Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem58 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem58 39688
Description: The derivative of 𝐾 is continuous on the given interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem58.k 𝐾 = (𝑠𝐴 ↦ (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
fourierdlem58.ass (𝜑𝐴 ⊆ (-π[,]π))
fourierdlem58.0nA (𝜑 → ¬ 0 ∈ 𝐴)
fourierdlem58.4 (𝜑𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem58 (𝜑 → (ℝ D 𝐾) ∈ (𝐴cn→ℝ))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑠   𝜑,𝑠
Allowed substitution hint:   𝐾(𝑠)

Proof of Theorem fourierdlem58
StepHypRef Expression
1 pire 24114 . . . . . . . . . 10 π ∈ ℝ
21a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠𝐴) → π ∈ ℝ)
32renegcld 10401 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠𝐴) → -π ∈ ℝ)
43, 2iccssred 39138 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠𝐴) → (-π[,]π) ⊆ ℝ)
5 fourierdlem58.ass . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ⊆ (-π[,]π))
65sselda 3583 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠𝐴) → 𝑠 ∈ (-π[,]π))
74, 6sseldd 3584 . . . . . 6 ((𝜑𝑠𝐴) → 𝑠 ∈ ℝ)
8 2re 11034 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ
98a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠𝐴) → 2 ∈ ℝ)
107rehalfcld 11223 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠𝐴) → (𝑠 / 2) ∈ ℝ)
1110resincld 14798 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠𝐴) → (sin‘(𝑠 / 2)) ∈ ℝ)
129, 11remulcld 10014 . . . . . 6 ((𝜑𝑠𝐴) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ ℝ)
13 2cnd 11037 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠𝐴) → 2 ∈ ℂ)
147recnd 10012 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠𝐴) → 𝑠 ∈ ℂ)
1514halfcld 11221 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠𝐴) → (𝑠 / 2) ∈ ℂ)
1615sincld 14785 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠𝐴) → (sin‘(𝑠 / 2)) ∈ ℂ)
17 2ne0 11057 . . . . . . . 8 2 ≠ 0
1817a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠𝐴) → 2 ≠ 0)
19 eqcom 2628 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 = 0 ↔ 0 = 𝑠)
2019biimpi 206 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 = 0 → 0 = 𝑠)
2120adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑠𝐴𝑠 = 0) → 0 = 𝑠)
22 simpl 473 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑠𝐴𝑠 = 0) → 𝑠𝐴)
2321, 22eqeltrd 2698 . . . . . . . . . . 11 ((𝑠𝐴𝑠 = 0) → 0 ∈ 𝐴)
2423adantll 749 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑠𝐴) ∧ 𝑠 = 0) → 0 ∈ 𝐴)
25 fourierdlem58.0nA . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ¬ 0 ∈ 𝐴)
2625ad2antrr 761 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑠𝐴) ∧ 𝑠 = 0) → ¬ 0 ∈ 𝐴)
2724, 26pm2.65da 599 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠𝐴) → ¬ 𝑠 = 0)
2827neqned 2797 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠𝐴) → 𝑠 ≠ 0)
29 fourierdlem44 39675 . . . . . . . 8 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝑠 ≠ 0) → (sin‘(𝑠 / 2)) ≠ 0)
306, 28, 29syl2anc 692 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠𝐴) → (sin‘(𝑠 / 2)) ≠ 0)
3113, 16, 18, 30mulne0d 10623 . . . . . 6 ((𝜑𝑠𝐴) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ≠ 0)
327, 12, 31redivcld 10797 . . . . 5 ((𝜑𝑠𝐴) → (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ∈ ℝ)
33 fourierdlem58.k . . . . 5 𝐾 = (𝑠𝐴 ↦ (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
3432, 33fmptd 6340 . . . 4 (𝜑𝐾:𝐴⟶ℝ)
351a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → π ∈ ℝ)
3635renegcld 10401 . . . . . 6 (𝜑 → -π ∈ ℝ)
3736, 35iccssred 39138 . . . . 5 (𝜑 → (-π[,]π) ⊆ ℝ)
385, 37sstrd 3593 . . . 4 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
39 dvfre 23620 . . . 4 ((𝐾:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (ℝ D 𝐾):dom (ℝ D 𝐾)⟶ℝ)
4034, 38, 39syl2anc 692 . . 3 (𝜑 → (ℝ D 𝐾):dom (ℝ D 𝐾)⟶ℝ)
41 fourierdlem58.4 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)))
42 eqidd 2622 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑠𝐴𝑠) = (𝑠𝐴𝑠))
43 eqidd 2622 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑠𝐴 ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) = (𝑠𝐴 ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
