Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem49 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem49 39705
Description: The given periodic function 𝐹 has a left limit at every point in the reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem49.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem49.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
fourierdlem49.altb (𝜑𝐴 < 𝐵)
fourierdlem49.p 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐴 ∧ (𝑝𝑚) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
fourierdlem49.t 𝑇 = (𝐵𝐴)
fourierdlem49.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
fourierdlem49.q (𝜑𝑄 ∈ (𝑃𝑀))
fourierdlem49.d (𝜑𝐷 ⊆ ℝ)
fourierdlem49.f (𝜑𝐹:𝐷⟶ℝ)
fourierdlem49.dper ((𝜑𝑥𝐷𝑘 ∈ ℤ) → (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷)
fourierdlem49.per ((𝜑𝑥𝐷𝑘 ∈ ℤ) → (𝐹‘(𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) = (𝐹𝑥))
fourierdlem49.cn ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
fourierdlem49.l ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
fourierdlem49.x (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem49.z 𝑍 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇))
fourierdlem49.e 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + (𝑍𝑥)))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem49 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋) ≠ ∅)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑖,𝑚,𝑝   𝑥,𝐴,𝑖   𝐵,𝑖,𝑘   𝐵,𝑚,𝑝   𝑥,𝐵,𝑘   𝐷,𝑘,𝑥   𝑖,𝐸,𝑘,𝑥   𝑖,𝐹,𝑘,𝑥   𝑖,𝑀,𝑘   𝑚,𝑀,𝑝   𝑥,𝑀   𝑄,𝑖,𝑘   𝑄,𝑝   𝑥,𝑄   𝑇,𝑘,𝑥   𝑖,𝑋,𝑘,𝑥   𝑘,𝑍,𝑥   𝜑,𝑖,𝑘,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚,𝑝)   𝐴(𝑘)   𝐷(𝑖,𝑚,𝑝)   𝑃(𝑥,𝑖,𝑘,𝑚,𝑝)   𝑄(𝑚)   𝑇(𝑖,𝑚,𝑝)   𝐸(𝑚,𝑝)   𝐹(𝑚,𝑝)   𝐿(𝑥,𝑖,𝑘,𝑚,𝑝)   𝑋(𝑚,𝑝)   𝑍(𝑖,𝑚,𝑝)

Proof of Theorem fourierdlem49
Dummy variables 𝑗 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem49.a . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 fourierdlem49.b . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
3 fourierdlem49.altb . . . . . 6 (𝜑𝐴 < 𝐵)
4 fourierdlem49.t . . . . . 6 𝑇 = (𝐵𝐴)
5 fourierdlem49.e . . . . . . 7 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + (𝑍𝑥)))
6 ovex 6638 . . . . . . . . . 10 ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ V
7 fourierdlem49.z . . . . . . . . . . 11 𝑍 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇))
87fvmpt2 6253 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ V) → (𝑍𝑥) = ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇))
96, 8mpan2 706 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑍𝑥) = ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇))
109oveq2d 6626 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 + (𝑍𝑥)) = (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
1110mpteq2ia 4705 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + (𝑍𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
125, 11eqtri 2643 . . . . . 6 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
131, 2, 3, 4, 12fourierdlem4 39661 . . . . 5 (𝜑𝐸:ℝ⟶(𝐴(,]𝐵))
14 fourierdlem49.x . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
1513, 14ffvelrnd 6321 . . . 4 (𝜑 → (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵))
16 simpr 477 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ran 𝑄) → (𝐸𝑋) ∈ ran 𝑄)
17 fourierdlem49.q . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑄 ∈ (𝑃𝑀))
18 fourierdlem49.m . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
19 fourierdlem49.p . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐴 ∧ (𝑝𝑚) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
2019fourierdlem2 39659 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑄 ∈ (𝑃𝑀) ↔ (𝑄 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑀)) ∧ (((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄𝑀) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))))))
2118, 20syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑄 ∈ (𝑃𝑀) ↔ (𝑄 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑀)) ∧ (((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄𝑀) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))))))
2217, 21mpbid 222 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑄 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑀)) ∧ (((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄𝑀) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))))
2322simpld 475 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑄 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑀)))
24 elmapi 7831 . . . . . . . . . . 11 (𝑄 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑀)) → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
26 ffn 6007 . . . . . . . . . 10 (𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ → 𝑄 Fn (0...𝑀))
2725, 26syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑄 Fn (0...𝑀))
2827ad2antrr 761 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ran 𝑄) → 𝑄 Fn (0...𝑀))
29 fvelrnb 6205 . . . . . . . 8 (𝑄 Fn (0...𝑀) → ((𝐸𝑋) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)))
3028, 29syl 17 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ran 𝑄) → ((𝐸𝑋) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)))
3116, 30mpbid 222 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ran 𝑄) → ∃𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑄𝑗) = (𝐸𝑋))
32 1zzd 11360 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → 1 ∈ ℤ)
33 elfzelz 12292 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ)
3433ad2antlr 762 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → 𝑗 ∈ ℤ)
35 1e0p1 11504 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 = (0 + 1)
3635a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → 1 = (0 + 1))
3734zred 11434 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → 𝑗 ∈ ℝ)
38 elfzle1 12294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 0 ≤ 𝑗)
3938ad2antlr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → 0 ≤ 𝑗)
40 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑄𝑗) = (𝐸𝑋) → (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋))
4140eqcomd 2627 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑄𝑗) = (𝐸𝑋) → (𝐸𝑋) = (𝑄𝑗))
4241ad2antlr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) ∧ 𝑗 = 0) → (𝐸𝑋) = (𝑄𝑗))
43 fveq2 6153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑗 = 0 → (𝑄𝑗) = (𝑄‘0))
4443adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) ∧ 𝑗 = 0) → (𝑄𝑗) = (𝑄‘0))
4522simprld 794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → ((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄𝑀) = 𝐵))
4645simpld 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → (𝑄‘0) = 𝐴)
4746ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) ∧ 𝑗 = 0) → (𝑄‘0) = 𝐴)
4842, 44, 473eqtrd 2659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) ∧ 𝑗 = 0) → (𝐸𝑋) = 𝐴)
4948adantllr 754 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) ∧ 𝑗 = 0) → (𝐸𝑋) = 𝐴)
5049adantllr 754 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) ∧ 𝑗 = 0) → (𝐸𝑋) = 𝐴)
511adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
521rexrd 10041 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
5352adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
542rexrd 10041 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
5554adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
56 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵))
57 iocgtlb 39166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐴 < (𝐸𝑋))
5853, 55, 56, 57syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐴 < (𝐸𝑋))
5951, 58gtned 10124 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝐸𝑋) ≠ 𝐴)
6059neneqd 2795 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → ¬ (𝐸𝑋) = 𝐴)
6160ad3antrrr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) ∧ 𝑗 = 0) → ¬ (𝐸𝑋) = 𝐴)
6250, 61pm2.65da 599 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → ¬ 𝑗 = 0)
6362neqned 2797 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → 𝑗 ≠ 0)
6437, 39, 63ne0gt0d 10126 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → 0 < 𝑗)
65 0zd 11341 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → 0 ∈ ℤ)
66 zltp1le 11379 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (0 < 𝑗 ↔ (0 + 1) ≤ 𝑗))
6765, 34, 66syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (0 < 𝑗 ↔ (0 + 1) ≤ 𝑗))
6864, 67mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (0 + 1) ≤ 𝑗)
6936, 68eqbrtrd 4640 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → 1 ≤ 𝑗)
70 eluz2 11645 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ (ℤ‘1) ↔ (1 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑗))
7132, 34, 69, 70syl3anbrc 1244 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → 𝑗 ∈ (ℤ‘1))
72 nnuz 11675 . . . . . . . . . . . . . 14 ℕ = (ℤ‘1)
7371, 72syl6eleqr 2709 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → 𝑗 ∈ ℕ)
74 nnm1nn0 11286 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ ℕ → (𝑗 − 1) ∈ ℕ0)
7573, 74syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝑗 − 1) ∈ ℕ0)
76 nn0uz 11674 . . . . . . . . . . . . 13 0 = (ℤ‘0)
7776a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → ℕ0 = (ℤ‘0))
7875, 77eleqtrd 2700 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝑗 − 1) ∈ (ℤ‘0))
7918nnzd 11433 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
8079ad3antrrr 765 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → 𝑀 ∈ ℤ)
81 peano2zm 11372 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ ℤ → (𝑗 − 1) ∈ ℤ)
8233, 81syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → (𝑗 − 1) ∈ ℤ)
8382zred 11434 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → (𝑗 − 1) ∈ ℝ)
8433zred 11434 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑗 ∈ ℝ)
85 elfzel2 12290 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
8685zred 11434 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
8784ltm1d 10908 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → (𝑗 − 1) < 𝑗)
88 elfzle2 12295 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑗𝑀)
8983, 84, 86, 87, 88ltletrd 10149 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → (𝑗 − 1) < 𝑀)
9089ad2antlr 762 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝑗 − 1) < 𝑀)
91 elfzo2 12422 . . . . . . . . . . 11 ((𝑗 − 1) ∈ (0..^𝑀) ↔ ((𝑗 − 1) ∈ (ℤ‘0) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑗 − 1) < 𝑀))
9278, 80, 90, 91syl3anbrc 1244 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝑗 − 1) ∈ (0..^𝑀))
9325ad3antrrr 765 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
9434, 81syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝑗 − 1) ∈ ℤ)
9565, 80, 943jca 1240 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (0 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑗 − 1) ∈ ℤ))
9675nn0ge0d 11306 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → 0 ≤ (𝑗 − 1))
9783, 86, 89ltled 10137 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → (𝑗 − 1) ≤ 𝑀)
9897ad2antlr 762 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝑗 − 1) ≤ 𝑀)
9995, 96, 98jca32 557 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑗 − 1) ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ (𝑗 − 1) ∧ (𝑗 − 1) ≤ 𝑀)))
100 elfz2 12283 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑗 − 1) ∈ (0...𝑀) ↔ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑗 − 1) ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ (𝑗 − 1) ∧ (𝑗 − 1) ≤ 𝑀)))
10199, 100sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝑗 − 1) ∈ (0...𝑀))
10293, 101ffvelrnd 6321 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝑄‘(𝑗 − 1)) ∈ ℝ)
103102rexrd 10041 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝑄‘(𝑗 − 1)) ∈ ℝ*)
10425ffvelrnda 6320 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝑄𝑗) ∈ ℝ)
105104rexrd 10041 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝑄𝑗) ∈ ℝ*)
106105adantlr 750 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝑄𝑗) ∈ ℝ*)
107106adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝑄𝑗) ∈ ℝ*)
108 iocssre 12203 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴(,]𝐵) ⊆ ℝ)
10952, 2, 108syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐴(,]𝐵) ⊆ ℝ)
110109sselda 3587 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝐸𝑋) ∈ ℝ)
111110rexrd 10041 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝐸𝑋) ∈ ℝ*)
