Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem53 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem53 39709
 Description: The limit of 𝐹(𝑠) at (𝑋 + 𝐷) is the limit of 𝐹(𝑋 + 𝑠) at 𝐷. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem53.1 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
fourierdlem53.2 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem53.3 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
fourierdlem53.g 𝐺 = (𝑠𝐴 ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)))
fourierdlem53.xps ((𝜑𝑠𝐴) → (𝑋 + 𝑠) ∈ 𝐵)
fourierdlem53.b (𝜑𝐵 ⊆ ℝ)
fourierdlem53.sned ((𝜑𝑠𝐴) → 𝑠𝐷)
fourierdlem53.c (𝜑𝐶 ∈ ((𝐹𝐵) lim (𝑋 + 𝐷)))
fourierdlem53.d (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
fourierdlem53 (𝜑𝐶 ∈ (𝐺 lim 𝐷))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑠   𝐵,𝑠   𝐷,𝑠   𝐹,𝑠   𝑋,𝑠   𝜑,𝑠
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑠)   𝐺(𝑠)

Proof of Theorem fourierdlem53
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem53.xps . . . . . . 7 ((𝜑𝑠𝐴) → (𝑋 + 𝑠) ∈ 𝐵)
2 fourierdlem53.1 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
3 fourierdlem53.b . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ⊆ ℝ)
42, 3fssresd 6033 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐹𝐵):𝐵⟶ℝ)
5 fdm 6013 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝐵):𝐵⟶ℝ → dom (𝐹𝐵) = 𝐵)
64, 5syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → dom (𝐹𝐵) = 𝐵)
76eqcomd 2627 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 = dom (𝐹𝐵))
87adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠𝐴) → 𝐵 = dom (𝐹𝐵))
91, 8eleqtrd 2700 . . . . . 6 ((𝜑𝑠𝐴) → (𝑋 + 𝑠) ∈ dom (𝐹𝐵))
10 fourierdlem53.2 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
1110recnd 10020 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
1211adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠𝐴) → 𝑋 ∈ ℂ)
13 fourierdlem53.3 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
1413sselda 3587 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠𝐴) → 𝑠 ∈ ℝ)
1514recnd 10020 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠𝐴) → 𝑠 ∈ ℂ)
16 fourierdlem53.d . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
1716adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠𝐴) → 𝐷 ∈ ℂ)
18 fourierdlem53.sned . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠𝐴) → 𝑠𝐷)
1912, 15, 17, 18addneintrd 10195 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠𝐴) → (𝑋 + 𝑠) ≠ (𝑋 + 𝐷))
2019neneqd 2795 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠𝐴) → ¬ (𝑋 + 𝑠) = (𝑋 + 𝐷))
2110adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠𝐴) → 𝑋 ∈ ℝ)
2221, 14readdcld 10021 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠𝐴) → (𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ)
23 elsng 4167 . . . . . . . 8 ((𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ → ((𝑋 + 𝑠) ∈ {(𝑋 + 𝐷)} ↔ (𝑋 + 𝑠) = (𝑋 + 𝐷)))
2422, 23syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠𝐴) → ((𝑋 + 𝑠) ∈ {(𝑋 + 𝐷)} ↔ (𝑋 + 𝑠) = (𝑋 + 𝐷)))
2520, 24mtbird 315 . . . . . 6 ((𝜑𝑠𝐴) → ¬ (𝑋 + 𝑠) ∈ {(𝑋 + 𝐷)})
269, 25eldifd 3570 . . . . 5 ((𝜑𝑠𝐴) → (𝑋 + 𝑠) ∈ (dom (𝐹𝐵) ∖ {(𝑋 + 𝐷)}))
2726ralrimiva 2961 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑠𝐴 (𝑋 + 𝑠) ∈ (dom (𝐹𝐵) ∖ {(𝑋 + 𝐷)}))
28 eqid 2621 . . . . 5 (𝑠𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠)) = (𝑠𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))
2928rnmptss 6353 . . . 4 (∀𝑠𝐴 (𝑋 + 𝑠) ∈ (dom (𝐹𝐵) ∖ {(𝑋 + 𝐷)}) → ran (𝑠𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠)) ⊆ (dom (𝐹𝐵) ∖ {(𝑋 + 𝐷)}))
3027, 29syl 17 . . 3 (𝜑 → ran (𝑠𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠)) ⊆ (dom (𝐹𝐵) ∖ {(𝑋 + 𝐷)}))
31 eqid 2621 . . . 4 (𝑠𝐴𝑋) = (𝑠𝐴𝑋)
32 eqid 2621 . . . 4 (𝑠𝐴𝑠) = (𝑠𝐴𝑠)
33 ax-resscn 9945 . . . . . 6 ℝ ⊆ ℂ
3413, 33syl6ss 3599 . . . . 5 (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
3531, 34, 11, 16constlimc 39288 . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ ((𝑠𝐴𝑋) lim 𝐷))
