Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem77 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem77 40899
Description: If 𝐻 is bounded, then 𝑈 is bounded. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem77.f (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
fourierdlem77.x (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem77.y (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
fourierdlem77.w (𝜑𝑊 ∈ ℝ)
fourierdlem77.h 𝐻 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠)))
fourierdlem77.k 𝐾 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
fourierdlem77.u 𝑈 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠)))
fourierdlem77.bd (𝜑 → ∃𝑎 ∈ ℝ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐻𝑠)) ≤ 𝑎)
Assertion
Ref Expression
fourierdlem77 (𝜑 → ∃𝑏 ∈ ℝ+𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝑈𝑠)) ≤ 𝑏)
Distinct variable groups:   𝐾,𝑏,𝑠   𝑈,𝑎,𝑏   𝜑,𝑎,𝑠
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑏)   𝑈(𝑠)   𝐹(𝑠,𝑎,𝑏)   𝐻(𝑠,𝑎,𝑏)   𝐾(𝑎)   𝑊(𝑠,𝑎,𝑏)   𝑋(𝑠,𝑎,𝑏)   𝑌(𝑠,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem fourierdlem77
Dummy variables 𝑐 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem77.bd . 2 (𝜑 → ∃𝑎 ∈ ℝ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐻𝑠)) ≤ 𝑎)
2 pire 24405 . . . . . . . . . 10 π ∈ ℝ
32renegcli 10530 . . . . . . . . 9 -π ∈ ℝ
43a1i 11 . . . . . . . 8 (⊤ → -π ∈ ℝ)
52a1i 11 . . . . . . . 8 (⊤ → π ∈ ℝ)
6 pirp 24408 . . . . . . . . . . 11 π ∈ ℝ+
7 neglt 39991 . . . . . . . . . . 11 (π ∈ ℝ+ → -π < π)
86, 7ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 -π < π
93, 2, 8ltleii 10348 . . . . . . . . 9 -π ≤ π
109a1i 11 . . . . . . . 8 (⊤ → -π ≤ π)
11 fourierdlem77.k . . . . . . . . . 10 𝐾 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
1211fourierdlem62 40884 . . . . . . . . 9 𝐾 ∈ ((-π[,]π)–cn→ℝ)
1312a1i 11 . . . . . . . 8 (⊤ → 𝐾 ∈ ((-π[,]π)–cn→ℝ))
144, 5, 10, 13evthiccabs 40217 . . . . . . 7 (⊤ → (∃𝑐 ∈ (-π[,]π)∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐾𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾𝑐)) ∧ ∃𝑥 ∈ (-π[,]π)∀𝑦 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐾𝑥)) ≤ (abs‘(𝐾𝑦))))
1514trud 1638 . . . . . 6 (∃𝑐 ∈ (-π[,]π)∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐾𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾𝑐)) ∧ ∃𝑥 ∈ (-π[,]π)∀𝑦 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐾𝑥)) ≤ (abs‘(𝐾𝑦)))
1615simpli 476 . . . . 5 𝑐 ∈ (-π[,]π)∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐾𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾𝑐))
1716a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐻𝑠)) ≤ 𝑎) → ∃𝑐 ∈ (-π[,]π)∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐾𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾𝑐)))
18 simpl 474 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ (-π[,]π)) → 𝑎 ∈ ℝ)
1911fourierdlem43 40866 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐾:(-π[,]π)⟶ℝ
2019ffvelrni 6517 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑐 ∈ (-π[,]π) → (𝐾𝑐) ∈ ℝ)
2120adantl 473 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ (-π[,]π)) → (𝐾𝑐) ∈ ℝ)
2218, 21remulcld 10258 . . . . . . . . . . 11 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ (-π[,]π)) → (𝑎 · (𝐾𝑐)) ∈ ℝ)
2322recnd 10256 . . . . . . . . . 10 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ (-π[,]π)) → (𝑎 · (𝐾𝑐)) ∈ ℂ)
2423abscld 14370 . . . . . . . . 9 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ (-π[,]π)) → (abs‘(𝑎 · (𝐾𝑐))) ∈ ℝ)
2523absge0d 14378 . . . . . . . . 9 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ (-π[,]π)) → 0 ≤ (abs‘(𝑎 · (𝐾𝑐))))
2624, 25ge0p1rpd 12091 . . . . . . . 8 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ (-π[,]π)) → ((abs‘(𝑎 · (𝐾𝑐))) + 1) ∈ ℝ+)
27263ad2antl2 1202 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐻𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ (-π[,]π)) → ((abs‘(𝑎 · (𝐾𝑐))) + 1) ∈ ℝ+)
28273adant3 1127 . . . . . 6 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐻𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ (-π[,]π) ∧ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐾𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾𝑐))) → ((abs‘(𝑎 · (𝐾𝑐))) + 1) ∈ ℝ+)
29 nfv 1988 . . . . . . . . 9 𝑠𝜑
30 nfv 1988 . . . . . . . . 9 𝑠 𝑎 ∈ ℝ
31 nfra1 3075 . . . . . . . . 9 𝑠𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐻𝑠)) ≤ 𝑎