112111ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝐸𝑋) ∈ ℝ*)
113 simplll 797 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → 𝜑)
114 ovex 6638 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 − 1) ∈ V
115 eleq1 2686 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 = (𝑗 − 1) → (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↔ (𝑗 − 1) ∈ (0..^𝑀)))
116115anbi2d 739 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 = (𝑗 − 1) → ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ↔ (𝜑 ∧ (𝑗 − 1) ∈ (0..^𝑀))))
117 fveq2 6153 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 = (𝑗 − 1) → (𝑄𝑖) = (𝑄‘(𝑗 − 1)))
118 oveq1 6617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑖 = (𝑗 − 1) → (𝑖 + 1) = ((𝑗 − 1) + 1))
119118fveq2d 6157 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 = (𝑗 − 1) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) = (𝑄‘((𝑗 − 1) + 1)))
120117, 119breq12d 4631 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 = (𝑗 − 1) → ((𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)) ↔ (𝑄‘(𝑗 − 1)) < (𝑄‘((𝑗 − 1) + 1))))
121116, 120imbi12d 334 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 = (𝑗 − 1) → (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑗 − 1) ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑗 − 1)) < (𝑄‘((𝑗 − 1) + 1)))))
12222simprrd 796 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
123122r19.21bi 2927 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
124114, 121, 123vtocl 3248 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑗 − 1) ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑗 − 1)) < (𝑄‘((𝑗 − 1) + 1)))
125113, 92, 124syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝑄‘(𝑗 − 1)) < (𝑄‘((𝑗 − 1) + 1)))
12633zcnd 11435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑗 ∈ ℂ)
127 1cnd 10008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 1 ∈ ℂ)
128126, 127npcand 10348 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → ((𝑗 − 1) + 1) = 𝑗)
129128eqcomd 2627 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑗 = ((𝑗 − 1) + 1))
130129fveq2d 6157 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → (𝑄𝑗) = (𝑄‘((𝑗 − 1) + 1)))
131130eqcomd 2627 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → (𝑄‘((𝑗 − 1) + 1)) = (𝑄𝑗))
132131ad2antlr 762 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝑄‘((𝑗 − 1) + 1)) = (𝑄𝑗))
133125, 132breqtrd 4644 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝑄‘(𝑗 − 1)) < (𝑄𝑗))
134 simpr 477 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋))
135133, 134breqtrd 4644 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝑄‘(𝑗 − 1)) < (𝐸𝑋))
136109, 15sseldd 3588 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐸𝑋) ∈ ℝ)
137136leidd 10546 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐸𝑋) ≤ (𝐸𝑋))
138137ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝐸𝑋) ≤ (𝐸𝑋))
13941adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝐸𝑋) = (𝑄𝑗))
140138, 139breqtrd 4644 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝐸𝑋) ≤ (𝑄𝑗))
141140adantllr 754 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝐸𝑋) ≤ (𝑄𝑗))
142103, 107, 112, 135, 141eliocd 39172 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄‘(𝑗 − 1))(,](𝑄𝑗)))
143130oveq2d 6626 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → ((𝑄‘(𝑗 − 1))(,](𝑄𝑗)) = ((𝑄‘(𝑗 − 1))(,](𝑄‘((𝑗 − 1) + 1))))
144143ad2antlr 762 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → ((𝑄‘(𝑗 − 1))(,](𝑄𝑗)) = ((𝑄‘(𝑗 − 1))(,](𝑄‘((𝑗 − 1) + 1))))
145142, 144eleqtrd 2700 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄‘(𝑗 − 1))(,](𝑄‘((𝑗 − 1) + 1))))
146117, 119oveq12d 6628 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = (𝑗 − 1) → ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))) = ((𝑄‘(𝑗 − 1))(,](𝑄‘((𝑗 − 1) + 1))))
147146eleq2d 2684 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = (𝑗 − 1) → ((𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↔ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄‘(𝑗 − 1))(,](𝑄‘((𝑗 − 1) + 1)))))
148147rspcev 3298 . . . . . . . . . 10 (((𝑗 − 1) ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄‘(𝑗 − 1))(,](𝑄‘((𝑗 − 1) + 1)))) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
14992, 145, 148syl2anc 692 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ (𝑄𝑗) = (𝐸𝑋)) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
150149ex 450 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ((𝑄𝑗) = (𝐸𝑋) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))))
151150adantlr 750 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ran 𝑄) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ((𝑄𝑗) = (𝐸𝑋) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))))
152151rexlimdva 3025 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ran 𝑄) → (∃𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑄𝑗) = (𝐸𝑋) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))))
15331, 152mpd 15 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ran 𝑄) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
15418ad2antrr 761 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ ¬ (𝐸𝑋) ∈ ran 𝑄) → 𝑀 ∈ ℕ)
15525ad2antrr 761 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ ¬ (𝐸𝑋) ∈ ran 𝑄) → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
156 iocssicc 12211 . . . . . . . . . 10 (𝐴(,]𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
15746eqcomd 2627 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 = (𝑄‘0))
15845simprd 479 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑄𝑀) = 𝐵)
159158eqcomd 2627 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 = (𝑄𝑀))
160157, 159oveq12d 6628 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) = ((𝑄‘0)[,](𝑄𝑀)))
161156, 160syl5sseq 3637 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴(,]𝐵) ⊆ ((𝑄‘0)[,](𝑄𝑀)))
162161sselda 3587 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄‘0)[,](𝑄𝑀)))
163162adantr 481 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ ¬ (𝐸𝑋) ∈ ran 𝑄) → (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄‘0)[,](𝑄𝑀)))
164 simpr 477 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ ¬ (𝐸𝑋) ∈ ran 𝑄) → ¬ (𝐸𝑋) ∈ ran 𝑄)
165 fveq2 6153 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑗 → (𝑄𝑘) = (𝑄𝑗))
166165breq1d 4628 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑗 → ((𝑄𝑘) < (𝐸𝑋) ↔ (𝑄𝑗) < (𝐸𝑋)))
167166cbvrabv 3188 . . . . . . . 8 {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) < (𝐸𝑋)} = {𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑗) < (𝐸𝑋)}
168167supeq1i 8305 . . . . . . 7 sup({𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) < (𝐸𝑋)}, ℝ, < ) = sup({𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑗) < (𝐸𝑋)}, ℝ, < )
169154, 155, 163, 164, 168fourierdlem25 39682 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ ¬ (𝐸𝑋) ∈ ran 𝑄) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
170 ioossioc 39155 . . . . . . . . 9 ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))
171170sseli 3583 . . . . . . . 8 ((𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
172171a1i 11 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ ¬ (𝐸𝑋) ∈ ran 𝑄) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))))
173172reximdva 3012 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ ¬ (𝐸𝑋) ∈ ran 𝑄) → (∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))))
174169, 173mpd 15 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ ¬ (𝐸𝑋) ∈ ran 𝑄) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
175153, 174pm2.61dan 831 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐸𝑋) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
17615, 175mpdan 701 . . 3 (𝜑 → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
177 fourierdlem49.f . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹:𝐷⟶ℝ)
178 frel 6012 . . . . . . . . . . 11 (𝐹:𝐷⟶ℝ → Rel 𝐹)
179177, 178syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → Rel 𝐹)
180 resindm 5408 . . . . . . . . . . 11 (Rel 𝐹 → (𝐹 ↾ ((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ dom 𝐹)) = (𝐹 ↾ (-∞(,)(𝐸𝑋))))
181180eqcomd 2627 . . . . . . . . . 10 (Rel 𝐹 → (𝐹 ↾ (-∞(,)(𝐸𝑋))) = (𝐹 ↾ ((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ dom 𝐹)))
182179, 181syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹 ↾ (-∞(,)(𝐸𝑋))) = (𝐹 ↾ ((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ dom 𝐹)))
183 fdm 6013 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:𝐷⟶ℝ → dom 𝐹 = 𝐷)
184177, 183syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐷)
185184ineq2d 3797 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ dom 𝐹) = ((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷))
186185reseq2d 5361 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹 ↾ ((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ dom 𝐹)) = (𝐹 ↾ ((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷)))
187182, 186eqtrd 2655 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹 ↾ (-∞(,)(𝐸𝑋))) = (𝐹 ↾ ((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷)))
1881873ad2ant1 1080 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐹 ↾ (-∞(,)(𝐸𝑋))) = (𝐹 ↾ ((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷)))
189188oveq1d 6625 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹 ↾ (-∞(,)(𝐸𝑋))) lim (𝐸𝑋)) = ((𝐹 ↾ ((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷)) lim (𝐸𝑋)))
190 ax-resscn 9945 . . . . . . . . . . 11 ℝ ⊆ ℂ
191190a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
192177, 191fssd 6019 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:𝐷⟶ℂ)
1931923ad2ant1 1080 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝐹:𝐷⟶ℂ)
194 inss2 3817 . . . . . . . . 9 ((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ⊆ 𝐷
195194a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ⊆ 𝐷)
196193, 195fssresd 6033 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐹 ↾ ((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷)):((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷)⟶ℂ)
197 mnfxr 10048 . . . . . . . . . 10 -∞ ∈ ℝ*
198197a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → -∞ ∈ ℝ*)
19925adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
200 elfzofz 12434 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
201200adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
202199, 201ffvelrnd 6321 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ)
203202rexrd 10041 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ*)
204202mnfltd 11910 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → -∞ < (𝑄𝑖))
205198, 203, 204xrltled 38981 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → -∞ ≤ (𝑄𝑖))
206 iooss1 12160 . . . . . . . . . 10 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ -∞ ≤ (𝑄𝑖)) → ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋)) ⊆ (-∞(,)(𝐸𝑋)))
207197, 205, 206sylancr 694 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋)) ⊆ (-∞(,)(𝐸𝑋)))
2082073adant3 1079 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋)) ⊆ (-∞(,)(𝐸𝑋)))
209 fzofzp1 12514 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
210209adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
211199, 210ffvelrnd 6321 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
2122113adant3 1079 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
213212rexrd 10041 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*)
2142023adant3 1079 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ)
215214rexrd 10041 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ*)
216 simp3 1061 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
217 iocleub 39167 . . . . . . . . . . 11 (((𝑄𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ* ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐸𝑋) ≤ (𝑄‘(𝑖 + 1)))
218215, 213, 216, 217syl3anc 1323 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐸𝑋) ≤ (𝑄‘(𝑖 + 1)))
219 iooss2 12161 . . . . . . . . . 10 (((𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ* ∧ (𝐸𝑋) ≤ (𝑄‘(𝑖 + 1))) → ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋)) ⊆ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
220213, 218, 219syl2anc 692 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋)) ⊆ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