4441, 7, 12, 42, 43offval2 6867 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑠𝐴𝑠) ∘𝑓 / (𝑠𝐴 ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (𝑠𝐴 ↦ (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
4544, 33syl6reqr 2674 . . . . . . 7 (𝜑𝐾 = ((𝑠𝐴𝑠) ∘𝑓 / (𝑠𝐴 ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
4645oveq2d 6620 . . . . . 6 (𝜑 → (ℝ D 𝐾) = (ℝ D ((𝑠𝐴𝑠) ∘𝑓 / (𝑠𝐴 ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
47 reelprrecn 9972 . . . . . . . 8 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
4847a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
49 eqid 2621 . . . . . . . 8 (𝑠𝐴𝑠) = (𝑠𝐴𝑠)
5014, 49fmptd 6340 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑠𝐴𝑠):𝐴⟶ℂ)
5113, 16mulcld 10004 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠𝐴) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ ℂ)
5231neneqd 2795 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠𝐴) → ¬ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) = 0)
53 elsng 4162 . . . . . . . . . . 11 ((2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ ℝ → ((2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ {0} ↔ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) = 0))
5412, 53syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠𝐴) → ((2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ {0} ↔ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) = 0))
5552, 54mtbird 315 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠𝐴) → ¬ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ {0})
5651, 55eldifd 3566 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠𝐴) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ (ℂ ∖ {0}))
57 eqid 2621 . . . . . . . 8 (𝑠𝐴 ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) = (𝑠𝐴 ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))
5856, 57fmptd 6340 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑠𝐴 ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))):𝐴⟶(ℂ ∖ {0}))
59 eqid 2621 . . . . . . . . . . 11 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
6059tgioo2 22514 . . . . . . . . . 10 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
6141, 60syl6eleq 2708 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
6248, 61dvmptidg 39436 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℝ D (𝑠𝐴𝑠)) = (𝑠𝐴 ↦ 1))
63 ax-resscn 9937 . . . . . . . . . . 11 ℝ ⊆ ℂ
6463a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
6538, 64sstrd 3593 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
66 1cnd 10000 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
67 ssid 3603 . . . . . . . . . 10 ℂ ⊆ ℂ
6867a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
6965, 66, 68constcncfg 39387 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑠𝐴 ↦ 1) ∈ (𝐴cn→ℂ))
7062, 69eqeltrd 2698 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℝ D (𝑠𝐴𝑠)) ∈ (𝐴cn→ℂ))
7138resmptd 5411 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ↾ 𝐴) = (𝑠𝐴 ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
7271eqcomd 2627 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑠𝐴 ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) = ((𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ↾ 𝐴))
7372oveq2d 6620 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℝ D (𝑠𝐴 ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (ℝ D ((𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ↾ 𝐴)))
74 eqid 2621 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))
75 2cnd 11037 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 ∈ ℝ → 2 ∈ ℂ)
76 recn 9970 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑠 ∈ ℝ → 𝑠 ∈ ℂ)
7776halfcld 11221 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 ∈ ℝ → (𝑠 / 2) ∈ ℂ)
7877sincld 14785 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 ∈ ℝ → (sin‘(𝑠 / 2)) ∈ ℂ)
7975, 78mulcld 10004 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 ∈ ℝ → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ ℂ)
8074, 79fmpti 6339 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))):ℝ⟶ℂ
8180a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))):ℝ⟶ℂ)
