Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem77 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem77 40899
 Description: If 𝐻 is bounded, then 𝑈 is bounded. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem77.f (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
fourierdlem77.x (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem77.y (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
fourierdlem77.w (𝜑𝑊 ∈ ℝ)
fourierdlem77.h 𝐻 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠)))
fourierdlem77.k 𝐾 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
fourierdlem77.u 𝑈 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠)))
fourierdlem77.bd (𝜑 → ∃𝑎 ∈ ℝ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐻𝑠)) ≤ 𝑎)
Assertion
Ref Expression
fourierdlem77 (𝜑 → ∃𝑏 ∈ ℝ+𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝑈𝑠)) ≤ 𝑏)
Distinct variable groups:   𝐾,𝑏,𝑠   𝑈,𝑎,𝑏   𝜑,𝑎,𝑠
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑏)   𝑈(𝑠)   𝐹(𝑠,𝑎,𝑏)   𝐻(𝑠,𝑎,𝑏)   𝐾(𝑎)   𝑊(𝑠,𝑎,𝑏)   𝑋(𝑠,𝑎,𝑏)   𝑌(𝑠,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem fourierdlem77
Dummy variables 𝑐 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem77.bd . 2 (𝜑 → ∃𝑎 ∈ ℝ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐻𝑠)) ≤ 𝑎)
2 pire 24405 . . . . . . . . . 10 π ∈ ℝ
32renegcli 10530 . . . . . . . . 9 -π ∈ ℝ
43a1i 11 . . . . . . . 8 (⊤ → -π ∈ ℝ)
52a1i 11 . . . . . . . 8 (⊤ → π ∈ ℝ)
6 pirp 24408 . . . . . . . . . . 11 π ∈ ℝ+
7 neglt 39991 . . . . . . . . . . 11 (π ∈ ℝ+ → -π < π)
86, 7ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 -π < π
93, 2, 8ltleii 10348 . . . . . . . . 9 -π ≤ π
109a1i 11 . . . . . . . 8 (⊤ → -π ≤ π)
11 fourierdlem77.k . . . . . . . . . 10 𝐾 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
1211fourierdlem62 40884 . . . . . . . . 9 𝐾 ∈ ((-π[,]π)–cn→ℝ)
1312a1i 11 . . . . . . . 8 (⊤ → 𝐾 ∈ ((-π[,]π)–cn→ℝ))
144, 5, 10, 13evthiccabs 40217 . . . . . . 7 (⊤ → (∃𝑐 ∈ (-π[,]π)∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐾𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾𝑐)) ∧ ∃𝑥 ∈ (-π[,]π)∀𝑦 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐾𝑥)) ≤ (abs‘(𝐾𝑦))))
1514trud 1638 . . . . . 6 (∃𝑐 ∈ (-π[,]π)∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐾𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾𝑐)) ∧ ∃𝑥 ∈ (-π[,]π)∀𝑦 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐾𝑥)) ≤ (abs‘(𝐾𝑦)))
1615simpli 476 . . . . 5 𝑐 ∈ (-π[,]π)∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐾𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾𝑐))
1716a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐻𝑠)) ≤ 𝑎) → ∃𝑐 ∈ (-π[,]π)∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐾𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾𝑐)))
18 simpl 474 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ (-π[,]π)) → 𝑎 ∈ ℝ)
1911fourierdlem43 40866 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐾:(-π[,]π)⟶ℝ
2019ffvelrni 6517 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑐 ∈ (-π[,]π) → (𝐾𝑐) ∈ ℝ)
2120adantl 473 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ (-π[,]π)) → (𝐾𝑐) ∈ ℝ)
2218, 21remulcld 10258 . . . . . . . . . . 11 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ (-π[,]π)) → (𝑎 · (𝐾𝑐)) ∈ ℝ)
2322recnd 10256 . . . . . . . . . 10 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ (-π[,]π)) → (𝑎 · (𝐾𝑐)) ∈ ℂ)
2423abscld 14370 . . . . . . . . 9 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ (-π[,]π)) → (abs‘(𝑎 · (𝐾𝑐))) ∈ ℝ)
2523absge0d 14378 . . . . . . . . 9 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ (-π[,]π)) → 0 ≤ (abs‘(𝑎 · (𝐾𝑐))))
2624, 25ge0p1rpd 12091 . . . . . . . 8 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ (-π[,]π)) → ((abs‘(𝑎 · (𝐾𝑐))) + 1) ∈ ℝ+)
27263ad2antl2 1202 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐻𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ (-π[,]π)) → ((abs‘(𝑎 · (𝐾𝑐))) + 1) ∈ ℝ+)
28273adant3 1127 . . . . . 6 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐻𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ (-π[,]π) ∧ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐾𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾𝑐))) → ((abs‘(𝑎 · (𝐾𝑐))) + 1) ∈ ℝ+)
29 nfv 1988 . . . . . . . . 9 𝑠𝜑
30 nfv 1988 . . . . . . . . 9 𝑠 𝑎 ∈ ℝ
31 nfra1 3075 . . . . . . . . 9 𝑠𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐻𝑠)) ≤ 𝑎