221 fourierdlem49.cn . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
222 cncff 22619 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))):((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ)
223 fdm 6013 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))):((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ → dom (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
224221, 222, 2233syl 18 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → dom (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
225 ssdmres 5384 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ dom 𝐹 ↔ dom (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
226224, 225sylibr 224 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ dom 𝐹)
227184adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → dom 𝐹 = 𝐷)
228226, 227sseqtrd 3625 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ 𝐷)
2292283adant3 1079 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ 𝐷)
230220, 229sstrd 3597 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋)) ⊆ 𝐷)
231208, 230ssind 3820 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋)) ⊆ ((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷))
232 fourierdlem49.d . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐷 ⊆ ℝ)
233232, 191sstrd 3597 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐷 ⊆ ℂ)
2342333ad2ant1 1080 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝐷 ⊆ ℂ)
235194, 234syl5ss 3598 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ⊆ ℂ)
236 eqid 2621 . . . . . . 7 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
237 eqid 2621 . . . . . . 7 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)}))
2381363ad2ant1 1080 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐸𝑋) ∈ ℝ)
239238rexrd 10041 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐸𝑋) ∈ ℝ*)
240 iocgtlb 39166 . . . . . . . . . 10 (((𝑄𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ* ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄𝑖) < (𝐸𝑋))
241215, 213, 216, 240syl3anc 1323 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄𝑖) < (𝐸𝑋))
242238leidd 10546 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐸𝑋) ≤ (𝐸𝑋))
243215, 239, 239, 241, 242eliocd 39172 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋)))
244 snunioo2 39173 . . . . . . . . . . 11 (((𝑄𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝐸𝑋) ∈ ℝ* ∧ (𝑄𝑖) < (𝐸𝑋)) → (((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋)) ∪ {(𝐸𝑋)}) = ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋)))
245215, 239, 241, 244syl3anc 1323 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋)) ∪ {(𝐸𝑋)}) = ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋)))
246245fveq2d 6157 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)})))‘(((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋)) ∪ {(𝐸𝑋)})) = ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)})))‘((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))))
247236cnfldtop 22510 . . . . . . . . . . 11 (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
248 ovex 6638 . . . . . . . . . . . . 13 (-∞(,)(𝐸𝑋)) ∈ V
249248inex1 4764 . . . . . . . . . . . 12 ((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∈ V
250 snex 4874 . . . . . . . . . . . 12 {(𝐸𝑋)} ∈ V
251249, 250unex 6916 . . . . . . . . . . 11 (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)}) ∈ V
252 resttop 20887 . . . . . . . . . . 11 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)}) ∈ V) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)})) ∈ Top)
253247, 251, 252mp2an 707 . . . . . . . . . 10 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)})) ∈ Top
254 retop 22488 . . . . . . . . . . . . 13 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
255254a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (topGen‘ran (,)) ∈ Top)
256251a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)}) ∈ V)
257 iooretop 22492 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑄𝑖)(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,))
258257a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝑄𝑖)(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,)))
259 elrestr 16021 . . . . . . . . . . . 12 (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)}) ∈ V ∧ ((𝑄𝑖)(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,))) → (((𝑄𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)})) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)})))
260255, 256, 258, 259syl3anc 1323 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (((𝑄𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)})) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)})))
261 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 = (𝐸𝑋)) → 𝑥 = (𝐸𝑋))
262 pnfxr 10044 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 +∞ ∈ ℝ*
263262a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → +∞ ∈ ℝ*)
264238ltpnfd 11907 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐸𝑋) < +∞)
265215, 263, 238, 241, 264eliood 39162 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,)+∞))
266 snidg 4182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐸𝑋) ∈ ℝ → (𝐸𝑋) ∈ {(𝐸𝑋)})
267 elun2 3764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐸𝑋) ∈ {(𝐸𝑋)} → (𝐸𝑋) ∈ (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)}))
268266, 267syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐸𝑋) ∈ ℝ → (𝐸𝑋) ∈ (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)}))
269136, 268syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝐸𝑋) ∈ (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)}))
2702693ad2ant1 1080 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐸𝑋) ∈ (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)}))
271265, 270elind 3781 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐸𝑋) ∈ (((𝑄𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)})))
272271adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 = (𝐸𝑋)) → (𝐸𝑋) ∈ (((𝑄𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)})))
273261, 272eqeltrd 2698 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 = (𝐸𝑋)) → 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)})))
274273adantlr 750 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))) ∧ 𝑥 = (𝐸𝑋)) → 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)})))
275215adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ*)
276262a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))) → +∞ ∈ ℝ*)
277203adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ*)
278136adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐸𝑋) ∈ ℝ)
279278adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))) → (𝐸𝑋) ∈ ℝ)
280 iocssre 12203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑄𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝐸𝑋) ∈ ℝ) → ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋)) ⊆ ℝ)
281277, 279, 280syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))) → ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋)) ⊆ ℝ)
282 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))) → 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋)))
283281, 282sseldd 3588 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))) → 𝑥 ∈ ℝ)
2842833adantl3 1217 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))) → 𝑥 ∈ ℝ)
285279rexrd 10041 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))) → (𝐸𝑋) ∈ ℝ*)
286 iocgtlb 39166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑄𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝐸𝑋) ∈ ℝ*𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))) → (𝑄𝑖) < 𝑥)
287277, 285, 282, 286syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))) → (𝑄𝑖) < 𝑥)
2882873adantl3 1217 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))) → (𝑄𝑖) < 𝑥)
289284ltpnfd 11907 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))) → 𝑥 < +∞)
290275, 276, 284, 288, 289eliood 39162 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))) → 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)+∞))
291290adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸𝑋)) → 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)+∞))
292197a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸𝑋)) → -∞ ∈ ℝ*)
293285adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸𝑋)) → (𝐸𝑋) ∈ ℝ*)
294283adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸𝑋)) → 𝑥 ∈ ℝ)
295294mnfltd 11910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸𝑋)) → -∞ < 𝑥)
296136ad3antrrr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸𝑋)) → (𝐸𝑋) ∈ ℝ)
297 iocleub 39167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑄𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝐸𝑋) ∈ ℝ*𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))) → 𝑥 ≤ (𝐸𝑋))
298277, 285, 282, 297syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))) → 𝑥 ≤ (𝐸𝑋))
299298adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸𝑋)) → 𝑥 ≤ (𝐸𝑋))
300 neqne 2798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑥 = (𝐸𝑋) → 𝑥 ≠ (𝐸𝑋))
301300necomd 2845 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑥 = (𝐸𝑋) → (𝐸𝑋) ≠ 𝑥)
302301adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸𝑋)) → (𝐸𝑋) ≠ 𝑥)
303294, 296, 299, 302leneltd 10143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸𝑋)) → 𝑥 < (𝐸𝑋))
304292, 293, 294, 295, 303eliood 39162 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸𝑋)) → 𝑥 ∈ (-∞(,)(𝐸𝑋)))
3053043adantll3 38721 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸𝑋)) → 𝑥 ∈ (-∞(,)(𝐸𝑋)))
306229ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸𝑋)) → ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ 𝐷)
307275adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸𝑋)) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ*)
308213ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸𝑋)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*)
309284adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸𝑋)) → 𝑥 ∈ ℝ)
310288adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸𝑋)) → (𝑄𝑖) < 𝑥)
311238ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸𝑋)) → (𝐸𝑋) ∈ ℝ)
312212ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸𝑋)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
3133033adantll3 38721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸𝑋)) → 𝑥 < (𝐸𝑋))
314218ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸𝑋)) → (𝐸𝑋) ≤ (𝑄‘(𝑖 + 1)))
315309, 311, 312, 313, 314ltletrd 10149 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸𝑋)) → 𝑥 < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
316307, 308, 309, 310, 315eliood 39162 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸𝑋)) → 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
317306, 316sseldd 3588 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸𝑋)) → 𝑥𝐷)
318305, 317elind 3781 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸𝑋)) → 𝑥 ∈ ((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷))
319 elun1 3763 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) → 𝑥 ∈ (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)}))
320318, 319syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸𝑋)) → 𝑥 ∈ (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)}))
321291, 320elind 3781 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))) ∧ ¬ 𝑥 = (𝐸𝑋)) → 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)})))
322274, 321pm2.61dan 831 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))) → 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)})))
323215adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)}))) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ*)
324239adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)}))) → (𝐸𝑋) ∈ ℝ*)
325 elinel1 3782 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (((𝑄𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)})) → 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)+∞))
326 elioore 12155 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ)
327326rexrd 10041 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ*)
328325, 327syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (((𝑄𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)})) → 𝑥 ∈ ℝ*)
