜒𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝐹‘(𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) = (𝐹𝑥))
508507adantlr 753 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜒𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) lim 𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝐹‘(𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) = (𝐹𝑥))
509 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜒𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) lim 𝑋)) → 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) lim 𝑋))
510467, 468, 470, 471, 472, 502, 508, 509limcperiod 40363 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜒𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) lim 𝑋)) → 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))}) lim (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))))
511259eqcomd 2766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜒 → (𝑄‘(𝑖 + 1)) = (((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) + (𝑘 · 𝑇)))
512237, 511oveq12d 6831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜒 → (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) = ((𝑋 + (𝑘 · 𝑇))(,)(((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) + (𝑘 · 𝑇))))
513234, 187, 186iooshift 40251 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜒 → ((𝑋 + (𝑘 · 𝑇))(,)(((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) + (𝑘 · 𝑇))) = {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))})
514512, 513eqtr2d 2795 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜒 → {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))} = (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
515514reseq2d 5551 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒 → (𝐹 ↾ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))}) = (𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
516515, 238oveq12d 6831 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒 → ((𝐹 ↾ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))}) lim (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) = ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim 𝑦))
517516adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜒𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) lim 𝑋)) → ((𝐹 ↾ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))}) lim (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) = ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim 𝑦))
518510, 517eleqtrd 2841 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜒𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) lim 𝑋)) → 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim 𝑦))
519466adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜒𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim 𝑦)) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
520 ioosscn 40219 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℂ
521520a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜒𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim 𝑦)) → (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℂ)
522 icogelb 12418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑄𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄𝑖) ≤ 𝑦)
523224, 226, 239, 522syl3anc 1477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜒 → (𝑄𝑖) ≤ 𝑦)
524 iooss1 12403 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑄𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝑄𝑖) ≤ 𝑦) → (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
525224, 523, 524syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜒 → (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
526525, 218sstrd 3754 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜒 → (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ 𝐷)
527526, 163sseqtr4d 3783 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒 → (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ dom 𝐹)
528527adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜒𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim 𝑦)) → (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ dom 𝐹)
529362negcld 10571 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜒 → -𝑘 ∈ ℂ)
530529, 195mulcld 10252 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒 → (-𝑘 · 𝑇) ∈ ℂ)
531530adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜒𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim 𝑦)) → (-𝑘 · 𝑇) ∈ ℂ)
532 eqid 2760 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))} = {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))}
533 eqeq1 2764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)) ↔ 𝑤 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))))
534533rexbidv 3190 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑧 = 𝑤 → (∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑤 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))))
535534elrab 3504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))} ↔ (𝑤 ∈ ℂ ∧ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑤 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))))
536535simprbi 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))} → ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑤 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)))
537536adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜒𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))}) → ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑤 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)))
538 nfre1 3143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 𝑥𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))
539538, 480nfrab 3262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 𝑥{𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))}
540539nfcri 2896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝑥 𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))}
541478, 540nfan 1977 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑥(𝜒𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))})
542 simp3 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜒𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑤 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))) → 𝑤 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)))
543155adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜒𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝜑)
544526sselda 3744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜒𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥𝐷)
545183adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜒𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑘 ∈ ℤ)
546545znegcld 11676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜒𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → -𝑘 ∈ ℤ)
