Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem48 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem48 42316
Description: The given periodic function 𝐹 has a right limit at every point in the reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem48.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem48.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
fourierdlem48.altb (𝜑𝐴 < 𝐵)
fourierdlem48.p 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐴 ∧ (𝑝𝑚) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
fourierdlem48.t 𝑇 = (𝐵𝐴)
fourierdlem48.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
fourierdlem48.q (𝜑𝑄 ∈ (𝑃𝑀))
fourierdlem48.f (𝜑𝐹:𝐷⟶ℝ)
fourierdlem48.dper ((𝜑𝑥𝐷𝑘 ∈ ℤ) → (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷)
fourierdlem48.per ((𝜑𝑥𝐷𝑘 ∈ ℤ) → (𝐹‘(𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) = (𝐹𝑥))
fourierdlem48.cn ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
fourierdlem48.r ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)))
fourierdlem48.x (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem48.z 𝑍 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇))
fourierdlem48.e 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + (𝑍𝑥)))
fourierdlem48.ch (𝜒 ↔ ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem48 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋) ≠ ∅)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑖,𝑥   𝐴,𝑚,𝑝,𝑖   𝐵,𝑖,𝑘,𝑥   𝐵,𝑚,𝑝   𝐷,𝑘,𝑥   𝑖,𝐸,𝑘,𝑦   𝑖,𝐹,𝑘,𝑥,𝑦   𝑖,𝑀,𝑘   𝑚,𝑀,𝑝   𝑦,𝑀   𝑄,𝑖,𝑘,𝑥   𝑄,𝑝   𝑦,𝑄   𝑇,𝑖,𝑘,𝑥,𝑦   𝑖,𝑋,𝑘,𝑥,𝑦   𝑥,𝑍   𝜒,𝑥   𝜑,𝑖,𝑘,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚,𝑝)   𝜒(𝑦,𝑖,𝑘,𝑚,𝑝)   𝐴(𝑦,𝑘)   𝐵(𝑦)   𝐷(𝑦,𝑖,𝑚,𝑝)   𝑃(𝑥,𝑦,𝑖,𝑘,𝑚,𝑝)   𝑄(𝑚)   𝑅(𝑥,𝑦,𝑖,𝑘,𝑚,𝑝)   𝑇(𝑚,𝑝)   𝐸(𝑥,𝑚,𝑝)   𝐹(𝑚,𝑝)   𝑀(𝑥)   𝑋(𝑚,𝑝)   𝑍(𝑦,𝑖,𝑘,𝑚,𝑝)

Proof of Theorem fourierdlem48
Dummy variables 𝑗 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 483 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) = 𝐵) → 𝜑)
2 0zd 11981 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
3 fourierdlem48.m . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
43nnzd 12074 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
53nngt0d 11674 . . . . . 6 (𝜑 → 0 < 𝑀)
6 fzolb 13032 . . . . . 6 (0 ∈ (0..^𝑀) ↔ (0 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑀))
72, 4, 5, 6syl3anbrc 1335 . . . . 5 (𝜑 → 0 ∈ (0..^𝑀))
87adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) = 𝐵) → 0 ∈ (0..^𝑀))
9 fourierdlem48.b . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
10 fourierdlem48.x . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
119, 10resubcld 11056 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵𝑋) ∈ ℝ)
12 fourierdlem48.t . . . . . . . . . 10 𝑇 = (𝐵𝐴)
13 fourierdlem48.a . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
149, 13resubcld 11056 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ ℝ)
1512, 14eqeltrid 2914 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
16 fourierdlem48.altb . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 < 𝐵)
1713, 9posdifd 11215 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵𝐴)))
1816, 17mpbid 233 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 < (𝐵𝐴))
1918, 12breqtrrdi 5099 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 < 𝑇)
2019gt0ne0d 11192 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑇 ≠ 0)
2111, 15, 20redivcld 11456 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐵𝑋) / 𝑇) ∈ ℝ)
2221adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) = 𝐵) → ((𝐵𝑋) / 𝑇) ∈ ℝ)
2322flcld 13156 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) = 𝐵) → (⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ)
24 1zzd 12001 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) = 𝐵) → 1 ∈ ℤ)
2523, 24zsubcld 12080 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) = 𝐵) → ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) − 1) ∈ ℤ)
26 id 22 . . . . . . . 8 ((𝐸𝑋) = 𝐵 → (𝐸𝑋) = 𝐵)
2712a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝐸𝑋) = 𝐵𝑇 = (𝐵𝐴))
2826, 27oveq12d 7163 . . . . . . 7 ((𝐸𝑋) = 𝐵 → ((𝐸𝑋) − 𝑇) = (𝐵 − (𝐵𝐴)))
299recnd 10657 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3013recnd 10657 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
3129, 30nncand 10990 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵 − (𝐵𝐴)) = 𝐴)
3228, 31sylan9eqr 2875 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) = 𝐵) → ((𝐸𝑋) − 𝑇) = 𝐴)
33 fourierdlem48.q . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑄 ∈ (𝑃𝑀))
34 fourierdlem48.p . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐴 ∧ (𝑝𝑚) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
3534fourierdlem2 42271 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑄 ∈ (𝑃𝑀) ↔ (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄𝑀) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))))))
363, 35syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑄 ∈ (𝑃𝑀) ↔ (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄𝑀) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))))))
3733, 36mpbid 233 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄𝑀) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))))
3837simpld 495 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)))
39 elmapi 8417 . . . . . . . . . . . 12 (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
4038, 39syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
413nnnn0d 11943 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
42 nn0uz 12268 . . . . . . . . . . . . 13 0 = (ℤ‘0)
4341, 42eleqtrdi 2920 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘0))
44 eluzfz1 12902 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ (ℤ‘0) → 0 ∈ (0...𝑀))
4543, 44syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 ∈ (0...𝑀))
4640, 45ffvelrnd 6844 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑄‘0) ∈ ℝ)
4746rexrd 10679 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑄‘0) ∈ ℝ*)
48 1zzd 12001 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
492, 4, 483jca 1120 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (0 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ))
50 0le1 11151 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ≤ 1
5150a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 ≤ 1)
523nnge1d 11673 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 1 ≤ 𝑀)
5349, 51, 52jca32 516 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 1 ∧ 1 ≤ 𝑀)))
54 elfz2 12887 . . . . . . . . . . . 12 (1 ∈ (0...𝑀) ↔ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 1 ∧ 1 ≤ 𝑀)))
5553, 54sylibr 235 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 1 ∈ (0...𝑀))
5640, 55ffvelrnd 6844 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑄‘1) ∈ ℝ)
5756rexrd 10679 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑄‘1) ∈ ℝ*)
5813rexrd 10679 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
5937simprd 496 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄𝑀) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))))
6059simplld 764 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑄‘0) = 𝐴)
6113leidd 11194 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴𝐴)
6260, 61eqbrtrd 5079 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑄‘0) ≤ 𝐴)
6360eqcomd 2824 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 = (𝑄‘0))
64 0re 10631 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ ℝ
65 eleq1 2897 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 = 0 → (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↔ 0 ∈ (0..^𝑀)))
6665anbi2d 628 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = 0 → ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ↔ (𝜑 ∧ 0 ∈ (0..^𝑀))))
67 fveq2 6663 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 = 0 → (𝑄𝑖) = (𝑄‘0))
68 oveq1 7152 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 = 0 → (𝑖 + 1) = (0 + 1))
6968fveq2d 6667 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 = 0 → (𝑄‘(𝑖 + 1)) = (𝑄‘(0 + 1)))
7067, 69breq12d 5070 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = 0 → ((𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)) ↔ (𝑄‘0) < (𝑄‘(0 + 1))))
7166, 70imbi12d 346 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 0 → (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))) ↔ ((𝜑 ∧ 0 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘0) < (𝑄‘(0 + 1)))))
7237simprrd 770 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
7372r19.21bi 3205 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
7471, 73vtoclg 3565 . . . . . . . . . . . . 13 (0 ∈ ℝ → ((𝜑 ∧ 0 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘0) < (𝑄‘(0 + 1))))
7564, 74ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ 0 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘0) < (𝑄‘(0 + 1)))
767, 75mpdan 683 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑄‘0) < (𝑄‘(0 + 1)))
77 1e0p1 12128 . . . . . . . . . . . 12 1 = (0 + 1)
7877fveq2i 6666 . . . . . . . . . . 11 (𝑄‘1) = (𝑄‘(0 + 1))
7976, 78breqtrrdi 5099 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑄‘0) < (𝑄‘1))
8063, 79eqbrtrd 5079 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 < (𝑄‘1))
8147, 57, 58, 62, 80elicod 12775 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ((𝑄‘0)[,)(𝑄‘1)))
8278oveq2i 7156 . . . . . . . 8 ((𝑄‘0)[,)(𝑄‘1)) = ((𝑄‘0)[,)(𝑄‘(0 + 1)))
8381, 82eleqtrdi 2920 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ((𝑄‘0)[,)(𝑄‘(0 + 1))))
8483adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) = 𝐵) → 𝐴 ∈ ((𝑄‘0)[,)(𝑄‘(0 + 1))))
8532, 84eqeltrd 2910 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) = 𝐵) → ((𝐸𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄‘0)[,)(𝑄‘(0 + 1))))
86 fourierdlem48.e . . . . . . . . . . 11 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + (𝑍𝑥)))
8786a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + (𝑍𝑥))))
88 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑋𝑥 = 𝑋)
89 fveq2 6663 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑋 → (𝑍𝑥) = (𝑍𝑋))
9088, 89oveq12d 7163 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 + (𝑍𝑥)) = (𝑋 + (𝑍𝑋)))
9190adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 = 𝑋) → (𝑥 + (𝑍𝑥)) = (𝑋 + (𝑍𝑋)))
92 fourierdlem48.z . . . . . . . . . . . . . 14 𝑍 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇))
9392a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑍 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
94 oveq2 7153 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑋 → (𝐵𝑥) = (𝐵𝑋))
9594oveq1d 7160 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑋 → ((𝐵𝑥) / 𝑇) = ((𝐵𝑋) / 𝑇))
9695fveq2d 6667 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑋 → (⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) = (⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)))
9796oveq1d 7160 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑋 → ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇) = ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))
9897adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 = 𝑋) → ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇) = ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))
9921flcld 13156 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ)
10099zred 12075 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) ∈ ℝ)
101100, 15remulcld 10659 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ ℝ)
10293, 98, 10, 101fvmptd 6767 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑍𝑋) = ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))
103102, 101eqeltrd 2910 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑍𝑋) ∈ ℝ)
10410, 103readdcld 10658 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑋 + (𝑍𝑋)) ∈ ℝ)
10587, 91, 10, 104fvmptd 6767 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐸𝑋) = (𝑋 + (𝑍𝑋)))
106102oveq2d 7161 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑋 + (𝑍𝑋)) = (𝑋 + ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)))
107105, 106eqtrd 2853 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐸𝑋) = (𝑋 + ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)))
108107oveq1d 7160 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐸𝑋) − 𝑇) = ((𝑋 + ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) − 𝑇))
10910recnd 10657 . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
110101recnd 10657 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ ℂ)
11115recnd 10657 . . . . . . . 8 (𝜑𝑇 ∈ ℂ)
112109, 110, 111addsubassd 11005 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑋 + ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) − 𝑇) = (𝑋 + (((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇) − 𝑇)))
11399zcnd 12076 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) ∈ ℂ)
114113, 111mulsubfacd 11089 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇) − 𝑇) = (((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) − 1) · 𝑇))
115114oveq2d 7161 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋 + (((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇) − 𝑇)) = (𝑋 + (((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) − 1) · 𝑇)))
116108, 112, 1153eqtrd 2857 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐸𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) − 1) · 𝑇)))
117116adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) = 𝐵) → ((𝐸𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) − 1) · 𝑇)))
118 oveq1 7152 . . . . . . . . 9 (𝑘 = ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) − 1) → (𝑘 · 𝑇) = (((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) − 1) · 𝑇))
119118oveq2d 7161 . . . . . . . 8 (𝑘 = ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) − 1) → (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑋 + (((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) − 1) · 𝑇)))
120119eqeq2d 2829 . . . . . . 7 (𝑘 = ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) − 1) → (((𝐸𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)) ↔ ((𝐸𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) − 1) · 𝑇))))
121120anbi2d 628 . . . . . 6 (𝑘 = ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) − 1) → ((((𝐸𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄‘0)[,)(𝑄‘(0 + 1))) ∧ ((𝐸𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) ↔ (((𝐸𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄‘0)[,)(𝑄‘(0 + 1))) ∧ ((𝐸𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) − 1) · 𝑇)))))
122121rspcev 3620 . . . . 5 ((((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) − 1) ∈ ℤ ∧ (((𝐸𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄‘0)[,)(𝑄‘(0 + 1))) ∧ ((𝐸𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) − 1) · 𝑇)))) → ∃𝑘 ∈ ℤ (((𝐸𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄‘0)[,)(𝑄‘(0 + 1))) ∧ ((𝐸𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))))
12325, 85, 117, 122syl12anc 832 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) = 𝐵) → ∃𝑘 ∈ ℤ (((𝐸𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄‘0)[,)(𝑄‘(0 + 1))) ∧ ((𝐸𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))))
12467, 69oveq12d 7163 . . . . . . . 8 (𝑖 = 0 → ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) = ((𝑄‘0)[,)(𝑄‘(0 + 1))))
