Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem7 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem7 39664
Description: The difference between a point and it's periodic image in the interval, is decreasing. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem7.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem7.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
fourierdlem7.altb (𝜑𝐴 < 𝐵)
fourierdlem7.t 𝑇 = (𝐵𝐴)
fourierdlem7.e 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
fourierdlem7.x (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem7.y (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
fourierdlem7.xlty (𝜑𝑋𝑌)
Assertion
Ref Expression
fourierdlem7 (𝜑 → ((𝐸𝑌) − 𝑌) ≤ ((𝐸𝑋) − 𝑋))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑇   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐸(𝑥)

Proof of Theorem fourierdlem7
StepHypRef Expression
1 fourierdlem7.b . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
2 fourierdlem7.y . . . . . 6 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
31, 2resubcld 10410 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵𝑌) ∈ ℝ)
4 fourierdlem7.t . . . . . 6 𝑇 = (𝐵𝐴)
5 fourierdlem7.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
61, 5resubcld 10410 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ ℝ)
74, 6syl5eqel 2702 . . . . 5 (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
8 fourierdlem7.altb . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 < 𝐵)
95, 1posdifd 10566 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵𝐴)))
108, 9mpbid 222 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 < (𝐵𝐴))
1110, 4syl6breqr 4660 . . . . . 6 (𝜑 → 0 < 𝑇)
1211gt0ne0d 10544 . . . . 5 (𝜑𝑇 ≠ 0)
133, 7, 12redivcld 10805 . . . 4 (𝜑 → ((𝐵𝑌) / 𝑇) ∈ ℝ)
14 fourierdlem7.x . . . . . 6 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
151, 14resubcld 10410 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵𝑋) ∈ ℝ)
1615, 7, 12redivcld 10805 . . . 4 (𝜑 → ((𝐵𝑋) / 𝑇) ∈ ℝ)
177, 11elrpd 11821 . . . . 5 (𝜑𝑇 ∈ ℝ+)
18 fourierdlem7.xlty . . . . . 6 (𝜑𝑋𝑌)
1914, 2, 1, 18lesub2dd 10596 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵𝑌) ≤ (𝐵𝑋))
203, 15, 17, 19lediv1dd 11882 . . . 4 (𝜑 → ((𝐵𝑌) / 𝑇) ≤ ((𝐵𝑋) / 𝑇))
21 flwordi 12561 . . . 4 ((((𝐵𝑌) / 𝑇) ∈ ℝ ∧ ((𝐵𝑋) / 𝑇) ∈ ℝ ∧ ((𝐵𝑌) / 𝑇) ≤ ((𝐵𝑋) / 𝑇)) → (⌊‘((𝐵𝑌) / 𝑇)) ≤ (⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)))
2213, 16, 20, 21syl3anc 1323 . . 3 (𝜑 → (⌊‘((𝐵𝑌) / 𝑇)) ≤ (⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)))
2313flcld 12547 . . . . 5 (𝜑 → (⌊‘((𝐵𝑌) / 𝑇)) ∈ ℤ)
2423zred 11434 . . . 4 (𝜑 → (⌊‘((𝐵𝑌) / 𝑇)) ∈ ℝ)
2516flcld 12547 . . . . 5 (𝜑 → (⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ)
2625zred 11434 . . . 4 (𝜑 → (⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) ∈ ℝ)
2724, 26, 17lemul1d 11867 . . 3 (𝜑 → ((⌊‘((𝐵𝑌) / 𝑇)) ≤ (⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) ↔ ((⌊‘((𝐵𝑌) / 𝑇)) · 𝑇) ≤ ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)))
2822, 27mpbid 222 . 2 (𝜑 → ((⌊‘((𝐵𝑌) / 𝑇)) · 𝑇) ≤ ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))
29 fourierdlem7.e . . . . . 6 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
3029a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇))))
31 id 22 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑌𝑥 = 𝑌)
32 oveq2 6618 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑌 → (𝐵𝑥) = (𝐵𝑌))
3332oveq1d 6625 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑌 → ((𝐵𝑥) / 𝑇) = ((𝐵𝑌) / 𝑇))
3433fveq2d 6157 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑌 → (⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) = (⌊‘((𝐵𝑌) / 𝑇)))