82 ssid 3603 . . . . . . . . . . 11 ℝ ⊆ ℝ
8382a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ℝ ⊆ ℝ)
8459, 60dvres 23581 . . . . . . . . . 10 (((ℝ ⊆ ℂ ∧ (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))):ℝ⟶ℂ) ∧ (ℝ ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ)) → (ℝ D ((𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ↾ 𝐴)) = ((ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐴)))
8564, 81, 83, 38, 84syl22anc 1324 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℝ D ((𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ↾ 𝐴)) = ((ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐴)))
86 retop 22475 . . . . . . . . . . . . . 14 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
8786a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (topGen‘ran (,)) ∈ Top)
88 uniretop 22476 . . . . . . . . . . . . . 14 ℝ = (topGen‘ran (,))
8988isopn3 20780 . . . . . . . . . . . . 13 (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐴) = 𝐴))
9087, 38, 89syl2anc 692 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐴) = 𝐴))
9141, 90mpbid 222 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐴) = 𝐴)
9291reseq2d 5356 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐴)) = ((ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ↾ 𝐴))
93 resmpt 5408 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (ℝ ⊆ ℂ → ((𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠)))) ↾ ℝ) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠)))))
9463, 93ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠)))) ↾ ℝ) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠))))
95 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑠 ∈ ℂ → 𝑠 ∈ ℂ)
96 2cnd 11037 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑠 ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ)
9717a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑠 ∈ ℂ → 2 ≠ 0)
9895, 96, 97divrec2d 10749 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑠 ∈ ℂ → (𝑠 / 2) = ((1 / 2) · 𝑠))
9998eqcomd 2627 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑠 ∈ ℂ → ((1 / 2) · 𝑠) = (𝑠 / 2))
10076, 99syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑠 ∈ ℝ → ((1 / 2) · 𝑠) = (𝑠 / 2))
101100fveq2d 6152 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑠 ∈ ℝ → (sin‘((1 / 2) · 𝑠)) = (sin‘(𝑠 / 2)))
102101oveq2d 6620 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑠 ∈ ℝ → (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠))) = (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))
103102mpteq2ia 4700 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠)))) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))
10494, 103eqtr2i 2644 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) = ((𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠)))) ↾ ℝ)
105104oveq2i 6615 . . . . . . . . . . . . 13 (ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (ℝ D ((𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠)))) ↾ ℝ))
106 eqid 2621 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠)))) = (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠))))
107 halfcn 11191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (1 / 2) ∈ ℂ
108107a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑠 ∈ ℂ → (1 / 2) ∈ ℂ)
109108, 95mulcld 10004 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑠 ∈ ℂ → ((1 / 2) · 𝑠) ∈ ℂ)
110109sincld 14785 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑠 ∈ ℂ → (sin‘((1 / 2) · 𝑠)) ∈ ℂ)
11196, 110mulcld 10004 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑠 ∈ ℂ → (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠))) ∈ ℂ)
112106, 111fmpti 6339 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠)))):ℂ⟶ℂ
113 2cn 11035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 ∈ ℂ
114 dvasinbx 39441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((2 ∈ ℂ ∧ (1 / 2) ∈ ℂ) → (ℂ D (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠))))) = (𝑠 ∈ ℂ ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑠)))))
115113, 107, 114mp2an 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (ℂ D (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠))))) = (𝑠 ∈ ℂ ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑠))))