125124eleq2d 2895 . . . . . . 7 (𝑖 = 0 → (((𝐸𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↔ ((𝐸𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄‘0)[,)(𝑄‘(0 + 1)))))
126125anbi1d 629 . . . . . 6 (𝑖 = 0 → ((((𝐸𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ ((𝐸𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) ↔ (((𝐸𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄‘0)[,)(𝑄‘(0 + 1))) ∧ ((𝐸𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))))
127126rexbidv 3294 . . . . 5 (𝑖 = 0 → (∃𝑘 ∈ ℤ (((𝐸𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ ((𝐸𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (((𝐸𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄‘0)[,)(𝑄‘(0 + 1))) ∧ ((𝐸𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))))
128127rspcev 3620 . . . 4 ((0 ∈ (0..^𝑀) ∧ ∃𝑘 ∈ ℤ (((𝐸𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄‘0)[,)(𝑄‘(0 + 1))) ∧ ((𝐸𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (((𝐸𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ ((𝐸𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))))
1298, 123, 128syl2anc 584 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) = 𝐵) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (((𝐸𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ ((𝐸𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))))
130 ovex 7178 . . . 4 ((𝐸𝑋) − 𝑇) ∈ V
131 eleq1 2897 . . . . . . . 8 (𝑦 = ((𝐸𝑋) − 𝑇) → (𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↔ ((𝐸𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
132 eqeq1 2822 . . . . . . . 8 (𝑦 = ((𝐸𝑋) − 𝑇) → (𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)) ↔ ((𝐸𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))))
133131, 132anbi12d 630 . . . . . . 7 (𝑦 = ((𝐸𝑋) − 𝑇) → ((𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) ↔ (((𝐸𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ ((𝐸𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))))
1341332rexbidv 3297 . . . . . 6 (𝑦 = ((𝐸𝑋) − 𝑇) → (∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) ↔ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (((𝐸𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ ((𝐸𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))))
135134anbi2d 628 . . . . 5 (𝑦 = ((𝐸𝑋) − 𝑇) → ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) ↔ (𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (((𝐸𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ ((𝐸𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))))))
136135imbi1d 343 . . . 4 (𝑦 = ((𝐸𝑋) − 𝑇) → (((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋) ≠ ∅) ↔ ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (((𝐸𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ ((𝐸𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋) ≠ ∅)))
137 simpr 485 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))))
138 nfv 1906 . . . . . . 7 𝑖𝜑
139 nfre1 3303 . . . . . . 7 𝑖𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))
140138, 139nfan 1891 . . . . . 6 𝑖(𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))))
141 nfv 1906 . . . . . . 7 𝑘𝜑
142 nfcv 2974 . . . . . . . 8 𝑘(0..^𝑀)
143 nfre1 3303 . . . . . . . 8 𝑘𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))
144142, 143nfrex 3306 . . . . . . 7 𝑘𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))
145141, 144nfan 1891 . . . . . 6 𝑘(𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))))
146 simp1 1128 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → 𝜑)
147 simp2l 1191 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑖 ∈ (0..^𝑀))
148 simp3l 1193 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
149146, 147, 148jca31 515 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
150 simp2r 1192 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑘 ∈ ℤ)
151 simp3r 1194 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))
152 fourierdlem48.ch . . . . . . . . . 10 (𝜒 ↔ ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))))
153152biimpi 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒 → ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))))
154153simplld 764 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒 → ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
155154simplld 764 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜒𝜑)
156 fourierdlem48.f . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐹:𝐷⟶ℝ)
157 frel 6512 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹:𝐷⟶ℝ → Rel 𝐹)
158155, 156, 1573syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜒 → Rel 𝐹)
159 resindm 5893 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Rel 𝐹 → (𝐹 ↾ ((𝑋(,)+∞) ∩ dom 𝐹)) = (𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)))
160159eqcomd 2824 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Rel 𝐹 → (𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) = (𝐹 ↾ ((𝑋(,)+∞) ∩ dom 𝐹)))
161158, 160syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜒 → (𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) = (𝐹 ↾ ((𝑋(,)+∞) ∩ dom 𝐹)))
162 fdm 6515 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹:𝐷⟶ℝ → dom 𝐹 = 𝐷)
163155, 156, 1623syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜒 → dom 𝐹 = 𝐷)
164163ineq2d 4186 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜒 → ((𝑋(,)+∞) ∩ dom 𝐹) = ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷))
165164reseq2d 5846 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜒 → (𝐹 ↾ ((𝑋(,)+∞) ∩ dom 𝐹)) = (𝐹 ↾ ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷)))
166161, 165eqtrd 2853 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜒 → (𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) = (𝐹 ↾ ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷)))
167166oveq1d 7160 . . . . . . . . . . . 12 (𝜒 → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋) = ((𝐹 ↾ ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷)) lim 𝑋))
168155, 156syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜒𝐹:𝐷⟶ℝ)
169 ax-resscn 10582 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ℝ ⊆ ℂ
170169a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜒 → ℝ ⊆ ℂ)
171168, 170fssd 6521 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜒𝐹:𝐷⟶ℂ)
172 inss2 4203 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ⊆ 𝐷
173172a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜒 → ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ⊆ 𝐷)
174171, 173fssresd 6538 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜒 → (𝐹 ↾ ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷)):((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷)⟶ℂ)
175 pnfxr 10683 . . . . . . . . . . . . . . . 16 +∞ ∈ ℝ*
176175a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜒 → +∞ ∈ ℝ*)
177154simplrd 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜒𝑖 ∈ (0..^𝑀))
17840adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
179 fzofzp1 13122 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
180179adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
181178, 180ffvelrnd 6844 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
182155, 177, 181syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒 → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
183153simplrd 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜒𝑘 ∈ ℤ)
184183zred 12075 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜒𝑘 ∈ ℝ)
185155, 15syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜒𝑇 ∈ ℝ)
186184, 185remulcld 10659 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒 → (𝑘 · 𝑇) ∈ ℝ)
187182, 186resubcld 11056 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒 → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ)
188187rexrd 10679 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜒 → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ*)
189187ltpnfd 12504 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜒 → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) < +∞)
190188, 176, 189xrltled 12531 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜒 → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) ≤ +∞)
191 iooss2 12762 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((+∞ ∈ ℝ* ∧ ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) ≤ +∞) → (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ⊆ (𝑋(,)+∞))
192176, 190, 191syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜒 → (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ⊆ (𝑋(,)+∞))
193183adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑘 ∈ ℤ)
194193zcnd 12076 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑘 ∈ ℂ)
195185recnd 10657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜒𝑇 ∈ ℂ)
196195adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑇 ∈ ℂ)
197194, 196mulneg1d 11081 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (-𝑘 · 𝑇) = -(𝑘 · 𝑇))
198197oveq2d 7161 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (-𝑘 · 𝑇)) = ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + -(𝑘 · 𝑇)))
199 elioore 12756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) → 𝑤 ∈ ℝ)
200199recnd 10657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) → 𝑤 ∈ ℂ)
201200adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑤 ∈ ℂ)
202194, 196mulcld 10649 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑘 · 𝑇) ∈ ℂ)
203201, 202addcld 10648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℂ)
204203, 202negsubd 10991 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + -(𝑘 · 𝑇)) = ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑘 · 𝑇)))
205201, 202pncand 10986 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑘 · 𝑇)) = 𝑤)
206198, 204, 2053eqtrrd 2858 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑤 = ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (-𝑘 · 𝑇)))
207155adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝜑)
208154simpld 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜒 → (𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)))
209 fourierdlem48.cn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
210 cncff 23428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))):((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ)
211 fdm 6515 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))):((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ → dom (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
212209, 210, 2113syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → dom (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
213 ssdmres 5869 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ dom 𝐹 ↔ dom (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
214212, 213sylibr 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ dom 𝐹)
215156, 162syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐷)
216215adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → dom 𝐹 = 𝐷)
217214, 216sseqtrd 4004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ 𝐷)
218208, 217syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜒 → ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ 𝐷)
219218adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ 𝐷)
220 elfzofz 13041 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
221220adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
222178, 221ffvelrnd 6844 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ)
223155, 177, 222syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜒 → (𝑄𝑖) ∈ ℝ)
224223rexrd 10679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜒 → (𝑄𝑖) ∈ ℝ*)
225224adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ*)
226182rexrd 10679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜒 → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*)
227226adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*)
228199adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑤 ∈ ℝ)
229193zred 12075 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑘 ∈ ℝ)
230207, 15syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑇 ∈ ℝ)
231229, 230remulcld 10659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑘 · 𝑇) ∈ ℝ)
232228, 231readdcld 10658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ)
233223adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ)
234155, 10syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜒𝑋 ∈ ℝ)
235234, 186readdcld 10658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜒 → (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ)
236235adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ)
237152simprbi 497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜒𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))
238237eqcomd 2824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜒 → (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)) = 𝑦)
239154simprd 496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜒𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
240238, 239eqeltrd 2910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜒 → (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
241 icogelb 12776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑄𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ* ∧ (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄𝑖) ≤ (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))
242224, 226, 240, 241syl3anc 1363 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜒 → (𝑄𝑖) ≤ (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))
243242adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑄𝑖) ≤ (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))
244207, 10syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑋 ∈ ℝ)
245244rexrd 10679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑋 ∈ ℝ*)
246182adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
247246, 231resubcld 11056 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ)
248247rexrd 10679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ*)
249 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))))
250 ioogtlb 41646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑋 ∈ ℝ* ∧ ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ*𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑋 < 𝑤)
251245, 248, 249, 250syl3anc 1363 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑋 < 𝑤)
252244, 228, 231, 251ltadd1dd 11239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)))
253233, 236, 232, 243, 252lelttrd 10786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑄𝑖) < (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)))
254 iooltub 41662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑋 ∈ ℝ* ∧ ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ*𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑤 < ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))
255245, 248, 249, 254syl3anc 1363 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑤 < ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))
256228, 247, 231, 255ltadd1dd 11239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) < (((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) + (𝑘 · 𝑇)))
257182recnd 10657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜒 → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℂ)
258186recnd 10657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜒 → (𝑘 · 𝑇) ∈ ℂ)