3229, 30, 31nf3an 1976 . . . . . . . 8 𝑠(𝜑𝑎 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐻𝑠)) ≤ 𝑎)
33 nfv 1988 . . . . . . . 8 𝑠 𝑐 ∈ (-π[,]π)
34 nfra1 3075 . . . . . . . 8 𝑠𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐾𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾𝑐))
3532, 33, 34nf3an 1976 . . . . . . 7 𝑠((𝜑𝑎 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐻𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ (-π[,]π) ∧ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐾𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾𝑐)))
36 simpl11 1315 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐻𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ (-π[,]π) ∧ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐾𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾𝑐))) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 𝜑)
37 simpl12 1317 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐻𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ (-π[,]π) ∧ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐾𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾𝑐))) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 𝑎 ∈ ℝ)
3836, 37jca 555 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐻𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ (-π[,]π) ∧ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐾𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾𝑐))) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (𝜑𝑎 ∈ ℝ))
39 simpl13 1319 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐻𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ (-π[,]π) ∧ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐾𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾𝑐))) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐻𝑠)) ≤ 𝑎)
40 rspa 3064 . . . . . . . . . . 11 ((∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐻𝑠)) ≤ 𝑎𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (abs‘(𝐻𝑠)) ≤ 𝑎)
4139, 40sylancom 704 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐻𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ (-π[,]π) ∧ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐾𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾𝑐))) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (abs‘(𝐻𝑠)) ≤ 𝑎)
42 simpl2 1230 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐻𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ (-π[,]π) ∧ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐾𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾𝑐))) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 𝑐 ∈ (-π[,]π))
4338, 41, 42jca31 558 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐻𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ (-π[,]π) ∧ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐾𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾𝑐))) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝐻𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ (-π[,]π)))
44 rspa 3064 . . . . . . . . . 10 ((∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐾𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾𝑐)) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (abs‘(𝐾𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾𝑐)))
45443ad2antl3 1203 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐻𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ (-π[,]π) ∧ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐾𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾𝑐))) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (abs‘(𝐾𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾𝑐)))
46 simpr 479 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐻𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ (-π[,]π) ∧ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐾𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾𝑐))) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 𝑠 ∈ (-π[,]π))
47 simp-5l 829 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝐻𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ (-π[,]π)) ∧ (abs‘(𝐾𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾𝑐))) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 𝜑)
48 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 𝑠 ∈ (-π[,]π))
49 fourierdlem77.f . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
50 fourierdlem77.x . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
