Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem84 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem84 42352
Description: If 𝐹 is piecewise coninuous and 𝐷 is continuous, then 𝐺 is continuous. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem84.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem84.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
fourierdlem84.f (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
fourierdlem84.xre (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem84.p 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = (𝐴 + 𝑋) ∧ (𝑝𝑚) = (𝐵 + 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
fourierdlem84.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
fourierdlem84.v (𝜑𝑉 ∈ (𝑃𝑀))
fourierdlem84.fcn ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
fourierdlem84.r ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑉𝑖)))
fourierdlem84.l ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑉‘(𝑖 + 1))))
fourierdlem84.q 𝑄 = (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑉𝑖) − 𝑋))
fourierdlem84.o 𝑂 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐴 ∧ (𝑝𝑚) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
fourierdlem84.d (𝜑𝐷 ∈ (ℝ–cn→ℝ))
fourierdlem84.g 𝐺 = (𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · (𝐷𝑠)))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem84 (𝜑𝐺 ∈ 𝐿1)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑖,𝑚,𝑝   𝐴,𝑠,𝑖   𝐵,𝑖,𝑚,𝑝   𝐵,𝑠   𝐷,𝑠   𝐹,𝑠   𝑖,𝐺   𝐿,𝑠   𝑖,𝑀,𝑠   𝑚,𝑀,𝑝   𝑄,𝑖,𝑠   𝑄,𝑝   𝑅,𝑠   𝑖,𝑉,𝑠   𝑉,𝑝   𝑖,𝑋,𝑠   𝑚,𝑋,𝑝   𝜑,𝑖,𝑠
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚,𝑝)   𝐷(𝑖,𝑚,𝑝)   𝑃(𝑖,𝑚,𝑠,𝑝)   𝑄(𝑚)   𝑅(𝑖,𝑚,𝑝)   𝐹(𝑖,𝑚,𝑝)   𝐺(𝑚,𝑠,𝑝)   𝐿(𝑖,𝑚,𝑝)   𝑂(𝑖,𝑚,𝑠,𝑝)   𝑉(𝑚)

Proof of Theorem fourierdlem84
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem84.o . 2 𝑂 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐴 ∧ (𝑝𝑚) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
2 fourierdlem84.m . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
3 fourierdlem84.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
4 fourierdlem84.2 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
5 fourierdlem84.xre . . 3 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
6 fourierdlem84.p . . 3 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = (𝐴 + 𝑋) ∧ (𝑝𝑚) = (𝐵 + 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
7 fourierdlem84.v . . 3 (𝜑𝑉 ∈ (𝑃𝑀))
8 fourierdlem84.q . . 3 𝑄 = (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑉𝑖) − 𝑋))
93, 4, 5, 6, 1, 2, 7, 8fourierdlem14 42283 . 2 (𝜑𝑄 ∈ (𝑂𝑀))
10 fourierdlem84.f . . . . . . 7 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
1110adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
125adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑋 ∈ ℝ)
133adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
144adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
15 simpr 485 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵))
16 eliccre 41657 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑠 ∈ ℝ)
1713, 14, 15, 16syl3anc 1363 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑠 ∈ ℝ)
1812, 17readdcld 10658 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ)
1911, 18ffvelrnd 6844 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℝ)
20 fourierdlem84.d . . . . . . . 8 (𝜑𝐷 ∈ (ℝ–cn→ℝ))
21 cncff 23428 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ (ℝ–cn→ℝ) → 𝐷:ℝ⟶ℝ)
2220, 21syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐷:ℝ⟶ℝ)
2322adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐷:ℝ⟶ℝ)
2423, 17ffvelrnd 6844 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐷𝑠) ∈ ℝ)
2519, 24remulcld 10659 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · (𝐷𝑠)) ∈ ℝ)
2625recnd 10657 . . 3 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · (𝐷𝑠)) ∈ ℂ)
27 fourierdlem84.g . . 3 𝐺 = (𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · (𝐷𝑠)))
2826, 27fmptd 6870 . 2 (𝜑𝐺:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
2927a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐺 = (𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · (𝐷𝑠))))
3029reseq1d 5845 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · (𝐷𝑠))) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
31 ioossicc 12810 . . . . . 6 ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))
323rexrd 10679 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
3332adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
344rexrd 10679 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
3534adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
361, 2, 9fourierdlem15 42284 . . . . . . . 8 (𝜑𝑄:(0...𝑀)⟶(𝐴[,]𝐵))
3736adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑄:(0...𝑀)⟶(𝐴[,]𝐵))
38 simpr 485 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑖 ∈ (0..^𝑀))
3933, 35, 37, 38fourierdlem8 42277 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
