Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem72 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem72 42344
Description: The derivative of 𝑂 is continuous on the given interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem72.f (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
fourierdlem72.xre (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem72.p 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = (-π + 𝑋) ∧ (𝑝𝑚) = (π + 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
fourierdlem72.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
fourierdlem72.v (𝜑𝑉 ∈ (𝑃𝑀))
fourierdlem72.dvcn ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))–cn→ℝ))
fourierdlem72.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem72.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
fourierdlem72.altb (𝜑𝐴 < 𝐵)
fourierdlem72.ab (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (-π[,]π))
fourierdlem72.n0 (𝜑 → ¬ 0 ∈ (𝐴[,]𝐵))
fourierdlem72.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
fourierdlem72.q 𝑄 = (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑉𝑖) − 𝑋))
fourierdlem72.u (𝜑𝑈 ∈ (0..^𝑀))
fourierdlem72.abss (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ((𝑄𝑈)(,)(𝑄‘(𝑈 + 1))))
fourierdlem72.h 𝐻 = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶) / 𝑠))
fourierdlem72.k 𝐾 = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
fourierdlem72.o 𝑂 = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠)))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem72 (𝜑 → (ℝ D 𝑂) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑠   𝐵,𝑠   𝐶,𝑠   𝑖,𝐹   𝐹,𝑠   𝐻,𝑠   𝐾,𝑠   𝑖,𝑀,𝑚,𝑝   𝑈,𝑖   𝑖,𝑉,𝑝   𝑖,𝑋,𝑚,𝑝   𝑋,𝑠   𝜑,𝑖   𝜑,𝑠
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚,𝑝)   𝐴(𝑖,𝑚,𝑝)   𝐵(𝑖,𝑚,𝑝)   𝐶(𝑖,𝑚,𝑝)   𝑃(𝑖,𝑚,𝑠,𝑝)   𝑄(𝑖,𝑚,𝑠,𝑝)   𝑈(𝑚,𝑠,𝑝)   𝐹(𝑚,𝑝)   𝐻(𝑖,𝑚,𝑝)   𝐾(𝑖,𝑚,𝑝)   𝑀(𝑠)   𝑂(𝑖,𝑚,𝑠,𝑝)   𝑉(𝑚,𝑠)

Proof of Theorem fourierdlem72
StepHypRef Expression
1 ovex 7178 . . . . . 6 (𝐴(,)𝐵) ∈ V
21a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ∈ V)
3 fourierdlem72.f . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
43adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
5 fourierdlem72.xre . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
65adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑋 ∈ ℝ)
7 elioore 12758 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑠 ∈ ℝ)
87adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 ∈ ℝ)
96, 8readdcld 10659 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ)
104, 9ffvelrnd 6845 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℝ)
11 fourierdlem72.c . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
1211adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ)
1310, 12resubcld 11057 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶) ∈ ℝ)
14 ioossicc 12812 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
1514sseli 3962 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵))
1615ad2antlr 723 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑠 ≠ 0) → 𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵))
17 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 ≠ 0 → 𝑠 ≠ 0)
1817necon1bi 3044 . . . . . . . . . . . 12 𝑠 ≠ 0 → 𝑠 = 0)
1918eleq1d 2897 . . . . . . . . . . 11 𝑠 ≠ 0 → (𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ 0 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
2019adantl 482 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑠 ≠ 0) → (𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ 0 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
2116, 20mpbid 233 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑠 ≠ 0) → 0 ∈ (𝐴[,]𝐵))
22 fourierdlem72.n0 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ¬ 0 ∈ (𝐴[,]𝐵))
2322ad2antrr 722 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑠 ≠ 0) → ¬ 0 ∈ (𝐴[,]𝐵))
2421, 23condan 814 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 ≠ 0)
2513, 8, 24redivcld 11457 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶) / 𝑠) ∈ ℝ)
26 fourierdlem72.h . . . . . . 7 𝐻 = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶) / 𝑠))
2725, 26fmptd 6871 . . . . . 6 (𝜑𝐻:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
2827ffvelrnda 6844 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐻𝑠) ∈ ℝ)
29 2re 11700 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℝ
