Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem59 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem59 39686
Description: The derivative of 𝐻 is continuous on the given interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem59.f (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
fourierdlem59.x (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem59.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem59.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
fourierdlem59.n0 (𝜑 → ¬ 0 ∈ (𝐴(,)𝐵))
fourierdlem59.fdv (𝜑 → (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)))) ∈ (((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))–cn→ℝ))
fourierdlem59.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
fourierdlem59.h 𝐻 = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶) / 𝑠))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem59 (𝜑 → (ℝ D 𝐻) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑠   𝐵,𝑠   𝐶,𝑠   𝐹,𝑠   𝑋,𝑠   𝜑,𝑠
Allowed substitution hint:   𝐻(𝑠)

Proof of Theorem fourierdlem59
StepHypRef Expression
1 fourierdlem59.f . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
21adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
3 fourierdlem59.x . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
43adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑋 ∈ ℝ)
5 elioore 12147 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑠 ∈ ℝ)
65adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 ∈ ℝ)
74, 6readdcld 10013 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ)
82, 7ffvelrnd 6316 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℝ)
9 fourierdlem59.c . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
109adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ)
118, 10resubcld 10402 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶) ∈ ℝ)
12 eqcom 2628 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 = 0 ↔ 0 = 𝑠)
1312biimpi 206 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 = 0 → 0 = 𝑠)
1413adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝑠 = 0) → 0 = 𝑠)
15 simpl 473 . . . . . . . . . 10 ((𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝑠 = 0) → 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵))
1614, 15eqeltrd 2698 . . . . . . . . 9 ((𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝑠 = 0) → 0 ∈ (𝐴(,)𝐵))
1716adantll 749 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑠 = 0) → 0 ∈ (𝐴(,)𝐵))
18 fourierdlem59.n0 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ¬ 0 ∈ (𝐴(,)𝐵))
1918ad2antrr 761 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑠 = 0) → ¬ 0 ∈ (𝐴(,)𝐵))
2017, 19pm2.65da 599 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ¬ 𝑠 = 0)
2120neqned 2797 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 ≠ 0)
2211, 6, 21redivcld 10797 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶) / 𝑠) ∈ ℝ)
23 fourierdlem59.h . . . . 5 𝐻 = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶) / 𝑠))
2422, 23fmptd 6340 . . . 4 (𝜑𝐻:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
25 ioossre 12177 . . . . 5 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
2625a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ)
27 dvfre 23620 . . . 4 ((𝐻:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ ∧ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ) → (ℝ D 𝐻):dom (ℝ D 𝐻)⟶ℝ)
2824, 26, 27syl2anc 692 . . 3 (𝜑 → (ℝ D 𝐻):dom (ℝ D 𝐻)⟶ℝ)
29 ovex 6632 . . . . . . . . . 10 (𝐴(,)𝐵) ∈ V
3029a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ∈ V)
31 eqidd 2622 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶)))
32 eqidd 2622 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑠) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑠))
3330, 11, 6, 31, 32offval2 6867 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶)) ∘𝑓 / (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑠)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶) / 𝑠)))
3433, 23syl6reqr 2674 . . . . . . 7 (𝜑𝐻 = ((𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶)) ∘𝑓 / (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑠)))
3534oveq2d 6620 . . . . . 6 (𝜑 → (ℝ D 𝐻) = (ℝ D ((𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶)) ∘𝑓 / (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑠))))
36 reelprrecn 9972 . . . . . . . 8 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
3736a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
3811recnd 10012 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶) ∈ ℂ)
39 eqid 2621 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶))
4038, 39fmptd 6340 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶)):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
416recnd 10012 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 ∈ ℂ)
42 eldifsn 4287 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝑠 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ≠ 0))
4341, 21, 42sylanbrc 697 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 ∈ (ℂ ∖ {0}))
44 eqid 2621 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑠) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑠)
4543, 44fmptd 6340 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑠):(𝐴(,)𝐵)⟶(ℂ ∖ {0}))
46 eqidd 2622 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑠))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑠))))
47 eqidd 2622 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝐶) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝐶))