329328adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)}))) → 𝑥 ∈ ℝ*)
330203adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)}))) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ*)
331262a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)}))) → +∞ ∈ ℝ*)
332325adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)}))) → 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)+∞))
333 ioogtlb 39159 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑄𝑖) ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)+∞)) → (𝑄𝑖) < 𝑥)
334330, 331, 332, 333syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)}))) → (𝑄𝑖) < 𝑥)
3353343adantl3 1217 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)}))) → (𝑄𝑖) < 𝑥)
336 elinel2 3783 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (((𝑄𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)})) → 𝑥 ∈ (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)}))
337 elsni 4170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ {(𝐸𝑋)} → 𝑥 = (𝐸𝑋))
338337adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥 ∈ {(𝐸𝑋)}) → 𝑥 = (𝐸𝑋))
339137adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥 ∈ {(𝐸𝑋)}) → (𝐸𝑋) ≤ (𝐸𝑋))
340338, 339eqbrtrd 4640 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥 ∈ {(𝐸𝑋)}) → 𝑥 ≤ (𝐸𝑋))
341340adantlr 750 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥 ∈ (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)})) ∧ 𝑥 ∈ {(𝐸𝑋)}) → 𝑥 ≤ (𝐸𝑋))
342 simpll 789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥 ∈ (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)})) ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(𝐸𝑋)}) → 𝜑)
343 elunnel2 38716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 ∈ (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)}) ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(𝐸𝑋)}) → 𝑥 ∈ ((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷))
344343adantll 749 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥 ∈ (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)})) ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(𝐸𝑋)}) → 𝑥 ∈ ((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷))
345 elinel1 3782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ ((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) → 𝑥 ∈ (-∞(,)(𝐸𝑋)))
346 elioore 12155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 ∈ (-∞(,)(𝐸𝑋)) → 𝑥 ∈ ℝ)
347346adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑥 ∈ (-∞(,)(𝐸𝑋))) → 𝑥 ∈ ℝ)
348136adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑥 ∈ (-∞(,)(𝐸𝑋))) → (𝐸𝑋) ∈ ℝ)
349197a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑥 ∈ (-∞(,)(𝐸𝑋))) → -∞ ∈ ℝ*)
350348rexrd 10041 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑥 ∈ (-∞(,)(𝐸𝑋))) → (𝐸𝑋) ∈ ℝ*)
351 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑥 ∈ (-∞(,)(𝐸𝑋))) → 𝑥 ∈ (-∞(,)(𝐸𝑋)))
352 iooltub 39177 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ (𝐸𝑋) ∈ ℝ*𝑥 ∈ (-∞(,)(𝐸𝑋))) → 𝑥 < (𝐸𝑋))
353349, 350, 351, 352syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑥 ∈ (-∞(,)(𝐸𝑋))) → 𝑥 < (𝐸𝑋))
354347, 348, 353ltled 10137 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥 ∈ (-∞(,)(𝐸𝑋))) → 𝑥 ≤ (𝐸𝑋))
355345, 354sylan2 491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥 ∈ ((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷)) → 𝑥 ≤ (𝐸𝑋))
356342, 344, 355syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥 ∈ (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)})) ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(𝐸𝑋)}) → 𝑥 ≤ (𝐸𝑋))
357341, 356pm2.61dan 831 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)})) → 𝑥 ≤ (𝐸𝑋))
358357adantlr 750 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)})) → 𝑥 ≤ (𝐸𝑋))
359336, 358sylan2 491 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)}))) → 𝑥 ≤ (𝐸𝑋))
3603593adantl3 1217 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)}))) → 𝑥 ≤ (𝐸𝑋))
361323, 324, 329, 335, 360eliocd 39172 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)}))) → 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋)))
362322, 361impbida 876 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋)) ↔ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)}))))
363362eqrdv 2619 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋)) = (((𝑄𝑖)(,)+∞) ∩ (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)})))
364 ioossre 12185 . . . . . . . . . . . . . 14 (-∞(,)(𝐸𝑋)) ⊆ ℝ
365 ssinss1 3824 . . . . . . . . . . . . . 14 ((-∞(,)(𝐸𝑋)) ⊆ ℝ → ((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ⊆ ℝ)
366364, 365mp1i 13 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ⊆ ℝ)
367238snssd 4314 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → {(𝐸𝑋)} ⊆ ℝ)
368366, 367unssd 3772 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)}) ⊆ ℝ)
369 eqid 2621 . . . . . . . . . . . . 13 (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
370236, 369tgiooss 39175 . . . . . . . . . . . 12 ((((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)}) ⊆ ℝ → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)})) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)})))
371368, 370syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)})) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)})))
372260, 363, 3713eltr4d 2713 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋)) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)})))
373 isopn3i 20809 . . . . . . . . . 10 ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)})) ∈ Top ∧ ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋)) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)}))) → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)})))‘((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))) = ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋)))
374253, 372, 373sylancr 694 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)})))‘((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋))) = ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋)))
375246, 374eqtr2d 2656 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝑄𝑖)(,](𝐸𝑋)) = ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)})))‘(((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋)) ∪ {(𝐸𝑋)})))
376243, 375eleqtrd 2700 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐸𝑋) ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷) ∪ {(𝐸𝑋)})))‘(((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋)) ∪ {(𝐸𝑋)})))
377196, 231, 235, 236, 237, 376limcres 23573 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (((𝐹 ↾ ((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷)) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))) lim (𝐸𝑋)) = ((𝐹 ↾ ((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷)) lim (𝐸𝑋)))
378231resabs1d 5392 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹 ↾ ((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷)) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))) = (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))))
379378oveq1d 6625 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (((𝐹 ↾ ((-∞(,)(𝐸𝑋)) ∩ 𝐷)) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))) lim (𝐸𝑋)) = ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))) lim (𝐸𝑋)))
380189, 377, 3793eqtr2d 2661 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹 ↾ (-∞(,)(𝐸𝑋))) lim (𝐸𝑋)) = ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))) lim (𝐸𝑋)))
381184feq2d 5993 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ↔ 𝐹:𝐷⟶ℂ))
382192, 381mpbird 247 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
383382adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))) lim (𝐸𝑋))) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
3843833ad2antl1 1221 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))) lim (𝐸𝑋))) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
385 ioosscn 39158 . . . . . . . . . 10 ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋)) ⊆ ℂ
386385a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))) lim (𝐸𝑋))) → ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋)) ⊆ ℂ)
387184eqcomd 2627 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐷 = dom 𝐹)
3883873ad2ant1 1080 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝐷 = dom 𝐹)
389230, 388sseqtrd 3625 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋)) ⊆ dom 𝐹)
390389adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))) lim (𝐸𝑋))) → ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋)) ⊆ dom 𝐹)
3917a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑍 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
392 oveq2 6618 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 𝑋 → (𝐵𝑥) = (𝐵𝑋))
393392oveq1d 6625 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑋 → ((𝐵𝑥) / 𝑇) = ((𝐵𝑋) / 𝑇))
394393fveq2d 6157 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑋 → (⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) = (⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)))
395394oveq1d 6625 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑋 → ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇) = ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))
396395adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 = 𝑋) → ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇) = ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))
3972, 14resubcld 10410 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝐵𝑋) ∈ ℝ)
3982, 1resubcld 10410 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ ℝ)
3994, 398syl5eqel 2702 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
4001, 2posdifd 10566 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵𝐴)))
4013, 400mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → 0 < (𝐵𝐴))
4024eqcomi 2630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐵𝐴) = 𝑇
403402a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝐵𝐴) = 𝑇)
404401, 403breqtrd 4644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → 0 < 𝑇)
405404gt0ne0d 10544 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑇 ≠ 0)
406397, 399, 405redivcld 10805 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((𝐵𝑋) / 𝑇) ∈ ℝ)
407406flcld 12547 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ)
408407zred 11434 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) ∈ ℝ)
409408, 399remulcld 10022 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ ℝ)
410391, 396, 14, 409fvmptd 6250 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑍𝑋) = ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))
411410, 409eqeltrd 2698 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑍𝑋) ∈ ℝ)
412411recnd 10020 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑍𝑋) ∈ ℂ)
413412adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))) lim (𝐸𝑋))) → (𝑍𝑋) ∈ ℂ)
4144133ad2antl1 1221 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))) lim (𝐸𝑋))) → (𝑍𝑋) ∈ ℂ)
415414negcld 10331 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))) lim (𝐸𝑋))) → -(𝑍𝑋) ∈ ℂ)
416 eqid 2621 . . . . . . . . 9 {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))𝑧 = (𝑥 + -(𝑍𝑋))} = {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))𝑧 = (𝑥 + -(𝑍𝑋))}
417 ioosscn 39158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋) ⊆ ℂ
418417sseli 3583 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋) → 𝑦 ∈ ℂ)
419418adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → 𝑦 ∈ ℂ)
420412adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → (𝑍𝑋) ∈ ℂ)
421419, 420pncand 10345 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → ((𝑦 + (𝑍𝑋)) − (𝑍𝑋)) = 𝑦)
422421eqcomd 2627 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → 𝑦 = ((𝑦 + (𝑍𝑋)) − (𝑍𝑋)))
4234223ad2antl1 1221 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → 𝑦 = ((𝑦 + (𝑍𝑋)) − (𝑍𝑋)))
424410oveq2d 6626 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((𝑦 + (𝑍𝑋)) − (𝑍𝑋)) = ((𝑦 + (𝑍𝑋)) − ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)))
425424adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → ((𝑦 + (𝑍𝑋)) − (𝑍𝑋)) = ((𝑦 + (𝑍𝑋)) − ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)))
426419, 420addcld 10011 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → (𝑦 + (𝑍𝑋)) ∈ ℂ)