4031, 39sstrid 3975 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
4140resmptd 5901 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · (𝐷𝑠))) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · (𝐷𝑠))))
4230, 41eqtrd 2853 . . 3 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · (𝐷𝑠))))
433, 5readdcld 10658 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐴 + 𝑋) ∈ ℝ)
444, 5readdcld 10658 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐵 + 𝑋) ∈ ℝ)
4543, 44iccssred 41656 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐴 + 𝑋)[,](𝐵 + 𝑋)) ⊆ ℝ)
4645adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐴 + 𝑋)[,](𝐵 + 𝑋)) ⊆ ℝ)
476, 2, 7fourierdlem15 42284 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑉:(0...𝑀)⟶((𝐴 + 𝑋)[,](𝐵 + 𝑋)))
4847adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑉:(0...𝑀)⟶((𝐴 + 𝑋)[,](𝐵 + 𝑋)))
49 elfzofz 13041 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
5049adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
5148, 50ffvelrnd 6844 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑉𝑖) ∈ ((𝐴 + 𝑋)[,](𝐵 + 𝑋)))
5246, 51sseldd 3965 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑉𝑖) ∈ ℝ)
5352rexrd 10679 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑉𝑖) ∈ ℝ*)
5453adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑉𝑖) ∈ ℝ*)
55 fzofzp1 13122 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
5655adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
5748, 56ffvelrnd 6844 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑉‘(𝑖 + 1)) ∈ ((𝐴 + 𝑋)[,](𝐵 + 𝑋)))
5846, 57sseldd 3965 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑉‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
5958rexrd 10679 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑉‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*)
6059adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑉‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*)
615ad2antrr 722 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑋 ∈ ℝ)
62 elioore 12756 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → 𝑠 ∈ ℝ)
6362adantl 482 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑠 ∈ ℝ)
6461, 63readdcld 10658 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ)
655recnd 10657 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
6665adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑋 ∈ ℂ)
673, 4iccssred 41656 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
6867adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
6937, 50ffvelrnd 6844 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) ∈ (𝐴[,]𝐵))
7068, 69sseldd 3965 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ)
7170recnd 10657 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) ∈ ℂ)
7266, 71addcomd 10830 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑋 + (𝑄𝑖)) = ((𝑄𝑖) + 𝑋))
735adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑋 ∈ ℝ)
7452, 73resubcld 11056 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑉𝑖) − 𝑋) ∈ ℝ)
758fvmpt2 6771 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑖 ∈ (0...𝑀) ∧ ((𝑉𝑖) − 𝑋) ∈ ℝ) → (𝑄𝑖) = ((𝑉𝑖) − 𝑋))
7650, 74, 75syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) = ((𝑉𝑖) − 𝑋))
7776oveq1d 7160 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖) + 𝑋) = (((𝑉𝑖) − 𝑋) + 𝑋))
7852recnd 10657 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑉𝑖) ∈ ℂ)
7978, 66npcand 10989 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑉𝑖) − 𝑋) + 𝑋) = (𝑉𝑖))
8072, 77, 793eqtrrd 2858 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑉𝑖) = (𝑋 + (𝑄𝑖)))
8180adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑉𝑖) = (𝑋 + (𝑄𝑖)))
8270adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ)
8370rexrd 10679 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ*)
8483adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ*)
8537, 68fssd 6521 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
8685, 56ffvelrnd 6844 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
8786rexrd 10679 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*)
8887adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*)
89 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
90 ioogtlb 41646 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑄𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄𝑖) < 𝑠)
9184, 88, 89, 90syl3anc 1363 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄𝑖) < 𝑠)
9282, 63, 61, 91ltadd2dd 10787 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑋 + (𝑄𝑖)) < (𝑋 + 𝑠))
9381, 92eqbrtrd 5079 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑉𝑖) < (𝑋 + 𝑠))
9486adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
95 iooltub 41662 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑄𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑠 < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
