Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem82 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem82 39728
Description: Integral by substitution, adding a constant to the function's argument, for a function on an open interval with finite limits ad boundary points. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem82.1 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥))))
fourierdlem82.2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem82.3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
fourierdlem82.4 (𝜑𝐴 < 𝐵)
fourierdlem82.5 (𝜑𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
fourierdlem82.6 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
fourierdlem82.7 (𝜑𝐿 ∈ (𝐹 lim 𝐵))
fourierdlem82.8 (𝜑𝑅 ∈ (𝐹 lim 𝐴))
fourierdlem82.9 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
fourierdlem82 (𝜑 → ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑡) d𝑡 = ∫((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))(𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) d𝑡)
Distinct variable groups:   𝑡,𝐴,𝑥   𝑡,𝐵,𝑥   𝑥,𝐹   𝑡,𝐺   𝑥,𝐿   𝑥,𝑅   𝑡,𝑋,𝑥   𝜑,𝑡,𝑥
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑡)   𝐹(𝑡)   𝐺(𝑥)   𝐿(𝑡)

Proof of Theorem fourierdlem82
Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem82.2 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 fourierdlem82.3 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
3 fourierdlem82.9 . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
4 fourierdlem82.4 . . . . . 6 (𝜑𝐴 < 𝐵)
51, 2, 4ltled 10132 . . . . 5 (𝜑𝐴𝐵)
61, 2, 3, 5lesub1dd 10590 . . . 4 (𝜑 → (𝐴𝑋) ≤ (𝐵𝑋))
76ditgpos 23533 . . 3 (𝜑 → ⨜[(𝐴𝑋) → (𝐵𝑋)](𝐺‘(𝑋 + 𝑡)) d𝑡 = ∫((𝐴𝑋)(,)(𝐵𝑋))(𝐺‘(𝑋 + 𝑡)) d𝑡)
8 fourierdlem82.1 . . . . . . 7 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥))))
9 iftrue 4066 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝐴 → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥))) = 𝑅)
109adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 = 𝐴) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥))) = 𝑅)
11 iftrue 4066 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝐴 → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))) = 𝑅)
1211adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 = 𝐴) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))) = 𝑅)
1310, 12eqtr4d 2658 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 = 𝐴) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥))) = if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))))
1413adantlr 750 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝐴) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥))) = if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))))
15 iffalse 4069 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥 = 𝐴 → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥))) = if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥)))
16 iftrue 4066 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝐵 → if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥)) = 𝐿)
1715, 16sylan9eq 2675 . . . . . . . . . . . 12 ((¬ 𝑥 = 𝐴𝑥 = 𝐵) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥))) = 𝐿)
1817adantll 749 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ 𝑥 = 𝐵) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥))) = 𝐿)
19 iffalse 4069 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥 = 𝐴 → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))) = if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥)))
20 iftrue 4066 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝐵 → if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥)) = 𝐿)
2119, 20sylan9eq 2675 . . . . . . . . . . . 12 ((¬ 𝑥 = 𝐴𝑥 = 𝐵) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))) = 𝐿)
2221adantll 749 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ 𝑥 = 𝐵) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))) = 𝐿)
2318, 22eqtr4d 2658 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ 𝑥 = 𝐵) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥))) = if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))))
24 iffalse 4069 . . . . . . . . . . . 12 𝑥 = 𝐵 → if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥)) = ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥))
2524adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥)) = ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥))
2615ad2antlr 762 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥))) = if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥)))