427409recnd 10020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ ℂ)
428427adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ ℂ)
429426, 428negsubd 10350 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → ((𝑦 + (𝑍𝑋)) + -((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) = ((𝑦 + (𝑍𝑋)) − ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)))
430407zcnd 11435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) ∈ ℂ)
431399recnd 10020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝑇 ∈ ℂ)
432430, 431mulneg1d 10435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (-(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇) = -((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))
433432eqcomd 2627 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → -((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇) = (-(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))
434433oveq2d 6626 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((𝑦 + (𝑍𝑋)) + -((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) = ((𝑦 + (𝑍𝑋)) + (-(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)))
435434adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → ((𝑦 + (𝑍𝑋)) + -((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) = ((𝑦 + (𝑍𝑋)) + (-(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)))
436425, 429, 4353eqtr2d 2661 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → ((𝑦 + (𝑍𝑋)) − (𝑍𝑋)) = ((𝑦 + (𝑍𝑋)) + (-(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)))
4374363ad2antl1 1221 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → ((𝑦 + (𝑍𝑋)) − (𝑍𝑋)) = ((𝑦 + (𝑍𝑋)) + (-(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)))
438407znegcld 11436 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → -(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ)
439438adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → -(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ)
4404393ad2antl1 1221 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → -(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ)
441 simpl1 1062 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → 𝜑)
442230adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋)) ⊆ 𝐷)
443203adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ*)
444136rexrd 10041 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝐸𝑋) ∈ ℝ*)
445444ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → (𝐸𝑋) ∈ ℝ*)
446 elioore 12155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋) → 𝑦 ∈ ℝ)
447446adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → 𝑦 ∈ ℝ)
448411adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → (𝑍𝑋) ∈ ℝ)
449447, 448readdcld 10021 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → (𝑦 + (𝑍𝑋)) ∈ ℝ)
450449adantlr 750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → (𝑦 + (𝑍𝑋)) ∈ ℝ)
451411adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑍𝑋) ∈ ℝ)
452202, 451resubcld 10410 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋)) ∈ ℝ)
453452rexrd 10041 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋)) ∈ ℝ*)
454453adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → ((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋)) ∈ ℝ*)
45514rexrd 10041 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑𝑋 ∈ ℝ*)
456455ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → 𝑋 ∈ ℝ*)
457 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → 𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋))
458 ioogtlb 39159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → ((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋)) < 𝑦)
459454, 456, 457, 458syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → ((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋)) < 𝑦)
460202adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ)
461451adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → (𝑍𝑋) ∈ ℝ)
462446adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → 𝑦 ∈ ℝ)
463460, 461, 462ltsubaddd 10575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋)) < 𝑦 ↔ (𝑄𝑖) < (𝑦 + (𝑍𝑋))))
464459, 463mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → (𝑄𝑖) < (𝑦 + (𝑍𝑋)))
46514ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → 𝑋 ∈ ℝ)
466 iooltub 39177 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → 𝑦 < 𝑋)
467454, 456, 457, 466syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → 𝑦 < 𝑋)
468462, 465, 461, 467ltadd1dd 10590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → (𝑦 + (𝑍𝑋)) < (𝑋 + (𝑍𝑋)))
4695a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + (𝑍𝑥))))
470 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑥 = 𝑋𝑥 = 𝑋)
471 fveq2 6153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑥 = 𝑋 → (𝑍𝑥) = (𝑍𝑋))
472470, 471oveq12d 6628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 + (𝑍𝑥)) = (𝑋 + (𝑍𝑋)))
473472adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑥 = 𝑋) → (𝑥 + (𝑍𝑥)) = (𝑋 + (𝑍𝑋)))
47414, 411readdcld 10021 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → (𝑋 + (𝑍𝑋)) ∈ ℝ)
475469, 473, 14, 474fvmptd 6250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → (𝐸𝑋) = (𝑋 + (𝑍𝑋)))
476475eqcomd 2627 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝑋 + (𝑍𝑋)) = (𝐸𝑋))
477476ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → (𝑋 + (𝑍𝑋)) = (𝐸𝑋))
478468, 477breqtrd 4644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → (𝑦 + (𝑍𝑋)) < (𝐸𝑋))
479443, 445, 450, 464, 478eliood 39162 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → (𝑦 + (𝑍𝑋)) ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋)))
4804793adantl3 1217 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → (𝑦 + (𝑍𝑋)) ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋)))
481442, 480sseldd 3588 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → (𝑦 + (𝑍𝑋)) ∈ 𝐷)
482441, 481, 4403jca 1240 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → (𝜑 ∧ (𝑦 + (𝑍𝑋)) ∈ 𝐷 ∧ -(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ))
483 eleq1 2686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 = -(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) → (𝑘 ∈ ℤ ↔ -(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ))
4844833anbi3d 1402 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = -(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) → ((𝜑 ∧ (𝑦 + (𝑍𝑋)) ∈ 𝐷𝑘 ∈ ℤ) ↔ (𝜑 ∧ (𝑦 + (𝑍𝑋)) ∈ 𝐷 ∧ -(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ)))
485 oveq1 6617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 = -(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) → (𝑘 · 𝑇) = (-(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))
486485oveq2d 6626 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 = -(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) → ((𝑦 + (𝑍𝑋)) + (𝑘 · 𝑇)) = ((𝑦 + (𝑍𝑋)) + (-(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)))
487486eleq1d 2683 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = -(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) → (((𝑦 + (𝑍𝑋)) + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷 ↔ ((𝑦 + (𝑍𝑋)) + (-(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) ∈ 𝐷))
488484, 487imbi12d 334 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = -(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) → (((𝜑 ∧ (𝑦 + (𝑍𝑋)) ∈ 𝐷𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑦 + (𝑍𝑋)) + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑦 + (𝑍𝑋)) ∈ 𝐷 ∧ -(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ) → ((𝑦 + (𝑍𝑋)) + (-(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) ∈ 𝐷)))
489 ovex 6638 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 + (𝑍𝑋)) ∈ V
490 eleq1 2686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = (𝑦 + (𝑍𝑋)) → (𝑥𝐷 ↔ (𝑦 + (𝑍𝑋)) ∈ 𝐷))
4914903anbi2d 1401 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = (𝑦 + (𝑍𝑋)) → ((𝜑𝑥𝐷𝑘 ∈ ℤ) ↔ (𝜑 ∧ (𝑦 + (𝑍𝑋)) ∈ 𝐷𝑘 ∈ ℤ)))
492 oveq1 6617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = (𝑦 + (𝑍𝑋)) → (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) = ((𝑦 + (𝑍𝑋)) + (𝑘 · 𝑇)))
493492eleq1d 2683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = (𝑦 + (𝑍𝑋)) → ((𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷 ↔ ((𝑦 + (𝑍𝑋)) + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷))
494491, 493imbi12d 334 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = (𝑦 + (𝑍𝑋)) → (((𝜑𝑥𝐷𝑘 ∈ ℤ) → (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑦 + (𝑍𝑋)) ∈ 𝐷𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑦 + (𝑍𝑋)) + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷)))
495 fourierdlem49.dper . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥𝐷𝑘 ∈ ℤ) → (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷)
496489, 494, 495vtocl 3248 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑦 + (𝑍𝑋)) ∈ 𝐷𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑦 + (𝑍𝑋)) + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐷)
497488, 496vtoclg 3255 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (-(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ → ((𝜑 ∧ (𝑦 + (𝑍𝑋)) ∈ 𝐷 ∧ -(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ) → ((𝑦 + (𝑍𝑋)) + (-(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) ∈ 𝐷))
498440, 482, 497sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → ((𝑦 + (𝑍𝑋)) + (-(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) ∈ 𝐷)
499437, 498eqeltrd 2698 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → ((𝑦 + (𝑍𝑋)) − (𝑍𝑋)) ∈ 𝐷)
500423, 499eqeltrd 2698 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → 𝑦𝐷)
501500ralrimiva 2961 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ∀𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)𝑦𝐷)
502 dfss3 3577 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋) ⊆ 𝐷 ↔ ∀𝑦 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)𝑦𝐷)
503501, 502sylibr 224 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋) ⊆ 𝐷)
504202recnd 10020 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) ∈ ℂ)
505412adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑍𝑋) ∈ ℂ)
506504, 505negsubd 10350 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖) + -(𝑍𝑋)) = ((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋)))
507506eqcomd 2627 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋)) = ((𝑄𝑖) + -(𝑍𝑋)))
508475oveq1d 6625 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝐸𝑋) + -(𝑍𝑋)) = ((𝑋 + (𝑍𝑋)) + -(𝑍𝑋)))
509474recnd 10020 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑋 + (𝑍𝑋)) ∈ ℂ)
510509, 412negsubd 10350 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝑋 + (𝑍𝑋)) + -(𝑍𝑋)) = ((𝑋 + (𝑍𝑋)) − (𝑍𝑋)))
51114recnd 10020 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
512511, 412pncand 10345 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝑋 + (𝑍𝑋)) − (𝑍𝑋)) = 𝑋)
513508, 510, 5123eqtrrd 2660 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑋 = ((𝐸𝑋) + -(𝑍𝑋)))
514513adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑋 = ((𝐸𝑋) + -(𝑍𝑋)))
515507, 514oveq12d 6628 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋) = (((𝑄𝑖) + -(𝑍𝑋))(,)((𝐸𝑋) + -(𝑍𝑋))))
516451renegcld 10409 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → -(𝑍𝑋) ∈ ℝ)
517202, 278, 516iooshift 39190 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑄𝑖) + -(𝑍𝑋))(,)((𝐸𝑋) + -(𝑍𝑋))) = {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))𝑧 = (𝑥 + -(𝑍𝑋))})
518515, 517eqtr2d 2656 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))𝑧 = (𝑥 + -(𝑍𝑋))} = (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋))
5195183adant3 1079 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))𝑧 = (𝑥 + -(𝑍𝑋))} = (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋))
5201843ad2ant1 1080 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → dom 𝐹 = 𝐷)
521503, 519, 5203sstr4d 3632 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))𝑧 = (𝑥 + -(𝑍𝑋))} ⊆ dom 𝐹)
522521adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))) lim (𝐸𝑋))) → {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))𝑧 = (𝑥 + -(𝑍𝑋))} ⊆ dom 𝐹)
523410negeqd 10227 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → -(𝑍𝑋) = -((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))