4830, 8, 10, 46, 47offval2 6867 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑠))) ∘𝑓 − (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝐶)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶)))
4948eqcomd 2627 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶)) = ((𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑠))) ∘𝑓 − (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝐶)))
5049oveq2d 6620 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶))) = (ℝ D ((𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑠))) ∘𝑓 − (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝐶))))
518recnd 10012 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℂ)
52 eqid 2621 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑠))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)))
5351, 52fmptd 6340 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑠))):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
5410recnd 10012 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐶 ∈ ℂ)
55 eqid 2621 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝐶) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝐶)
5654, 55fmptd 6340 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝐶):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
57 fourierdlem59.a . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
58 fourierdlem59.b . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
59 eqid 2621 . . . . . . . . . . 11 (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)))) = (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))
60 fourierdlem59.fdv . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)))) ∈ (((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))–cn→ℝ))
61 cncff 22604 . . . . . . . . . . . 12 ((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)))) ∈ (((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))–cn→ℝ) → (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)))):((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))⟶ℝ)
6260, 61syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)))):((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))⟶ℝ)
631, 3, 57, 58, 59, 62fourierdlem28 39656 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠))))
64 ioosscn 39124 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)) ⊆ ℂ
6564a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)) ⊆ ℂ)
66 ax-resscn 9937 . . . . . . . . . . . . . 14 ℝ ⊆ ℂ
6766a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
6862, 67fssd 6014 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)))):((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))⟶ℂ)
69 ssid 3603 . . . . . . . . . . . . . 14 ℂ ⊆ ℂ
7069a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
71 cncffvrn 22609 . . . . . . . . . . . . 13 ((ℂ ⊆ ℂ ∧ (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)))) ∈ (((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))–cn→ℝ)) → ((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)))) ∈ (((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))–cn→ℂ) ↔ (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)))):((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))⟶ℂ))
7270, 60, 71syl2anc 692 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)))) ∈ (((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))–cn→ℂ) ↔ (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)))):((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))⟶ℂ))
7368, 72mpbird 247 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)))) ∈ (((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))–cn→ℂ))
74 ioosscn 39124 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ
7574a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ)
763recnd 10012 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
773, 57readdcld 10013 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑋 + 𝐴) ∈ ℝ)
7877rexrd 10033 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑋 + 𝐴) ∈ ℝ*)
7978adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑋 + 𝐴) ∈ ℝ*)
803, 58readdcld 10013 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑋 + 𝐵) ∈ ℝ)
8180rexrd 10033 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑋 + 𝐵) ∈ ℝ*)
8281adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑋 + 𝐵) ∈ ℝ*)
8357adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
8483rexrd 10033 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
8558rexrd 10033 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
8685adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
87 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵))
88 ioogtlb 39125 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 < 𝑠)
8984, 86, 87, 88syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 < 𝑠)
9083, 6, 4, 89ltadd2dd 10140 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑋 + 𝐴) < (𝑋 + 𝑠))
9158adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
92 iooltub 39143 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 < 𝐵)
9384, 86, 87, 92syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 < 𝐵)
946, 91, 4, 93ltadd2dd 10140 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑋 + 𝑠) < (𝑋 + 𝐵))
9579, 82, 7, 90, 94eliood 39128 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑋 + 𝑠) ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)))
9665, 73, 75, 76, 95fourierdlem23 39651 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
9763, 96eqeltrd 2698 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