9684, 88, 89, 95syl3anc 1363 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑠 < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
9763, 94, 61, 96ltadd2dd 10787 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑋 + 𝑠) < (𝑋 + (𝑄‘(𝑖 + 1))))
98 fveq2 6663 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 = 𝑗 → (𝑉𝑖) = (𝑉𝑗))
9998oveq1d 7160 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 = 𝑗 → ((𝑉𝑖) − 𝑋) = ((𝑉𝑗) − 𝑋))
10099cbvmptv 5160 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑉𝑖) − 𝑋)) = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑉𝑗) − 𝑋))
1018, 100eqtri 2841 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑄 = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑉𝑗) − 𝑋))
102101a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑄 = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑉𝑗) − 𝑋)))
103 fveq2 6663 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 = (𝑖 + 1) → (𝑉𝑗) = (𝑉‘(𝑖 + 1)))
104103oveq1d 7160 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 = (𝑖 + 1) → ((𝑉𝑗) − 𝑋) = ((𝑉‘(𝑖 + 1)) − 𝑋))
105104adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑗 = (𝑖 + 1)) → ((𝑉𝑗) − 𝑋) = ((𝑉‘(𝑖 + 1)) − 𝑋))
10658, 73resubcld 11056 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑉‘(𝑖 + 1)) − 𝑋) ∈ ℝ)
107102, 105, 56, 106fvmptd 6767 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) = ((𝑉‘(𝑖 + 1)) − 𝑋))
108107oveq2d 7161 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑋 + (𝑄‘(𝑖 + 1))) = (𝑋 + ((𝑉‘(𝑖 + 1)) − 𝑋)))
10958recnd 10657 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑉‘(𝑖 + 1)) ∈ ℂ)
11066, 109pncan3d 10988 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑋 + ((𝑉‘(𝑖 + 1)) − 𝑋)) = (𝑉‘(𝑖 + 1)))
111108, 110eqtrd 2853 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑋 + (𝑄‘(𝑖 + 1))) = (𝑉‘(𝑖 + 1)))
112111adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑋 + (𝑄‘(𝑖 + 1))) = (𝑉‘(𝑖 + 1)))
11397, 112breqtrd 5083 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑋 + 𝑠) < (𝑉‘(𝑖 + 1)))
11454, 60, 64, 93, 113eliood 41649 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑋 + 𝑠) ∈ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))
115 fvres 6682 . . . . . . . 8 ((𝑋 + 𝑠) ∈ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))) → ((𝐹 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))‘(𝑋 + 𝑠)) = (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)))
116114, 115syl 17 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))‘(𝑋 + 𝑠)) = (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)))
117116eqcomd 2824 . . . . . 6 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) = ((𝐹 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))‘(𝑋 + 𝑠)))
118117mpteq2dva 5152 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑠))) = (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))‘(𝑋 + 𝑠))))
119 ioosscn 41645 . . . . . . 7 ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℂ
120119a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℂ)
121 fourierdlem84.fcn . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
122 ioosscn 41645 . . . . . . 7 ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℂ
123122a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℂ)
124120, 121, 123, 66, 114fourierdlem23 42292 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))‘(𝑋 + 𝑠))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
125118, 124eqeltrd 2910 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑠))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
126 eqid 2818 . . . . 5 (𝑠 ∈ ℝ ↦ (𝐷𝑠)) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ (𝐷𝑠))
127 ax-resscn 10582 . . . . . . . 8 ℝ ⊆ ℂ
128 ssid 3986 . . . . . . . 8 ℂ ⊆ ℂ
129 cncfss 23434 . . . . . . . 8 ((ℝ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (ℝ–cn→ℝ) ⊆ (ℝ–cn→ℂ))
130127, 128, 129mp2an 688 . . . . . . 7 (ℝ–cn→ℝ) ⊆ (ℝ–cn→ℂ)
13122feqmptd 6726 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐷 = (𝑠 ∈ ℝ ↦ (𝐷𝑠)))
132131eqcomd 2824 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑠 ∈ ℝ ↦ (𝐷𝑠)) = 𝐷)
133132, 20eqeltrd 2910 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑠 ∈ ℝ ↦ (𝐷𝑠)) ∈ (ℝ–cn→ℝ))
134130, 133sseldi 3962 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑠 ∈ ℝ ↦ (𝐷𝑠)) ∈ (ℝ–cn→ℂ))
135134adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑠 ∈ ℝ ↦ (𝐷𝑠)) ∈ (ℝ–cn→ℂ))
13640, 68sstrd 3974 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℝ)
137128a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ℂ ⊆ ℂ)
13822adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝐷:ℝ⟶ℝ)
13962adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑠 ∈ ℝ)
140138, 139ffvelrnd 6844 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐷𝑠) ∈ ℝ)
141140recnd 10657 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐷𝑠) ∈ ℂ)
142141adantlr 711 . . . . 5 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐷𝑠) ∈ ℂ)