3634, 32, 16idlimc 39290 . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ ((𝑠𝐴𝑠) lim 𝐷))
3731, 32, 28, 12, 15, 35, 36addlimc 39312 . . 3 (𝜑 → (𝑋 + 𝐷) ∈ ((𝑠𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠)) lim 𝐷))
38 fourierdlem53.c . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ((𝐹𝐵) lim (𝑋 + 𝐷)))
3930, 37, 38limccog 39284 . 2 (𝜑𝐶 ∈ (((𝐹𝐵) ∘ (𝑠𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))) lim 𝐷))
40 simpr 477 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ran (𝑠𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))) → 𝑦 ∈ ran (𝑠𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠)))
4128elrnmpt 5337 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ran (𝑠𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠)) → (𝑦 ∈ ran (𝑠𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠)) ↔ ∃𝑠𝐴 𝑦 = (𝑋 + 𝑠)))
4241adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ran (𝑠𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))) → (𝑦 ∈ ran (𝑠𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠)) ↔ ∃𝑠𝐴 𝑦 = (𝑋 + 𝑠)))
4340, 42mpbid 222 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ran (𝑠𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))) → ∃𝑠𝐴 𝑦 = (𝑋 + 𝑠))
44 nfv 1840 . . . . . . . . . 10 𝑠𝜑
45 nfmpt1 4712 . . . . . . . . . . . 12 𝑠(𝑠𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))
4645nfrn 5333 . . . . . . . . . . 11 𝑠ran (𝑠𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))
4746nfcri 2755 . . . . . . . . . 10 𝑠 𝑦 ∈ ran (𝑠𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))
4844, 47nfan 1825 . . . . . . . . 9 𝑠(𝜑𝑦 ∈ ran (𝑠𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠)))
49 nfv 1840 . . . . . . . . 9 𝑠 𝑦𝐵
50 simp3 1061 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠𝐴𝑦 = (𝑋 + 𝑠)) → 𝑦 = (𝑋 + 𝑠))
5113adant3 1079 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠𝐴𝑦 = (𝑋 + 𝑠)) → (𝑋 + 𝑠) ∈ 𝐵)
5250, 51eqeltrd 2698 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠𝐴𝑦 = (𝑋 + 𝑠)) → 𝑦𝐵)
53523exp 1261 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑠𝐴 → (𝑦 = (𝑋 + 𝑠) → 𝑦𝐵)))
5453adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ran (𝑠𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))) → (𝑠𝐴 → (𝑦 = (𝑋 + 𝑠) → 𝑦𝐵)))
5548, 49, 54rexlimd 3020 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ran (𝑠𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))) → (∃𝑠𝐴 𝑦 = (𝑋 + 𝑠) → 𝑦𝐵))
5643, 55mpd 15 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ran (𝑠𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))) → 𝑦𝐵)
5756ralrimiva 2961 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ran (𝑠𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))𝑦𝐵)
58 dfss3 3577 . . . . . 6 (ran (𝑠𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠)) ⊆ 𝐵 ↔ ∀𝑦 ∈ ran (𝑠𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))𝑦𝐵)
5957, 58sylibr 224 . . . . 5 (𝜑 → ran (𝑠𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠)) ⊆ 𝐵)
60 cores 5602 . . . . 5 (ran (𝑠𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠)) ⊆ 𝐵 → ((𝐹𝐵) ∘ (𝑠𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))) = (𝐹 ∘ (𝑠𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))))
6159, 60syl 17 . . . 4 (𝜑 → ((𝐹𝐵) ∘ (𝑠𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))) = (𝐹 ∘ (𝑠𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))))
6222, 28fmptd 6346 . . . . 5 (𝜑 → (𝑠𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠)):𝐴⟶ℝ)
63 fcompt 6360 . . . . 5 ((𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ (𝑠𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠)):𝐴⟶ℝ) → (𝐹 ∘ (𝑠𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))) = (𝑥𝐴 ↦ (𝐹‘((𝑠𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))‘𝑥))))
642, 62, 63syl2anc 692 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 ∘ (𝑠𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))) = (𝑥𝐴 ↦ (𝐹‘((𝑠𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))‘𝑥))))