259257, 258npcand 10989 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜒 → (((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑄‘(𝑖 + 1)))
260259adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑄‘(𝑖 + 1)))
261256, 260breqtrd 5083 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
262225, 227, 232, 253, 261eliood 41649 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
263219, 262sseldd 3965 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷)
264193znegcld 12077 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → -𝑘 ∈ ℤ)
265 ovex 7178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ V
266 eleq1 2897 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) → (𝑥𝐷 ↔ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷))
2672663anbi2d 1432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) → ((𝜑𝑥𝐷 ∧ -𝑘 ∈ ℤ) ↔ (𝜑 ∧ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷 ∧ -𝑘 ∈ ℤ)))
268 oveq1 7152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) → (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)) = ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (-𝑘 · 𝑇)))
269268eleq1d 2894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) → ((𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷 ↔ ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (-𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷))
270267, 269imbi12d 346 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) → (((𝜑𝑥𝐷 ∧ -𝑘 ∈ ℤ) → (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷 ∧ -𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (-𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷)))
271 negex 10872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 -𝑘 ∈ V
272 eleq1 2897 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑗 = -𝑘 → (𝑗 ∈ ℤ ↔ -𝑘 ∈ ℤ))
2732723anbi3d 1433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 = -𝑘 → ((𝜑𝑥𝐷𝑗 ∈ ℤ) ↔ (𝜑𝑥𝐷 ∧ -𝑘 ∈ ℤ)))
274 oveq1 7152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑗 = -𝑘 → (𝑗 · 𝑇) = (-𝑘 · 𝑇))
275274oveq2d 7161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑗 = -𝑘 → (𝑥 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)))
276275eleq1d 2894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 = -𝑘 → ((𝑥 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐷 ↔ (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷))
277273, 276imbi12d 346 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 = -𝑘 → (((𝜑𝑥𝐷𝑗 ∈ ℤ) → (𝑥 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐷) ↔ ((𝜑𝑥𝐷 ∧ -𝑘 ∈ ℤ) → (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷)))
278 eleq1 2897 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 ∈ ℤ ↔ 𝑗 ∈ ℤ))
2792783anbi3d 1433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑𝑥𝐷𝑘 ∈ ℤ) ↔ (𝜑𝑥𝐷𝑗 ∈ ℤ)))
280 oveq1 7152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 · 𝑇) = (𝑗 · 𝑇))
281280oveq2d 7161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑘 = 𝑗 → (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑥 + (𝑗 · 𝑇)))
282281eleq1d 2894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑘 = 𝑗 → ((𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷 ↔ (𝑥 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐷))
283279, 282imbi12d 346 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑𝑥𝐷𝑘 ∈ ℤ) → (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷) ↔ ((𝜑𝑥𝐷𝑗 ∈ ℤ) → (𝑥 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐷)))
284 fourierdlem48.dper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑥𝐷𝑘 ∈ ℤ) → (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷)
285283, 284chvarvv 1996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥𝐷𝑗 ∈ ℤ) → (𝑥 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐷)
286271, 277, 285vtocl 3557 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥𝐷 ∧ -𝑘 ∈ ℤ) → (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷)
287265, 270, 286vtocl 3557 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷 ∧ -𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (-𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷)
288207, 263, 264, 287syl3anc 1363 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (-𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷)
289206, 288eqeltrd 2910 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑤𝐷)
290289ralrimiva 3179 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜒 → ∀𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑤𝐷)
291 dfss3 3953 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ⊆ 𝐷 ↔ ∀𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑤𝐷)
292290, 291sylibr 235 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜒 → (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ⊆ 𝐷)
293192, 292ssind 4206 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜒 → (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ⊆ ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷))
294 ioosscn 41645 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋(,)+∞) ⊆ ℂ
295 ssinss1 4211 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋(,)+∞) ⊆ ℂ → ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ⊆ ℂ)
296294, 295mp1i 13 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜒 → ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ⊆ ℂ)
297 eqid 2818 . . . . . . . . . . . . 13 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
298 eqid 2818 . . . . . . . . . . . . 13 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))
299234rexrd 10679 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜒𝑋 ∈ ℝ*)
300234leidd 11194 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜒𝑋𝑋)
301237oveq1d 7160 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒 → (𝑦 − (𝑘 · 𝑇)) = ((𝑋 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑘 · 𝑇)))
302234recnd 10657 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒𝑋 ∈ ℂ)
303302, 258pncand 10986 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒 → ((𝑋 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑘 · 𝑇)) = 𝑋)
304301, 303eqtr2d 2854 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜒𝑋 = (𝑦 − (𝑘 · 𝑇)))
305 icossre 12805 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑄𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*) → ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℝ)
306223, 226, 305syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒 → ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℝ)
307306, 239sseldd 3965 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒𝑦 ∈ ℝ)
308 icoltub 41660 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑄𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑦 < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
309224, 226, 239, 308syl3anc 1363 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒𝑦 < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
310307, 182, 186, 309ltsub1dd 11240 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜒 → (𝑦 − (𝑘 · 𝑇)) < ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))
311304, 310eqbrtrd 5079 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜒𝑋 < ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))
312299, 188, 299, 300, 311elicod 12775 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜒𝑋 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))))
313 snunioo1 41664 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑋 ∈ ℝ* ∧ ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ*𝑋 < ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) → ((𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∪ {𝑋}) = (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))))
314299, 188, 311, 313syl3anc 1363 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜒 → ((𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∪ {𝑋}) = (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))))
315314fveq2d 6667 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜒 → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))‘((𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∪ {𝑋})) = ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))‘(𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))))
316297cnfldtop 23319 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
317 ovex 7178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑋(,)+∞) ∈ V
318317inex1 5212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∈ V
319 snex 5322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 {𝑋} ∈ V
320318, 319unex 7458 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}) ∈ V
321 resttop 21696 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}) ∈ V) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∈ Top)
322316, 320, 321mp2an 688 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∈ Top
323322a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜒 → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∈ Top)
324 retop 23297 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
325324a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒 → (topGen‘ran (,)) ∈ Top)
326320a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒 → (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}) ∈ V)
327 iooretop 23301 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∈ (topGen‘ran (,))
328327a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒 → (-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∈ (topGen‘ran (,)))
329 elrestr 16690 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}) ∈ V ∧ (-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∈ (topGen‘ran (,))) → ((-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∩ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))
330325, 326, 328, 329syl3anc 1363 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒 → ((-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∩ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))
331 mnfxr 10686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 -∞ ∈ ℝ*
332331a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜒𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → -∞ ∈ ℝ*)
333188adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜒𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ*)
334 icossre 12805 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ*) → (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ⊆ ℝ)
335234, 188, 334syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜒 → (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ⊆ ℝ)
336335sselda 3964 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜒𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑥 ∈ ℝ)
337336mnfltd 12507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜒𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → -∞ < 𝑥)
338299adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜒𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑋 ∈ ℝ*)
339 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜒𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))))
340 icoltub 41660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑋 ∈ ℝ* ∧ ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑥 < ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))
341338, 333, 339, 340syl3anc 1363 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜒𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑥 < ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))
342332, 333, 336, 337, 341eliood 41649 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜒𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑥 ∈ (-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))))
343 vsnid 4592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 𝑥 ∈ {𝑥}
344343a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 = 𝑋𝑥 ∈ {𝑥})
345 sneq 4567 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 = 𝑋 → {𝑥} = {𝑋})
346344, 345eleqtrd 2912 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = 𝑋𝑥 ∈ {𝑋})
347 elun2 4150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 ∈ {𝑋} → 𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))
348346, 347syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = 𝑋𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))
349348adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜒𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))
350299ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜒𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑋 ∈ ℝ*)
351175a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜒𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → +∞ ∈ ℝ*)
352336adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜒𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 ∈ ℝ)
353234ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜒𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑋 ∈ ℝ)
354 icogelb 12776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑋 ∈ ℝ* ∧ ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑋𝑥)
355338, 333, 339, 354syl3anc 1363 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜒𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑋𝑥)
356355adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜒𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑋𝑥)
357 neqne 3021 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 𝑥 = 𝑋𝑥𝑋)
358357adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜒𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥𝑋)
359353, 352, 356, 358leneltd 10782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜒𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑋 < 𝑥)
360352ltpnfd 12504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜒𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 < +∞)
361350, 351, 352, 359, 360eliood 41649 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜒𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 ∈ (𝑋(,)+∞))
362183zcnd 12076 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝜒𝑘 ∈ ℂ)
363362, 195mulneg1d 11081 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝜒 → (-𝑘 · 𝑇) = -(𝑘 · 𝑇))
364363oveq2d 7161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝜒 → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (-𝑘 · 𝑇)) = ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + -(𝑘 · 𝑇)))
365364adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (-𝑘 · 𝑇)) = ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + -(𝑘 · 𝑇)))
366 ioosscn 41645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ⊆ ℂ
367366sseli 3960 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) → 𝑤 ∈ ℂ)
368367adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑤 ∈ ℂ)
369258adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑘 · 𝑇) ∈ ℂ)
370368, 369addcld 10648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℂ)
371370, 369negsubd 10991 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + -(𝑘 · 𝑇)) = ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑘 · 𝑇)))
372368, 369pncand 10986 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑘 · 𝑇)) = 𝑤)
373365, 371, 3723eqtrrd 2858 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑤 = ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (-𝑘 · 𝑇)))
374186adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑘 · 𝑇) ∈ ℝ)