547543, 544, 546, 286syl3anc 1477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜒𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷)
5485473adant3 1127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜒𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑤 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))) → (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷)
549542, 548eqeltrd 2839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜒𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑤 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))) → 𝑤𝐷)
5505493exp 1113 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜒 → (𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝑤 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)) → 𝑤𝐷)))
551550adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜒𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))}) → (𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝑤 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)) → 𝑤𝐷)))
552541, 484, 551rexlimd 3164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜒𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))}) → (∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑤 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)) → 𝑤𝐷))
553537, 552mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜒𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))}) → 𝑤𝐷)
554553ralrimiva 3104 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜒 → ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))}𝑤𝐷)
555 dfss3 3733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ({𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))} ⊆ 𝐷 ↔ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))}𝑤𝐷)
556554, 555sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜒 → {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))} ⊆ 𝐷)
557556, 163sseqtr4d 3783 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒 → {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))} ⊆ dom 𝐹)
558557adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜒𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim 𝑦)) → {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))} ⊆ dom 𝐹)
559155ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜒𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim 𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝜑)
560544adantlr 753 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜒𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim 𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥𝐷)
561546adantlr 753 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜒𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim 𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → -𝑘 ∈ ℤ)
562275fveq2d 6356 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 = -𝑘 → (𝐹‘(𝑥 + (𝑗 · 𝑇))) = (𝐹‘(𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))))
563562eqeq1d 2762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 = -𝑘 → ((𝐹‘(𝑥 + (𝑗 · 𝑇))) = (𝐹𝑥) ↔ (𝐹‘(𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))) = (𝐹𝑥)))
564273, 563imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 = -𝑘 → (((𝜑𝑥𝐷𝑗 ∈ ℤ) → (𝐹‘(𝑥 + (𝑗 · 𝑇))) = (𝐹𝑥)) ↔ ((𝜑𝑥𝐷 ∧ -𝑘 ∈ ℤ) → (𝐹‘(𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))) = (𝐹𝑥))))
565281fveq2d 6356 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑘 = 𝑗 → (𝐹‘(𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) = (𝐹‘(𝑥 + (𝑗 · 𝑇))))
566565eqeq1d 2762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹‘(𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) = (𝐹𝑥) ↔ (𝐹‘(𝑥 + (𝑗 · 𝑇))) = (𝐹𝑥)))
567279, 566imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑𝑥𝐷𝑘 ∈ ℤ) → (𝐹‘(𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) = (𝐹𝑥)) ↔ ((𝜑𝑥𝐷𝑗 ∈ ℤ) → (𝐹‘(𝑥 + (𝑗 · 𝑇))) = (𝐹𝑥))))
568567, 506chvarv 2408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥𝐷𝑗 ∈ ℤ) → (𝐹‘(𝑥 + (𝑗 · 𝑇))) = (𝐹𝑥))
569271, 564, 568vtocl 3399 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥𝐷 ∧ -𝑘 ∈ ℤ) → (𝐹‘(𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))) = (𝐹𝑥))
570559, 560, 561, 569syl3anc 1477 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜒𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim 𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐹‘(𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))) = (𝐹𝑥))
571 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜒𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim 𝑦)) → 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim 𝑦))
572519, 521, 528, 531, 532, 558, 570, 571limcperiod 40363 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜒𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim 𝑦)) → 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))}) lim (𝑦 + (-𝑘 · 𝑇))))
573363oveq2d 6829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜒 → (𝑦 + (-𝑘 · 𝑇)) = (𝑦 + -(𝑘 · 𝑇)))
574307recnd 10260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜒𝑦 ∈ ℂ)
575574, 258negsubd 10590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜒 → (𝑦 + -(𝑘 · 𝑇)) = (𝑦 − (𝑘 · 𝑇)))
576304eqcomd 2766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜒 → (𝑦 − (𝑘 · 𝑇)) = 𝑋)
577573, 575, 5763eqtrd 2798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜒 → (𝑦 + (-𝑘 · 𝑇)) = 𝑋)
578577eqcomd 2766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜒𝑋 = (𝑦 + (-𝑘 · 𝑇)))
579363oveq2d 6829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜒 → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) + (-𝑘 · 𝑇)) = ((𝑄‘(𝑖 + 1)) + -(𝑘 · 𝑇)))
580257, 258negsubd 10590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜒 → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) + -(𝑘 · 𝑇)) = ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))
581579, 580eqtr2d 2795 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜒 → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) = ((𝑄‘(𝑖 + 1)) + (-𝑘 · 𝑇)))
582578, 581oveq12d 6831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜒 → (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) = ((𝑦 + (-𝑘 · 𝑇))(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) + (-𝑘 · 𝑇))))
583184renegcld 10649 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜒 → -𝑘 ∈ ℝ)
584583, 185remulcld 10262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜒 → (-𝑘 · 𝑇) ∈ ℝ)
585307, 182, 584iooshift 40251 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜒 → ((𝑦 + (-𝑘 · 𝑇))(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) + (-𝑘 · 𝑇))) = {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))})
586582, 585eqtr2d 2795 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜒 → {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))} = (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))))