27 iffalse 4069 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥 = 𝐵 → if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥)) = (𝐹𝑥))
2827adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥)) = (𝐹𝑥))
2919ad2antlr 762 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))) = if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥)))
301rexrd 10036 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
3130ad3antrrr 765 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ*)
322rexrd 10036 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
3332ad3antrrr 765 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
341adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
352adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
36 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
37 eliccre 39157 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
3834, 35, 36, 37syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
3938ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ)
401ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
4138adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
42 elicc2 12183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥𝑥𝐵)))
4334, 35, 42syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥𝑥𝐵)))
4436, 43mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥𝑥𝐵))
4544simp2d 1072 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴𝑥)
4645adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) → 𝐴𝑥)
47 neqne 2798 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑥 = 𝐴𝑥𝐴)
4847adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) → 𝑥𝐴)
4940, 41, 46, 48leneltd 10138 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) → 𝐴 < 𝑥)
5049adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝐴 < 𝑥)
5138adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ)
522ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
5344simp3d 1073 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥𝐵)
5453adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥𝐵)
55 nesym 2846 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐵𝑥 ↔ ¬ 𝑥 = 𝐵)
5655biimpri 218 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑥 = 𝐵𝐵𝑥)
5756adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝐵𝑥)
5851, 52, 54, 57leneltd 10138 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 < 𝐵)
5958adantlr 750 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 < 𝐵)
6031, 33, 39, 50, 59eliood 39149 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
61 fvres 6166 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥) = (𝐹𝑥))
6260, 61syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥) = (𝐹𝑥))
6328, 29, 623eqtr4d 2665 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))) = ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥))
6425, 26, 633eqtr4d 2665 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥))) = if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))))
6523, 64pm2.61dan 831 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥))) = if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))))
6614, 65pm2.61dan 831 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥))) = if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))))
6766mpteq2dva 4706 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥)))))
688, 67syl5eq 2667 . . . . . 6 (𝜑𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥)))))
6968adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)(,)(𝐵𝑋))) → 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥)))))
70 eqeq1 2625 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑋 + 𝑡) → (𝑥 = 𝐴 ↔ (𝑋 + 𝑡) = 𝐴))
71 eqeq1 2625 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑋 + 𝑡) → (𝑥 = 𝐵 ↔ (𝑋 + 𝑡) = 𝐵))
72 fveq2 6150 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑋 + 𝑡) → (𝐹𝑥) = (𝐹‘(𝑋 + 𝑡)))
7371, 72ifbieq2d 4085 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑋 + 𝑡) → if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥)) = if((𝑋 + 𝑡) = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘(𝑋 + 𝑡))))
7470, 73ifbieq2d 4085 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑋 + 𝑡) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))) = if((𝑋 + 𝑡) = 𝐴, 𝑅, if((𝑋 + 𝑡) = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘(𝑋 + 𝑡)))))
751adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)(,)(𝐵𝑋))) → 𝐴 ∈ ℝ)