65 fourierdlem53.g . . . . . 6 𝐺 = (𝑠𝐴 ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)))
6665a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝐺 = (𝑠𝐴 ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑠))))
67 oveq2 6618 . . . . . . . 8 (𝑠 = 𝑥 → (𝑋 + 𝑠) = (𝑋 + 𝑥))
6867fveq2d 6157 . . . . . . 7 (𝑠 = 𝑥 → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) = (𝐹‘(𝑋 + 𝑥)))
6968cbvmptv 4715 . . . . . 6 (𝑠𝐴 ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑠))) = (𝑥𝐴 ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑥)))
7069a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝑠𝐴 ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑠))) = (𝑥𝐴 ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑥))))
71 eqidd 2622 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑠𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠)) = (𝑠𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠)))
7267adantl 482 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑠 = 𝑥) → (𝑋 + 𝑠) = (𝑋 + 𝑥))
73 simpr 477 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥𝐴)
7410adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑋 ∈ ℝ)
7513sselda 3587 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
7674, 75readdcld 10021 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑋 + 𝑥) ∈ ℝ)
7771, 72, 73, 76fvmptd 6250 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → ((𝑠𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))‘𝑥) = (𝑋 + 𝑥))
7877eqcomd 2627 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑋 + 𝑥) = ((𝑠𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))‘𝑥))
7978fveq2d 6157 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑥)) = (𝐹‘((𝑠𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))‘𝑥)))
8079mpteq2dva 4709 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑥))) = (𝑥𝐴 ↦ (𝐹‘((𝑠𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))‘𝑥))))
8166, 70, 803eqtrrd 2660 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐹‘((𝑠𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))‘𝑥))) = 𝐺)
8261, 64, 813eqtrd 2659 . . 3 (𝜑 → ((𝐹𝐵) ∘ (𝑠𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))) = 𝐺)
8382oveq1d 6625 . 2 (𝜑 → (((𝐹𝐵) ∘ (𝑠𝐴 ↦ (𝑋 + 𝑠))) lim 𝐷) = (𝐺 lim 𝐷))
8439, 83eleqtrd 2700 1 (𝜑𝐶 ∈ (𝐺 lim 𝐷))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1036   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ≠ wne 2790  ∀wral 2907  ∃wrex 2908   ∖ cdif 3556   ⊆ wss 3559  {csn 4153   ↦ cmpt 4678  dom cdm 5079  ran crn 5080   ↾ cres 5081   ∘ ccom 5083  ⟶wf 5848  ‘cfv 5852  (class class class)co 6610  ℂcc 9886  ℝcr 9887   + caddc 9891   limℂ climc 23549 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965  ax-pre-sup 9966 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-oadd 7516  df-er 7694  df-map 7811  df-pm 7812  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-fin 7911  df-fi 8269  df-sup 8300  df-inf 8301  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-div 10637  df-nn 10973  df-2 11031  df-3 11032  df-4 11033  df-5 11034  df-6 11035  df-7 11036  df-8 11037  df-9 11038  df-n0 11245  df-z 11330  df-dec 11446  df-uz 11640  df-q 11741  df-rp 11785  df-xneg 11898  df-xadd 11899  df-xmul 11900  df-fz 12277  df-seq 12750  df-exp 12809  df-cj 13781  df-re 13782  df-im 13783  df-sqrt 13917  df-abs 13918  df-struct 15794  df-ndx 15795  df-slot 15796  df-base 15797  df-plusg 15886  df-mulr 15887  df-starv 15888  df-tset 15892  df-ple 15893  df-ds 15896  df-unif 15897  df-rest 16015  df-topn 16016  df-topgen 16036  df-psmet 19670  df-xmet 19671  df-met 19672  df-bl 19673  df-mopn 19674  df-cnfld 19679  df-top 20631  df-topon 20648  df-topsp 20661  df-bases 20674  df-cnp 20955  df-xms 22048  df-ms 22049  df-limc 23553 This theorem is referenced by:  fourierdlem74  39730  fourierdlem75  39731  fourierdlem76  39732  fourierdlem84  39740
 Copyright terms: Public domain W3C validator