3534oveq1d 6625 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑌 → ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇) = ((⌊‘((𝐵𝑌) / 𝑇)) · 𝑇))
3631, 35oveq12d 6628 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑌 → (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) = (𝑌 + ((⌊‘((𝐵𝑌) / 𝑇)) · 𝑇)))
3736adantl 482 . . . . 5 ((𝜑𝑥 = 𝑌) → (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) = (𝑌 + ((⌊‘((𝐵𝑌) / 𝑇)) · 𝑇)))
3824, 7remulcld 10022 . . . . . 6 (𝜑 → ((⌊‘((𝐵𝑌) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ ℝ)
392, 38readdcld 10021 . . . . 5 (𝜑 → (𝑌 + ((⌊‘((𝐵𝑌) / 𝑇)) · 𝑇)) ∈ ℝ)
4030, 37, 2, 39fvmptd 6250 . . . 4 (𝜑 → (𝐸𝑌) = (𝑌 + ((⌊‘((𝐵𝑌) / 𝑇)) · 𝑇)))
4140oveq1d 6625 . . 3 (𝜑 → ((𝐸𝑌) − 𝑌) = ((𝑌 + ((⌊‘((𝐵𝑌) / 𝑇)) · 𝑇)) − 𝑌))
422recnd 10020 . . . 4 (𝜑𝑌 ∈ ℂ)
4338recnd 10020 . . . 4 (𝜑 → ((⌊‘((𝐵𝑌) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ ℂ)
4442, 43pncan2d 10346 . . 3 (𝜑 → ((𝑌 + ((⌊‘((𝐵𝑌) / 𝑇)) · 𝑇)) − 𝑌) = ((⌊‘((𝐵𝑌) / 𝑇)) · 𝑇))
4541, 44eqtrd 2655 . 2 (𝜑 → ((𝐸𝑌) − 𝑌) = ((⌊‘((𝐵𝑌) / 𝑇)) · 𝑇))
46 id 22 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑋𝑥 = 𝑋)
47 oveq2 6618 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑋 → (𝐵𝑥) = (𝐵𝑋))
4847oveq1d 6625 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑋 → ((𝐵𝑥) / 𝑇) = ((𝐵𝑋) / 𝑇))
4948fveq2d 6157 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑋 → (⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) = (⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)))
5049oveq1d 6625 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑋 → ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇) = ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))
5146, 50oveq12d 6628 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) = (𝑋 + ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)))
5251adantl 482 . . . . 5 ((𝜑𝑥 = 𝑋) → (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) = (𝑋 + ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)))
5326, 7remulcld 10022 . . . . . 6 (𝜑 → ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ ℝ)
5414, 53readdcld 10021 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 + ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) ∈ ℝ)
5530, 52, 14, 54fvmptd 6250 . . . 4 (𝜑 → (𝐸𝑋) = (𝑋 + ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)))
5655oveq1d 6625 . . 3 (𝜑 → ((𝐸𝑋) − 𝑋) = ((𝑋 + ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) − 𝑋))
5714recnd 10020 . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
5853recnd 10020 . . . 4 (𝜑 → ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ ℂ)
5957, 58pncan2d 10346 . . 3 (𝜑 → ((𝑋 + ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) − 𝑋) = ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))
6056, 59eqtrd 2655 . 2 (𝜑 → ((𝐸𝑋) − 𝑋) = ((⌊‘((𝐵𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))
6128, 45, 603brtr4d 4650 1 (𝜑 → ((𝐸𝑌) − 𝑌) ≤ ((𝐸𝑋) − 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1480  wcel 1987   class class class wbr 4618  cmpt 4678  cfv 5852  (class class class)co 6610  cr 9887  0cc0 9888   + caddc 9891   · cmul 9893   < clt 10026  cle 10027  cmin 10218   / cdiv 10636  cfl 12539
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965  ax-pre-sup 9966
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-er 7694  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-sup 8300  df-inf 8301  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-div 10637  df-nn 10973  df-n0 11245  df-z 11330  df-uz 11640  df-rp 11785  df-fl 12541
This theorem is referenced by:  fourierdlem63  39719
  Copyright terms: Public domain W3C validator