98 iooretop 22479 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,))
99 eqid 2621 . . . . . . . . . . . . . 14 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
10099tgioo2 22514 . . . . . . . . . . . . 13 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
10198, 100eleqtri 2696 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴(,)𝐵) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
102101a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
1039recnd 10012 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
10437, 102, 103dvmptconst 39431 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝐶)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 0))
105 0cnd 9977 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
10675, 105, 70constcncfg 39384 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 0) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
107104, 106eqeltrd 2698 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝐶)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
10837, 53, 56, 97, 107dvsubcncf 39442 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℝ D ((𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑠))) ∘𝑓 − (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝐶))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
10950, 108eqeltrd 2698 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
11037, 102dvmptidg 39433 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑠)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 1))
111 1cnd 10000 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
11275, 111, 70constcncfg 39384 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 1) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
113110, 112eqeltrd 2698 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑠)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
11437, 40, 45, 109, 113dvdivcncf 39445 . . . . . 6 (𝜑 → (ℝ D ((𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶)) ∘𝑓 / (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑠))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
11535, 114eqeltrd 2698 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ D 𝐻) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
116 cncff 22604 . . . . 5 ((ℝ D 𝐻) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ) → (ℝ D 𝐻):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
117 fdm 6008 . . . . 5 ((ℝ D 𝐻):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ → dom (ℝ D 𝐻) = (𝐴(,)𝐵))
118115, 116, 1173syl 18 . . . 4 (𝜑 → dom (ℝ D 𝐻) = (𝐴(,)𝐵))
119118feq2d 5988 . . 3 (𝜑 → ((ℝ D 𝐻):dom (ℝ D 𝐻)⟶ℝ ↔ (ℝ D 𝐻):(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ))
12028, 119mpbid 222 . 2 (𝜑 → (ℝ D 𝐻):(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
121 cncffvrn 22609 . . 3 ((ℝ ⊆ ℂ ∧ (ℝ D 𝐻) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ)) → ((ℝ D 𝐻) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ) ↔ (ℝ D 𝐻):(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ))
12267, 115, 121syl2anc 692 . 2 (𝜑 → ((ℝ D 𝐻) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ) ↔ (ℝ D 𝐻):(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ))
123120, 122mpbird 247 1 (𝜑 → (ℝ D 𝐻) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  Vcvv 3186  cdif 3552  wss 3555  {csn 4148  {cpr 4150   class class class wbr 4613  cmpt 4673  dom cdm 5074  ran crn 5075  cres 5076  wf 5843  cfv 5847  (class class class)co 6604  𝑓 cof 6848  cc 9878  cr 9879  0cc0 9880  1c1 9881   + caddc 9883  *cxr 10017   < clt 10018  cmin 10210   / cdiv 10628  (,)cioo 12117  t crest 16002  TopOpenctopn 16003  topGenctg 16019  fldccnfld 19665  cnccncf 22587   D cdv 23533
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958  ax-addf 9959  ax-mulf 9960
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-iin 4488  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-of 6850  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-supp 7241  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-pm 7805  df-ixp 7853  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-fsupp 8220  df-fi 8261  df-sup 8292  df-inf 8293  df-oi 8359  df-card 8709  df-cda 8934  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-z 11322  df-dec 11438  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-xneg 11890  df-xadd 11891  df-xmul 11892  df-ioo 12121  df-icc 12124  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-seq 12742  df-exp 12801  df-hash 13058  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-starv 15877  df-sca 15878  df-vsca 15879  df-ip 15880  df-tset 15881  df-ple 15882  df-ds 15885  df-unif 15886  df-hom 15887  df-cco 15888  df-rest 16004  df-topn 16005  df-0g 16023  df-gsum 16024  df-topgen 16025  df-pt 16026  df-prds 16029  df-xrs 16083  df-qtop 16088  df-imas 16089  df-xps 16091  df-mre 16167  df-mrc 16168  df-acs 16170  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-submnd 17257  df-mulg 17462  df-cntz 17671  df-cmn 18116  df-psmet 19657  df-xmet 19658  df-met 19659  df-bl 19660  df-mopn 19661  df-fbas 19662  df-fg 19663  df-cnfld 19666  df-top 20621  df-bases 20622  df-topon 20623  df-topsp 20624  df-cld 20733  df-ntr 20734  df-cls 20735  df-nei 20812  df-lp 20850  df-perf 20851  df-cn 20941  df-cnp 20942  df-t1 21028  df-haus 21029  df-tx 21275  df-hmeo 21468  df-fil 21560  df-fm 21652  df-flim 21653  df-flf 21654  df-xms 22035  df-ms 22036  df-tms 22037  df-cncf 22589  df-limc 23536  df-dv 23537
This theorem is referenced by:  fourierdlem72  39699
  Copyright terms: Public domain W3C validator