116113, 17recidi 10700 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (2 · (1 / 2)) = 1
117116a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑠 ∈ ℂ → (2 · (1 / 2)) = 1)
11899fveq2d 6152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑠 ∈ ℂ → (cos‘((1 / 2) · 𝑠)) = (cos‘(𝑠 / 2)))
119117, 118oveq12d 6622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑠 ∈ ℂ → ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑠))) = (1 · (cos‘(𝑠 / 2))))
120 halfcl 11201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑠 ∈ ℂ → (𝑠 / 2) ∈ ℂ)
121120coscld 14786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑠 ∈ ℂ → (cos‘(𝑠 / 2)) ∈ ℂ)
122121mulid2d 10002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑠 ∈ ℂ → (1 · (cos‘(𝑠 / 2))) = (cos‘(𝑠 / 2)))
123119, 122eqtrd 2655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑠 ∈ ℂ → ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑠))) = (cos‘(𝑠 / 2)))
124123mpteq2ia 4700 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑠 ∈ ℂ ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑠)))) = (𝑠 ∈ ℂ ↦ (cos‘(𝑠 / 2)))
125115, 124eqtri 2643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (ℂ D (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠))))) = (𝑠 ∈ ℂ ↦ (cos‘(𝑠 / 2)))
126125dmeqi 5285 . . . . . . . . . . . . . . . 16 dom (ℂ D (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠))))) = dom (𝑠 ∈ ℂ ↦ (cos‘(𝑠 / 2)))
127 dmmptg 5591 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (∀𝑠 ∈ ℂ (cos‘(𝑠 / 2)) ∈ ℂ → dom (𝑠 ∈ ℂ ↦ (cos‘(𝑠 / 2))) = ℂ)
128127, 121mprg 2921 . . . . . . . . . . . . . . . 16 dom (𝑠 ∈ ℂ ↦ (cos‘(𝑠 / 2))) = ℂ
129126, 128eqtri 2643 . . . . . . . . . . . . . . 15 dom (ℂ D (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠))))) = ℂ
13063, 129sseqtr4i 3617 . . . . . . . . . . . . . 14 ℝ ⊆ dom (ℂ D (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠)))))
131 dvres3 23583 . . . . . . . . . . . . . 14 (((ℝ ∈ {ℝ, ℂ} ∧ (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠)))):ℂ⟶ℂ) ∧ (ℂ ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ dom (ℂ D (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠))))))) → (ℝ D ((𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠)))) ↾ ℝ)) = ((ℂ D (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠))))) ↾ ℝ))
13247, 112, 67, 130, 131mp4an 708 . . . . . . . . . . . . 13 (ℝ D ((𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠)))) ↾ ℝ)) = ((ℂ D (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠))))) ↾ ℝ)
133125reseq1i 5352 . . . . . . . . . . . . 13 ((ℂ D (𝑠 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑠))))) ↾ ℝ) = ((𝑠 ∈ ℂ ↦ (cos‘(𝑠 / 2))) ↾ ℝ)
134105, 132, 1333eqtri 2647 . . . . . . . . . . . 12 (ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = ((𝑠 ∈ ℂ ↦ (cos‘(𝑠 / 2))) ↾ ℝ)
135134reseq1i 5352 . . . . . . . . . . 11 ((ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ↾ 𝐴) = (((𝑠 ∈ ℂ ↦ (cos‘(𝑠 / 2))) ↾ ℝ) ↾ 𝐴)
136135a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ↾ 𝐴) = (((𝑠 ∈ ℂ ↦ (cos‘(𝑠 / 2))) ↾ ℝ) ↾ 𝐴))
13738resabs1d 5387 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝑠 ∈ ℂ ↦ (cos‘(𝑠 / 2))) ↾ ℝ) ↾ 𝐴) = ((𝑠 ∈ ℂ ↦ (cos‘(𝑠 / 2))) ↾ 𝐴))
13865resmptd 5411 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑠 ∈ ℂ ↦ (cos‘(𝑠 / 2))) ↾ 𝐴) = (𝑠𝐴 ↦ (cos‘(𝑠 / 2))))
139137, 138eqtrd 2655 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝑠 ∈ ℂ ↦ (cos‘(𝑠 / 2))) ↾ ℝ) ↾ 𝐴) = (𝑠𝐴 ↦ (cos‘(𝑠 / 2))))
14092, 136, 1393eqtrd 2659 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐴)) = (𝑠𝐴 ↦ (cos‘(𝑠 / 2))))
14173, 85, 1403eqtrd 2659 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℝ D (𝑠𝐴 ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (𝑠𝐴 ↦ (cos‘(𝑠 / 2))))
142 coscn 24103 . . . . . . . . . 10 cos ∈ (ℂ–cn→ℂ)
143142a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → cos ∈ (ℂ–cn→ℂ))
14465, 68idcncfg 39388 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑠𝐴𝑠) ∈ (𝐴cn→ℂ))
145 2cnd 11037 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
14617a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 2 ≠ 0)