143126, 135, 136, 137, 142cncfmptssg 42029 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐷𝑠)) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
144125, 143mulcncf 23974 . . 3 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · (𝐷𝑠))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
14542, 144eqeltrd 2910 . 2 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
146 eqid 2818 . . . 4 (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑠))) = (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)))
147 eqid 2818 . . . 4 (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐷𝑠)) = (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐷𝑠))
148 eqid 2818 . . . 4 (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · (𝐷𝑠))) = (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · (𝐷𝑠)))
14910adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
1505adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑋 ∈ ℝ)
151150, 139readdcld 10658 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ)
152149, 151ffvelrnd 6844 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℝ)
153152recnd 10657 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℂ)
154153adantlr 711 . . . 4 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℂ)
15510adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
156 ioossre 12786 . . . . . 6 ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℝ
157156a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℝ)
15882, 91gtned 10763 . . . . 5 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑠 ≠ (𝑄𝑖))
159 fourierdlem84.r . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑉𝑖)))
16080oveq2d 7161 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐹 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑉𝑖)) = ((𝐹 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑋 + (𝑄𝑖))))
161159, 160eleqtrd 2912 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑋 + (𝑄𝑖))))
162155, 73, 136, 146, 114, 157, 158, 161, 71fourierdlem53 42321 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑠))) lim (𝑄𝑖)))
163 limcresi 24410 . . . . . 6 ((𝑠 ∈ ℝ ↦ (𝐷𝑠)) lim (𝑄𝑖)) ⊆ (((𝑠 ∈ ℝ ↦ (𝐷𝑠)) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖))
164130, 20sseldi 3962 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐷 ∈ (ℝ–cn→ℂ))
165164adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐷 ∈ (ℝ–cn→ℂ))
166165, 70cnlimci 24414 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐷‘(𝑄𝑖)) ∈ (𝐷 lim (𝑄𝑖)))
167131oveq1d 7160 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐷 lim (𝑄𝑖)) = ((𝑠 ∈ ℝ ↦ (𝐷𝑠)) lim (𝑄𝑖)))
168167adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐷 lim (𝑄𝑖)) = ((𝑠 ∈ ℝ ↦ (𝐷𝑠)) lim (𝑄𝑖)))
169166, 168eleqtrd 2912 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐷‘(𝑄𝑖)) ∈ ((𝑠 ∈ ℝ ↦ (𝐷𝑠)) lim (𝑄𝑖)))
170163, 169sseldi 3962 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐷‘(𝑄𝑖)) ∈ (((𝑠 ∈ ℝ ↦ (𝐷𝑠)) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)))
171136resmptd 5901 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑠 ∈ ℝ ↦ (𝐷𝑠)) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐷𝑠)))
172171oveq1d 7160 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑠 ∈ ℝ ↦ (𝐷𝑠)) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)) = ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐷𝑠)) lim (𝑄𝑖)))
173170, 172eleqtrd 2912 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐷‘(𝑄𝑖)) ∈ ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐷𝑠)) lim (𝑄𝑖)))
174146, 147, 148, 154, 142, 162, 173mullimc 41773 . . 3 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑅 · (𝐷‘(𝑄𝑖))) ∈ ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · (𝐷𝑠))) lim (𝑄𝑖)))
17527reseq1i 5842 . . . . 5 (𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · (𝐷𝑠))) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
176175, 41syl5req 2866 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · (𝐷𝑠))) = (𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
177176oveq1d 7160 . . 3 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · (𝐷𝑠))) lim (𝑄𝑖)) = ((𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)))
178174, 177eleqtrd 2912 . 2 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑅 · (𝐷‘(𝑄𝑖))) ∈ ((𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)))
17963, 96ltned 10764 . . . . 5 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑠 ≠ (𝑄‘(𝑖 + 1)))
180 fourierdlem84.l . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑉‘(𝑖 + 1))))
181111eqcomd 2824 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑉‘(𝑖 + 1)) = (𝑋 + (𝑄‘(𝑖 + 1))))
182181oveq2d 7161 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐹 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑉‘(𝑖 + 1))) = ((𝐹 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑋 + (𝑄‘(𝑖 + 1)))))
183180, 182eleqtrd 2912 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑋 + (𝑄‘(𝑖 + 1)))))