3029a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 2 ∈ ℝ)
318rehalfcld 11873 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑠 / 2) ∈ ℝ)
3231resincld 15486 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (sin‘(𝑠 / 2)) ∈ ℝ)
3330, 32remulcld 10660 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ ℝ)
34 2cnd 11704 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 2 ∈ ℂ)
358recnd 10658 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 ∈ ℂ)
3635halfcld 11871 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑠 / 2) ∈ ℂ)
3736sincld 15473 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (sin‘(𝑠 / 2)) ∈ ℂ)
38 2ne0 11730 . . . . . . . . . 10 2 ≠ 0
3938a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 2 ≠ 0)
40 fourierdlem72.ab . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (-π[,]π))
4140sselda 3966 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 ∈ (-π[,]π))
42 fourierdlem44 42317 . . . . . . . . . 10 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝑠 ≠ 0) → (sin‘(𝑠 / 2)) ≠ 0)
4341, 24, 42syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (sin‘(𝑠 / 2)) ≠ 0)
4434, 37, 39, 43mulne0d 11281 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ≠ 0)
458, 33, 44redivcld 11457 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ∈ ℝ)
46 fourierdlem72.k . . . . . . 7 𝐾 = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
4745, 46fmptd 6871 . . . . . 6 (𝜑𝐾:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
4847ffvelrnda 6844 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐾𝑠) ∈ ℝ)
4927feqmptd 6727 . . . . 5 (𝜑𝐻 = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐻𝑠)))
5047feqmptd 6727 . . . . 5 (𝜑𝐾 = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐾𝑠)))
512, 28, 48, 49, 50offval2 7415 . . . 4 (𝜑 → (𝐻f · 𝐾) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠))))
52 fourierdlem72.o . . . 4 𝑂 = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠)))
5351, 52syl6reqr 2875 . . 3 (𝜑𝑂 = (𝐻f · 𝐾))
5453oveq2d 7161 . 2 (𝜑 → (ℝ D 𝑂) = (ℝ D (𝐻f · 𝐾)))
55 reelprrecn 10618 . . . 4 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
5655a1i 11 . . 3 (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
5710recnd 10658 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℂ)
5811recnd 10658 . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
5958adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐶 ∈ ℂ)
6057, 59subcld 10986 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶) ∈ ℂ)
61 ioossre 12788 . . . . . . . 8 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
6261a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ)
6362sselda 3966 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 ∈ ℝ)
6463recnd 10658 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 ∈ ℂ)
6560, 64, 24divcld 11405 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶) / 𝑠) ∈ ℂ)
6665, 26fmptd 6871 . . 3 (𝜑𝐻:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
6764halfcld 11871 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑠 / 2) ∈ ℂ)
6867sincld 15473 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (sin‘(𝑠 / 2)) ∈ ℂ)
6934, 68mulcld 10650 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ ℂ)
7064, 69, 44divcld 11405 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ∈ ℂ)
7170, 46fmptd 6871 . . 3 (𝜑𝐾:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
72 ax-resscn 10583 . . . . . 6 ℝ ⊆ ℂ
7372a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
74 ssid 3988 . . . . . 6 ℂ ⊆ ℂ
7574a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
76 cncfss 23436 . . . . 5 ((ℝ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ) ⊆ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
7773, 75, 76syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ) ⊆ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
78 fourierdlem72.a . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
79 fourierdlem72.b . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
8024nelrdva 3695 . . . . 5 (𝜑 → ¬ 0 ∈ (𝐴(,)𝐵))
813, 73fssd 6522 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℂ)
82 ssid 3988 . . . . . . . . 9 ℝ ⊆ ℝ
8382a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → ℝ ⊆ ℝ)
84 ioossre 12788 . . . . . . . . 9 ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)) ⊆ ℝ
8584a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)) ⊆ ℝ)