147 eldifsn 4287 . . . . . . . . . . . 12 (2 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
148145, 146, 147sylanbrc 697 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 2 ∈ (ℂ ∖ {0}))
149 difssd 3716 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ)
15065, 148, 149constcncfg 39387 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑠𝐴 ↦ 2) ∈ (𝐴cn→(ℂ ∖ {0})))
151144, 150divcncf 39400 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑠𝐴 ↦ (𝑠 / 2)) ∈ (𝐴cn→ℂ))
152143, 151cncfmpt1f 22624 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑠𝐴 ↦ (cos‘(𝑠 / 2))) ∈ (𝐴cn→ℂ))
153141, 152eqeltrd 2698 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℝ D (𝑠𝐴 ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ∈ (𝐴cn→ℂ))
15448, 50, 58, 70, 153dvdivcncf 39448 . . . . . 6 (𝜑 → (ℝ D ((𝑠𝐴𝑠) ∘𝑓 / (𝑠𝐴 ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ∈ (𝐴cn→ℂ))
15546, 154eqeltrd 2698 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ D 𝐾) ∈ (𝐴cn→ℂ))
156 cncff 22604 . . . . 5 ((ℝ D 𝐾) ∈ (𝐴cn→ℂ) → (ℝ D 𝐾):𝐴⟶ℂ)
157 fdm 6008 . . . . 5 ((ℝ D 𝐾):𝐴⟶ℂ → dom (ℝ D 𝐾) = 𝐴)
158155, 156, 1573syl 18 . . . 4 (𝜑 → dom (ℝ D 𝐾) = 𝐴)
159158feq2d 5988 . . 3 (𝜑 → ((ℝ D 𝐾):dom (ℝ D 𝐾)⟶ℝ ↔ (ℝ D 𝐾):𝐴⟶ℝ))
16040, 159mpbid 222 . 2 (𝜑 → (ℝ D 𝐾):𝐴⟶ℝ)
161 cncffvrn 22609 . . 3 ((ℝ ⊆ ℂ ∧ (ℝ D 𝐾) ∈ (𝐴cn→ℂ)) → ((ℝ D 𝐾) ∈ (𝐴cn→ℝ) ↔ (ℝ D 𝐾):𝐴⟶ℝ))
16264, 155, 161syl2anc 692 . 2 (𝜑 → ((ℝ D 𝐾) ∈ (𝐴cn→ℝ) ↔ (ℝ D 𝐾):𝐴⟶ℝ))
163160, 162mpbird 247 1 (𝜑 → (ℝ D 𝐾) ∈ (𝐴cn→ℝ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  cdif 3552  wss 3555  {csn 4148  {cpr 4150  cmpt 4673  dom cdm 5074  ran crn 5075  cres 5076  wf 5843  cfv 5847  (class class class)co 6604  𝑓 cof 6848  cc 9878  cr 9879  0cc0 9880  1c1 9881   · cmul 9885  -cneg 10211   / cdiv 10628  2c2 11014  (,)cioo 12117  [,]cicc 12120  sincsin 14719  cosccos 14720  πcpi 14722  t crest 16002  TopOpenctopn 16003  topGenctg 16019  fldccnfld 19665  Topctop 20617  intcnt 20731  cnccncf 22587   D cdv 23533
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958  ax-addf 9959  ax-mulf 9960
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-iin 4488  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-of 6850  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-supp 7241  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-pm 7805  df-ixp 7853  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-fsupp 8220  df-fi 8261  df-sup 8292  df-inf 8293  df-oi 8359  df-card 8709  df-cda 8934  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-z 11322  df-dec 11438  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-xneg 11890  df-xadd 11891  df-xmul 11892  df-ioo 12121  df-ioc 12122  df-ico 12123  df-icc 12124  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-fl 12533  df-mod 12609  df-seq 12742  df-exp 12801  df-fac 13001  df-bc 13030  df-hash 13058  df-shft 13741  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-limsup 14136  df-clim 14153  df-rlim 14154  df-sum 14351  df-ef 14723  df-sin 14725  df-cos 14726  df-pi 14728  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-starv 15877  df-sca 15878  df-vsca 15879  df-ip 15880  df-tset 15881  df-ple 15882  df-ds 15885  df-unif 15886  df-hom 15887  df-cco 15888  df-rest 16004  df-topn 16005  df-0g 16023  df-gsum 16024  df-topgen 16025  df-pt 16026  df-prds 16029  df-xrs 16083  df-qtop 16088  df-imas 16089  df-xps 16091  df-mre 16167  df-mrc 16168  df-acs 16170  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-submnd 17257  df-mulg 17462  df-cntz 17671  df-cmn 18116  df-psmet 19657  df-xmet 19658  df-met 19659  df-bl 19660  df-mopn 19661  df-fbas 19662  df-fg 19663  df-cnfld 19666  df-top 20621  df-bases 20622  df-topon 20623  df-topsp 20624  df-cld 20733  df-ntr 20734  df-cls 20735  df-nei 20812  df-lp 20850  df-perf 20851  df-cn 20941  df-cnp 20942  df-t1 21028  df-haus 21029  df-tx 21275  df-hmeo 21468  df-fil 21560  df-fm 21652  df-flim 21653  df-flf 21654  df-xms 22035  df-ms 22036  df-tms 22037  df-cncf 22589  df-limc 23536  df-dv 23537
This theorem is referenced by:  fourierdlem72  39702
  Copyright terms: Public domain W3C validator