375228, 374readdcld 10658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ)
376225, 227, 375, 253, 261eliood 41649 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
377219, 376sseldd 3965 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷)
3782723anbi3d 1433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑗 = -𝑘 → ((𝜑 ∧ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷𝑗 ∈ ℤ) ↔ (𝜑 ∧ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷 ∧ -𝑘 ∈ ℤ)))
379274oveq2d 7161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑗 = -𝑘 → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (𝑗 · 𝑇)) = ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (-𝑘 · 𝑇)))
380379eleq1d 2894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑗 = -𝑘 → (((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐷 ↔ ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (-𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷))
381378, 380imbi12d 346 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑗 = -𝑘 → (((𝜑 ∧ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷𝑗 ∈ ℤ) → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐷) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷 ∧ -𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (-𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷)))
3822663anbi2d 1432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑥 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) → ((𝜑𝑥𝐷𝑗 ∈ ℤ) ↔ (𝜑 ∧ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷𝑗 ∈ ℤ)))
383 oveq1 7152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑥 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) → (𝑥 + (𝑗 · 𝑇)) = ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (𝑗 · 𝑇)))
384383eleq1d 2894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑥 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) → ((𝑥 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐷 ↔ ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐷))
385382, 384imbi12d 346 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑥 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) → (((𝜑𝑥𝐷𝑗 ∈ ℤ) → (𝑥 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐷) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷𝑗 ∈ ℤ) → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐷)))
386265, 385, 285vtocl 3557 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑 ∧ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷𝑗 ∈ ℤ) → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐷)
387271, 381, 386vtocl 3557 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑 ∧ (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷 ∧ -𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (-𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷)
388207, 377, 264, 387syl3anc 1363 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) + (-𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷)
389373, 388eqeltrd 2910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑤𝐷)
390389ralrimiva 3179 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜒 → ∀𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑤𝐷)
391390, 291sylibr 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜒 → (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ⊆ 𝐷)
392391ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜒𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ⊆ 𝐷)
393188ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜒𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ*)
394341adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜒𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 < ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))
395350, 393, 352, 359, 394eliood 41649 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜒𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))))
396392, 395sseldd 3965 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜒𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥𝐷)
397361, 396elind 4168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜒𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 ∈ ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷))
398 elun1 4149 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 ∈ ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) → 𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))
399397, 398syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜒𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))
400349, 399pm2.61dan 809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜒𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))
401342, 400elind 4168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜒𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑥 ∈ ((-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∩ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))
402299adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜒𝑥 ∈ ((-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∩ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) → 𝑋 ∈ ℝ*)
403188adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜒𝑥 ∈ ((-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∩ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ*)
404 elinel1 4169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 ∈ ((-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∩ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) → 𝑥 ∈ (-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))))
405 elioore 12756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 ∈ (-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) → 𝑥 ∈ ℝ)
406404, 405syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 ∈ ((-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∩ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) → 𝑥 ∈ ℝ)
407406rexrd 10679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ ((-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∩ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) → 𝑥 ∈ ℝ*)
408407adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜒𝑥 ∈ ((-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∩ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) → 𝑥 ∈ ℝ*)
409 elinel2 4170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ ((-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∩ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) → 𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))
410234adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜒𝑥 = 𝑋) → 𝑋 ∈ ℝ)
41188eqcomd 2824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑥 = 𝑋𝑋 = 𝑥)
412411adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜒𝑥 = 𝑋) → 𝑋 = 𝑥)
413410, 412eqled 10731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜒𝑥 = 𝑋) → 𝑋𝑥)
414413adantlr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜒𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∧ 𝑥 = 𝑋) → 𝑋𝑥)
415 simpll 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜒𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝜒)
416 simplr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜒𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))
417 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 𝑥 = 𝑋 → ¬ 𝑥 = 𝑋)
418 velsn 4573 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑥 ∈ {𝑋} ↔ 𝑥 = 𝑋)
419417, 418sylnibr 330 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 𝑥 = 𝑋 → ¬ 𝑥 ∈ {𝑋})
420419adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜒𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → ¬ 𝑥 ∈ {𝑋})
421 elunnel2 41173 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}) ∧ ¬ 𝑥 ∈ {𝑋}) → 𝑥 ∈ ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷))
422416, 420, 421syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜒𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 ∈ ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷))
423 elinel1 4169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 ∈ ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) → 𝑥 ∈ (𝑋(,)+∞))
424422, 423syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜒𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 ∈ (𝑋(,)+∞))
425234adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜒𝑥 ∈ (𝑋(,)+∞)) → 𝑋 ∈ ℝ)
426 elioore 12756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑥 ∈ (𝑋(,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ)
427426adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜒𝑥 ∈ (𝑋(,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℝ)
428299adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜒𝑥 ∈ (𝑋(,)+∞)) → 𝑋 ∈ ℝ*)
429175a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜒𝑥 ∈ (𝑋(,)+∞)) → +∞ ∈ ℝ*)
430 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜒𝑥 ∈ (𝑋(,)+∞)) → 𝑥 ∈ (𝑋(,)+∞))
431 ioogtlb 41646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑋 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝑋(,)+∞)) → 𝑋 < 𝑥)
432428, 429, 430, 431syl3anc 1363 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜒𝑥 ∈ (𝑋(,)+∞)) → 𝑋 < 𝑥)
433425, 427, 432ltled 10776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜒𝑥 ∈ (𝑋(,)+∞)) → 𝑋𝑥)
434415, 424, 433syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜒𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑋𝑥)
435414, 434pm2.61dan 809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜒𝑥 ∈ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) → 𝑋𝑥)
436409, 435sylan2 592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜒𝑥 ∈ ((-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∩ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) → 𝑋𝑥)
437331a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜒𝑥 ∈ (-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → -∞ ∈ ℝ*)
438188adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜒𝑥 ∈ (-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ*)
439 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜒𝑥 ∈ (-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑥 ∈ (-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))))
440 iooltub 41662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ*𝑥 ∈ (-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑥 < ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))
441437, 438, 439, 440syl3anc 1363 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜒𝑥 ∈ (-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑥 < ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))
442404, 441sylan2 592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜒𝑥 ∈ ((-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∩ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) → 𝑥 < ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))
443402, 403, 408, 436, 442elicod 12775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜒𝑥 ∈ ((-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∩ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) → 𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))))
444401, 443impbida 797 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒 → (𝑥 ∈ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ↔ 𝑥 ∈ ((-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∩ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))))
445444eqrdv 2816 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒 → (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) = ((-∞(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∩ (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))
446 ioossre 12786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑋(,)+∞) ⊆ ℝ
447 ssinss1 4211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑋(,)+∞) ⊆ ℝ → ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ⊆ ℝ)
448446, 447mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜒 → ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ⊆ ℝ)
449234snssd 4734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜒 → {𝑋} ⊆ ℝ)
450448, 449unssd 4159 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒 → (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}) ⊆ ℝ)
451 eqid 2818 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
452297, 451rerest 23339 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}) ⊆ ℝ → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))
453450, 452syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒 → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))
454330, 445, 4533eltr4d 2925 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜒 → (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))
455 isopn3i 21618 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∈ Top ∧ (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))‘(𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) = (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))))
456323, 454, 455syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜒 → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))‘(𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) = (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))))
457315, 456eqtr2d 2854 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜒 → (𝑋[,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) = ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))‘((𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∪ {𝑋})))
458312, 457eleqtrd 2912 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜒𝑋 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))‘((𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∪ {𝑋})))
459174, 293, 296, 297, 298, 458limcres 24411 . . . . . . . . . . . 12 (𝜒 → (((𝐹 ↾ ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷)) ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) lim 𝑋) = ((𝐹 ↾ ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷)) lim 𝑋))
460293resabs1d 5877 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜒 → ((𝐹 ↾ ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷)) ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) = (𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))))
461460oveq1d 7160 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜒 → (((𝐹 ↾ ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷)) ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) lim 𝑋) = ((𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) lim 𝑋))
462169a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
463156, 462fssd 6521 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝐹:𝐷⟶ℂ)
464215feq2d 6493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ↔ 𝐹:𝐷⟶ℂ))
465463, 464mpbird 258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
466155, 465syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
467466adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜒𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) lim 𝑋)) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
468366a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜒𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) lim 𝑋)) → (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ⊆ ℂ)
469391, 163sseqtrrd 4005 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒 → (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ⊆ dom 𝐹)
470469adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜒𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) lim 𝑋)) → (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ⊆ dom 𝐹)