587586adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜒𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim 𝑦)) → {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))} = (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))))
588587reseq2d 5551 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜒𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim 𝑦)) → (𝐹 ↾ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))}) = (𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))))
589577adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜒𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim 𝑦)) → (𝑦 + (-𝑘 · 𝑇)) = 𝑋)
590588, 589oveq12d 6831 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜒𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim 𝑦)) → ((𝐹 ↾ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))}) lim (𝑦 + (-𝑘 · 𝑇))) = ((𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) lim 𝑋))
591572, 590eleqtrd 2841 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜒𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim 𝑦)) → 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) lim 𝑋))
592518, 591impbida 913 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜒 → (𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) lim 𝑋) ↔ 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim 𝑦)))
593592eqrdv 2758 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜒 → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) lim 𝑋) = ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim 𝑦))
594461, 593eqtrd 2794 . . . . . . . . . . . 12 (𝜒 → (((𝐹 ↾ ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷)) ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) lim 𝑋) = ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim 𝑦))
595167, 459, 5943eqtr2d 2800 . . . . . . . . . . 11 (𝜒 → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋) = ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim 𝑦))
596155, 177, 73syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜒 → (𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
597155, 177, 209syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜒 → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
598 fourierdlem48.r . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)))
599155, 177, 598syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜒𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)))
600 eqid 2760 . . . . . . . . . . . . . 14 if(𝑦 = (𝑄𝑖), 𝑅, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑦)) = if(𝑦 = (𝑄𝑖), 𝑅, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑦))
601 eqid 2760 . . . . . . . . . . . . . 14 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
602223, 182, 596, 597, 599, 307, 182, 309, 525, 600, 601fourierdlem32 40859 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜒 → if(𝑦 = (𝑄𝑖), 𝑅, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑦)) ∈ (((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim 𝑦))
603525resabs1d 5586 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜒 → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = (𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
604603oveq1d 6828 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜒 → (((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim 𝑦) = ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim 𝑦))
605602, 604eleqtrd 2841 . . . . . . . . . . . 12 (𝜒 → if(𝑦 = (𝑄𝑖), 𝑅, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑦)) ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim 𝑦))
606 ne0i 4064 . . . . . . . . . . . 12 (if(𝑦 = (𝑄𝑖), 𝑅, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑦)) ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim 𝑦) → ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim 𝑦) ≠ ∅)
607605, 606syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜒 → ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim 𝑦) ≠ ∅)
608595, 607eqnetrd 2999 . . . . . . . . . 10 (𝜒 → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋) ≠ ∅)
609152, 608sylbir 225 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋) ≠ ∅)
610149, 150, 151, 609syl21anc 1476 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋) ≠ ∅)
6116103exp 1113 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋) ≠ ∅)))
612611adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋) ≠ ∅)))
613140, 145, 612rexlim2d 40360 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → (∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋) ≠ ∅))
614137, 613mpd 15 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋) ≠ ∅)
615130, 136, 614vtocl 3399 . . 3 ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (((𝐸𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ ((𝐸𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋) ≠ ∅)
6161, 129, 615syl2anc 696 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) = 𝐵) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋) ≠ ∅)
617 iocssre 12446 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴(,]𝐵) ⊆ ℝ)
61858, 9, 617syl2anc 696 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴(,]𝐵) ⊆ ℝ)
619 ovex 6841 . . . . . . . . . . 11 ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ V
62092fvmpt2 6453 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ V) → (𝑍𝑥) = ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇))
621619, 620mpan2 709 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑍𝑥) = ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇))
622621oveq2d 6829 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 + (𝑍𝑥)) = (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
623622mpteq2ia 4892 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + (𝑍𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
62486, 623eqtri 2782 . . . . . . 7 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
62513, 9, 16, 12, 624fourierdlem4 40831 . . . . . 6 (𝜑𝐸:ℝ⟶(𝐴(,]𝐵))
626625, 10ffvelrnd 6523 . . . . 5 (𝜑 → (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵))
627618, 626sseldd 3745 . . . 4 (𝜑 → (𝐸𝑋) ∈ ℝ)
628627adantr 472 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) → (𝐸𝑋) ∈ ℝ)
629 simpl 474 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) → 𝜑)
630 simpr 479 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ran 𝑄) → (𝐸𝑋) ∈ ran 𝑄)
631 ffn 6206 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ → 𝑄 Fn (0...𝑀))
63240, 631syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑄 Fn (0...𝑀))
633632ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ran 𝑄) → 𝑄 Fn (0...𝑀))
634 fvelrnb 6405 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑄 Fn (0...𝑀) → ((𝐸𝑋) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)))
635633, 634syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ran 𝑄) → ((𝐸𝑋) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)))
636630, 635mpbid 222 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ran 𝑄) → ∃𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑄𝑗) = (𝐸𝑋))