3229, 30, 31nf3an 1976 . . . . . . . 8 𝑠(𝜑𝑎 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐻𝑠)) ≤ 𝑎)
33 nfv 1988 . . . . . . . 8 𝑠 𝑐 ∈ (-π[,]π)
34 nfra1 3075 . . . . . . . 8 𝑠𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐾𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾𝑐))
3532, 33, 34nf3an 1976 . . . . . . 7 𝑠((𝜑𝑎 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐻𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ (-π[,]π) ∧ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐾𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾𝑐)))
36 simpl11 1315 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐻𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ (-π[,]π) ∧ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐾𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾𝑐))) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 𝜑)
37 simpl12 1317 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐻𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ (-π[,]π) ∧ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐾𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾𝑐))) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 𝑎 ∈ ℝ)
3836, 37jca 555 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐻𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ (-π[,]π) ∧ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐾𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾𝑐))) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (𝜑𝑎 ∈ ℝ))
39 simpl13 1319 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐻𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ (-π[,]π) ∧ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐾𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾𝑐))) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐻𝑠)) ≤ 𝑎)
40 rspa 3064 . . . . . . . . . . 11 ((∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐻𝑠)) ≤ 𝑎𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (abs‘(𝐻𝑠)) ≤ 𝑎)
4139, 40sylancom 704 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐻𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ (-π[,]π) ∧ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐾𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾𝑐))) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (abs‘(𝐻𝑠)) ≤ 𝑎)
42 simpl2 1230 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐻𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ (-π[,]π) ∧ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐾𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾𝑐))) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 𝑐 ∈ (-π[,]π))
4338, 41, 42jca31 558 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐻𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ (-π[,]π) ∧ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐾𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾𝑐))) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝐻𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ (-π[,]π)))
44 rspa 3064 . . . . . . . . . 10 ((∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐾𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾𝑐)) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (abs‘(𝐾𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾𝑐)))
45443ad2antl3 1203 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐻𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ (-π[,]π) ∧ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐾𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾𝑐))) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (abs‘(𝐾𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾𝑐)))
46 simpr 479 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐻𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ (-π[,]π) ∧ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐾𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾𝑐))) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 𝑠 ∈ (-π[,]π))
47 simp-5l 829 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝐻𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ (-π[,]π)) ∧ (abs‘(𝐾𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾𝑐))) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 𝜑)
48 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 𝑠 ∈ (-π[,]π))
49 fourierdlem77.f . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
50 fourierdlem77.x . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