471258adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜒𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) lim 𝑋)) → (𝑘 · 𝑇) ∈ ℂ)
472 eqid 2818 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))} = {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))}
473 eqeq1 2822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ↔ 𝑤 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))))
474473rexbidv 3294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑧 = 𝑤 → (∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑤 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))))
475474elrab 3677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))} ↔ (𝑤 ∈ ℂ ∧ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑤 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))))
476475simprbi 497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))} → ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑤 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)))
477476adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜒𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))}) → ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑤 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)))
478 nfv 1906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝑥𝜒
479 nfre1 3303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 𝑥𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))
480 nfcv 2974 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 𝑥
481479, 480nfrabw 3383 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 𝑥{𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))}
482481nfcri 2968 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝑥 𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))}
483478, 482nfan 1891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑥(𝜒𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))})
484 nfv 1906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑥 𝑤𝐷
485 simp3 1130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜒𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∧ 𝑤 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝑤 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)))
486 eleq1 2897 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑤 = 𝑥 → (𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ↔ 𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))))
487486anbi2d 628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑤 = 𝑥 → ((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) ↔ (𝜒𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))))))
488 oveq1 7152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑤 = 𝑥 → (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)))
489488eleq1d 2894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑤 = 𝑥 → ((𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷 ↔ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷))
490487, 489imbi12d 346 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑤 = 𝑥 → (((𝜒𝑤 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑤 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷) ↔ ((𝜒𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷)))
491490, 263chvarvv 1996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜒𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷)
4924913adant3 1124 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜒𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∧ 𝑤 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) → (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷)
493485, 492eqeltrd 2910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜒𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) ∧ 𝑤 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝑤𝐷)
4944933exp 1111 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜒 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) → (𝑤 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) → 𝑤𝐷)))
495494adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜒𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))}) → (𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) → (𝑤 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) → 𝑤𝐷)))
496483, 484, 495rexlimd 3314 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜒𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))}) → (∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑤 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) → 𝑤𝐷))
497477, 496mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜒𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))}) → 𝑤𝐷)
498497ralrimiva 3179 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜒 → ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))}𝑤𝐷)
499 dfss3 3953 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ({𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))} ⊆ 𝐷 ↔ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))}𝑤𝐷)
500498, 499sylibr 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜒 → {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))} ⊆ 𝐷)
501500, 163sseqtrrd 4005 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒 → {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))} ⊆ dom 𝐹)
502501adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜒𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) lim 𝑋)) → {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))} ⊆ dom 𝐹)
503155adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜒𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝜑)
504391sselda 3964 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜒𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑥𝐷)
505183adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜒𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → 𝑘 ∈ ℤ)
506 fourierdlem48.per . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥𝐷𝑘 ∈ ℤ) → (𝐹‘(𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) = (𝐹𝑥))
507503, 504, 505, 506syl3anc 1363 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜒𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝐹‘(𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) = (𝐹𝑥))
508507adantlr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜒𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) lim 𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) → (𝐹‘(𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) = (𝐹𝑥))
509 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜒𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) lim 𝑋)) → 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) lim 𝑋))
510467, 468, 470, 471, 472, 502, 508, 509limcperiod 41785 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜒𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) lim 𝑋)) → 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))}) lim (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))))
511259eqcomd 2824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜒 → (𝑄‘(𝑖 + 1)) = (((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) + (𝑘 · 𝑇)))
512237, 511oveq12d 7163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜒 → (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) = ((𝑋 + (𝑘 · 𝑇))(,)(((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) + (𝑘 · 𝑇))))
513234, 187, 186iooshift 41674 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜒 → ((𝑋 + (𝑘 · 𝑇))(,)(((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) + (𝑘 · 𝑇))) = {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))})
514512, 513eqtr2d 2854 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜒 → {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))} = (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
515514reseq2d 5846 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒 → (𝐹 ↾ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))}) = (𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
516515, 238oveq12d 7163 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒 → ((𝐹 ↾ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))}) lim (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) = ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim 𝑦))
517516adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜒𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) lim 𝑋)) → ((𝐹 ↾ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))𝑧 = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇))}) lim (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) = ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim 𝑦))
518510, 517eleqtrd 2912 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜒𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) lim 𝑋)) → 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim 𝑦))
519466adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜒𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim 𝑦)) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
520 ioosscn 41645 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℂ
521520a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜒𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim 𝑦)) → (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℂ)
522 icogelb 12776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑄𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄𝑖) ≤ 𝑦)
523224, 226, 239, 522syl3anc 1363 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜒 → (𝑄𝑖) ≤ 𝑦)
524 iooss1 12761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑄𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝑄𝑖) ≤ 𝑦) → (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
525224, 523, 524syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜒 → (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
526525, 218sstrd 3974 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜒 → (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ 𝐷)
527526, 163sseqtrrd 4005 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒 → (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ dom 𝐹)
528527adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜒𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim 𝑦)) → (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ dom 𝐹)
529362negcld 10972 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜒 → -𝑘 ∈ ℂ)
530529, 195mulcld 10649 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒 → (-𝑘 · 𝑇) ∈ ℂ)
531530adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜒𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim 𝑦)) → (-𝑘 · 𝑇) ∈ ℂ)
532 eqid 2818 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))} = {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))}
533 eqeq1 2822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)) ↔ 𝑤 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))))
534533rexbidv 3294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑧 = 𝑤 → (∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑤 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))))
535534elrab 3677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))} ↔ (𝑤 ∈ ℂ ∧ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑤 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))))
536535simprbi 497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))} → ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑤 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)))
537536adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜒𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))}) → ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑤 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)))
538 nfre1 3303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 𝑥𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))
539538, 480nfrabw 3383 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 𝑥{𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))}
540539nfcri 2968 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝑥 𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))}
541478, 540nfan 1891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑥(𝜒𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))})
542 simp3 1130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜒𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑤 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))) → 𝑤 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)))
543155adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜒𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝜑)
544526sselda 3964 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜒𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥𝐷)
545183adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜒𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑘 ∈ ℤ)
546545znegcld 12077 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜒𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → -𝑘 ∈ ℤ)
547543, 544, 546, 286syl3anc 1363 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜒𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷)
5485473adant3 1124 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜒𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑤 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))) → (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷)
549542, 548eqeltrd 2910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜒𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑤 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))) → 𝑤𝐷)
5505493exp 1111 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜒 → (𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝑤 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)) → 𝑤𝐷)))
551550adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜒𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))}) → (𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝑤 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)) → 𝑤𝐷)))
552541, 484, 551rexlimd 3314 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜒𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))}) → (∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑤 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇)) → 𝑤𝐷))
553537, 552mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜒𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))}) → 𝑤𝐷)
554553ralrimiva 3179 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜒 → ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))}𝑤𝐷)
555 dfss3 3953 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ({𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))} ⊆ 𝐷 ↔ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))}𝑤𝐷)
556554, 555sylibr 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜒 → {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))} ⊆ 𝐷)
557556, 163sseqtrrd 4005 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒 → {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))} ⊆ dom 𝐹)
558557adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜒𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim 𝑦)) → {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))} ⊆ dom 𝐹)