637 1zzd 11600 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → 1 ∈ ℤ)
638 elfzelz 12535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ)
639638ad2antlr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → 𝑗 ∈ ℤ)
640639zred 11674 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → 𝑗 ∈ ℝ)
641 elfzle1 12537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 0 ≤ 𝑗)
642641ad2antlr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → 0 ≤ 𝑗)
643 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑄𝑗) = (𝐸𝑋) → (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋))
644643eqcomd 2766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑄𝑗) = (𝐸𝑋) → (𝐸𝑋) = (𝑄𝑗))
645644ad2antlr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑 ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) ∧ 𝑗 = 0) → (𝐸𝑋) = (𝑄𝑗))
646 fveq2 6352 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑗 = 0 → (𝑄𝑗) = (𝑄‘0))
647646adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑 ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) ∧ 𝑗 = 0) → (𝑄𝑗) = (𝑄‘0))
64837simprld 812 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝜑 → ((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄𝑀) = 𝐵))
649648simpld 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝜑 → (𝑄‘0) = 𝐴)
650649ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑 ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) ∧ 𝑗 = 0) → (𝑄‘0) = 𝐴)
651645, 647, 6503eqtrd 2798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑 ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) ∧ 𝑗 = 0) → (𝐸𝑋) = 𝐴)
652651adantllr 757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) ∧ 𝑗 = 0) → (𝐸𝑋) = 𝐴)
653652adantllr 757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) ∧ 𝑗 = 0) → (𝐸𝑋) = 𝐴)
65413adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
65558adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
6569rexrd 10281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
657656adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
658 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵))
659 iocgtlb 40227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐴 < (𝐸𝑋))
660655, 657, 658, 659syl3anc 1477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐴 < (𝐸𝑋))
661654, 660gtned 10364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝐸𝑋) ≠ 𝐴)
662661neneqd 2937 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → ¬ (𝐸𝑋) = 𝐴)
663662ad3antrrr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) ∧ 𝑗 = 0) → ¬ (𝐸𝑋) = 𝐴)
664653, 663pm2.65da 601 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → ¬ 𝑗 = 0)
665664neqned 2939 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → 𝑗 ≠ 0)
666640, 642, 665ne0gt0d 10366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → 0 < 𝑗)
667 0zd 11581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → 0 ∈ ℤ)
668 zltp1le 11619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (0 < 𝑗 ↔ (0 + 1) ≤ 𝑗))
669667, 639, 668syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (0 < 𝑗 ↔ (0 + 1) ≤ 𝑗))
670666, 669mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (0 + 1) ≤ 𝑗)
67177, 670syl5eqbr 4839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → 1 ≤ 𝑗)
672 eluz2 11885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 ∈ (ℤ‘1) ↔ (1 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑗))
673637, 639, 671, 672syl3anbrc 1429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → 𝑗 ∈ (ℤ‘1))
674 nnuz 11916 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ℕ = (ℤ‘1)
675673, 674syl6eleqr 2850 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → 𝑗 ∈ ℕ)
676 nnm1nn0 11526 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 ∈ ℕ → (𝑗 − 1) ∈ ℕ0)
677675, 676syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝑗 − 1) ∈ ℕ0)
678677, 42syl6eleq 2849 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝑗 − 1) ∈ (ℤ‘0))
6794ad3antrrr 768 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → 𝑀 ∈ ℤ)
680 peano2zm 11612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 ∈ ℤ → (𝑗 − 1) ∈ ℤ)
681638, 680syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → (𝑗 − 1) ∈ ℤ)
682681zred 11674 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → (𝑗 − 1) ∈ ℝ)
683638zred 11674 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑗 ∈ ℝ)
684 elfzel2 12533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
685684zred 11674 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
686683ltm1d 11148 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → (𝑗 − 1) < 𝑗)
687 elfzle2 12538 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑗𝑀)
688682, 683, 685, 686, 687ltletrd 10389 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → (𝑗 − 1) < 𝑀)
689688ad2antlr 765 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝑗 − 1) < 𝑀)
690 elfzo2 12667 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑗 − 1) ∈ (0..^𝑀) ↔ ((𝑗 − 1) ∈ (ℤ‘0) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑗 − 1) < 𝑀))
691678, 679, 689, 690syl3anbrc 1429 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝑗 − 1) ∈ (0..^𝑀))
69240ad3antrrr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
693639, 680syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝑗 − 1) ∈ ℤ)
694667, 679, 6933jca 1123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (0 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑗 − 1) ∈ ℤ))
695677nn0ge0d 11546 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → 0 ≤ (𝑗 − 1))
696682, 685, 688ltled 10377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → (𝑗 − 1) ≤ 𝑀)
697696ad2antlr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝑗 − 1) ≤ 𝑀)
698694, 695, 697jca32 559 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑗 − 1) ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ (𝑗 − 1) ∧ (𝑗 − 1) ≤ 𝑀)))
699 elfz2 12526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑗 − 1) ∈ (0...𝑀) ↔ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑗 − 1) ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ (𝑗 − 1) ∧ (𝑗 − 1) ≤ 𝑀)))
700698, 699sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝑗 − 1) ∈ (0...𝑀))
701692, 700ffvelrnd 6523 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝑄‘(𝑗 − 1)) ∈ ℝ)
702701rexrd 10281 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝑄‘(𝑗 − 1)) ∈ ℝ*)
70340ffvelrnda 6522 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝑄𝑗) ∈ ℝ)
704703rexrd 10281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝑄𝑗) ∈ ℝ*)
705704adantlr 753 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝑄𝑗) ∈ ℝ*)
706705adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝑄𝑗) ∈ ℝ*)
707618sselda 3744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝐸𝑋) ∈ ℝ)
708707rexrd 10281 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝐸𝑋) ∈ ℝ*)
709708ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝐸𝑋) ∈ ℝ*)