51 fourierdlem77.y . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
52 fourierdlem77.w . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑊 ∈ ℝ)
53 fourierdlem77.h . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝐻 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠)))
5449, 50, 51, 52, 53fourierdlem9 40832 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐻:(-π[,]π)⟶ℝ)
5554ffvelrnda 6518 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (𝐻𝑠) ∈ ℝ)
5619ffvelrni 6517 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑠 ∈ (-π[,]π) → (𝐾𝑠) ∈ ℝ)
5756adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (𝐾𝑠) ∈ ℝ)
5855, 57remulcld 10258 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑠 ∈ (-π[,]π)) → ((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠)) ∈ ℝ)
59 fourierdlem77.u . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑈 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠)))
6059fvmpt2 6449 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠)) ∈ ℝ) → (𝑈𝑠) = ((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠)))
6148, 58, 60syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (𝑈𝑠) = ((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠)))
6261, 58eqeltrd 2835 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (𝑈𝑠) ∈ ℝ)
6362recnd 10256 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (𝑈𝑠) ∈ ℂ)
6463abscld 14370 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (abs‘(𝑈𝑠)) ∈ ℝ)
6547, 64sylancom 704 . . . . . . . . . 10 ((((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝐻𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ (-π[,]π)) ∧ (abs‘(𝐾𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾𝑐))) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (abs‘(𝑈𝑠)) ∈ ℝ)
66 simp-5r 831 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝐻𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ (-π[,]π)) ∧ (abs‘(𝐾𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾𝑐))) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 𝑎 ∈ ℝ)
67 simpllr 817 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝐻𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ (-π[,]π)) ∧ (abs‘(𝐾𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾𝑐))) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 𝑐 ∈ (-π[,]π))
6866, 67, 24syl2anc 696 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝐻𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ (-π[,]π)) ∧ (abs‘(𝐾𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾𝑐))) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (abs‘(𝑎 · (𝐾𝑐))) ∈ ℝ)
69 peano2re 10397 . . . . . . . . . . 11 ((abs‘(𝑎 · (𝐾𝑐))) ∈ ℝ → ((abs‘(𝑎 · (𝐾𝑐))) + 1) ∈ ℝ)
7068, 69syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝐻𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ (-π[,]π)) ∧ (abs‘(𝐾𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾𝑐))) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → ((abs‘(𝑎 · (𝐾𝑐))) + 1) ∈ ℝ)
7161fveq2d 6352 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (abs‘(𝑈𝑠)) = (abs‘((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠))))
7247, 71sylancom 704 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝐻𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ (-π[,]π)) ∧ (abs‘(𝐾𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾𝑐))) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (abs‘(𝑈𝑠)) = (abs‘((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠))))
7355recnd 10256 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (𝐻𝑠) ∈ ℂ)
7473abscld 14370 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (abs‘(𝐻𝑠)) ∈ ℝ)
7547, 74sylancom 704 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝐻𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ (-π[,]π)) ∧ (abs‘(𝐾𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾𝑐))) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (abs‘(𝐻𝑠)) ∈ ℝ)
76 recn 10214 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑎 ∈ ℝ → 𝑎 ∈ ℂ)
7776abscld 14370 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑎 ∈ ℝ → (abs‘𝑎) ∈ ℝ)
7866, 77syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝐻𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ (-π[,]π)) ∧ (abs‘(𝐾𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾𝑐))) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (abs‘𝑎) ∈ ℝ)
7956recnd 10256 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑠 ∈ (-π[,]π) → (𝐾𝑠) ∈ ℂ)