76 simpr 477 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)(,)(𝐵𝑋))) → 𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)(,)(𝐵𝑋)))
771, 3resubcld 10405 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐴𝑋) ∈ ℝ)
7877rexrd 10036 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐴𝑋) ∈ ℝ*)
7978adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)(,)(𝐵𝑋))) → (𝐴𝑋) ∈ ℝ*)
802, 3resubcld 10405 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐵𝑋) ∈ ℝ)
8180rexrd 10036 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐵𝑋) ∈ ℝ*)
8281adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)(,)(𝐵𝑋))) → (𝐵𝑋) ∈ ℝ*)
83 elioo2 12161 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴𝑋) ∈ ℝ* ∧ (𝐵𝑋) ∈ ℝ*) → (𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)(,)(𝐵𝑋)) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ (𝐴𝑋) < 𝑡𝑡 < (𝐵𝑋))))
8479, 82, 83syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)(,)(𝐵𝑋))) → (𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)(,)(𝐵𝑋)) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ (𝐴𝑋) < 𝑡𝑡 < (𝐵𝑋))))
8576, 84mpbid 222 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)(,)(𝐵𝑋))) → (𝑡 ∈ ℝ ∧ (𝐴𝑋) < 𝑡𝑡 < (𝐵𝑋)))
8685simp2d 1072 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)(,)(𝐵𝑋))) → (𝐴𝑋) < 𝑡)
873adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)(,)(𝐵𝑋))) → 𝑋 ∈ ℝ)
8885simp1d 1071 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)(,)(𝐵𝑋))) → 𝑡 ∈ ℝ)
8975, 87, 88ltsubadd2d 10572 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)(,)(𝐵𝑋))) → ((𝐴𝑋) < 𝑡𝐴 < (𝑋 + 𝑡)))
9086, 89mpbid 222 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)(,)(𝐵𝑋))) → 𝐴 < (𝑋 + 𝑡))
9175, 90gtned 10119 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)(,)(𝐵𝑋))) → (𝑋 + 𝑡) ≠ 𝐴)
9291neneqd 2795 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)(,)(𝐵𝑋))) → ¬ (𝑋 + 𝑡) = 𝐴)
9392iffalsed 4071 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)(,)(𝐵𝑋))) → if((𝑋 + 𝑡) = 𝐴, 𝑅, if((𝑋 + 𝑡) = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘(𝑋 + 𝑡)))) = if((𝑋 + 𝑡) = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘(𝑋 + 𝑡))))
9487, 88readdcld 10016 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)(,)(𝐵𝑋))) → (𝑋 + 𝑡) ∈ ℝ)
9585simp3d 1073 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)(,)(𝐵𝑋))) → 𝑡 < (𝐵𝑋))
962adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)(,)(𝐵𝑋))) → 𝐵 ∈ ℝ)
9787, 88, 96ltaddsub2d 10575 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)(,)(𝐵𝑋))) → ((𝑋 + 𝑡) < 𝐵𝑡 < (𝐵𝑋)))
9895, 97mpbird 247 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)(,)(𝐵𝑋))) → (𝑋 + 𝑡) < 𝐵)
9994, 98ltned 10120 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)(,)(𝐵𝑋))) → (𝑋 + 𝑡) ≠ 𝐵)
10099neneqd 2795 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)(,)(𝐵𝑋))) → ¬ (𝑋 + 𝑡) = 𝐵)
101100iffalsed 4071 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)(,)(𝐵𝑋))) → if((𝑋 + 𝑡) = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘(𝑋 + 𝑡))) = (𝐹‘(𝑋 + 𝑡)))
10293, 101eqtrd 2655 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)(,)(𝐵𝑋))) → if((𝑋 + 𝑡) = 𝐴, 𝑅, if((𝑋 + 𝑡) = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘(𝑋 + 𝑡)))) = (𝐹‘(𝑋 + 𝑡)))
10374, 102sylan9eqr 2677 . . . . 5 (((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)(,)(𝐵𝑋))) ∧ 𝑥 = (𝑋 + 𝑡)) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))) = (𝐹‘(𝑋 + 𝑡)))
10475, 94, 90ltled 10132 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)(,)(𝐵𝑋))) → 𝐴 ≤ (𝑋 + 𝑡))
10594, 96, 98ltled 10132 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)(,)(𝐵𝑋))) → (𝑋 + 𝑡) ≤ 𝐵)
10675, 96, 94, 104, 105eliccd 39155 . . . . 5 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)(,)(𝐵𝑋))) → (𝑋 + 𝑡) ∈ (𝐴[,]𝐵))
107 fourierdlem82.5 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
108 ffun 6007 . . . . . . . 8 (𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ → Fun 𝐹)
109107, 108syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → Fun 𝐹)
110109adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)(,)(𝐵𝑋))) → Fun 𝐹)
111 fdm 6010 . . . . . . . . . 10 (𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ → dom 𝐹 = (𝐴[,]𝐵))
112107, 111syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → dom 𝐹 = (𝐴[,]𝐵))
113112eqcomd 2627 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) = dom 𝐹)
114113adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)(,)(𝐵𝑋))) → (𝐴[,]𝐵) = dom 𝐹)
115106, 114eleqtrd 2700 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)(,)(𝐵𝑋))) → (𝑋 + 𝑡) ∈ dom 𝐹)
