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Theorem fourierdlem89 42357
Description: Given a piecewise continuous function and changing the interval and the partition, the limit at the lower bound of each interval of the moved partition is still finite. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem89.p 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐴 ∧ (𝑝𝑚) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
fourierdlem89.t 𝑇 = (𝐵𝐴)
fourierdlem89.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
fourierdlem89.q (𝜑𝑄 ∈ (𝑃𝑀))
fourierdlem89.f (𝜑𝐹:ℝ⟶ℂ)
fourierdlem89.per ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
fourierdlem89.fcn ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
fourierdlem89.limc ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)))
fourierdlem89.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
fourierdlem89.d (𝜑𝐷 ∈ (𝐶(,)+∞))
fourierdlem89.o 𝑂 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐶 ∧ (𝑝𝑚) = 𝐷) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
fourierdlem89.12 𝐻 = ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})
fourierdlem89.n 𝑁 = ((♯‘𝐻) − 1)
fourierdlem89.s 𝑆 = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐻))
fourierdlem89.e 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
fourierdlem89.z 𝑍 = (𝑦 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑦 = 𝐵, 𝐴, 𝑦))
fourierdlem89.j (𝜑𝐽 ∈ (0..^𝑁))
fourierdlem89.u 𝑈 = ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))
fourierdlem89.20 𝐼 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup({𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑖) ≤ (𝑍‘(𝐸𝑥))}, ℝ, < ))
fourierdlem89.21 𝑉 = (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↦ 𝑅)
Assertion
Ref Expression
fourierdlem89 (𝜑 → if((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) = (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽))), (𝑉‘(𝐼‘(𝑆𝐽))), (𝐹‘(𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))))) ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))) lim (𝑆𝐽)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,𝑘,𝑦   𝐴,𝑖,𝑥,𝑘,𝑦   𝐴,𝑚,𝑝,𝑖   𝐵,𝑓,𝑘,𝑦   𝐵,𝑖,𝑥   𝐵,𝑚,𝑝   𝐶,𝑓,𝑦   𝐶,𝑖,𝑚,𝑝   𝑥,𝐶   𝐷,𝑓,𝑦   𝐷,𝑖,𝑚,𝑝   𝑥,𝐷   𝑓,𝐸,𝑘,𝑦   𝑖,𝐸,𝑥   𝑖,𝐹,𝑥,𝑦   𝑓,𝐼,𝑘,𝑦   𝑖,𝐼,𝑥   𝑖,𝐽,𝑥,𝑦   𝑖,𝑀,𝑥   𝑚,𝑀,𝑝   𝑓,𝑁,𝑘,𝑦   𝑖,𝑁,𝑥   𝑚,𝑁,𝑝   𝑄,𝑓,𝑘,𝑦   𝑄,𝑖,𝑥   𝑄,𝑝   𝑆,𝑓,𝑘,𝑦   𝑆,𝑖,𝑥   𝑆,𝑝   𝑇,𝑓,𝑘,𝑦   𝑇,𝑖,𝑥   𝑥,𝑈,𝑦   𝑥,𝑉,𝑦   𝑖,𝑍,𝑥,𝑦   𝜑,𝑓,𝑘,𝑦   𝜑,𝑖,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚,𝑝)   𝐶(𝑘)   𝐷(𝑘)   𝑃(𝑥,𝑦,𝑓,𝑖,𝑘,𝑚,𝑝)   𝑄(𝑚)   𝑅(𝑥,𝑦,𝑓,𝑖,𝑘,𝑚,𝑝)   𝑆(𝑚)   𝑇(𝑚,𝑝)   𝑈(𝑓,𝑖,𝑘,𝑚,𝑝)   𝐸(𝑚,𝑝)   𝐹(𝑓,𝑘,𝑚,𝑝)   𝐻(𝑥,𝑦,𝑓,𝑖,𝑘,𝑚,𝑝)   𝐼(𝑚,𝑝)   𝐽(𝑓,𝑘,𝑚,𝑝)   𝑀(𝑦,𝑓,𝑘)   𝑂(𝑥,𝑦,𝑓,𝑖,𝑘,𝑚,𝑝)   𝑉(𝑓,𝑖,𝑘,𝑚,𝑝)   𝑍(𝑓,𝑘,𝑚,𝑝)

Proof of Theorem fourierdlem89
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem89.q . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑄 ∈ (𝑃𝑀))
2 fourierdlem89.m . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
3 fourierdlem89.p . . . . . . . . . . . . . 14 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐴 ∧ (𝑝𝑚) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
43fourierdlem2 42271 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑄 ∈ (𝑃𝑀) ↔ (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄𝑀) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))))))
52, 4syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑄 ∈ (𝑃𝑀) ↔ (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄𝑀) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))))))
61, 5mpbid 233 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄𝑀) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))))
76simpld 495 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)))
8 elmapi 8417 . . . . . . . . . 10 (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
97, 8syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
10 fzossfz 13044 . . . . . . . . . 10 (0..^𝑀) ⊆ (0...𝑀)
11 fourierdlem89.t . . . . . . . . . . . . 13 𝑇 = (𝐵𝐴)
12 fourierdlem89.e . . . . . . . . . . . . 13 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
13 fourierdlem89.z . . . . . . . . . . . . 13 𝑍 = (𝑦 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑦 = 𝐵, 𝐴, 𝑦))
14 fourierdlem89.20 . . . . . . . . . . . . 13 𝐼 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup({𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑖) ≤ (𝑍‘(𝐸𝑥))}, ℝ, < ))
153, 2, 1, 11, 12, 13, 14fourierdlem37 42306 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐼:ℝ⟶(0..^𝑀) ∧ (𝑥 ∈ ℝ → sup({𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑖) ≤ (𝑍‘(𝐸𝑥))}, ℝ, < ) ∈ {𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑖) ≤ (𝑍‘(𝐸𝑥))})))
1615simpld 495 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐼:ℝ⟶(0..^𝑀))
17 fourierdlem89.c . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
18 fourierdlem89.d . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐷 ∈ (𝐶(,)+∞))
19 elioore 12756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐷 ∈ (𝐶(,)+∞) → 𝐷 ∈ ℝ)
2018, 19syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
21 elioo4g 12785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐷 ∈ (𝐶(,)+∞) ↔ ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 < 𝐷𝐷 < +∞)))
2218, 21sylib 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 < 𝐷𝐷 < +∞)))
2322simprd 496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝐶 < 𝐷𝐷 < +∞))
2423simpld 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐶 < 𝐷)
25 fourierdlem89.o . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑂 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐶 ∧ (𝑝𝑚) = 𝐷) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
26 oveq1 7152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)))
2726eleq1d 2894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 = 𝑥 → ((𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄))
2827rexbidv 3294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = 𝑥 → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄))