8079abscld 14370 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑠 ∈ (-π[,]π) → (abs‘(𝐾𝑠)) ∈ ℝ)
8180adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝐻𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ (-π[,]π)) ∧ (abs‘(𝐾𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾𝑐))) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (abs‘(𝐾𝑠)) ∈ ℝ)
8220recnd 10256 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑐 ∈ (-π[,]π) → (𝐾𝑐) ∈ ℂ)
8382abscld 14370 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑐 ∈ (-π[,]π) → (abs‘(𝐾𝑐)) ∈ ℝ)
8467, 83syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝐻𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ (-π[,]π)) ∧ (abs‘(𝐾𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾𝑐))) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (abs‘(𝐾𝑐)) ∈ ℝ)
8573absge0d 14378 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 0 ≤ (abs‘(𝐻𝑠)))
8647, 85sylancom 704 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝐻𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ (-π[,]π)) ∧ (abs‘(𝐾𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾𝑐))) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 0 ≤ (abs‘(𝐻𝑠)))
8782absge0d 14378 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑐 ∈ (-π[,]π) → 0 ≤ (abs‘(𝐾𝑐)))
8867, 87syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝐻𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ (-π[,]π)) ∧ (abs‘(𝐾𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾𝑐))) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 0 ≤ (abs‘(𝐾𝑐)))
8974ad4ant14 1209 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝐻𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (abs‘(𝐻𝑠)) ∈ ℝ)
90 simpllr 817 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝐻𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 𝑎 ∈ ℝ)
9177ad3antlr 769 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝐻𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (abs‘𝑎) ∈ ℝ)
92 simplr 809 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝐻𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (abs‘(𝐻𝑠)) ≤ 𝑎)
9390leabsd 14348 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝐻𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 𝑎 ≤ (abs‘𝑎))
9489, 90, 91, 92, 93letrd 10382 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝐻𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (abs‘(𝐻𝑠)) ≤ (abs‘𝑎))
9594ad4ant14 1209 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝐻𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ (-π[,]π)) ∧ (abs‘(𝐾𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾𝑐))) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (abs‘(𝐻𝑠)) ≤ (abs‘𝑎))
96 simplr 809 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝐻𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ (-π[,]π)) ∧ (abs‘(𝐾𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾𝑐))) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (abs‘(𝐾𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾𝑐)))
9775, 78, 81, 84, 86, 88, 95, 96lemul12bd 11155 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝐻𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ (-π[,]π)) ∧ (abs‘(𝐾𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾𝑐))) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → ((abs‘(𝐻𝑠)) · (abs‘(𝐾𝑠))) ≤ ((abs‘𝑎) · (abs‘(𝐾𝑐))))
9857recnd 10256 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (𝐾𝑠) ∈ ℂ)
9973, 98absmuld 14388 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (abs‘((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠))) = ((abs‘(𝐻𝑠)) · (abs‘(𝐾𝑠))))
10047, 99sylancom 704 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝐻𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ (-π[,]π)) ∧ (abs‘(𝐾𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾𝑐))) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (abs‘((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠))) = ((abs‘(𝐻𝑠)) · (abs‘(𝐾𝑠))))
10176adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ (-π[,]π)) → 𝑎 ∈ ℂ)
10221recnd 10256 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ (-π[,]π)) → (𝐾𝑐) ∈ ℂ)
103101, 102absmuld 14388 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ (-π[,]π)) → (abs‘(𝑎 · (𝐾𝑐))) = ((abs‘𝑎) · (abs‘(𝐾𝑐))))