51 fourierdlem77.y . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
52 fourierdlem77.w . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑊 ∈ ℝ)
53 fourierdlem77.h . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝐻 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠)))
5449, 50, 51, 52, 53fourierdlem9 40832 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐻:(-π[,]π)⟶ℝ)
5554ffvelrnda 6518 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (𝐻𝑠) ∈ ℝ)
5619ffvelrni 6517 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑠 ∈ (-π[,]π) → (𝐾𝑠) ∈ ℝ)
5756adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (𝐾𝑠) ∈ ℝ)
5855, 57remulcld 10258 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑠 ∈ (-π[,]π)) → ((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠)) ∈ ℝ)
59 fourierdlem77.u . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑈 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠)))
6059fvmpt2 6449 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠)) ∈ ℝ) → (𝑈𝑠) = ((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠)))
6148, 58, 60syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (𝑈𝑠) = ((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠)))
6261, 58eqeltrd 2835 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (𝑈𝑠) ∈ ℝ)
6362recnd 10256 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (𝑈𝑠) ∈ ℂ)
6463abscld 14370 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (abs‘(𝑈𝑠)) ∈ ℝ)
6547, 64sylancom 704 . . . . . . . . . 10 ((((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝐻𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ (-π[,]π)) ∧ (abs‘(𝐾𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾𝑐))) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (abs‘(𝑈𝑠)) ∈ ℝ)
66 simp-5r 831 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝐻𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ (-π[,]π)) ∧ (abs‘(𝐾𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾𝑐))) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 𝑎 ∈ ℝ)
67 simpllr 817 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝐻𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ (-π[,]π)) ∧ (abs‘(𝐾𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾𝑐))) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 𝑐 ∈ (-π[,]π))
6866, 67, 24syl2anc 696 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝐻𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ (-π[,]π)) ∧ (abs‘(𝐾𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾𝑐))) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (abs‘(𝑎 · (𝐾𝑐))) ∈ ℝ)
69 peano2re 10397 . . . . . . . . . . 11 ((abs‘(𝑎 · (𝐾𝑐))) ∈ ℝ → ((abs‘(𝑎 · (𝐾𝑐))) + 1) ∈ ℝ)
7068, 69syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝐻𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ (-π[,]π)) ∧ (abs‘(𝐾𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾𝑐))) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → ((abs‘(𝑎 · (𝐾𝑐))) + 1) ∈ ℝ)
7161fveq2d 6352 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (abs‘(𝑈𝑠)) = (abs‘((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠))))
7247, 71sylancom 704 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝐻𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ (-π[,]π)) ∧ (abs‘(𝐾𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾𝑐))) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (abs‘(𝑈𝑠)) = (abs‘((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠))))
7355recnd 10256 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (𝐻𝑠) ∈ ℂ)
7473abscld 14370 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (abs‘(𝐻𝑠)) ∈ ℝ)
7547, 74sylancom 704 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝐻𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ (-π[,]π)) ∧ (abs‘(𝐾𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾𝑐))) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (abs‘(𝐻𝑠)) ∈ ℝ)
76 recn 10214 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑎 ∈ ℝ → 𝑎 ∈ ℂ)
7776abscld 14370 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑎 ∈ ℝ → (abs‘𝑎) ∈ ℝ)
7866, 77syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝐻𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ (-π[,]π)) ∧ (abs‘(𝐾𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾𝑐))) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (abs‘𝑎) ∈ ℝ)
7956recnd 10256 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑠 ∈ (-π[,]π) → (𝐾𝑠) ∈ ℂ)