559155ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜒𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim 𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝜑)
560544adantlr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜒𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim 𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥𝐷)
561546adantlr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜒𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim 𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → -𝑘 ∈ ℤ)
562275fveq2d 6667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 = -𝑘 → (𝐹‘(𝑥 + (𝑗 · 𝑇))) = (𝐹‘(𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))))
563562eqeq1d 2820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 = -𝑘 → ((𝐹‘(𝑥 + (𝑗 · 𝑇))) = (𝐹𝑥) ↔ (𝐹‘(𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))) = (𝐹𝑥)))
564273, 563imbi12d 346 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 = -𝑘 → (((𝜑𝑥𝐷𝑗 ∈ ℤ) → (𝐹‘(𝑥 + (𝑗 · 𝑇))) = (𝐹𝑥)) ↔ ((𝜑𝑥𝐷 ∧ -𝑘 ∈ ℤ) → (𝐹‘(𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))) = (𝐹𝑥))))
565281fveq2d 6667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑘 = 𝑗 → (𝐹‘(𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) = (𝐹‘(𝑥 + (𝑗 · 𝑇))))
566565eqeq1d 2820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹‘(𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) = (𝐹𝑥) ↔ (𝐹‘(𝑥 + (𝑗 · 𝑇))) = (𝐹𝑥)))
567279, 566imbi12d 346 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑𝑥𝐷𝑘 ∈ ℤ) → (𝐹‘(𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) = (𝐹𝑥)) ↔ ((𝜑𝑥𝐷𝑗 ∈ ℤ) → (𝐹‘(𝑥 + (𝑗 · 𝑇))) = (𝐹𝑥))))
568567, 506chvarvv 1996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥𝐷𝑗 ∈ ℤ) → (𝐹‘(𝑥 + (𝑗 · 𝑇))) = (𝐹𝑥))
569271, 564, 568vtocl 3557 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥𝐷 ∧ -𝑘 ∈ ℤ) → (𝐹‘(𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))) = (𝐹𝑥))
570559, 560, 561, 569syl3anc 1363 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜒𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim 𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐹‘(𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))) = (𝐹𝑥))
571 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜒𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim 𝑦)) → 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim 𝑦))
572519, 521, 528, 531, 532, 558, 570, 571limcperiod 41785 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜒𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim 𝑦)) → 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))}) lim (𝑦 + (-𝑘 · 𝑇))))
573363oveq2d 7161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜒 → (𝑦 + (-𝑘 · 𝑇)) = (𝑦 + -(𝑘 · 𝑇)))
574307recnd 10657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜒𝑦 ∈ ℂ)
575574, 258negsubd 10991 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜒 → (𝑦 + -(𝑘 · 𝑇)) = (𝑦 − (𝑘 · 𝑇)))
576304eqcomd 2824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜒 → (𝑦 − (𝑘 · 𝑇)) = 𝑋)
577573, 575, 5763eqtrd 2857 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜒 → (𝑦 + (-𝑘 · 𝑇)) = 𝑋)
578577eqcomd 2824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜒𝑋 = (𝑦 + (-𝑘 · 𝑇)))
579363oveq2d 7161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜒 → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) + (-𝑘 · 𝑇)) = ((𝑄‘(𝑖 + 1)) + -(𝑘 · 𝑇)))
580257, 258negsubd 10991 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜒 → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) + -(𝑘 · 𝑇)) = ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))
581579, 580eqtr2d 2854 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜒 → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)) = ((𝑄‘(𝑖 + 1)) + (-𝑘 · 𝑇)))
582578, 581oveq12d 7163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜒 → (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))) = ((𝑦 + (-𝑘 · 𝑇))(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) + (-𝑘 · 𝑇))))
583184renegcld 11055 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜒 → -𝑘 ∈ ℝ)
584583, 185remulcld 10659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜒 → (-𝑘 · 𝑇) ∈ ℝ)
585307, 182, 584iooshift 41674 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜒 → ((𝑦 + (-𝑘 · 𝑇))(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) + (-𝑘 · 𝑇))) = {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))})
586582, 585eqtr2d 2854 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜒 → {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))} = (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))))
587586adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜒𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim 𝑦)) → {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))} = (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇))))
588587reseq2d 5846 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜒𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim 𝑦)) → (𝐹 ↾ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))}) = (𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))))
589577adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜒𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim 𝑦)) → (𝑦 + (-𝑘 · 𝑇)) = 𝑋)
590588, 589oveq12d 7163 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜒𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim 𝑦)) → ((𝐹 ↾ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑧 = (𝑥 + (-𝑘 · 𝑇))}) lim (𝑦 + (-𝑘 · 𝑇))) = ((𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) lim 𝑋))
591572, 590eleqtrd 2912 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜒𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim 𝑦)) → 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) lim 𝑋))
592518, 591impbida 797 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜒 → (𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) lim 𝑋) ↔ 𝑤 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim 𝑦)))
593592eqrdv 2816 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜒 → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) lim 𝑋) = ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim 𝑦))
594461, 593eqtrd 2853 . . . . . . . . . . . 12 (𝜒 → (((𝐹 ↾ ((𝑋(,)+∞) ∩ 𝐷)) ↾ (𝑋(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) − (𝑘 · 𝑇)))) lim 𝑋) = ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim 𝑦))
595167, 459, 5943eqtr2d 2859 . . . . . . . . . . 11 (𝜒 → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋) = ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim 𝑦))
596155, 177, 73syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜒 → (𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
597155, 177, 209syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜒 → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
598 fourierdlem48.r . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)))
599155, 177, 598syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜒𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)))
600 eqid 2818 . . . . . . . . . . . . . 14 if(𝑦 = (𝑄𝑖), 𝑅, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑦)) = if(𝑦 = (𝑄𝑖), 𝑅, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑦))
601 eqid 2818 . . . . . . . . . . . . . 14 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
602223, 182, 596, 597, 599, 307, 182, 309, 525, 600, 601fourierdlem32 42301 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜒 → if(𝑦 = (𝑄𝑖), 𝑅, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑦)) ∈ (((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim 𝑦))
603525resabs1d 5877 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜒 → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = (𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
604603oveq1d 7160 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜒 → (((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim 𝑦) = ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim 𝑦))
605602, 604eleqtrd 2912 . . . . . . . . . . . 12 (𝜒 → if(𝑦 = (𝑄𝑖), 𝑅, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑦)) ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim 𝑦))
606 ne0i 4297 . . . . . . . . . . . 12 (if(𝑦 = (𝑄𝑖), 𝑅, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑦)) ∈ ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim 𝑦) → ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim 𝑦) ≠ ∅)
607605, 606syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜒 → ((𝐹 ↾ (𝑦(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim 𝑦) ≠ ∅)
608595, 607eqnetrd 3080 . . . . . . . . . 10 (𝜒 → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋) ≠ ∅)
609152, 608sylbir 236 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋) ≠ ∅)
610149, 150, 151, 609syl21anc 833 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋) ≠ ∅)
6116103exp 1111 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋) ≠ ∅)))
612611adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋) ≠ ∅)))
613140, 145, 612rexlim2d 41782 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → (∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋) ≠ ∅))
614137, 613mpd 15 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋) ≠ ∅)
615130, 136, 614vtocl 3557 . . 3 ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (((𝐸𝑋) − 𝑇) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ ((𝐸𝑋) − 𝑇) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋) ≠ ∅)
6161, 129, 615syl2anc 584 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) = 𝐵) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋) ≠ ∅)
617 iocssre 12804 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴(,]𝐵) ⊆ ℝ)
61858, 9, 617syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴(,]𝐵) ⊆ ℝ)
619 ovex 7178 . . . . . . . . . . 11 ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ V
62092fvmpt2 6771 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ V) → (𝑍𝑥) = ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇))
621619, 620mpan2 687 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑍𝑥) = ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇))
622621oveq2d 7161 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 + (𝑍𝑥)) = (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
623622mpteq2ia 5148 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + (𝑍𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
62486, 623eqtri 2841 . . . . . . 7 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
62513, 9, 16, 12, 624fourierdlem4 42273 . . . . . 6 (𝜑𝐸:ℝ⟶(𝐴(,]𝐵))
626625, 10ffvelrnd 6844 . . . . 5 (𝜑 → (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵))
627618, 626sseldd 3965 . . . 4 (𝜑 → (𝐸𝑋) ∈ ℝ)
628627adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) → (𝐸𝑋) ∈ ℝ)
629 simpl 483 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) → 𝜑)
630 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ran 𝑄) → (𝐸𝑋) ∈ ran 𝑄)
631 ffn 6507 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ → 𝑄 Fn (0...𝑀))
63240, 631syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑄 Fn (0...𝑀))
633632ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ran 𝑄) → 𝑄 Fn (0...𝑀))
634 fvelrnb 6719 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑄 Fn (0...𝑀) → ((𝐸𝑋) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)))
635633, 634syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ran 𝑄) → ((𝐸𝑋) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)))
636630, 635mpbid 233 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ran 𝑄) → ∃𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑄𝑗) = (𝐸𝑋))
637 1zzd 12001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → 1 ∈ ℤ)
638 elfzelz 12896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ)
639638ad2antlr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → 𝑗 ∈ ℤ)
640639zred 12075 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → 𝑗 ∈ ℝ)
641 elfzle1 12898 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 0 ≤ 𝑗)
642641ad2antlr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → 0 ≤ 𝑗)
643 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑄𝑗) = (𝐸𝑋) → (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋))
644643eqcomd 2824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑄𝑗) = (𝐸𝑋) → (𝐸𝑋) = (𝑄𝑗))
645644ad2antlr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑 ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) ∧ 𝑗 = 0) → (𝐸𝑋) = (𝑄𝑗))
646 fveq2 6663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑗 = 0 → (𝑄𝑗) = (𝑄‘0))
647646adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑 ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) ∧ 𝑗 = 0) → (𝑄𝑗) = (𝑄‘0))
64837simprld 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝜑 → ((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄𝑀) = 𝐵))
649648simpld 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝜑 → (𝑄‘0) = 𝐴)
650649ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑 ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) ∧ 𝑗 = 0) → (𝑄‘0) = 𝐴)
651645, 647, 6503eqtrd 2857 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑 ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) ∧ 𝑗 = 0) → (𝐸𝑋) = 𝐴)
652651adantllr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) ∧ 𝑗 = 0) → (𝐸𝑋) = 𝐴)
653652adantllr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) ∧ 𝑗 = 0) → (𝐸𝑋) = 𝐴)
65413adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
65558adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
6569rexrd 10679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
657656adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
658 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵))
659 iocgtlb 41653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐴 < (𝐸𝑋))
660655, 657, 658, 659syl3anc 1363 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐴 < (𝐸𝑋))
661654, 660gtned 10763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝐸𝑋) ≠ 𝐴)
662661neneqd 3018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → ¬ (𝐸𝑋) = 𝐴)
663662ad3antrrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) ∧ 𝑗 = 0) → ¬ (𝐸𝑋) = 𝐴)
664653, 663pm2.65da 813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → ¬ 𝑗 = 0)
665664neqned 3020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → 𝑗 ≠ 0)
666640, 642, 665ne0gt0d 10765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → 0 < 𝑗)
667 0zd 11981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → 0 ∈ ℤ)
668 zltp1le 12020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (0 < 𝑗 ↔ (0 + 1) ≤ 𝑗))
669667, 639, 668syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (0 < 𝑗 ↔ (0 + 1) ≤ 𝑗))
670666, 669mpbid 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (0 + 1) ≤ 𝑗)
67177, 670eqbrtrid 5092 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → 1 ≤ 𝑗)
672 eluz2 12237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 ∈ (ℤ‘1) ↔ (1 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑗))
673637, 639, 671, 672syl3anbrc 1335 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → 𝑗 ∈ (ℤ‘1))
674 nnuz 12269 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ℕ = (ℤ‘1)
675673, 674eleqtrrdi 2921 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → 𝑗 ∈ ℕ)
676 nnm1nn0 11926 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 ∈ ℕ → (𝑗 − 1) ∈ ℕ0)