10466, 67, 103syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝐻𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ (-π[,]π)) ∧ (abs‘(𝐾𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾𝑐))) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (abs‘(𝑎 · (𝐾𝑐))) = ((abs‘𝑎) · (abs‘(𝐾𝑐))))
10597, 100, 1043brtr4d 4832 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝐻𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ (-π[,]π)) ∧ (abs‘(𝐾𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾𝑐))) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (abs‘((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠))) ≤ (abs‘(𝑎 · (𝐾𝑐))))
10672, 105eqbrtrd 4822 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝐻𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ (-π[,]π)) ∧ (abs‘(𝐾𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾𝑐))) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (abs‘(𝑈𝑠)) ≤ (abs‘(𝑎 · (𝐾𝑐))))
10768ltp1d 11142 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝐻𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ (-π[,]π)) ∧ (abs‘(𝐾𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾𝑐))) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (abs‘(𝑎 · (𝐾𝑐))) < ((abs‘(𝑎 · (𝐾𝑐))) + 1))
10865, 68, 70, 106, 107lelttrd 10383 . . . . . . . . . 10 ((((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝐻𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ (-π[,]π)) ∧ (abs‘(𝐾𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾𝑐))) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (abs‘(𝑈𝑠)) < ((abs‘(𝑎 · (𝐾𝑐))) + 1))
10965, 70, 108ltled 10373 . . . . . . . . 9 ((((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝐻𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ (-π[,]π)) ∧ (abs‘(𝐾𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾𝑐))) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (abs‘(𝑈𝑠)) ≤ ((abs‘(𝑎 · (𝐾𝑐))) + 1))
11043, 45, 46, 109syl21anc 1476 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐻𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ (-π[,]π) ∧ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐾𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾𝑐))) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (abs‘(𝑈𝑠)) ≤ ((abs‘(𝑎 · (𝐾𝑐))) + 1))
111110ex 449 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐻𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ (-π[,]π) ∧ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐾𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾𝑐))) → (𝑠 ∈ (-π[,]π) → (abs‘(𝑈𝑠)) ≤ ((abs‘(𝑎 · (𝐾𝑐))) + 1)))
11235, 111ralrimi 3091 . . . . . 6 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐻𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ (-π[,]π) ∧ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐾𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾𝑐))) → ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝑈𝑠)) ≤ ((abs‘(𝑎 · (𝐾𝑐))) + 1))
113 breq2 4804 . . . . . . . 8 (𝑏 = ((abs‘(𝑎 · (𝐾𝑐))) + 1) → ((abs‘(𝑈𝑠)) ≤ 𝑏 ↔ (abs‘(𝑈𝑠)) ≤ ((abs‘(𝑎 · (𝐾𝑐))) + 1)))
114113ralbidv 3120 . . . . . . 7 (𝑏 = ((abs‘(𝑎 · (𝐾𝑐))) + 1) → (∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝑈𝑠)) ≤ 𝑏 ↔ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝑈𝑠)) ≤ ((abs‘(𝑎 · (𝐾𝑐))) + 1)))
115114rspcev 3445 . . . . . 6 ((((abs‘(𝑎 · (𝐾𝑐))) + 1) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝑈𝑠)) ≤ ((abs‘(𝑎 · (𝐾𝑐))) + 1)) → ∃𝑏 ∈ ℝ+𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝑈𝑠)) ≤ 𝑏)
11628, 112, 115syl2anc 696 . . . . 5 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐻𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ (-π[,]π) ∧ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐾𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾𝑐))) → ∃𝑏 ∈ ℝ+𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝑈𝑠)) ≤ 𝑏)
117116rexlimdv3a 3167 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐻𝑠)) ≤ 𝑎) → (∃𝑐 ∈ (-π[,]π)∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐾𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾𝑐)) → ∃𝑏 ∈ ℝ+𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝑈𝑠)) ≤ 𝑏))
11817, 117mpd 15 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐻𝑠)) ≤ 𝑎) → ∃𝑏 ∈ ℝ+𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝑈𝑠)) ≤ 𝑏)
119118rexlimdv3a 3167 . 2 (𝜑 → (∃𝑎 ∈ ℝ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐻𝑠)) ≤ 𝑎 → ∃𝑏 ∈ ℝ+𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝑈𝑠)) ≤ 𝑏))