8079abscld 14370 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑠 ∈ (-π[,]π) → (abs‘(𝐾𝑠)) ∈ ℝ)
8180adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝐻𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ (-π[,]π)) ∧ (abs‘(𝐾𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾𝑐))) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (abs‘(𝐾𝑠)) ∈ ℝ)
8220recnd 10256 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑐 ∈ (-π[,]π) → (𝐾𝑐) ∈ ℂ)
8382abscld 14370 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑐 ∈ (-π[,]π) → (abs‘(𝐾𝑐)) ∈ ℝ)
8467, 83syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝐻𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ (-π[,]π)) ∧ (abs‘(𝐾𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾𝑐))) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (abs‘(𝐾𝑐)) ∈ ℝ)
8573absge0d 14378 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 0 ≤ (abs‘(𝐻𝑠)))
8647, 85sylancom 704 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝐻𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ (-π[,]π)) ∧ (abs‘(𝐾𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾𝑐))) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 0 ≤ (abs‘(𝐻𝑠)))
8782absge0d 14378 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑐 ∈ (-π[,]π) → 0 ≤ (abs‘(𝐾𝑐)))
8867, 87syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝐻𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ (-π[,]π)) ∧ (abs‘(𝐾𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾𝑐))) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 0 ≤ (abs‘(𝐾𝑐)))
8974ad4ant14 1209 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝐻𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (abs‘(𝐻𝑠)) ∈ ℝ)
90 simpllr 817 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝐻𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 𝑎 ∈ ℝ)
9177ad3antlr 769 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝐻𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (abs‘𝑎) ∈ ℝ)
92 simplr 809 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝐻𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (abs‘(𝐻𝑠)) ≤ 𝑎)
9390leabsd 14348 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝐻𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 𝑎 ≤ (abs‘𝑎))
9489, 90, 91, 92, 93letrd 10382 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝐻𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (abs‘(𝐻𝑠)) ≤ (abs‘𝑎))
9594ad4ant14 1209 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝐻𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ (-π[,]π)) ∧ (abs‘(𝐾𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾𝑐))) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (abs‘(𝐻𝑠)) ≤ (abs‘𝑎))
96 simplr 809 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝐻𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ (-π[,]π)) ∧ (abs‘(𝐾𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾𝑐))) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (abs‘(𝐾𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾𝑐)))
9775, 78, 81, 84, 86, 88, 95, 96lemul12bd 11155 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝐻𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ (-π[,]π)) ∧ (abs‘(𝐾𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾𝑐))) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → ((abs‘(𝐻𝑠)) · (abs‘(𝐾𝑠))) ≤ ((abs‘𝑎) · (abs‘(𝐾𝑐))))
9857recnd 10256 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (𝐾𝑠) ∈ ℂ)
9973, 98absmuld 14388 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (abs‘((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠))) = ((abs‘(𝐻𝑠)) · (abs‘(𝐾𝑠))))
10047, 99sylancom 704 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝐻𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ (-π[,]π)) ∧ (abs‘(𝐾𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾𝑐))) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (abs‘((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠))) = ((abs‘(𝐻𝑠)) · (abs‘(𝐾𝑠))))
10176adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ (-π[,]π)) → 𝑎 ∈ ℂ)
10221recnd 10256 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ (-π[,]π)) → (𝐾𝑐) ∈ ℂ)
103101, 102absmuld 14388 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ (-π[,]π)) → (abs‘(𝑎 · (𝐾𝑐))) = ((abs‘𝑎) · (abs‘(𝐾𝑐))))