116 fvelrn 6310 . . . . . 6 ((Fun 𝐹 ∧ (𝑋 + 𝑡) ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) ∈ ran 𝐹)
117110, 115, 116syl2anc 692 . . . . 5 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)(,)(𝐵𝑋))) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) ∈ ran 𝐹)
11869, 103, 106, 117fvmptd 6247 . . . 4 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)(,)(𝐵𝑋))) → (𝐺‘(𝑋 + 𝑡)) = (𝐹‘(𝑋 + 𝑡)))
119118itgeq2dv 23461 . . 3 (𝜑 → ∫((𝐴𝑋)(,)(𝐵𝑋))(𝐺‘(𝑋 + 𝑡)) d𝑡 = ∫((𝐴𝑋)(,)(𝐵𝑋))(𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) d𝑡)
120 frn 6012 . . . . . . 7 (𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ → ran 𝐹 ⊆ ℂ)
121107, 120syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ ℂ)
122121adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))) → ran 𝐹 ⊆ ℂ)
123109adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))) → Fun 𝐹)
1241adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))) → 𝐴 ∈ ℝ)
1252adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))) → 𝐵 ∈ ℝ)
1263adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))) → 𝑋 ∈ ℝ)
12777adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))) → (𝐴𝑋) ∈ ℝ)
12880adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))) → (𝐵𝑋) ∈ ℝ)
129 simpr 477 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))) → 𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋)))
130 eliccre 39157 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝑋) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑋) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))) → 𝑡 ∈ ℝ)
131127, 128, 129, 130syl3anc 1323 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))) → 𝑡 ∈ ℝ)
132126, 131readdcld 10016 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))) → (𝑋 + 𝑡) ∈ ℝ)
133 elicc2 12183 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴𝑋) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑋) ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋)) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ (𝐴𝑋) ≤ 𝑡𝑡 ≤ (𝐵𝑋))))
134127, 128, 133syl2anc 692 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))) → (𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋)) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ (𝐴𝑋) ≤ 𝑡𝑡 ≤ (𝐵𝑋))))
135129, 134mpbid 222 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))) → (𝑡 ∈ ℝ ∧ (𝐴𝑋) ≤ 𝑡𝑡 ≤ (𝐵𝑋)))
136135simp2d 1072 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))) → (𝐴𝑋) ≤ 𝑡)
137124, 126, 131lesubadd2d 10573 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))) → ((𝐴𝑋) ≤ 𝑡𝐴 ≤ (𝑋 + 𝑡)))
138136, 137mpbid 222 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))) → 𝐴 ≤ (𝑋 + 𝑡))
139135simp3d 1073 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))) → 𝑡 ≤ (𝐵𝑋))
140126, 131, 125leaddsub2d 10576 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))) → ((𝑋 + 𝑡) ≤ 𝐵𝑡 ≤ (𝐵𝑋)))
141139, 140mpbird 247 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))) → (𝑋 + 𝑡) ≤ 𝐵)
142124, 125, 132, 138, 141eliccd 39155 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))) → (𝑋 + 𝑡) ∈ (𝐴[,]𝐵))
143113adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))) → (𝐴[,]𝐵) = dom 𝐹)
144142, 143eleqtrd 2700 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))) → (𝑋 + 𝑡) ∈ dom 𝐹)
145123, 144, 116syl2anc 692 . . . . 5 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) ∈ ran 𝐹)
146122, 145sseldd 3585 . . . 4 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) ∈ ℂ)
14777, 80, 146itgioo 23495 . . 3 (𝜑 → ∫((𝐴𝑋)(,)(𝐵𝑋))(𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) d𝑡 = ∫((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))(𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) d𝑡)
1487, 119, 1473eqtrrd 2660 . 2 (𝜑 → ∫((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))(𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) d𝑡 = ⨜[(𝐴𝑋) → (𝐵𝑋)](𝐺‘(𝑋 + 𝑡)) d𝑡)
149 nfv 1840 . . . 4 𝑥𝜑
150 fourierdlem82.6 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
151 fourierdlem82.7 . . . . 5 (𝜑𝐿 ∈ (𝐹 lim 𝐵))
1521, 2, 4, 107limcicciooub 39291 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵)) lim 𝐵) = (𝐹 lim 𝐵))
153151, 152eleqtrrd 2701 . . . 4 (𝜑𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵)) lim 𝐵))
154 fourierdlem82.8 . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ (𝐹 lim 𝐴))
1551, 2, 4, 107limciccioolb 39275 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵)) lim 𝐴) = (𝐹 lim 𝐴))
156154, 155eleqtrrd 2701 . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵)) lim 𝐴))