710 simplll 815 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → 𝜑)
711 ovex 6841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 − 1) ∈ V
712 eleq1 2827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑖 = (𝑗 − 1) → (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↔ (𝑗 − 1) ∈ (0..^𝑀)))
713712anbi2d 742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑖 = (𝑗 − 1) → ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ↔ (𝜑 ∧ (𝑗 − 1) ∈ (0..^𝑀))))
714 fveq2 6352 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑖 = (𝑗 − 1) → (𝑄𝑖) = (𝑄‘(𝑗 − 1)))
715 oveq1 6820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑖 = (𝑗 − 1) → (𝑖 + 1) = ((𝑗 − 1) + 1))
716715fveq2d 6356 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑖 = (𝑗 − 1) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) = (𝑄‘((𝑗 − 1) + 1)))
717714, 716breq12d 4817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑖 = (𝑗 − 1) → ((𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)) ↔ (𝑄‘(𝑗 − 1)) < (𝑄‘((𝑗 − 1) + 1))))
718713, 717imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑖 = (𝑗 − 1) → (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑗 − 1) ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑗 − 1)) < (𝑄‘((𝑗 − 1) + 1)))))
719711, 718, 73vtocl 3399 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑗 − 1) ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑗 − 1)) < (𝑄‘((𝑗 − 1) + 1)))
720710, 691, 719syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝑄‘(𝑗 − 1)) < (𝑄‘((𝑗 − 1) + 1)))
721638zcnd 11675 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑗 ∈ ℂ)
722 1cnd 10248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 1 ∈ ℂ)
723721, 722npcand 10588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → ((𝑗 − 1) + 1) = 𝑗)
724723eqcomd 2766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑗 = ((𝑗 − 1) + 1))
725724fveq2d 6356 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → (𝑄𝑗) = (𝑄‘((𝑗 − 1) + 1)))
726725eqcomd 2766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → (𝑄‘((𝑗 − 1) + 1)) = (𝑄𝑗))
727726ad2antlr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝑄‘((𝑗 − 1) + 1)) = (𝑄𝑗))
728720, 727breqtrd 4830 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝑄‘(𝑗 − 1)) < (𝑄𝑗))
729 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋))
730728, 729breqtrd 4830 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝑄‘(𝑗 − 1)) < (𝐸𝑋))
731627leidd 10786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝐸𝑋) ≤ (𝐸𝑋))
732731ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝐸𝑋) ≤ (𝐸𝑋))
733644adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝐸𝑋) = (𝑄𝑗))
734732, 733breqtrd 4830 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝐸𝑋) ≤ (𝑄𝑗))
735734adantllr 757 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝐸𝑋) ≤ (𝑄𝑗))
736702, 706, 709, 730, 735eliocd 40233 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄‘(𝑗 − 1))(,](𝑄𝑗)))
737725oveq2d 6829 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → ((𝑄‘(𝑗 − 1))(,](𝑄𝑗)) = ((𝑄‘(𝑗 − 1))(,](𝑄‘((𝑗 − 1) + 1))))
738737ad2antlr 765 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → ((𝑄‘(𝑗 − 1))(,](𝑄𝑗)) = ((𝑄‘(𝑗 − 1))(,](𝑄‘((𝑗 − 1) + 1))))
739736, 738eleqtrd 2841 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄‘(𝑗 − 1))(,](𝑄‘((𝑗 − 1) + 1))))
740714, 716oveq12d 6831 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 = (𝑗 − 1) → ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))) = ((𝑄‘(𝑗 − 1))(,](𝑄‘((𝑗 − 1) + 1))))
741740eleq2d 2825 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 = (𝑗 − 1) → ((𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↔ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄‘(𝑗 − 1))(,](𝑄‘((𝑗 − 1) + 1)))))
742741rspcev 3449 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑗 − 1) ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄‘(𝑗 − 1))(,](𝑄‘((𝑗 − 1) + 1)))) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
743691, 739, 742syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
744743ex 449 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ((𝑄𝑗) = (𝐸𝑋) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))))
745744adantlr 753 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ran 𝑄) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ((𝑄𝑗) = (𝐸𝑋) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))))
746745rexlimdva 3169 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ran 𝑄) → (∃𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑄𝑗) = (𝐸𝑋) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))))
747636, 746mpd 15 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ran 𝑄) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
7483ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ ¬ (𝐸𝑋) ∈ ran 𝑄) → 𝑀 ∈ ℕ)
74940ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ ¬ (𝐸𝑋) ∈ ran 𝑄) → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
750 iocssicc 12454 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴(,]𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
751649eqcomd 2766 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐴 = (𝑄‘0))
752648simprd 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑄𝑀) = 𝐵)
753752eqcomd 2766 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐵 = (𝑄𝑀))
754751, 753oveq12d 6831 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) = ((𝑄‘0)[,](𝑄𝑀)))
755750, 754syl5sseq 3794 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐴(,]𝐵) ⊆ ((𝑄‘0)[,](𝑄𝑀)))
756755sselda 3744 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄‘0)[,](𝑄𝑀)))
757756adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ ¬ (𝐸𝑋) ∈ ran 𝑄) → (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄‘0)[,](𝑄𝑀)))
758 simpr 479 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ ¬ (𝐸𝑋) ∈ ran 𝑄) → ¬ (𝐸𝑋) ∈ ran 𝑄)
759 fveq2 6352 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = 𝑗 → (𝑄𝑘) = (𝑄𝑗))
760759breq1d 4814 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑗 → ((𝑄𝑘) < (𝐸𝑋) ↔ (𝑄𝑗) < (𝐸𝑋)))
761760cbvrabv 3339 . . . . . . . . . . . . 13 {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) < (𝐸𝑋)} = {𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑗) < (𝐸𝑋)}
762761supeq1i 8518 . . . . . . . . . . . 12 sup({𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) < (𝐸𝑋)}, ℝ, < ) = sup({𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑗) < (𝐸𝑋)}, ℝ, < )
763748, 749, 757, 758, 762fourierdlem25 40852 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ ¬ (𝐸𝑋) ∈ ran 𝑄) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
764 ioossioc 40216 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))
765764sseli 3740 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
766765a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ ¬ (𝐸𝑋) ∈ ran 𝑄) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))))