524523, 433eqtrd 2655 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → -(𝑍𝑋) = (-(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))
525524oveq2d 6626 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑥 + -(𝑍𝑋)) = (𝑥 + (-(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)))
526525fveq2d 6157 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐹‘(𝑥 + -(𝑍𝑋))) = (𝐹‘(𝑥 + (-(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))))
527526adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))) → (𝐹‘(𝑥 + -(𝑍𝑋))) = (𝐹‘(𝑥 + (-(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))))
5285273ad2antl1 1221 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))) → (𝐹‘(𝑥 + -(𝑍𝑋))) = (𝐹‘(𝑥 + (-(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))))
529438adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))) → -(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ)
5305293ad2antl1 1221 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))) → -(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ)
531 simpl1 1062 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))) → 𝜑)
532230sselda 3587 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))) → 𝑥𝐷)
533531, 532, 5303jca 1240 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))) → (𝜑𝑥𝐷 ∧ -(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ))
5344833anbi3d 1402 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = -(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) → ((𝜑𝑥𝐷𝑘 ∈ ℤ) ↔ (𝜑𝑥𝐷 ∧ -(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ)))
535485oveq2d 6626 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = -(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) → (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑥 + (-(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)))
536535fveq2d 6157 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = -(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) → (𝐹‘(𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) = (𝐹‘(𝑥 + (-(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))))
537536eqeq1d 2623 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = -(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) → ((𝐹‘(𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) = (𝐹𝑥) ↔ (𝐹‘(𝑥 + (-(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))) = (𝐹𝑥)))
538534, 537imbi12d 334 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = -(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) → (((𝜑𝑥𝐷𝑘 ∈ ℤ) → (𝐹‘(𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) = (𝐹𝑥)) ↔ ((𝜑𝑥𝐷 ∧ -(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ) → (𝐹‘(𝑥 + (-(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))) = (𝐹𝑥))))
539 fourierdlem49.per . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐷𝑘 ∈ ℤ) → (𝐹‘(𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) = (𝐹𝑥))
540538, 539vtoclg 3255 . . . . . . . . . . . 12 (-(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ → ((𝜑𝑥𝐷 ∧ -(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ) → (𝐹‘(𝑥 + (-(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))) = (𝐹𝑥)))
541530, 533, 540sylc 65 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))) → (𝐹‘(𝑥 + (-(⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))) = (𝐹𝑥))
542528, 541eqtrd 2655 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))) → (𝐹‘(𝑥 + -(𝑍𝑋))) = (𝐹𝑥))
543542adantlr 750 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))) lim (𝐸𝑋))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))) → (𝐹‘(𝑥 + -(𝑍𝑋))) = (𝐹𝑥))
544 simpr 477 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))) lim (𝐸𝑋))) → 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))) lim (𝐸𝑋)))
545384, 386, 390, 415, 416, 522, 543, 544limcperiod 39292 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))) lim (𝐸𝑋))) → 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))𝑧 = (𝑥 + -(𝑍𝑋))}) lim ((𝐸𝑋) + -(𝑍𝑋))))
546518reseq2d 5361 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))𝑧 = (𝑥 + -(𝑍𝑋))}) = (𝐹 ↾ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)))
547514eqcomd 2627 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐸𝑋) + -(𝑍𝑋)) = 𝑋)
548546, 547oveq12d 6628 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐹 ↾ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))𝑧 = (𝑥 + -(𝑍𝑋))}) lim ((𝐸𝑋) + -(𝑍𝑋))) = ((𝐹 ↾ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) lim 𝑋))
5495483adant3 1079 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹 ↾ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))𝑧 = (𝑥 + -(𝑍𝑋))}) lim ((𝐸𝑋) + -(𝑍𝑋))) = ((𝐹 ↾ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) lim 𝑋))
550549adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))) lim (𝐸𝑋))) → ((𝐹 ↾ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))𝑧 = (𝑥 + -(𝑍𝑋))}) lim ((𝐸𝑋) + -(𝑍𝑋))) = ((𝐹 ↾ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) lim 𝑋))
551545, 550eleqtrd 2700 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))) lim (𝐸𝑋))) → 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) lim 𝑋))
552382adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) lim 𝑋)) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
5535523ad2antl1 1221 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) lim 𝑋)) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
554417a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) lim 𝑋)) → (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋) ⊆ ℂ)
555503, 520sseqtr4d 3626 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋) ⊆ dom 𝐹)
556555adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) lim 𝑋)) → (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋) ⊆ dom 𝐹)
557412adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) lim 𝑋)) → (𝑍𝑋) ∈ ℂ)
5585573ad2antl1 1221 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) lim 𝑋)) → (𝑍𝑋) ∈ ℂ)
559 eqid 2621 . . . . . . . . 9 {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)𝑧 = (𝑥 + (𝑍𝑋))} = {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)𝑧 = (𝑥 + (𝑍𝑋))}
560504, 505npcand 10348 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋)) + (𝑍𝑋)) = (𝑄𝑖))
561560eqcomd 2627 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) = (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋)) + (𝑍𝑋)))
562475adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐸𝑋) = (𝑋 + (𝑍𝑋)))
563561, 562oveq12d 6628 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋)) = ((((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋)) + (𝑍𝑋))(,)(𝑋 + (𝑍𝑋))))
56414adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑋 ∈ ℝ)
565452, 564, 451iooshift 39190 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋)) + (𝑍𝑋))(,)(𝑋 + (𝑍𝑋))) = {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)𝑧 = (𝑥 + (𝑍𝑋))})
566563, 565eqtr2d 2656 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)𝑧 = (𝑥 + (𝑍𝑋))} = ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋)))
5675663adant3 1079 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)𝑧 = (𝑥 + (𝑍𝑋))} = ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋)))
568230, 567, 5203sstr4d 3632 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)𝑧 = (𝑥 + (𝑍𝑋))} ⊆ dom 𝐹)
569568adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) lim 𝑋)) → {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)𝑧 = (𝑥 + (𝑍𝑋))} ⊆ dom 𝐹)
570410oveq2d 6626 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑥 + (𝑍𝑋)) = (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)))
571570fveq2d 6157 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐹‘(𝑥 + (𝑍𝑋))) = (𝐹‘(𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))))
572571adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → (𝐹‘(𝑥 + (𝑍𝑋))) = (𝐹‘(𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))))
5735723ad2antl1 1221 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → (𝐹‘(𝑥 + (𝑍𝑋))) = (𝐹‘(𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))))
574407adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → (⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ)
5755743ad2antl1 1221 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → (⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ)
576 simpl1 1062 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → 𝜑)
577503sselda 3587 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → 𝑥𝐷)
578576, 577, 5753jca 1240 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → (𝜑𝑥𝐷 ∧ (⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ))
579 eleq1 2686 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = (⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) → (𝑘 ∈ ℤ ↔ (⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ))
5805793anbi3d 1402 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = (⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) → ((𝜑𝑥𝐷𝑘 ∈ ℤ) ↔ (𝜑𝑥𝐷 ∧ (⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ)))
581 oveq1 6617 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = (⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) → (𝑘 · 𝑇) = ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))
582581oveq2d 6626 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = (⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) → (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)))
583582fveq2d 6157 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = (⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) → (𝐹‘(𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) = (𝐹‘(𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))))
584583eqeq1d 2623 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = (⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) → ((𝐹‘(𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) = (𝐹𝑥) ↔ (𝐹‘(𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))) = (𝐹𝑥)))
585580, 584imbi12d 334 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = (⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) → (((𝜑𝑥𝐷𝑘 ∈ ℤ) → (𝐹‘(𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) = (𝐹𝑥)) ↔ ((𝜑𝑥𝐷 ∧ (⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ) → (𝐹‘(𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))) = (𝐹𝑥))))
586585, 539vtoclg 3255 . . . . . . . . . . . 12 ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ → ((𝜑𝑥𝐷 ∧ (⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ) → (𝐹‘(𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))) = (𝐹𝑥)))
587575, 578, 586sylc 65 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → (𝐹‘(𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))) = (𝐹𝑥))
588573, 587eqtrd 2655 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → (𝐹‘(𝑥 + (𝑍𝑋))) = (𝐹𝑥))
589588adantlr 750 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) lim 𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → (𝐹‘(𝑥 + (𝑍𝑋))) = (𝐹𝑥))
590 simpr 477 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) lim 𝑋)) → 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) lim 𝑋))
591553, 554, 556, 558, 559, 569, 589, 590limcperiod 39292 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) lim 𝑋)) → 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)𝑧 = (𝑥 + (𝑍𝑋))}) lim (𝑋 + (𝑍𝑋))))
592566reseq2d 5361 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)𝑧 = (𝑥 + (𝑍𝑋))}) = (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))))
593476adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑋 + (𝑍𝑋)) = (𝐸𝑋))
594592, 593oveq12d 6628 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐹 ↾ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)𝑧 = (𝑥 + (𝑍𝑋))}) lim (𝑋 + (𝑍𝑋))) = ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))) lim (𝐸𝑋)))
5955943adant3 1079 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹 ↾ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)𝑧 = (𝑥 + (𝑍𝑋))}) lim (𝑋 + (𝑍𝑋))) = ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))) lim (𝐸𝑋)))
596595adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) lim 𝑋)) → ((𝐹 ↾ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)𝑧 = (𝑥 + (𝑍𝑋))}) lim (𝑋 + (𝑍𝑋))) = ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))) lim (𝐸𝑋)))
597591, 596eleqtrd 2700 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) lim 𝑋)) → 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))) lim (𝐸𝑋)))