157149, 8, 1, 2, 150, 153, 156cncfiooicc 39428 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
1581, 2, 5, 3, 157itgsbtaddcnst 39521 . 2 (𝜑 → ⨜[(𝐴𝑋) → (𝐵𝑋)](𝐺‘(𝑋 + 𝑡)) d𝑡 = ⨜[𝐴𝐵](𝐺𝑠) d𝑠)
1595ditgpos 23533 . . 3 (𝜑 → ⨜[𝐴𝐵](𝐺𝑠) d𝑠 = ∫(𝐴(,)𝐵)(𝐺𝑠) d𝑠)
160 fveq2 6150 . . . . 5 (𝑠 = 𝑡 → (𝐺𝑠) = (𝐺𝑡))
161160cbvitgv 23456 . . . 4 ∫(𝐴(,)𝐵)(𝐺𝑠) d𝑠 = ∫(𝐴(,)𝐵)(𝐺𝑡) d𝑡
1628a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥)))))
1631ad2antrr 761 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝑡) → 𝐴 ∈ ℝ)
164 simplr 791 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝑡) → 𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵))
16530ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝑡) → 𝐴 ∈ ℝ*)
16632ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝑡) → 𝐵 ∈ ℝ*)
167 elioo2 12161 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑡𝑡 < 𝐵)))
168165, 166, 167syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝑡) → (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑡𝑡 < 𝐵)))
169164, 168mpbid 222 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝑡) → (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑡𝑡 < 𝐵))
170169simp2d 1072 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝑡) → 𝐴 < 𝑡)
171 simpr 477 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝑡) → 𝑥 = 𝑡)
172170, 171breqtrrd 4643 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝑡) → 𝐴 < 𝑥)
173163, 172gtned 10119 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝑡) → 𝑥𝐴)
174173neneqd 2795 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝑡) → ¬ 𝑥 = 𝐴)
175174iffalsed 4071 . . . . . . 7 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝑡) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥))) = if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥)))
176169simp1d 1071 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝑡) → 𝑡 ∈ ℝ)
177171, 176eqeltrd 2698 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝑡) → 𝑥 ∈ ℝ)
178169simp3d 1073 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝑡) → 𝑡 < 𝐵)
179171, 178eqbrtrd 4637 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝑡) → 𝑥 < 𝐵)
180177, 179ltned 10120 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝑡) → 𝑥𝐵)
181180neneqd 2795 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝑡) → ¬ 𝑥 = 𝐵)
182181iffalsed 4071 . . . . . . 7 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝑡) → if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥)) = ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥))
183171, 164eqeltrd 2698 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝑡) → 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
184183, 61syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝑡) → ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥) = (𝐹𝑥))
185 fveq2 6150 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑡 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑡))
186185adantl 482 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝑡) → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑡))
187184, 186eqtrd 2655 . . . . . . 7 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝑡) → ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥) = (𝐹𝑡))
188175, 182, 1873eqtrd 2659 . . . . . 6 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝑡) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥))) = (𝐹𝑡))
189 ioossicc 12204 . . . . . . 7 (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
190 simpr 477 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵))
191189, 190sseldi 3582 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵))
192109adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → Fun 𝐹)
193113adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐴[,]𝐵) = dom 𝐹)
194191, 193eleqtrd 2700 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑡 ∈ dom 𝐹)
195 fvelrn 6310 . . . . . . 7 ((Fun 𝐹𝑡 ∈ dom 𝐹) → (𝐹𝑡) ∈ ran 𝐹)
196192, 194, 195syl2anc 692 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹𝑡) ∈ ran 𝐹)
197162, 188, 191, 196fvmptd 6247 . . . . 5 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐺𝑡) = (𝐹𝑡))
198197itgeq2dv 23461 . . . 4 (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)(𝐺𝑡) d𝑡 = ∫(𝐴(,)𝐵)(𝐹𝑡) d𝑡)
199161, 198syl5eq 2667 . . 3 (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)(𝐺𝑠) d𝑠 = ∫(𝐴(,)𝐵)(𝐹𝑡) d𝑡)
200107ffvelrnda 6317 . . . 4 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑡) ∈ ℂ)