767766reximdva 3155 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ ¬ (𝐸𝑋) ∈ ran 𝑄) → (∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))))
768763, 767mpd 15 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ ¬ (𝐸𝑋) ∈ ran 𝑄) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
769747, 768pm2.61dan 867 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
770626, 769mpdan 705 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
771 fveq2 6352 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 𝑗 → (𝑄𝑖) = (𝑄𝑗))
772 oveq1 6820 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝑗 → (𝑖 + 1) = (𝑗 + 1))
773772fveq2d 6356 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 𝑗 → (𝑄‘(𝑖 + 1)) = (𝑄‘(𝑗 + 1)))
774771, 773oveq12d 6831 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑗 → ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))) = ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1))))
775774eleq2d 2825 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑗 → ((𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↔ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))))
776775cbvrexv 3311 . . . . . . . 8 (∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↔ ∃𝑗 ∈ (0..^𝑀)(𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1))))
777770, 776sylib 208 . . . . . . 7 (𝜑 → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑀)(𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1))))
778777adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑀)(𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1))))
779 elfzonn0 12707 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ (0..^𝑀) → 𝑗 ∈ ℕ0)
780 1nn0 11500 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℕ0
781780a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ (0..^𝑀) → 1 ∈ ℕ0)
782779, 781nn0addcld 11547 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (0..^𝑀) → (𝑗 + 1) ∈ ℕ0)
783782, 42syl6eleq 2849 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ (0..^𝑀) → (𝑗 + 1) ∈ (ℤ‘0))
784783adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑗 + 1) ∈ (ℤ‘0))
7857843ad2antl2 1202 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑗 + 1) ∈ (ℤ‘0))
7864ad2antrr 764 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → 𝑀 ∈ ℤ)
7877863ad2antl1 1201 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → 𝑀 ∈ ℤ)
788779nn0red 11544 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ (0..^𝑀) → 𝑗 ∈ ℝ)
789788adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → 𝑗 ∈ ℝ)
7907893ad2antl2 1202 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → 𝑗 ∈ ℝ)
791 1red 10247 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → 1 ∈ ℝ)
792790, 791readdcld 10261 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑗 + 1) ∈ ℝ)
793787zred 11674 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → 𝑀 ∈ ℝ)
794 elfzop1le2 40001 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (0..^𝑀) → (𝑗 + 1) ≤ 𝑀)
795794adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑗 + 1) ≤ 𝑀)
7967953ad2antl2 1202 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑗 + 1) ≤ 𝑀)
797 simplr 809 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) ∧ 𝑀 = (𝑗 + 1)) → (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1)))
798 fveq2 6352 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 = (𝑗 + 1) → (𝑄𝑀) = (𝑄‘(𝑗 + 1)))
799798eqcomd 2766 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 = (𝑗 + 1) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) = (𝑄𝑀))
800799adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) ∧ 𝑀 = (𝑗 + 1)) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) = (𝑄𝑀))
801752ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) ∧ 𝑀 = (𝑗 + 1)) → (𝑄𝑀) = 𝐵)
802797, 800, 8013eqtrd 2798 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) ∧ 𝑀 = (𝑗 + 1)) → (𝐸𝑋) = 𝐵)
803802adantllr 757 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) ∧ 𝑀 = (𝑗 + 1)) → (𝐸𝑋) = 𝐵)
804 simpllr 817 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) ∧ 𝑀 = (𝑗 + 1)) → (𝐸𝑋) ≠ 𝐵)
805804neneqd 2937 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) ∧ 𝑀 = (𝑗 + 1)) → ¬ (𝐸𝑋) = 𝐵)
806803, 805pm2.65da 601 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → ¬ 𝑀 = (𝑗 + 1))
807806neqned 2939 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → 𝑀 ≠ (𝑗 + 1))
8088073ad2antl1 1201 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → 𝑀 ≠ (𝑗 + 1))
809792, 793, 796, 808leneltd 10383 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑗 + 1) < 𝑀)
810 elfzo2 12667 . . . . . . . . . 10 ((𝑗 + 1) ∈ (0..^𝑀) ↔ ((𝑗 + 1) ∈ (ℤ‘0) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑗 + 1) < 𝑀))
811785, 787, 809, 810syl3anbrc 1429 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑗 + 1) ∈ (0..^𝑀))
81240adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
813 fzofzp1 12759 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ (0..^𝑀) → (𝑗 + 1) ∈ (0...𝑀))
814813adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑗 + 1) ∈ (0...𝑀))
815812, 814ffvelrnd 6523 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ)
816815rexrd 10281 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ*)
817816adantlr 753 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ*)
8188173adant3 1127 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ*)
819818adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ*)
820 simpl1l 1279 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → 𝜑)
821820, 40syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
822 fzofzp1 12759 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑗 + 1) ∈ (0..^𝑀) → ((𝑗 + 1) + 1) ∈ (0...𝑀))
823811, 822syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → ((𝑗 + 1) + 1) ∈ (0...𝑀))
824821, 823ffvelrnd 6523 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄‘((𝑗 + 1) + 1)) ∈ ℝ)
825824rexrd 10281 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄‘((𝑗 + 1) + 1)) ∈ ℝ*)
826627rexrd 10281 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐸𝑋) ∈ ℝ*)
827826ad2antrr 764 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝐸𝑋) ∈ ℝ*)
8288273ad2antl1 1201 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝐸𝑋) ∈ ℝ*)
829815leidd 10786 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ≤ (𝑄‘(𝑗 + 1)))
830829adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ≤ (𝑄‘(𝑗 + 1)))
831 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1)) → (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1)))
832831eqcomd 2766 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1)) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) = (𝐸𝑋))
833832adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) = (𝐸𝑋))
834830, 833breqtrd 4830 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ≤ (𝐸𝑋))
835834adantllr 757 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ≤ (𝐸𝑋))
8368353adantl3 1174 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ≤ (𝐸𝑋))