86 eqid 2821 . . . . . . . . 9 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
8786tgioo2 23340 . . . . . . . . 9 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
8886, 87dvres 24438 . . . . . . . 8 (((ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝐹:ℝ⟶ℂ) ∧ (ℝ ⊆ ℝ ∧ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)) ⊆ ℝ)) → (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)))))
8973, 81, 83, 85, 88syl22anc 834 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)))))
90 ioontr 41667 . . . . . . . 8 ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))) = ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))
9190reseq2i 5844 . . . . . . 7 ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)))
9289, 91syl6eq 2872 . . . . . 6 (𝜑 → (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))
93 fourierdlem72.v . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑉 ∈ (𝑃𝑀))
94 fourierdlem72.m . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
95 fourierdlem72.p . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = (-π + 𝑋) ∧ (𝑝𝑚) = (π + 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
9695fourierdlem2 42275 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑉 ∈ (𝑃𝑀) ↔ (𝑉 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((𝑉‘0) = (-π + 𝑋) ∧ (𝑉𝑀) = (π + 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑉𝑖) < (𝑉‘(𝑖 + 1))))))
9794, 96syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑉 ∈ (𝑃𝑀) ↔ (𝑉 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((𝑉‘0) = (-π + 𝑋) ∧ (𝑉𝑀) = (π + 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑉𝑖) < (𝑉‘(𝑖 + 1))))))
9893, 97mpbid 233 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑉 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((𝑉‘0) = (-π + 𝑋) ∧ (𝑉𝑀) = (π + 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑉𝑖) < (𝑉‘(𝑖 + 1)))))
9998simpld 495 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑉 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)))
100 elmapi 8418 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑉 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) → 𝑉:(0...𝑀)⟶ℝ)
10199, 100syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑉:(0...𝑀)⟶ℝ)
102 fourierdlem72.u . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑈 ∈ (0..^𝑀))
103 elfzofz 13043 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑈 ∈ (0..^𝑀) → 𝑈 ∈ (0...𝑀))
104102, 103syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑈 ∈ (0...𝑀))
105101, 104ffvelrnd 6845 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑉𝑈) ∈ ℝ)
106105rexrd 10680 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑉𝑈) ∈ ℝ*)
107 fzofzp1 13124 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑈 ∈ (0..^𝑀) → (𝑈 + 1) ∈ (0...𝑀))
108102, 107syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑈 + 1) ∈ (0...𝑀))
109101, 108ffvelrnd 6845 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑉‘(𝑈 + 1)) ∈ ℝ)
110109rexrd 10680 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑉‘(𝑈 + 1)) ∈ ℝ*)
111 pire 24973 . . . . . . . . . . . . . . 15 π ∈ ℝ
112111a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → π ∈ ℝ)
113112renegcld 11056 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → -π ∈ ℝ)
114 fourierdlem72.q . . . . . . . . . . . . 13 𝑄 = (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑉𝑖) − 𝑋))
115113, 112, 5, 95, 94, 93, 104, 114fourierdlem13 42286 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑄𝑈) = ((𝑉𝑈) − 𝑋) ∧ (𝑉𝑈) = (𝑋 + (𝑄𝑈))))
116115simprd 496 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑉𝑈) = (𝑋 + (𝑄𝑈)))
117115simpld 495 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑄𝑈) = ((𝑉𝑈) − 𝑋))
118105, 5resubcld 11057 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑉𝑈) − 𝑋) ∈ ℝ)
119117, 118eqeltrd 2913 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑄𝑈) ∈ ℝ)
120113, 112, 5, 95, 94, 93, 108, 114fourierdlem13 42286 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝑄‘(𝑈 + 1)) = ((𝑉‘(𝑈 + 1)) − 𝑋) ∧ (𝑉‘(𝑈 + 1)) = (𝑋 + (𝑄‘(𝑈 + 1)))))
121120simpld 495 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑄‘(𝑈 + 1)) = ((𝑉‘(𝑈 + 1)) − 𝑋))
122109, 5resubcld 11057 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝑉‘(𝑈 + 1)) − 𝑋) ∈ ℝ)
123121, 122eqeltrd 2913 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑄‘(𝑈 + 1)) ∈ ℝ)