2011, 2, 200itgioo 23495 . . 3 (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)(𝐹𝑡) d𝑡 = ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑡) d𝑡)
202159, 199, 2013eqtrd 2659 . 2 (𝜑 → ⨜[𝐴𝐵](𝐺𝑠) d𝑠 = ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑡) d𝑡)
203148, 158, 2023eqtrrd 2660 1 (𝜑 → ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑡) d𝑡 = ∫((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))(𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) d𝑡)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  wss 3556  ifcif 4060   class class class wbr 4615  cmpt 4675  dom cdm 5076  ran crn 5077  cres 5078  Fun wfun 5843  wf 5845  cfv 5849  (class class class)co 6607  cc 9881  cr 9882   + caddc 9886  *cxr 10020   < clt 10021  cle 10022  cmin 10213  (,)cioo 12120  [,]cicc 12123  cnccncf 22592  citg 23300  cdit 23523   lim climc 23539
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4733  ax-sep 4743  ax-nul 4751  ax-pow 4805  ax-pr 4869  ax-un 6905  ax-inf2 8485  ax-cc 9204  ax-cnex 9939  ax-resscn 9940  ax-1cn 9941  ax-icn 9942  ax-addcl 9943  ax-addrcl 9944  ax-mulcl 9945  ax-mulrcl 9946  ax-mulcom 9947  ax-addass 9948  ax-mulass 9949  ax-distr 9950  ax-i2m1 9951  ax-1ne0 9952  ax-1rid 9953  ax-rnegex 9954  ax-rrecex 9955  ax-cnre 9956  ax-pre-lttri 9957  ax-pre-lttrn 9958  ax-pre-ltadd 9959  ax-pre-mulgt0 9960  ax-pre-sup 9961  ax-addf 9962  ax-mulf 9963
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3419  df-csb 3516  df-dif 3559  df-un 3561  df-in 3563  df-ss 3570  df-pss 3572  df-nul 3894  df-if 4061  df-pw 4134  df-sn 4151  df-pr 4153  df-tp 4155  df-op 4157  df-uni 4405  df-int 4443  df-iun 4489  df-iin 4490  df-disj 4586  df-br 4616  df-opab 4676  df-mpt 4677  df-tr 4715  df-eprel 4987  df-id 4991  df-po 4997  df-so 4998  df-fr 5035  df-se 5036  df-we 5037  df-xp 5082  df-rel 5083  df-cnv 5084  df-co 5085  df-dm 5086  df-rn 5087  df-res 5088  df-ima 5089  df-pred 5641  df-ord 5687  df-on 5688  df-lim 5689  df-suc 5690  df-iota 5812  df-fun 5851  df-fn 5852  df-f 5853  df-f1 5854  df-fo 5855  df-f1o 5856  df-fv 5857  df-isom 5858  df-riota 6568  df-ov 6610  df-oprab 6611  df-mpt2 6612  df-of 6853  df-ofr 6854  df-om 7016  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-supp 7244  df-wrecs 7355  df-recs 7416  df-rdg 7454  df-1o 7508  df-2o 7509  df-oadd 7512  df-omul 7513  df-er 7690  df-map 7807  df-pm 7808  df-ixp 7856  df-en 7903  df-dom 7904  df-sdom 7905  df-fin 7906  df-fsupp 8223  df-fi 8264  df-sup 8295  df-inf 8296  df-oi 8362  df-card 8712  df-acn 8715  df-cda 8937  df-pnf 10023  df-mnf 10024  df-xr 10025  df-ltxr 10026  df-le 10027  df-sub 10215  df-neg 10216  df-div 10632  df-nn 10968  df-2 11026  df-3 11027  df-4 11028  df-5 11029  df-6 11030  df-7 11031  df-8 11032  df-9 11033  df-n0 11240  df-z 11325  df-dec 11441  df-uz 11635  df-q 11736  df-rp 11780  df-xneg 11893  df-xadd 11894  df-xmul 11895  df-ioo 12124  df-ioc 12125  df-ico 12126  df-icc 12127  df-fz 12272  df-fzo 12410  df-fl 12536  df-mod 12612  df-seq 12745  df-exp 12804  df-hash 13061  df-cj 13776  df-re 13777  df-im 13778  df-sqrt 13912  df-abs 13913  df-limsup 14139  df-clim 14156  df-rlim 14157  df-sum 14354  df-struct 15786  df-ndx 15787  df-slot 15788  df-base 15789  df-sets 15790  df-ress 15791  df-plusg 15878  df-mulr 15879  df-starv 15880  df-sca 15881  df-vsca 15882  df-ip 15883  df-tset 15884  df-ple 15885  df-ds 15888  df-unif 15889  df-hom 15890  df-cco 15891  df-rest 16007  df-topn 16008  df-0g 16026  df-gsum 16027  df-topgen 16028  df-pt 16029  df-prds 16032  df-xrs 16086  df-qtop 16091  df-imas 16092  df-xps 16094  df-mre 16170  df-mrc 16171  df-acs 16173  df-mgm 17166  df-sgrp 17208  df-mnd 17219  df-submnd 17260  df-mulg 17465  df-cntz 17674  df-cmn 18119  df-psmet 19660  df-xmet 19661  df-met 19662  df-bl 19663  df-mopn 19664  df-fbas 19665  df-fg 19666  df-cnfld 19669  df-top 20621  df-topon 20638  df-topsp 20651  df-bases 20664  df-cld 20736  df-ntr 20737  df-cls 20738  df-nei 20815  df-lp 20853  df-perf 20854  df-cn 20944  df-cnp 20945  df-haus 21032  df-cmp 21103  df-tx 21278  df-hmeo 21471  df-fil 21563  df-fm 21655  df-flim 21656  df-flf 21657  df-xms 22038  df-ms 22039  df-tms 22040  df-cncf 22594  df-ovol 23146  df-vol 23147  df-mbf 23301  df-itg1 23302  df-itg2 23303  df-ibl 23304  df-itg 23305  df-0p 23350  df-ditg 23524  df-limc 23543  df-dv 23544
This theorem is referenced by:  fourierdlem93  39739
  Copyright terms: Public domain W3C validator