677675, 676syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝑗 − 1) ∈ ℕ0)
678677, 42eleqtrdi 2920 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝑗 − 1) ∈ (ℤ‘0))
6794ad3antrrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → 𝑀 ∈ ℤ)
680 peano2zm 12013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 ∈ ℤ → (𝑗 − 1) ∈ ℤ)
681638, 680syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → (𝑗 − 1) ∈ ℤ)
682681zred 12075 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → (𝑗 − 1) ∈ ℝ)
683638zred 12075 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑗 ∈ ℝ)
684 elfzel2 12894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
685684zred 12075 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
686683ltm1d 11560 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → (𝑗 − 1) < 𝑗)
687 elfzle2 12899 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑗𝑀)
688682, 683, 685, 686, 687ltletrd 10788 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → (𝑗 − 1) < 𝑀)
689688ad2antlr 723 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝑗 − 1) < 𝑀)
690 elfzo2 13029 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑗 − 1) ∈ (0..^𝑀) ↔ ((𝑗 − 1) ∈ (ℤ‘0) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑗 − 1) < 𝑀))
691678, 679, 689, 690syl3anbrc 1335 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝑗 − 1) ∈ (0..^𝑀))
69240ad3antrrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
693639, 680syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝑗 − 1) ∈ ℤ)
694667, 679, 6933jca 1120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (0 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑗 − 1) ∈ ℤ))
695677nn0ge0d 11946 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → 0 ≤ (𝑗 − 1))
696682, 685, 688ltled 10776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → (𝑗 − 1) ≤ 𝑀)
697696ad2antlr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝑗 − 1) ≤ 𝑀)
698694, 695, 697jca32 516 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑗 − 1) ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ (𝑗 − 1) ∧ (𝑗 − 1) ≤ 𝑀)))
699 elfz2 12887 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑗 − 1) ∈ (0...𝑀) ↔ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑗 − 1) ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ (𝑗 − 1) ∧ (𝑗 − 1) ≤ 𝑀)))
700698, 699sylibr 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝑗 − 1) ∈ (0...𝑀))
701692, 700ffvelrnd 6844 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝑄‘(𝑗 − 1)) ∈ ℝ)
702701rexrd 10679 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝑄‘(𝑗 − 1)) ∈ ℝ*)
70340ffvelrnda 6843 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝑄𝑗) ∈ ℝ)
704703rexrd 10679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝑄𝑗) ∈ ℝ*)
705704adantlr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝑄𝑗) ∈ ℝ*)
706705adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝑄𝑗) ∈ ℝ*)
707618sselda 3964 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝐸𝑋) ∈ ℝ)
708707rexrd 10679 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝐸𝑋) ∈ ℝ*)
709708ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝐸𝑋) ∈ ℝ*)
710 simplll 771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → 𝜑)
711 ovex 7178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 − 1) ∈ V
712 eleq1 2897 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑖 = (𝑗 − 1) → (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↔ (𝑗 − 1) ∈ (0..^𝑀)))
713712anbi2d 628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑖 = (𝑗 − 1) → ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ↔ (𝜑 ∧ (𝑗 − 1) ∈ (0..^𝑀))))
714 fveq2 6663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑖 = (𝑗 − 1) → (𝑄𝑖) = (𝑄‘(𝑗 − 1)))
715 oveq1 7152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑖 = (𝑗 − 1) → (𝑖 + 1) = ((𝑗 − 1) + 1))
716715fveq2d 6667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑖 = (𝑗 − 1) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) = (𝑄‘((𝑗 − 1) + 1)))
717714, 716breq12d 5070 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑖 = (𝑗 − 1) → ((𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)) ↔ (𝑄‘(𝑗 − 1)) < (𝑄‘((𝑗 − 1) + 1))))
718713, 717imbi12d 346 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑖 = (𝑗 − 1) → (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑗 − 1) ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑗 − 1)) < (𝑄‘((𝑗 − 1) + 1)))))
719711, 718, 73vtocl 3557 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑗 − 1) ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑗 − 1)) < (𝑄‘((𝑗 − 1) + 1)))
720710, 691, 719syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝑄‘(𝑗 − 1)) < (𝑄‘((𝑗 − 1) + 1)))
721638zcnd 12076 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑗 ∈ ℂ)
722 1cnd 10624 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 1 ∈ ℂ)
723721, 722npcand 10989 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → ((𝑗 − 1) + 1) = 𝑗)
724723eqcomd 2824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑗 = ((𝑗 − 1) + 1))
725724fveq2d 6667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → (𝑄𝑗) = (𝑄‘((𝑗 − 1) + 1)))
726725eqcomd 2824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → (𝑄‘((𝑗 − 1) + 1)) = (𝑄𝑗))
727726ad2antlr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝑄‘((𝑗 − 1) + 1)) = (𝑄𝑗))
728720, 727breqtrd 5083 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝑄‘(𝑗 − 1)) < (𝑄𝑗))
729 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋))
730728, 729breqtrd 5083 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝑄‘(𝑗 − 1)) < (𝐸𝑋))
731627leidd 11194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝐸𝑋) ≤ (𝐸𝑋))
732731ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝐸𝑋) ≤ (𝐸𝑋))
733644adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝐸𝑋) = (𝑄𝑗))
734732, 733breqtrd 5083 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝐸𝑋) ≤ (𝑄𝑗))
735734adantllr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝐸𝑋) ≤ (𝑄𝑗))
736702, 706, 709, 730, 735eliocd 41659 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄‘(𝑗 − 1))(,](𝑄𝑗)))
737725oveq2d 7161 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → ((𝑄‘(𝑗 − 1))(,](𝑄𝑗)) = ((𝑄‘(𝑗 − 1))(,](𝑄‘((𝑗 − 1) + 1))))
738737ad2antlr 723 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → ((𝑄‘(𝑗 − 1))(,](𝑄𝑗)) = ((𝑄‘(𝑗 − 1))(,](𝑄‘((𝑗 − 1) + 1))))
739736, 738eleqtrd 2912 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄‘(𝑗 − 1))(,](𝑄‘((𝑗 − 1) + 1))))
740714, 716oveq12d 7163 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 = (𝑗 − 1) → ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))) = ((𝑄‘(𝑗 − 1))(,](𝑄‘((𝑗 − 1) + 1))))
741740eleq2d 2895 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 = (𝑗 − 1) → ((𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↔ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄‘(𝑗 − 1))(,](𝑄‘((𝑗 − 1) + 1)))))
742741rspcev 3620 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑗 − 1) ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄‘(𝑗 − 1))(,](𝑄‘((𝑗 − 1) + 1)))) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
743691, 739, 742syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
744743ex 413 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ((𝑄𝑗) = (𝐸𝑋) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))))
745744adantlr 711 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ran 𝑄) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ((𝑄𝑗) = (𝐸𝑋) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))))
746745rexlimdva 3281 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ran 𝑄) → (∃𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑄𝑗) = (𝐸𝑋) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))))
747636, 746mpd 15 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ran 𝑄) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
7483ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ ¬ (𝐸𝑋) ∈ ran 𝑄) → 𝑀 ∈ ℕ)
74940ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ ¬ (𝐸𝑋) ∈ ran 𝑄) → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
750 iocssicc 12813 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴(,]𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
751649eqcomd 2824 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐴 = (𝑄‘0))
752648simprd 496 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑄𝑀) = 𝐵)
753752eqcomd 2824 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐵 = (𝑄𝑀))
754751, 753oveq12d 7163 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) = ((𝑄‘0)[,](𝑄𝑀)))
755750, 754sseqtrid 4016 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐴(,]𝐵) ⊆ ((𝑄‘0)[,](𝑄𝑀)))
756755sselda 3964 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄‘0)[,](𝑄𝑀)))
757756adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ ¬ (𝐸𝑋) ∈ ran 𝑄) → (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄‘0)[,](𝑄𝑀)))
758 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ ¬ (𝐸𝑋) ∈ ran 𝑄) → ¬ (𝐸𝑋) ∈ ran 𝑄)
759 fveq2 6663 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = 𝑗 → (𝑄𝑘) = (𝑄𝑗))
760759breq1d 5067 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑗 → ((𝑄𝑘) < (𝐸𝑋) ↔ (𝑄𝑗) < (𝐸𝑋)))
761760cbvrabv 3489 . . . . . . . . . . . . 13 {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) < (𝐸𝑋)} = {𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑗) < (𝐸𝑋)}
762761supeq1i 8899 . . . . . . . . . . . 12 sup({𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) < (𝐸𝑋)}, ℝ, < ) = sup({𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑗) < (𝐸𝑋)}, ℝ, < )
763748, 749, 757, 758, 762fourierdlem25 42294 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ ¬ (𝐸𝑋) ∈ ran 𝑄) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
764 ioossioc 41642 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))
765764sseli 3960 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
766765a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ ¬ (𝐸𝑋) ∈ ran 𝑄) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))))
767766reximdva 3271 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ ¬ (𝐸𝑋) ∈ ran 𝑄) → (∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))))
768763, 767mpd 15 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ ¬ (𝐸𝑋) ∈ ran 𝑄) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
769747, 768pm2.61dan 809 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
770626, 769mpdan 683 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
771 fveq2 6663 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 𝑗 → (𝑄𝑖) = (𝑄𝑗))
772 oveq1 7152 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝑗 → (𝑖 + 1) = (𝑗 + 1))
773772fveq2d 6667 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 𝑗 → (𝑄‘(𝑖 + 1)) = (𝑄‘(𝑗 + 1)))
774771, 773oveq12d 7163 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑗 → ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))) = ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1))))
775774eleq2d 2895 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑗 → ((𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↔ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))))
776775cbvrexvw 3448 . . . . . . . 8 (∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↔ ∃𝑗 ∈ (0..^𝑀)(𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1))))
777770, 776sylib 219 . . . . . . 7 (𝜑 → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑀)(𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1))))
778777adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑀)(𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1))))
779 elfzonn0 13070 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ (0..^𝑀) → 𝑗 ∈ ℕ0)
780 1nn0 11901 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℕ0
781780a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ (0..^𝑀) → 1 ∈ ℕ0)
782779, 781nn0addcld 11947 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (0..^𝑀) → (𝑗 + 1) ∈ ℕ0)
783782, 42eleqtrdi 2920 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ (0..^𝑀) → (𝑗 + 1) ∈ (ℤ‘0))
784783adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑗 + 1) ∈ (ℤ‘0))
7857843ad2antl2 1178 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑗 + 1) ∈ (ℤ‘0))
7864ad2antrr 722 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → 𝑀 ∈ ℤ)
7877863ad2antl1 1177 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → 𝑀 ∈ ℤ)
788779nn0red 11944 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ (0..^𝑀) → 𝑗 ∈ ℝ)
789788adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → 𝑗 ∈ ℝ)
7907893ad2antl2 1178 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → 𝑗 ∈ ℝ)
791 1red 10630 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → 1 ∈ ℝ)
792790, 791readdcld 10658 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑗 + 1) ∈ ℝ)
793787zred 12075 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → 𝑀 ∈ ℝ)
794 elfzop1le2 41432 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (0..^𝑀) → (𝑗 + 1) ≤ 𝑀)
795794adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑗 + 1) ≤ 𝑀)
7967953ad2antl2 1178 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑗 + 1) ≤ 𝑀)
797 simplr 765 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) ∧ 𝑀 = (𝑗 + 1)) → (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1)))
798 fveq2 6663 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 = (𝑗 + 1) → (𝑄𝑀) = (𝑄‘(𝑗 + 1)))
799798eqcomd 2824 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 = (𝑗 + 1) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) = (𝑄𝑀))
800799adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) ∧ 𝑀 = (𝑗 + 1)) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) = (𝑄𝑀))
801752ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) ∧ 𝑀 = (𝑗 + 1)) → (𝑄𝑀) = 𝐵)
802797, 800, 8013eqtrd 2857 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) ∧ 𝑀 = (𝑗 + 1)) → (𝐸𝑋) = 𝐵)
803802adantllr 715 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) ∧ 𝑀 = (𝑗 + 1)) → (𝐸𝑋) = 𝐵)
804 simpllr 772 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) ∧ 𝑀 = (𝑗 + 1)) → (𝐸𝑋) ≠ 𝐵)
805804neneqd 3018 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) ∧ 𝑀 = (𝑗 + 1)) → ¬ (𝐸𝑋) = 𝐵)
806803, 805pm2.65da 813 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → ¬ 𝑀 = (𝑗 + 1))
807806neqned 3020 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → 𝑀 ≠ (𝑗 + 1))
8088073ad2antl1 1177 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → 𝑀 ≠ (𝑗 + 1))
809792, 793, 796, 808leneltd 10782 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑗 + 1) < 𝑀)
810 elfzo2 13029 . . . . . . . . . 10 ((𝑗 + 1) ∈ (0..^𝑀) ↔ ((𝑗 + 1) ∈ (ℤ‘0) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑗 + 1) < 𝑀))
811785, 787, 809, 810syl3anbrc 1335 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑗 + 1) ∈ (0..^𝑀))
81240adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
813 fzofzp1 13122 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ (0..^𝑀) → (𝑗 + 1) ∈ (0...𝑀))
814813adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑗 + 1) ∈ (0...𝑀))
815812, 814ffvelrnd 6844 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ)
816815rexrd 10679 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ*)
817816adantlr 711 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ*)
8188173adant3 1124 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ*)