124 fourierdlem72.altb . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐴 < 𝐵)
125 fourierdlem72.abss . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ((𝑄𝑈)(,)(𝑄‘(𝑈 + 1))))
126119, 123, 78, 79, 124, 125fourierdlem10 42283 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑄𝑈) ≤ 𝐴𝐵 ≤ (𝑄‘(𝑈 + 1))))
127126simpld 495 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑄𝑈) ≤ 𝐴)
128119, 78, 5, 127leadd2dd 11244 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑋 + (𝑄𝑈)) ≤ (𝑋 + 𝐴))
129116, 128eqbrtrd 5080 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑉𝑈) ≤ (𝑋 + 𝐴))
130126simprd 496 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐵 ≤ (𝑄‘(𝑈 + 1)))
13179, 123, 5, 130leadd2dd 11244 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑋 + 𝐵) ≤ (𝑋 + (𝑄‘(𝑈 + 1))))
132120simprd 496 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑉‘(𝑈 + 1)) = (𝑋 + (𝑄‘(𝑈 + 1))))
133131, 132breqtrrd 5086 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑋 + 𝐵) ≤ (𝑉‘(𝑈 + 1)))
134 ioossioo 12819 . . . . . . . . . 10 ((((𝑉𝑈) ∈ ℝ* ∧ (𝑉‘(𝑈 + 1)) ∈ ℝ*) ∧ ((𝑉𝑈) ≤ (𝑋 + 𝐴) ∧ (𝑋 + 𝐵) ≤ (𝑉‘(𝑈 + 1)))) → ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)) ⊆ ((𝑉𝑈)(,)(𝑉‘(𝑈 + 1))))
135106, 110, 129, 133, 134syl22anc 834 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)) ⊆ ((𝑉𝑈)(,)(𝑉‘(𝑈 + 1))))
136135resabs1d 5878 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉𝑈)(,)(𝑉‘(𝑈 + 1)))) ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))
137136eqcomd 2827 . . . . . . 7 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))) = (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉𝑈)(,)(𝑉‘(𝑈 + 1)))) ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))
138102ancli 549 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝜑𝑈 ∈ (0..^𝑀)))
139 eleq1 2900 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝑈 → (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↔ 𝑈 ∈ (0..^𝑀)))
140139anbi2d 628 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 𝑈 → ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ↔ (𝜑𝑈 ∈ (0..^𝑀))))
141 fveq2 6664 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 𝑈 → (𝑉𝑖) = (𝑉𝑈))
142 oveq1 7152 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = 𝑈 → (𝑖 + 1) = (𝑈 + 1))
143142fveq2d 6668 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 𝑈 → (𝑉‘(𝑖 + 1)) = (𝑉‘(𝑈 + 1)))
144141, 143oveq12d 7163 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 𝑈 → ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))) = ((𝑉𝑈)(,)(𝑉‘(𝑈 + 1))))
145144reseq2d 5847 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝑈 → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉𝑈)(,)(𝑉‘(𝑈 + 1)))))
146144oveq1d 7160 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝑈 → (((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))–cn→ℝ) = (((𝑉𝑈)(,)(𝑉‘(𝑈 + 1)))–cn→ℝ))
147145, 146eleq12d 2907 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 𝑈 → (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))–cn→ℝ) ↔ ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉𝑈)(,)(𝑉‘(𝑈 + 1)))) ∈ (((𝑉𝑈)(,)(𝑉‘(𝑈 + 1)))–cn→ℝ)))
148140, 147imbi12d 346 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑈 → (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))–cn→ℝ)) ↔ ((𝜑𝑈 ∈ (0..^𝑀)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉𝑈)(,)(𝑉‘(𝑈 + 1)))) ∈ (((𝑉𝑈)(,)(𝑉‘(𝑈 + 1)))–cn→ℝ))))
149 fourierdlem72.dvcn . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))–cn→ℝ))
150148, 149vtoclg 3568 . . . . . . . . 9 (𝑈 ∈ (0..^𝑀) → ((𝜑𝑈 ∈ (0..^𝑀)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉𝑈)(,)(𝑉‘(𝑈 + 1)))) ∈ (((𝑉𝑈)(,)(𝑉‘(𝑈 + 1)))–cn→ℝ)))
151102, 138, 150sylc 65 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉𝑈)(,)(𝑉‘(𝑈 + 1)))) ∈ (((𝑉𝑈)(,)(𝑉‘(𝑈 + 1)))–cn→ℝ))
152 rescncf 23434 . . . . . . . 8 (((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)) ⊆ ((𝑉𝑈)(,)(𝑉‘(𝑈 + 1))) → (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉𝑈)(,)(𝑉‘(𝑈 + 1)))) ∈ (((𝑉𝑈)(,)(𝑉‘(𝑈 + 1)))–cn→ℝ) → (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉𝑈)(,)(𝑉‘(𝑈 + 1)))) ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))) ∈ (((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))–cn→ℝ)))
153135, 151, 152sylc 65 . . . . . . 7 (𝜑 → (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑉𝑈)(,)(𝑉‘(𝑈 + 1)))) ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))) ∈ (((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))–cn→ℝ))