10466, 67, 103syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝐻𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ (-π[,]π)) ∧ (abs‘(𝐾𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾𝑐))) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (abs‘(𝑎 · (𝐾𝑐))) = ((abs‘𝑎) · (abs‘(𝐾𝑐))))
10597, 100, 1043brtr4d 4832 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝐻𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ (-π[,]π)) ∧ (abs‘(𝐾𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾𝑐))) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (abs‘((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠))) ≤ (abs‘(𝑎 · (𝐾𝑐))))
10672, 105eqbrtrd 4822 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝐻𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ (-π[,]π)) ∧ (abs‘(𝐾𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾𝑐))) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (abs‘(𝑈𝑠)) ≤ (abs‘(𝑎 · (𝐾𝑐))))
10768ltp1d 11142 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝐻𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ (-π[,]π)) ∧ (abs‘(𝐾𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾𝑐))) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (abs‘(𝑎 · (𝐾𝑐))) < ((abs‘(𝑎 · (𝐾𝑐))) + 1))
10865, 68, 70, 106, 107lelttrd 10383 . . . . . . . . . 10 ((((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝐻𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ (-π[,]π)) ∧ (abs‘(𝐾𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾𝑐))) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (abs‘(𝑈𝑠)) < ((abs‘(𝑎 · (𝐾𝑐))) + 1))
10965, 70, 108ltled 10373 . . . . . . . . 9 ((((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝐻𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ (-π[,]π)) ∧ (abs‘(𝐾𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾𝑐))) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (abs‘(𝑈𝑠)) ≤ ((abs‘(𝑎 · (𝐾𝑐))) + 1))
11043, 45, 46, 109syl21anc 1476 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐻𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ (-π[,]π) ∧ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐾𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾𝑐))) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (abs‘(𝑈𝑠)) ≤ ((abs‘(𝑎 · (𝐾𝑐))) + 1))
111110ex 449 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐻𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ (-π[,]π) ∧ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐾𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾𝑐))) → (𝑠 ∈ (-π[,]π) → (abs‘(𝑈𝑠)) ≤ ((abs‘(𝑎 · (𝐾𝑐))) + 1)))
11235, 111ralrimi 3091 . . . . . 6 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐻𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ (-π[,]π) ∧ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐾𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾𝑐))) → ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝑈𝑠)) ≤ ((abs‘(𝑎 · (𝐾𝑐))) + 1))
113 breq2 4804 . . . . . . . 8 (𝑏 = ((abs‘(𝑎 · (𝐾𝑐))) + 1) → ((abs‘(𝑈𝑠)) ≤ 𝑏 ↔ (abs‘(𝑈𝑠)) ≤ ((abs‘(𝑎 · (𝐾𝑐))) + 1)))
114113ralbidv 3120 . . . . . . 7 (𝑏 = ((abs‘(𝑎 · (𝐾𝑐))) + 1) → (∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝑈𝑠)) ≤ 𝑏 ↔ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝑈𝑠)) ≤ ((abs‘(𝑎 · (𝐾𝑐))) + 1)))
115114rspcev 3445 . . . . . 6 ((((abs‘(𝑎 · (𝐾𝑐))) + 1) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝑈𝑠)) ≤ ((abs‘(𝑎 · (𝐾𝑐))) + 1)) → ∃𝑏 ∈ ℝ+𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝑈𝑠)) ≤ 𝑏)
11628, 112, 115syl2anc 696 . . . . 5 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐻𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ (-π[,]π) ∧ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐾𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾𝑐))) → ∃𝑏 ∈ ℝ+𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝑈𝑠)) ≤ 𝑏)
117116rexlimdv3a 3167 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐻𝑠)) ≤ 𝑎) → (∃𝑐 ∈ (-π[,]π)∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐾𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾𝑐)) → ∃𝑏 ∈ ℝ+𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝑈𝑠)) ≤ 𝑏))
11817, 117mpd 15 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐻𝑠)) ≤ 𝑎) → ∃𝑏 ∈ ℝ+𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝑈𝑠)) ≤ 𝑏)
119118rexlimdv3a 3167 . 2 (𝜑 → (∃𝑎 ∈ ℝ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐻𝑠)) ≤ 𝑎 → ∃𝑏 ∈ ℝ+𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝑈𝑠)) ≤ 𝑏))