598551, 597impbida 876 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))) lim (𝐸𝑋)) ↔ 𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) lim 𝑋)))
599598eqrdv 2619 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))) lim (𝐸𝑋)) = ((𝐹 ↾ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) lim 𝑋))
600 resindm 5408 . . . . . . . . . . 11 (Rel 𝐹 → (𝐹 ↾ ((-∞(,)𝑋) ∩ dom 𝐹)) = (𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)))
601600eqcomd 2627 . . . . . . . . . 10 (Rel 𝐹 → (𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) = (𝐹 ↾ ((-∞(,)𝑋) ∩ dom 𝐹)))
602179, 601syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) = (𝐹 ↾ ((-∞(,)𝑋) ∩ dom 𝐹)))
603184ineq2d 3797 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((-∞(,)𝑋) ∩ dom 𝐹) = ((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷))
604603reseq2d 5361 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹 ↾ ((-∞(,)𝑋) ∩ dom 𝐹)) = (𝐹 ↾ ((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷)))
605602, 604eqtrd 2655 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) = (𝐹 ↾ ((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷)))
606605oveq1d 6625 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋) = ((𝐹 ↾ ((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷)) lim 𝑋))
6076063ad2ant1 1080 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋) = ((𝐹 ↾ ((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷)) lim 𝑋))
608 inss2 3817 . . . . . . . . . 10 ((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ⊆ 𝐷
609608a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ⊆ 𝐷)
610193, 609fssresd 6033 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐹 ↾ ((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷)):((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷)⟶ℂ)
611452mnfltd 11910 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → -∞ < ((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋)))
612198, 453, 611xrltled 38981 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → -∞ ≤ ((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋)))
613 iooss1 12160 . . . . . . . . . . 11 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ -∞ ≤ ((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))) → (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋) ⊆ (-∞(,)𝑋))
614197, 612, 613sylancr 694 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋) ⊆ (-∞(,)𝑋))
6156143adant3 1079 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋) ⊆ (-∞(,)𝑋))
616615, 503ssind 3820 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋) ⊆ ((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷))
617608, 234syl5ss 3598 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ⊆ ℂ)
618 eqid 2621 . . . . . . . 8 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))
6194533adant3 1079 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋)) ∈ ℝ*)
6204553ad2ant1 1080 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑋 ∈ ℝ*)
6214753ad2ant1 1080 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐸𝑋) = (𝑋 + (𝑍𝑋)))
622241, 621breqtrd 4644 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄𝑖) < (𝑋 + (𝑍𝑋)))
6234113ad2ant1 1080 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑍𝑋) ∈ ℝ)
624143ad2ant1 1080 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑋 ∈ ℝ)
625214, 623, 624ltsubaddd 10575 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋)) < 𝑋 ↔ (𝑄𝑖) < (𝑋 + (𝑍𝑋))))
626622, 625mpbird 247 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋)) < 𝑋)
62714leidd 10546 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋𝑋)
6286273ad2ant1 1080 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑋𝑋)
629619, 620, 620, 626, 628eliocd 39172 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑋 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,]𝑋))
630 snunioo2 39173 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ* ∧ ((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋)) < 𝑋) → ((((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋) ∪ {𝑋}) = (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,]𝑋))
631619, 620, 626, 630syl3anc 1323 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋) ∪ {𝑋}) = (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,]𝑋))
632631fveq2d 6157 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))‘((((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋) ∪ {𝑋})) = ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))‘(((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,]𝑋)))
633 ovex 6638 . . . . . . . . . . . . . 14 (-∞(,)𝑋) ∈ V
634633inex1 4764 . . . . . . . . . . . . 13 ((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∈ V
635 snex 4874 . . . . . . . . . . . . 13 {𝑋} ∈ V
636634, 635unex 6916 . . . . . . . . . . . 12 (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}) ∈ V
637 resttop 20887 . . . . . . . . . . . 12 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}) ∈ V) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∈ Top)
638247, 636, 637mp2an 707 . . . . . . . . . . 11 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∈ Top
639636a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}) ∈ V)
640 iooretop 22492 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,))
641640a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,)))
642 elrestr 16021 . . . . . . . . . . . . 13 (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}) ∈ V ∧ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,))) → ((((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)+∞) ∩ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))
643255, 639, 641, 642syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)+∞) ∩ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))
644453adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,]𝑋)) → ((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋)) ∈ ℝ*)
645262a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,]𝑋)) → +∞ ∈ ℝ*)
64614ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,]𝑋)) → 𝑋 ∈ ℝ)
647 iocssre 12203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ) → (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,]𝑋) ⊆ ℝ)
648644, 646, 647syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,]𝑋)) → (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,]𝑋) ⊆ ℝ)
649 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,]𝑋)) → 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,]𝑋))
650648, 649sseldd 3588 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,]𝑋)) → 𝑥 ∈ ℝ)
651455ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,]𝑋)) → 𝑋 ∈ ℝ*)
652 iocgtlb 39166 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,]𝑋)) → ((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋)) < 𝑥)
653644, 651, 649, 652syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,]𝑋)) → ((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋)) < 𝑥)
654650ltpnfd 11907 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,]𝑋)) → 𝑥 < +∞)
655644, 645, 650, 653, 654eliood 39162 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,]𝑋)) → 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)+∞))
6566553adantl3 1217 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,]𝑋)) → 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)+∞))
657 eqvisset 3200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 𝑋𝑋 ∈ V)
658 snidg 4182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑋 ∈ V → 𝑋 ∈ {𝑋})
659657, 658syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 𝑋𝑋 ∈ {𝑋})
660470, 659eqeltrd 2698 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑋𝑥 ∈ {𝑋})
661 elun2 3764 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ {𝑋} → 𝑥 ∈ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))
662660, 661syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑋𝑥 ∈ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))
663662adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,]𝑋)) ∧ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 ∈ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))
664 simpll 789 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,]𝑋)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → (𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))))
665644adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,]𝑋)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → ((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋)) ∈ ℝ*)
666455ad3antrrr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,]𝑋)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑋 ∈ ℝ*)
667650adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,]𝑋)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 ∈ ℝ)
668653adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,]𝑋)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → ((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋)) < 𝑥)
66914ad3antrrr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,]𝑋)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑋 ∈ ℝ)
670 iocleub 39167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,]𝑋)) → 𝑥𝑋)
671644, 651, 649, 670syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,]𝑋)) → 𝑥𝑋)
672671adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,]𝑋)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥𝑋)
673470eqcoms 2629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑋 = 𝑥𝑥 = 𝑋)
674673necon3bi 2816 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑥 = 𝑋𝑋𝑥)
675674adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,]𝑋)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑋𝑥)
676667, 669, 672, 675leneltd 10143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,]𝑋)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 < 𝑋)
677665, 666, 667, 668, 676eliood 39162 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,]𝑋)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋))
6786773adantll3 38721 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,]𝑋)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋))
679616sselda 3587 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷))
680 elun1 3763 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) → 𝑥 ∈ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))
681679, 680syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) → 𝑥 ∈ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))
682664, 678, 681syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,]𝑋)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 ∈ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))
683663, 682pm2.61dan 831 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,]𝑋)) → 𝑥 ∈ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))
684656, 683elind 3781 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,]𝑋)) → 𝑥 ∈ ((((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)+∞) ∩ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))
685619adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)+∞) ∩ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) → ((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋)) ∈ ℝ*)
686620adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)+∞) ∩ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) → 𝑋 ∈ ℝ*)
687 elinel1 3782 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ((((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)+∞) ∩ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) → 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)+∞))
688 elioore 12155 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ)
689687, 688syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ((((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)+∞) ∩ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) → 𝑥 ∈ ℝ)
690689rexrd 10041 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ((((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)+∞) ∩ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) → 𝑥 ∈ ℝ*)
691690adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)+∞) ∩ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) → 𝑥 ∈ ℝ*)
692453adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)+∞) ∩ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) → ((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋)) ∈ ℝ*)