154137, 153eqeltrd 2913 . . . . . 6 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))) ∈ (((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))–cn→ℝ))
15592, 154eqeltrd 2913 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)))) ∈ (((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))–cn→ℝ))
1563, 5, 78, 79, 80, 155, 11, 26fourierdlem59 42331 . . . 4 (𝜑 → (ℝ D 𝐻) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ))
15777, 156sseldd 3967 . . 3 (𝜑 → (ℝ D 𝐻) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
158 iooretop 23303 . . . . . 6 (𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,))
159158a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,)))
16046, 40, 80, 159fourierdlem58 42330 . . . 4 (𝜑 → (ℝ D 𝐾) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ))
16177, 160sseldd 3967 . . 3 (𝜑 → (ℝ D 𝐾) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
16256, 66, 71, 157, 161dvmulcncf 42090 . 2 (𝜑 → (ℝ D (𝐻f · 𝐾)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
16354, 162eqeltrd 2913 1 (𝜑 → (ℝ D 𝑂) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3016  wral 3138  {crab 3142  Vcvv 3495  wss 3935  {cpr 4561   class class class wbr 5058  cmpt 5138  ran crn 5550  cres 5551  wf 6345  cfv 6349  (class class class)co 7145  f cof 7396  m cmap 8396  cc 10524  cr 10525  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529   · cmul 10531  *cxr 10663   < clt 10664  cle 10665  cmin 10859  -cneg 10860   / cdiv 11286  cn 11627  2c2 11681  (,)cioo 12728  [,]cicc 12731  ...cfz 12882  ..^cfzo 13023  sincsin 15407  πcpi 15410  TopOpenctopn 16685  topGenctg 16701  fldccnfld 20475  intcnt 21555  cnccncf 23413   D cdv 24390
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7450  ax-inf2 9093  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604  ax-addf 10605  ax-mulf 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4833  df-int 4870  df-iun 4914  df-iin 4915  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-se 5509  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-isom 6358  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7398  df-om 7569  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-supp 7822  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-1o 8093  df-2o 8094  df-oadd 8097  df-er 8279  df-map 8398  df-pm 8399  df-ixp 8451  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-fin 8502  df-fsupp 8823  df-fi 8864  df-sup 8895  df-inf 8896  df-oi 8963  df-card 9357  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11628  df-2 11689  df-3 11690  df-4 11691  df-5 11692  df-6 11693  df-7 11694  df-8 11695  df-9 11696  df-n0 11887  df-z 11971  df-dec 12088  df-uz 12233  df-q 12338  df-rp 12380  df-xneg 12497  df-xadd 12498  df-xmul 12499  df-ioo 12732  df-ioc 12733  df-ico 12734  df-icc 12735  df-fz 12883  df-fzo 13024  df-fl 13152  df-mod 13228  df-seq 13360  df-exp 13420  df-fac 13624  df-bc 13653  df-hash 13681  df-shft 14416  df-cj 14448  df-re 14449  df-im 14450  df-sqrt 14584  df-abs 14585  df-limsup 14818  df-clim 14835  df-rlim 14836  df-sum 15033  df-ef 15411  df-sin 15413  df-cos 15414  df-pi 15416  df-struct 16475  df-ndx 16476  df-slot 16477  df-base 16479  df-sets 16480  df-ress 16481  df-plusg 16568  df-mulr 16569  df-starv 16570  df-sca 16571  df-vsca 16572  df-ip 16573  df-tset 16574  df-ple 16575  df-ds 16577  df-unif 16578  df-hom 16579  df-cco 16580  df-rest 16686  df-topn 16687  df-0g 16705  df-gsum 16706  df-topgen 16707  df-pt 16708  df-prds 16711  df-xrs 16765  df-qtop 16770  df-imas 16771  df-xps 16773  df-mre 16847  df-mrc 16848  df-acs 16850  df-mgm 17842  df-sgrp 17891  df-mnd 17902  df-submnd 17947  df-mulg 18165  df-cntz 18387  df-cmn 18839  df-psmet 20467  df-xmet 20468  df-met 20469  df-bl 20470  df-mopn 20471  df-fbas 20472  df-fg 20473  df-cnfld 20476  df-top 21432  df-topon 21449  df-topsp 21471  df-bases 21484  df-cld 21557  df-ntr 21558  df-cls 21559  df-nei 21636  df-lp 21674  df-perf 21675  df-cn 21765  df-cnp 21766  df-t1 21852  df-haus 21853  df-tx 22100  df-hmeo 22293  df-fil 22384  df-fm 22476  df-flim 22477  df-flf 22478  df-xms 22859  df-ms 22860  df-tms 22861  df-cncf 23415  df-limc 24393  df-dv 24394
This theorem is referenced by:  fourierdlem103  42375  fourierdlem104  42376
  Copyright terms: Public domain W3C validator