1201, 119mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑏 ∈ ℝ+𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝑈𝑠)) ≤ 𝑏)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1072   = wceq 1628  wtru 1629  wcel 2135  wral 3046  wrex 3047  ifcif 4226   class class class wbr 4800  cmpt 4877  wf 6041  cfv 6045  (class class class)co 6809  cc 10122  cr 10123  0cc0 10124  1c1 10125   + caddc 10127   · cmul 10129   < clt 10262  cle 10263  cmin 10454  -cneg 10455   / cdiv 10872  2c2 11258  +crp 12021  [,]cicc 12367  abscabs 14169  sincsin 14989  πcpi 14992  cnccncf 22876
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1867  ax-4 1882  ax-5 1984  ax-6 2050  ax-7 2086  ax-8 2137  ax-9 2144  ax-10 2164  ax-11 2179  ax-12 2192  ax-13 2387  ax-ext 2736  ax-rep 4919  ax-sep 4929  ax-nul 4937  ax-pow 4988  ax-pr 5051  ax-un 7110  ax-inf2 8707  ax-cnex 10180  ax-resscn 10181  ax-1cn 10182  ax-icn 10183  ax-addcl 10184  ax-addrcl 10185  ax-mulcl 10186  ax-mulrcl 10187  ax-mulcom 10188  ax-addass 10189  ax-mulass 10190  ax-distr 10191  ax-i2m1 10192  ax-1ne0 10193  ax-1rid 10194  ax-rnegex 10195  ax-rrecex 10196  ax-cnre 10197  ax-pre-lttri 10198  ax-pre-lttrn 10199  ax-pre-ltadd 10200  ax-pre-mulgt0 10201  ax-pre-sup 10202  ax-addf 10203  ax-mulf 10204
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1631  df-fal 1634  df-ex 1850  df-nf 1855  df-sb 2043  df-eu 2607  df-mo 2608  df-clab 2743  df-cleq 2749  df-clel 2752  df-nfc 2887  df-ne 2929  df-nel 3032  df-ral 3051  df-rex 3052  df-reu 3053  df-rmo 3054  df-rab 3055  df-v 3338  df-sbc 3573  df-csb 3671  df-dif 3714  df-un 3716  df-in 3718  df-ss 3725  df-pss 3727  df-nul 4055  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4585  df-int 4624  df-iun 4670  df-iin 4671  df-br 4801  df-opab 4861  df-mpt 4878  df-tr 4901  df-id 5170  df-eprel 5175  df-po 5183  df-so 5184  df-fr 5221  df-se 5222  df-we 5223  df-xp 5268  df-rel 5269  df-cnv 5270  df-co 5271  df-dm 5272  df-rn 5273  df-res 5274  df-ima 5275  df-pred 5837  df-ord 5883  df-on 5884  df-lim 5885  df-suc 5886  df-iota 6008  df-fun 6047  df-fn 6048  df-f 6049  df-f1 6050  df-fo 6051  df-f1o 6052  df-fv 6053  df-isom 6054  df-riota 6770  df-ov 6812  df-oprab 6813  df-mpt2 6814  df-of 7058  df-om 7227  df-1st 7329  df-2nd 7330  df-supp 7460  df-wrecs 7572  df-recs 7633  df-rdg 7671  df-1o 7725  df-2o 7726  df-oadd 7729  df-er 7907  df-map 8021  df-pm 8022  df-ixp 8071  df-en 8118  df-dom 8119  df-sdom 8120  df-fin 8121  df-fsupp 8437  df-fi 8478  df-sup 8509  df-inf 8510  df-oi 8576  df-card 8951  df-cda 9178  df-pnf 10264  df-mnf 10265  df-xr 10266  df-ltxr 10267  df-le 10268  df-sub 10456  df-neg 10457  df-div 10873  df-nn 11209  df-2 11267  df-3 11268  df-4 11269  df-5 11270  df-6 11271  df-7 11272  df-8 11273  df-9 11274  df-n0 11481  df-z 11566  df-dec 11682  df-uz 11876  df-q 11978  df-rp 12022  df-xneg 12135  df-xadd 12136  df-xmul 12137  df-ioo 12368  df-ioc 12369  df-ico 12370  df-icc 12371  df-fz 12516  df-fzo 12656  df-fl 12783  df-mod 12859  df-seq 12992  df-exp 13051  df-fac 13251  df-bc 13280  df-hash 13308  df-shft 14002  df-cj 14034  df-re 14035  df-im 14036  df-sqrt 14170  df-abs 14171  df-limsup 14397  df-clim 14414  df-rlim 14415  df-sum 14612  df-ef 14993  df-sin 14995  df-cos 14996  df-pi 14998  df-struct 16057  df-ndx 16058  df-slot 16059  df-base 16061  df-sets 16062  df-ress 16063  df-plusg 16152  df-mulr 16153  df-starv 16154  df-sca 16155  df-vsca 16156  df-ip 16157  df-tset 16158  df-ple 16159  df-ds 16162  df-unif 16163  df-hom 16164  df-cco 16165  df-rest 16281  df-topn 16282  df-0g 16300  df-gsum 16301  df-topgen 16302  df-pt 16303  df-prds 16306  df-xrs 16360  df-qtop 16365  df-imas 16366  df-xps 16368  df-mre 16444  df-mrc 16445  df-acs 16447  df-mgm 17439  df-sgrp 17481  df-mnd 17492  df-submnd 17533  df-mulg 17738  df-cntz 17946  df-cmn 18391  df-psmet 19936  df-xmet 19937  df-met 19938  df-bl 19939  df-mopn 19940  df-fbas 19941  df-fg 19942  df-cnfld 19945  df-top 20897  df-topon 20914  df-topsp 20935  df-bases 20948  df-cld 21021  df-ntr 21022  df-cls 21023  df-nei 21100  df-lp 21138  df-perf 21139  df-cn 21229  df-cnp 21230  df-t1 21316  df-haus 21317  df-cmp 21388  df-tx 21563  df-hmeo 21756  df-fil 21847  df-fm 21939  df-flim 21940  df-flf 21941  df-xms 22322  df-ms 22323  df-tms 22324  df-cncf 22878  df-limc 23825  df-dv 23826
This theorem is referenced by:  fourierdlem87  40909
  Copyright terms: Public domain W3C validator