837 simpr 479 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1)))
838 simpr 479 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑗 + 1) ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1)))
839 ovex 6841 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 + 1) ∈ V
840 eleq1 2827 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 = (𝑗 + 1) → (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↔ (𝑗 + 1) ∈ (0..^𝑀)))
841840anbi2d 742 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = (𝑗 + 1) → ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ↔ (𝜑 ∧ (𝑗 + 1) ∈ (0..^𝑀))))
842 fveq2 6352 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 = (𝑗 + 1) → (𝑄𝑖) = (𝑄‘(𝑗 + 1)))
843 oveq1 6820 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 = (𝑗 + 1) → (𝑖 + 1) = ((𝑗 + 1) + 1))
844843fveq2d 6356 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 = (𝑗 + 1) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) = (𝑄‘((𝑗 + 1) + 1)))
845842, 844breq12d 4817 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = (𝑗 + 1) → ((𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)) ↔ (𝑄‘(𝑗 + 1)) < (𝑄‘((𝑗 + 1) + 1))))
846841, 845imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = (𝑗 + 1) → (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑗 + 1) ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) < (𝑄‘((𝑗 + 1) + 1)))))
847839, 846, 73vtocl 3399 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑗 + 1) ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) < (𝑄‘((𝑗 + 1) + 1)))
848847adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑗 + 1) ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) < (𝑄‘((𝑗 + 1) + 1)))
849838, 848eqbrtrd 4826 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑗 + 1) ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝐸𝑋) < (𝑄‘((𝑗 + 1) + 1)))
850820, 811, 837, 849syl21anc 1476 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝐸𝑋) < (𝑄‘((𝑗 + 1) + 1)))
851819, 825, 828, 836, 850elicod 12417 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄‘(𝑗 + 1))[,)(𝑄‘((𝑗 + 1) + 1))))
852842, 844oveq12d 6831 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = (𝑗 + 1) → ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) = ((𝑄‘(𝑗 + 1))[,)(𝑄‘((𝑗 + 1) + 1))))
853852eleq2d 2825 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = (𝑗 + 1) → ((𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↔ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄‘(𝑗 + 1))[,)(𝑄‘((𝑗 + 1) + 1)))))
854853rspcev 3449 . . . . . . . . 9 (((𝑗 + 1) ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄‘(𝑗 + 1))[,)(𝑄‘((𝑗 + 1) + 1)))) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
855811, 851, 854syl2anc 696 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
856 simpl2 1230 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ ¬ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → 𝑗 ∈ (0..^𝑀))
857 id 22 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) → (𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))))
8588573adant1r 1188 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) → (𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))))
859 elfzofz 12679 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ (0..^𝑀) → 𝑗 ∈ (0...𝑀))
860859adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑗 ∈ (0...𝑀))
861812, 860ffvelrnd 6523 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑗) ∈ ℝ)
862861rexrd 10281 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑗) ∈ ℝ*)
863862adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ¬ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄𝑗) ∈ ℝ*)
8648633adantl3 1174 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ ¬ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄𝑗) ∈ ℝ*)
865816adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ¬ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ*)
8668653adantl3 1174 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ ¬ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ*)
867826adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝐸𝑋) ∈ ℝ*)
8688673ad2antl1 1201 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ ¬ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝐸𝑋) ∈ ℝ*)
8698613adant3 1127 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) → (𝑄𝑗) ∈ ℝ)
8706273ad2ant1 1128 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) → (𝐸𝑋) ∈ ℝ)
8718623adant3 1127 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) → (𝑄𝑗) ∈ ℝ*)
8728163adant3 1127 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ*)
873 simp3 1133 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) → (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1))))
874 iocgtlb 40227 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑄𝑗) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ* ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) → (𝑄𝑗) < (𝐸𝑋))
875871, 872, 873, 874syl3anc 1477 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) → (𝑄𝑗) < (𝐸𝑋))
876869, 870, 875ltled 10377 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) → (𝑄𝑗) ≤ (𝐸𝑋))
877876adantr 472 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ ¬ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄𝑗) ≤ (𝐸𝑋))
878870adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ ¬ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝐸𝑋) ∈ ℝ)
879815adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ¬ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ)
8808793adantl3 1174 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ ¬ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ)
881 iocleub 40228 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑄𝑗) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ* ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) → (𝐸𝑋) ≤ (𝑄‘(𝑗 + 1)))
882871, 872, 873, 881syl3anc 1477 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) → (𝐸𝑋) ≤ (𝑄‘(𝑗 + 1)))
883882adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ ¬ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝐸𝑋) ≤ (𝑄‘(𝑗 + 1)))
884 neqne 2940 . . . . . . . . . . . . . 14 (¬ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1)) → (𝐸𝑋) ≠ (𝑄‘(𝑗 + 1)))
885884necomd 2987 . . . . . . . . . . . . 13 (¬ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1)) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ≠ (𝐸𝑋))
886885adantl 473 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ ¬ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ≠ (𝐸𝑋))
887878, 880, 883, 886leneltd 10383 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ ¬ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝐸𝑋) < (𝑄‘(𝑗 + 1)))
888864, 866, 868, 877, 887elicod 12417 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ ¬ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)[,)(𝑄‘(𝑗 + 1))))