18486recnd 10657 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℂ)
185155, 73, 136, 146, 114, 157, 179, 183, 184fourierdlem53 42321 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑠))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
186 limcresi 24410 . . . . . 6 ((𝑠 ∈ ℝ ↦ (𝐷𝑠)) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ (((𝑠 ∈ ℝ ↦ (𝐷𝑠)) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1)))
187165, 86cnlimci 24414 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∈ (𝐷 lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
188131oveq1d 7160 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐷 lim (𝑄‘(𝑖 + 1))) = ((𝑠 ∈ ℝ ↦ (𝐷𝑠)) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
189188adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐷 lim (𝑄‘(𝑖 + 1))) = ((𝑠 ∈ ℝ ↦ (𝐷𝑠)) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
190187, 189eleqtrd 2912 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∈ ((𝑠 ∈ ℝ ↦ (𝐷𝑠)) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
191186, 190sseldi 3962 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∈ (((𝑠 ∈ ℝ ↦ (𝐷𝑠)) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
192171oveq1d 7160 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑠 ∈ ℝ ↦ (𝐷𝑠)) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))) = ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐷𝑠)) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
193191, 192eleqtrd 2912 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∈ ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐷𝑠)) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
194146, 147, 148, 154, 142, 185, 193mullimc 41773 . . 3 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐿 · (𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · (𝐷𝑠))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
195176oveq1d 7160 . . 3 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · (𝐷𝑠))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))) = ((𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
196194, 195eleqtrd 2912 . 2 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐿 · (𝐷‘(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ ((𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
1971, 2, 9, 28, 145, 178, 196fourierdlem69 42337 1 (𝜑𝐺 ∈ 𝐿1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  wral 3135  {crab 3139  wss 3933   class class class wbr 5057  cmpt 5137  cres 5550  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7145  m cmap 8395  cc 10523  cr 10524  0cc0 10525  1c1 10526   + caddc 10528   · cmul 10530  *cxr 10662   < clt 10663  cmin 10858  cn 11626  (,)cioo 12726  [,]cicc 12729  ...cfz 12880  ..^cfzo 13021  cnccncf 23411  𝐿1cibl 24145   lim climc 24387
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-inf2 9092  ax-cc 9845  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603  ax-addf 10604  ax-mulf 10605
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-symdif 4216  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-disj 5023  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7398  df-ofr 7399  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-supp 7820  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-2o 8092  df-oadd 8095  df-omul 8096  df-er 8278  df-map 8397  df-pm 8398  df-ixp 8450  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-fsupp 8822  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-dju 9318  df-card 9356  df-acn 9359  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ioo 12730  df-ioc 12731  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-fl 13150  df-mod 13226  df-seq 13358  df-exp 13418  df-hash 13679  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-limsup 14816  df-clim 14833  df-rlim 14834  df-sum 15031  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-starv 16568  df-sca 16569  df-vsca 16570  df-ip 16571  df-tset 16572  df-ple 16573  df-ds 16575  df-unif 16576  df-hom 16577  df-cco 16578  df-rest 16684  df-topn 16685  df-0g 16703  df-gsum 16704  df-topgen 16705  df-pt 16706  df-prds 16709  df-xrs 16763  df-qtop 16768  df-imas 16769  df-xps 16771  df-mre 16845  df-mrc 16846  df-acs 16848  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-submnd 17945  df-mulg 18163  df-cntz 18385  df-cmn 18837  df-psmet 20465  df-xmet 20466  df-met 20467  df-bl 20468  df-mopn 20469  df-cnfld 20474  df-top 21430  df-topon 21447  df-topsp 21469  df-bases 21482  df-cld 21555  df-ntr 21556  df-cls 21557  df-cn 21763  df-cnp 21764  df-cmp 21923  df-tx 22098  df-hmeo 22291  df-xms 22857  df-ms 22858  df-tms 22859  df-cncf 23413  df-ovol 23992  df-vol 23993  df-mbf 24147  df-itg1 24148  df-itg2 24149  df-ibl 24150  df-itg 24151  df-0p 24198  df-limc 24391
This theorem is referenced by:  fourierdlem103  42371  fourierdlem104  42372  fourierdlem112  42380
  Copyright terms: Public domain W3C validator