1201, 119mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑏 ∈ ℝ+𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝑈𝑠)) ≤ 𝑏)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1628  ⊤wtru 1629   ∈ wcel 2135  ∀wral 3046  ∃wrex 3047  ifcif 4226   class class class wbr 4800   ↦ cmpt 4877  ⟶wf 6041  ‘cfv 6045  (class class class)co 6809  ℂcc 10122  ℝcr 10123  0cc0 10124  1c1 10125   + caddc 10127   · cmul 10129   < clt 10262   ≤ cle 10263   − cmin 10454  -cneg 10455   / cdiv 10872  2c2 11258  ℝ+crp 12021  [,]cicc 12367  abscabs 14169  sincsin 14989  πcpi 14992  –cn→ccncf 22876 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1867  ax-4 1882  ax-5 1984  ax-6 2050  ax-7 2086  ax-8 2137  ax-9 2144  ax-10 2164  ax-11 2179  ax-12 2192  ax-13 2387  ax-ext 2736  ax-rep 4919  ax-sep 4929  ax-nul 4937  ax-pow 4988  ax-pr 5051  ax-un 7110  ax-inf2 8707  ax-cnex 10180  ax-resscn 10181  ax-1cn 10182  ax-icn 10183  ax-addcl 10184  ax-addrcl 10185  ax-mulcl 10186  ax-mulrcl 10187  ax-mulcom 10188  ax-addass 10189  ax-mulass 10190  ax-distr 10191  ax-i2m1 10192  ax-1ne0 10193  ax-1rid 10194  ax-rnegex 10195  ax-rrecex 10196  ax-cnre 10197  ax-pre-lttri 10198  ax-pre-lttrn 10199  ax-pre-ltadd 10200  ax-pre-mulgt0 10201  ax-pre-sup 10202  ax-addf 10203  ax-mulf 10204 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1631  df-fal 1634  df-ex 1850  df-nf 1855  df-sb 2043  df-eu 2607  df-mo 2608  df-clab 2743  df-cleq 2749  df-clel 2752  df-nfc 2887  df-ne 2929  df-nel 3032  df-ral 3051  df-rex 3052  df-reu 3053  df-rmo 3054  df-rab 3055  df-v 3338  df-sbc 3573  df-csb 3671  df-dif 3714  df-un 3716  df-in 3718  df-ss 3725  df-pss 3727  df-nul 4055  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4585  df-int 4624  df-iun 4670  df-iin 4671  df-br 4801  df-opab 4861  df-mpt 4878  df-tr 4901  df-id 5170  df-eprel 5175  df-po 5183  df-so 5184  df-fr 5221  df-se 5222  df-we 5223  df-xp 5268  df-rel 5269  df-cnv 5270  df-co 5271  df-dm 5272  df-rn 5273  df-res 5274  df-ima 5275  df-pred 5837  df-ord 5883  df-on 5884  df-lim 5885  df-suc 5886  df-iota 6008  df-fun 6047  df-fn 6048  df-f 6049  df-f1 6050  df-fo 6051  df-f1o 6052  df-fv 6053  df-isom 6054  df-riota 6770  df-ov 6812  df-oprab 6813  df-mpt2 6814  df-of 7058  df-om 7227  df-1st 7329  df-2nd 7330  df-supp 7460  df-wrecs 7572  df-recs 7633  df-rdg 7671  df-1o 7725  df-2o 7726  df-oadd 7729  df-er 7907  df-map 8021  df-pm 8022  df-ixp 8071  df-en 8118  df-dom 8119  df-sdom 8120  df-fin 8121  df-fsupp 8437  df-fi 8478  df-sup 8509  df-inf 8510  df-oi 8576  df-card 8951  df-cda 9178  df-pnf 10264  df-mnf 10265  df-xr 10266  df-ltxr 10267  df-le 10268  df-sub 10456  df-neg 10457  df-div 10873  df-nn 11209  df-2 11267  df-3 11268  df-4 11269  df-5 11270  df-6 11271  df-7 11272  df-8 11273  df-9 11274  df-n0 11481  df-z 11566  df-dec 11682  df-uz 11876  df-q 11978  df-rp 12022  df-xneg 12135  df-xadd 12136  df-xmul 12137  df-ioo 12368  df-ioc 12369  df-ico 12370  df-icc 12371  df-fz 12516  df-fzo 12656  df-fl 12783  df-mod 12859  df-seq 12992  df-exp 13051  df-fac 13251  df-bc 13280  df-hash 13308  df-shft 14002  df-cj 14034  df-re 14035  df-im 14036  df-sqrt 14170  df-abs 14171  df-limsup 14397  df-clim 14414  df-rlim 14415  df-sum 14612  df-ef 14993  df-sin 14995  df-cos 14996  df-pi 14998  df-struct 16057  df-ndx 16058  df-slot 16059  df-base 16061  df-sets 16062  df-ress 16063  df-plusg 16152  df-mulr 16153  df-starv 16154  df-sca 16155  df-vsca 16156  df-ip 16157  df-tset 16158  df-ple 16159  df-ds 16162  df-unif 16163  df-hom 16164  df-cco 16165  df-rest 16281  df-topn 16282  df-0g 16300  df-gsum 16301  df-topgen 16302  df-pt 16303  df-prds 16306  df-xrs 16360  df-qtop 16365  df-imas 16366  df-xps 16368  df-mre 16444  df-mrc 16445  df-acs 16447  df-mgm 17439  df-sgrp 17481  df-mnd 17492  df-submnd 17533  df-mulg 17738  df-cntz 17946  df-cmn 18391  df-psmet 19936  df-xmet 19937  df-met 19938  df-bl 19939  df-mopn 19940  df-fbas 19941  df-fg 19942  df-cnfld 19945  df-top 20897  df-topon 20914  df-topsp 20935  df-bases 20948  df-cld 21021  df-ntr 21022  df-cls 21023  df-nei 21100  df-lp 21138  df-perf 21139  df-cn 21229  df-cnp 21230  df-t1 21316  df-haus 21317  df-cmp 21388  df-tx 21563  df-hmeo 21756  df-fil 21847  df-fm 21939  df-flim 21940  df-flf 21941  df-xms 22322  df-ms 22323  df-tms 22324  df-cncf 22878  df-limc 23825  df-dv 23826 This theorem is referenced by:  fourierdlem87  40909
 Copyright terms: Public domain W3C validator