693262a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)+∞) ∩ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) → +∞ ∈ ℝ*)
694687adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)+∞) ∩ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) → 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)+∞))
695 ioogtlb 39159 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋)) ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)+∞)) → ((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋)) < 𝑥)
696692, 693, 694, 695syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)+∞) ∩ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) → ((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋)) < 𝑥)
6976963adantl3 1217 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)+∞) ∩ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) → ((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋)) < 𝑥)
698 elinel2 3783 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ((((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)+∞) ∩ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) → 𝑥 ∈ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))
699 elsni 4170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ {𝑋} → 𝑥 = 𝑋)
700699adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑋}) → 𝑥 = 𝑋)
701627adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑋}) → 𝑋𝑋)
702700, 701eqbrtrd 4640 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑋}) → 𝑥𝑋)
703702adantlr 750 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥 ∈ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∧ 𝑥 ∈ {𝑋}) → 𝑥𝑋)
704 simpll 789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥 ∈ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∧ ¬ 𝑥 ∈ {𝑋}) → 𝜑)
705 elunnel2 38716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥 ∈ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}) ∧ ¬ 𝑥 ∈ {𝑋}) → 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷))
706705adantll 749 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑥 ∈ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∧ ¬ 𝑥 ∈ {𝑋}) → 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷))
707 elinel1 3782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ ((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) → 𝑥 ∈ (-∞(,)𝑋))
708706, 707syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥 ∈ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∧ ¬ 𝑥 ∈ {𝑋}) → 𝑥 ∈ (-∞(,)𝑋))
709 elioore 12155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ (-∞(,)𝑋) → 𝑥 ∈ ℝ)
710709adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥 ∈ (-∞(,)𝑋)) → 𝑥 ∈ ℝ)
71114adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥 ∈ (-∞(,)𝑋)) → 𝑋 ∈ ℝ)
712197a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑥 ∈ (-∞(,)𝑋)) → -∞ ∈ ℝ*)
713455adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑥 ∈ (-∞(,)𝑋)) → 𝑋 ∈ ℝ*)
714 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑥 ∈ (-∞(,)𝑋)) → 𝑥 ∈ (-∞(,)𝑋))
715 iooltub 39177 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((-∞ ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (-∞(,)𝑋)) → 𝑥 < 𝑋)
716712, 713, 714, 715syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥 ∈ (-∞(,)𝑋)) → 𝑥 < 𝑋)
717710, 711, 716ltled 10137 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥 ∈ (-∞(,)𝑋)) → 𝑥𝑋)
718704, 708, 717syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥 ∈ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∧ ¬ 𝑥 ∈ {𝑋}) → 𝑥𝑋)
719703, 718pm2.61dan 831 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) → 𝑥𝑋)
720698, 719sylan2 491 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ((((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)+∞) ∩ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) → 𝑥𝑋)
7217203ad2antl1 1221 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)+∞) ∩ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) → 𝑥𝑋)
722685, 686, 691, 697, 721eliocd 39172 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ((((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)+∞) ∩ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) → 𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,]𝑋))
723684, 722impbida 876 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑥 ∈ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,]𝑋) ↔ 𝑥 ∈ ((((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)+∞) ∩ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))))
724723eqrdv 2619 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,]𝑋) = ((((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)+∞) ∩ (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))
725608, 232syl5ss 3598 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ⊆ ℝ)
72614snssd 4314 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → {𝑋} ⊆ ℝ)
727725, 726unssd 3772 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}) ⊆ ℝ)
7287273ad2ant1 1080 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}) ⊆ ℝ)
729236, 369tgiooss 39175 . . . . . . . . . . . . 13 ((((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}) ⊆ ℝ → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))
730728, 729syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))
731643, 724, 7303eltr4d 2713 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,]𝑋) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))
732 isopn3i 20809 . . . . . . . . . . 11 ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})) ∈ Top ∧ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,]𝑋) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋}))) → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))‘(((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,]𝑋)) = (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,]𝑋))
733638, 731, 732sylancr 694 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))‘(((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,]𝑋)) = (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,]𝑋))
734632, 733eqtr2d 2656 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,]𝑋) = ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))‘((((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋) ∪ {𝑋})))
735629, 734eleqtrd 2700 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑋 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷) ∪ {𝑋})))‘((((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋) ∪ {𝑋})))
736610, 616, 617, 236, 618, 735limcres 23573 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (((𝐹 ↾ ((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷)) ↾ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) lim 𝑋) = ((𝐹 ↾ ((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷)) lim 𝑋))
737736eqcomd 2627 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹 ↾ ((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷)) lim 𝑋) = (((𝐹 ↾ ((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷)) ↾ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) lim 𝑋))
738616resabs1d 5392 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹 ↾ ((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷)) ↾ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) = (𝐹 ↾ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)))
739738oveq1d 6625 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (((𝐹 ↾ ((-∞(,)𝑋) ∩ 𝐷)) ↾ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) lim 𝑋) = ((𝐹 ↾ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) lim 𝑋))
740607, 737, 7393eqtrrd 2660 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹 ↾ (((𝑄𝑖) − (𝑍𝑋))(,)𝑋)) lim 𝑋) = ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋))
741380, 599, 7403eqtrrd 2660 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋) = ((𝐹 ↾ (-∞(,)(𝐸𝑋))) lim (𝐸𝑋)))
742741rexlimdv3a 3027 . . 3 (𝜑 → (∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))) → ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋) = ((𝐹 ↾ (-∞(,)(𝐸𝑋))) lim (𝐸𝑋))))
743176, 742mpd 15 . 2 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋) = ((𝐹 ↾ (-∞(,)(𝐸𝑋))) lim (𝐸𝑋)))
7441233adant3 1079 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
7452213adant3 1079 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
746 fourierdlem49.l . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
7477463adant3 1079 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
748 eqid 2621 . . . . . . . 8 if((𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘(𝐸𝑋))) = if((𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘(𝐸𝑋)))
749 eqid 2621 . . . . . . . 8 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∪ {(𝑄‘(𝑖 + 1))}))
750214, 212, 744, 745, 747, 214, 238, 241, 220, 748, 749fourierdlem33 39690 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → if((𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘(𝐸𝑋))) ∈ (((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))) lim (𝐸𝑋)))
751220resabs1d 5392 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))) = (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))))
752751oveq1d 6625 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))) lim (𝐸𝑋)) = ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))) lim (𝐸𝑋)))
753750, 752eleqtrd 2700 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → if((𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘(𝐸𝑋))) ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))) lim (𝐸𝑋)))
754 ne0i 3902 . . . . . 6 (if((𝐸𝑋) = (𝑄‘(𝑖 + 1)), 𝐿, ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘(𝐸𝑋))) ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))) lim (𝐸𝑋)) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))) lim (𝐸𝑋)) ≠ ∅)
755753, 754syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝐸𝑋))) lim (𝐸𝑋)) ≠ ∅)
756380, 755eqnetrd 2857 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹 ↾ (-∞(,)(𝐸𝑋))) lim (𝐸𝑋)) ≠ ∅)
757756rexlimdv3a 3027 . . 3 (𝜑 → (∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝐸𝑋) ∈ ((𝑄𝑖)(,](𝑄‘(𝑖 + 1))) → ((𝐹 ↾ (-∞(,)(𝐸𝑋))) lim (𝐸𝑋)) ≠ ∅))
758176, 757mpd 15 . 2 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (-∞(,)(𝐸𝑋))) lim (𝐸𝑋)) ≠ ∅)
759743, 758eqnetrd 2857 1 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋) ≠ ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  wral 2907  wrex 2908  {crab 2911  Vcvv 3189  cun 3557  cin 3558  wss 3559  c0 3896  ifcif 4063  {csn 4153   class class class wbr 4618  cmpt 4678  dom cdm 5079  ran crn 5080  cres 5081  Rel wrel 5084   Fn wfn 5847  wf 5848  cfv 5852  (class class class)co 6610  𝑚 cmap 7809  supcsup 8298  cc 9886  cr 9887  0cc0 9888  1c1 9889   + caddc 9891   · cmul 9893  +∞cpnf 10023  -∞cmnf 10024  *cxr 10025   < clt 10026  cle 10027  cmin 10218  -cneg 10219   / cdiv 10636  cn 10972  0cn0 11244  cz 11329  cuz 11639  (,)cioo 12125  (,]cioc 12126  [,]cicc 12128  ...cfz 12276  ..^cfzo 12414  cfl 12539  t crest 16013  TopOpenctopn 16014  topGenctg 16030  fldccnfld 19678  Topctop 20630  intcnt 20744  cnccncf 22602   lim climc 23549
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965  ax-pre-sup 9966
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-oadd 7516  df-er 7694  df-map 7811  df-pm 7812  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-fin 7911  df-fi 8269  df-sup 8300  df-inf 8301  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-div 10637  df-nn 10973  df-2 11031  df-3 11032  df-4 11033  df-5 11034  df-6 11035  df-7 11036  df-8 11037  df-9 11038  df-n0 11245  df-z 11330  df-dec 11446  df-uz 11640  df-q 11741  df-rp 11785  df-xneg 11898  df-xadd 11899  df-xmul 11900  df-ioo 12129  df-ioc 12130  df-icc 12132  df-fz 12277  df-fzo 12415  df-fl 12541  df-seq 12750  df-exp 12809  df-cj 13781  df-re 13782  df-im 13783  df-sqrt 13917  df-abs 13918  df-struct 15794  df-ndx 15795  df-slot 15796  df-base 15797  df-plusg 15886  df-mulr 15887  df-starv 15888  df-tset 15892  df-ple 15893  df-ds 15896  df-unif 15897  df-rest 16015  df-topn 16016  df-topgen 16036  df-psmet 19670  df-xmet 19671  df-met 19672  df-bl 19673  df-mopn 19674  df-cnfld 19679  df-top 20631  df-topon 20648  df-topsp 20661  df-bases 20674  df-ntr 20747  df-cn 20954  df-cnp 20955  df-xms 22048  df-ms 22049  df-cncf 22604  df-limc 23553
This theorem is referenced by:  fourierdlem94  39750  fourierdlem113  39769
  Copyright terms: Public domain W3C validator