819818adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ*)
820 simpl1l 1216 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → 𝜑)
821820, 40syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
822 fzofzp1 13122 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑗 + 1) ∈ (0..^𝑀) → ((𝑗 + 1) + 1) ∈ (0...𝑀))
823811, 822syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → ((𝑗 + 1) + 1) ∈ (0...𝑀))
824821, 823ffvelrnd 6844 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄‘((𝑗 + 1) + 1)) ∈ ℝ)
825824rexrd 10679 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄‘((𝑗 + 1) + 1)) ∈ ℝ*)
826627rexrd 10679 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐸𝑋) ∈ ℝ*)
827826ad2antrr 722 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝐸𝑋) ∈ ℝ*)
8288273ad2antl1 1177 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝐸𝑋) ∈ ℝ*)
829815leidd 11194 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ≤ (𝑄‘(𝑗 + 1)))
830829adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ≤ (𝑄‘(𝑗 + 1)))
831 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1)) → (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1)))
832831eqcomd 2824 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1)) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) = (𝐸𝑋))
833832adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) = (𝐸𝑋))
834830, 833breqtrd 5083 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ≤ (𝐸𝑋))
835834adantllr 715 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ≤ (𝐸𝑋))
8368353adantl3 1160 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ≤ (𝐸𝑋))
837 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1)))
838 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑗 + 1) ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1)))
839 ovex 7178 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 + 1) ∈ V
840 eleq1 2897 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 = (𝑗 + 1) → (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↔ (𝑗 + 1) ∈ (0..^𝑀)))
841840anbi2d 628 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = (𝑗 + 1) → ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ↔ (𝜑 ∧ (𝑗 + 1) ∈ (0..^𝑀))))
842 fveq2 6663 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 = (𝑗 + 1) → (𝑄𝑖) = (𝑄‘(𝑗 + 1)))
843 oveq1 7152 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 = (𝑗 + 1) → (𝑖 + 1) = ((𝑗 + 1) + 1))
844843fveq2d 6667 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 = (𝑗 + 1) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) = (𝑄‘((𝑗 + 1) + 1)))
845842, 844breq12d 5070 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = (𝑗 + 1) → ((𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)) ↔ (𝑄‘(𝑗 + 1)) < (𝑄‘((𝑗 + 1) + 1))))
846841, 845imbi12d 346 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = (𝑗 + 1) → (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑗 + 1) ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) < (𝑄‘((𝑗 + 1) + 1)))))
847839, 846, 73vtocl 3557 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑗 + 1) ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) < (𝑄‘((𝑗 + 1) + 1)))
848847adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑗 + 1) ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) < (𝑄‘((𝑗 + 1) + 1)))
849838, 848eqbrtrd 5079 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑗 + 1) ∈ (0..^𝑀)) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝐸𝑋) < (𝑄‘((𝑗 + 1) + 1)))
850820, 811, 837, 849syl21anc 833 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝐸𝑋) < (𝑄‘((𝑗 + 1) + 1)))
851819, 825, 828, 836, 850elicod 12775 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄‘(𝑗 + 1))[,)(𝑄‘((𝑗 + 1) + 1))))
852842, 844oveq12d 7163 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = (𝑗 + 1) → ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) = ((𝑄‘(𝑗 + 1))[,)(𝑄‘((𝑗 + 1) + 1))))
853852eleq2d 2895 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = (𝑗 + 1) → ((𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↔ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄‘(𝑗 + 1))[,)(𝑄‘((𝑗 + 1) + 1)))))
854853rspcev 3620 . . . . . . . . 9 (((𝑗 + 1) ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄‘(𝑗 + 1))[,)(𝑄‘((𝑗 + 1) + 1)))) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
855811, 851, 854syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
856 simpl2 1184 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ ¬ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → 𝑗 ∈ (0..^𝑀))
857 id 22 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) → (𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))))
8588573adant1r 1169 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) → (𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))))
859 elfzofz 13041 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ (0..^𝑀) → 𝑗 ∈ (0...𝑀))
860859adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑗 ∈ (0...𝑀))
861812, 860ffvelrnd 6844 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑗) ∈ ℝ)
862861rexrd 10679 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑗) ∈ ℝ*)
863862adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ¬ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄𝑗) ∈ ℝ*)
8648633adantl3 1160 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ ¬ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄𝑗) ∈ ℝ*)
865816adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ¬ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ*)
8668653adantl3 1160 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ ¬ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ*)
867826adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝐸𝑋) ∈ ℝ*)
8688673ad2antl1 1177 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ ¬ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝐸𝑋) ∈ ℝ*)
8698613adant3 1124 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) → (𝑄𝑗) ∈ ℝ)
8706273ad2ant1 1125 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) → (𝐸𝑋) ∈ ℝ)
8718623adant3 1124 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) → (𝑄𝑗) ∈ ℝ*)
8728163adant3 1124 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ*)
873 simp3 1130 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) → (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1))))
874 iocgtlb 41653 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑄𝑗) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ* ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) → (𝑄𝑗) < (𝐸𝑋))
875871, 872, 873, 874syl3anc 1363 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) → (𝑄𝑗) < (𝐸𝑋))
876869, 870, 875ltled 10776 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) → (𝑄𝑗) ≤ (𝐸𝑋))
877876adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ ¬ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄𝑗) ≤ (𝐸𝑋))
878870adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ ¬ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝐸𝑋) ∈ ℝ)
879815adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ¬ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ)
8808793adantl3 1160 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ ¬ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ)
881 iocleub 41654 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑄𝑗) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ* ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) → (𝐸𝑋) ≤ (𝑄‘(𝑗 + 1)))
882871, 872, 873, 881syl3anc 1363 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) → (𝐸𝑋) ≤ (𝑄‘(𝑗 + 1)))
883882adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ ¬ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝐸𝑋) ≤ (𝑄‘(𝑗 + 1)))
884 neqne 3021 . . . . . . . . . . . . . 14 (¬ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1)) → (𝐸𝑋) ≠ (𝑄‘(𝑗 + 1)))
885884necomd 3068 . . . . . . . . . . . . 13 (¬ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1)) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ≠ (𝐸𝑋))
886885adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ ¬ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝑄‘(𝑗 + 1)) ≠ (𝐸𝑋))
887878, 880, 883, 886leneltd 10782 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ ¬ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝐸𝑋) < (𝑄‘(𝑗 + 1)))
888864, 866, 868, 877, 887elicod 12775 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ ¬ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)[,)(𝑄‘(𝑗 + 1))))
889858, 888sylan 580 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ ¬ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)[,)(𝑄‘(𝑗 + 1))))
890771, 773oveq12d 7163 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 𝑗 → ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) = ((𝑄𝑗)[,)(𝑄‘(𝑗 + 1))))
891890eleq2d 2895 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑗 → ((𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↔ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)[,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))))
892891rspcev 3620 . . . . . . . . 9 ((𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)[,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
893856, 889, 892syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) ∧ ¬ (𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑗 + 1))) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
894855, 893pm2.61dan 809 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1)))) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
895894rexlimdv3a 3283 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) → (∃𝑗 ∈ (0..^𝑀)(𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑗)(,](𝑄‘(𝑗 + 1))) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
896778, 895mpd 15 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
897 simpr 485 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
898 oveq1 7152 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = (⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) → (𝑘 · 𝑇) = ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))
899898oveq2d 7161 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = (⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) → (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑋 + ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)))
900899eqeq2d 2829 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = (⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) → ((𝐸𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)) ↔ (𝐸𝑋) = (𝑋 + ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))))
901900rspcev 3620 . . . . . . . . . 10 (((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ ∧ (𝐸𝑋) = (𝑋 + ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))) → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝐸𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))
90299, 107, 901syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝐸𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))
903902ad2antrr 722 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝐸𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))
904 r19.42v 3347 . . . . . . . 8 (∃𝑘 ∈ ℤ ((𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) ↔ ((𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝐸𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))))
905897, 903, 904sylanbrc 583 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))))
906905ex 413 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) → ((𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))))
907906reximdv 3270 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) → (∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ ((𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))))
908896, 907mpd 15 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ ((𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))))
909629, 908jca 512 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) → (𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ ((𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))))
910 eleq1 2897 . . . . . . . 8 (𝑦 = (𝐸𝑋) → (𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↔ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
911 eqeq1 2822 . . . . . . . 8 (𝑦 = (𝐸𝑋) → (𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)) ↔ (𝐸𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))))
912910, 911anbi12d 630 . . . . . . 7 (𝑦 = (𝐸𝑋) → ((𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) ↔ ((𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))))
9139122rexbidv 3297 . . . . . 6 (𝑦 = (𝐸𝑋) → (∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) ↔ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ ((𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))))
914913anbi2d 628 . . . . 5 (𝑦 = (𝐸𝑋) → ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) ↔ (𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ ((𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))))))
915914imbi1d 343 . . . 4 (𝑦 = (𝐸𝑋) → (((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ 𝑦 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋) ≠ ∅) ↔ ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ ((𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋) ≠ ∅)))
916915, 614vtoclg 3565 . . 3 ((𝐸𝑋) ∈ ℝ → ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑘 ∈ ℤ ((𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∧ (𝐸𝑋) = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇)))) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋) ≠ ∅))
917628, 909, 916sylc 65 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ≠ 𝐵) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋) ≠ ∅)
918616, 917pm2.61dane 3101 1 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋) ≠ ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  wral 3135  wrex 3136  {crab 3139  Vcvv 3492  cun 3931  cin 3932  wss 3933  c0 4288  ifcif 4463  {csn 4557   class class class wbr 5057  cmpt 5137  dom cdm 5548  ran crn 5549  cres 5550  Rel wrel 5553   Fn wfn 6343  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7145  m cmap 8395  supcsup 8892  cc 10523  cr 10524  0cc0 10525  1c1 10526   + caddc 10528   · cmul 10530  +∞cpnf 10660  -∞cmnf 10661  *cxr 10662   < clt 10663  cle 10664  cmin 10858  -cneg 10859   / cdiv 11285  cn 11626  0cn0 11885  cz 11969  cuz 12231  (,)cioo 12726  (,]cioc 12727  [,)cico 12728  [,]cicc 12729  ...cfz 12880  ..^cfzo 13021  cfl 13148  t crest 16682  TopOpenctopn 16683  topGenctg 16699  fldccnfld 20473  Topctop 21429  intcnt 21553  cnccncf 23411   lim climc 24387
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-pm 8398  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ioo 12730  df-ioc 12731  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-fl 13150  df-seq 13358  df-exp 13418  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-starv 16568  df-tset 16572  df-ple 16573  df-ds 16575  df-unif 16576  df-rest 16684  df-topn 16685  df-topgen 16705  df-psmet 20465  df-xmet 20466  df-met 20467  df-bl 20468  df-mopn 20469  df-cnfld 20474  df-top 21430  df-topon 21447  df-topsp 21469  df-bases 21482  df-ntr 21556  df-cn 21763  df-cnp 21764  df-xms 22857  df-ms 22858  df-cncf 23413  df-limc 24391
This theorem is referenced by:  fourierdlem94  42362  fourierdlem113  42381
  Copyright terms: Public domain W3C validator