889858, 888sylan 489 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ ¬ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)[,)(𝑄‘(𝑗 + 1))))
890771, 773oveq12d 6831 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 𝑗 → ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) = ((𝑄𝑗)[,)(𝑄‘(𝑗 + 1))))
891890eleq2d 2825 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑗 → ((𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↔ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)[,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))))
892891rspcev 3449 . . . . . . . . 9 ((𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)[,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
893856, 889, 892syl2anc 696 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ ¬ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
894855, 893pm2.61dan 867 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
895894rexlimdv3a 3171 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) → (∃𝑗 ∈ (0..^𝑀)(𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1))) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
896778, 895mpd 15 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
897 simpr 479 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
898 oveq1 6820 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = (⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) → (𝑘 · 𝑇) = ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))
899898oveq2d 6829 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = (⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) → (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑋 + ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)))
900899eqeq2d 2770 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = (⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) → ((𝐸𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)) ↔ (𝐸𝑋) = (𝑋 + ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))))
901900rspcev 3449 . . . . . . . . . 10 (((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ ∧ (𝐸𝑋) = (𝑋 + ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))) → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝐸𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))
90299, 107, 901syl2anc 696 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝐸𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))
903902ad2antrr 764 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝐸𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))
904 r19.42v 3230 . . . . . . . 8 (∃𝑘 ∈ ℤ ((𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) ↔ ((𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝐸𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))))
905897, 903, 904sylanbrc 701 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))))
906905ex 449 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) → ((𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))))
907906reximdv 3154 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) → (∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ ((𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))))
908896, 907mpd 15 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ ((𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))))
909629, 908jca 555 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) → (𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ ((𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))))
910 eleq1 2827 . . . . . . . 8 (𝑦 = (𝐸𝑋) → (𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↔ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
911 eqeq1 2764 . . . . . . . 8 (𝑦 = (𝐸𝑋) → (𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)) ↔ (𝐸𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))))
912910, 911anbi12d 749 . . . . . . 7 (𝑦 = (𝐸𝑋) → ((𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) ↔ ((𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))))
9139122rexbidv 3195 . . . . . 6 (𝑦 = (𝐸𝑋) → (∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) ↔ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ ((𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))))
914913anbi2d 742 . . . . 5 (𝑦 = (𝐸𝑋) → ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) ↔ (𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ ((𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))))))
915914imbi1d 330 . . . 4 (𝑦 = (𝐸𝑋) → (((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋) ≠ ∅) ↔ ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ ((𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋) ≠ ∅)))
916915, 614vtoclg 3406 . . 3 ((𝐸𝑋) ∈ ℝ → ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ ((𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋) ≠ ∅))
917628, 909, 916sylc 65 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋) ≠ ∅)
918616, 917pm2.61dane 3019 1 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋) ≠ ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  wral 3050  wrex 3051  {crab 3054  Vcvv 3340  cun 3713  cin 3714  wss 3715  c0 4058  ifcif 4230  {csn 4321   class class class wbr 4804  cmpt 4881  dom cdm 5266  ran crn 5267  cres 5268  Rel wrel 5271   Fn wfn 6044  wf 6045  cfv 6049  (class class class)co 6813  𝑚 cmap 8023  supcsup 8511  cc 10126  cr 10127  0cc0 10128  1c1 10129   + caddc 10131   · cmul 10133  +∞cpnf 10263  -∞cmnf 10264  *cxr 10265   < clt 10266  cle 10267  cmin 10458  -cneg 10459   / cdiv 10876  cn 11212  0cn0 11484  cz 11569  cuz 11879  (,)cioo 12368  (,]cioc 12369  [,)cico 12370  [,]cicc 12371  ...cfz 12519  ..^cfzo 12659  cfl 12785  t crest 16283  TopOpenctopn 16284  topGenctg 16300  fldccnfld 19948  Topctop 20900  intcnt 21023  cnccncf 22880   lim climc 23825
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-pm 8026  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-fi 8482  df-sup 8513  df-inf 8514  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-6 11275  df-7 11276  df-8 11277  df-9 11278  df-n0 11485  df-z 11570  df-dec 11686  df-uz 11880  df-q 11982  df-rp 12026  df-xneg 12139  df-xadd 12140  df-xmul 12141  df-ioo 12372  df-ioc 12373  df-ico 12374  df-icc 12375  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-fl 12787  df-seq 12996  df-exp 13055  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-struct 16061  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-plusg 16156  df-mulr 16157  df-starv 16158  df-tset 16162  df-ple 16163  df-ds 16166  df-unif 16167  df-rest 16285  df-topn 16286  df-topgen 16306  df-psmet 19940  df-xmet 19941  df-met 19942  df-bl 19943  df-mopn 19944  df-cnfld 19949  df-top 20901  df-topon 20918  df-topsp 20939  df-bases 20952  df-ntr 21026  df-cn 21233  df-cnp 21234  df-xms 22326  df-ms 22327  df-cncf 22882  df-limc 23829
This theorem is referenced by:  fourierdlem94  40920  fourierdlem113  40939
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