2928cbvrabv 3489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄} = {𝑥 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}
3029uneq2i 4133 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}) = ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑥 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})
31 fourierdlem89.n . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑁 = ((♯‘𝐻) − 1)
32 fourierdlem89.12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝐻 = ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})
3332fveq2i 6666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (♯‘𝐻) = (♯‘({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}))
3433oveq1i 7155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((♯‘𝐻) − 1) = ((♯‘({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)
3531, 34eqtri 2841 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑁 = ((♯‘({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)
36 fourierdlem89.s . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑆 = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐻))
37 isoeq5 7063 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐻 = ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}) → (𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐻) ↔ 𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}))))
3832, 37ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐻) ↔ 𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})))
3938iotabii 6333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐻)) = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})))
4036, 39eqtri 2841 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑆 = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})))
4111, 3, 2, 1, 17, 20, 24, 25, 30, 35, 40fourierdlem54 42322 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ (𝑂𝑁)) ∧ 𝑆 Isom < , < ((0...𝑁), ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}))))
4241simpld 495 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ (𝑂𝑁)))
4342simprd 496 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑆 ∈ (𝑂𝑁))
4442simpld 495 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
4525fourierdlem2 42271 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑆 ∈ (𝑂𝑁) ↔ (𝑆 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑁)) ∧ (((𝑆‘0) = 𝐶 ∧ (𝑆𝑁) = 𝐷) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)(𝑆𝑖) < (𝑆‘(𝑖 + 1))))))
4644, 45syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑆 ∈ (𝑂𝑁) ↔ (𝑆 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑁)) ∧ (((𝑆‘0) = 𝐶 ∧ (𝑆𝑁) = 𝐷) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)(𝑆𝑖) < (𝑆‘(𝑖 + 1))))))
4743, 46mpbid 233 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑆 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑁)) ∧ (((𝑆‘0) = 𝐶 ∧ (𝑆𝑁) = 𝐷) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)(𝑆𝑖) < (𝑆‘(𝑖 + 1)))))
4847simpld 495 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑆 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑁)))
49 elmapi 8417 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑆 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑁)) → 𝑆:(0...𝑁)⟶ℝ)
5048, 49syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑆:(0...𝑁)⟶ℝ)
51 fourierdlem89.j . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐽 ∈ (0..^𝑁))
52 elfzofz 13041 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → 𝐽 ∈ (0...𝑁))
5351, 52syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐽 ∈ (0...𝑁))
5450, 53ffvelrnd 6844 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑆𝐽) ∈ ℝ)
5516, 54ffvelrnd 6844 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∈ (0..^𝑀))
5610, 55sseldi 3962 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∈ (0...𝑀))
579, 56ffvelrnd 6844 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽))) ∈ ℝ)
5857rexrd 10679 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽))) ∈ ℝ*)
5958adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) = (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))) → (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽))) ∈ ℝ*)
60 fzofzp1 13122 . . . . . . . . . 10 ((𝐼‘(𝑆𝐽)) ∈ (0..^𝑀) → ((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1) ∈ (0...𝑀))
6155, 60syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1) ∈ (0...𝑀))
629, 61ffvelrnd 6844 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)) ∈ ℝ)
6362rexrd 10679 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)) ∈ ℝ*)
6463adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) = (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))) → (𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)) ∈ ℝ*)
653, 2, 1fourierdlem11 42280 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵))
6665simp1d 1134 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
6765simp2d 1135 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
6866, 67iccssred 41656 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
6965simp3d 1136 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 < 𝐵)
7066, 67, 69, 13fourierdlem17 42286 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑍:(𝐴(,]𝐵)⟶(𝐴[,]𝐵))
7166, 67, 69, 11, 12fourierdlem4 42273 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐸:ℝ⟶(𝐴(,]𝐵))
7271, 54ffvelrnd 6844 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐸‘(𝑆𝐽)) ∈ (𝐴(,]𝐵))
7370, 72ffvelrnd 6844 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) ∈ (𝐴[,]𝐵))
7468, 73sseldd 3965 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) ∈ ℝ)
7574adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) = (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))) → (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) ∈ ℝ)
7657adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) = (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))) → (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽))) ∈ ℝ)
7766rexrd 10679 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
78 iocssre 12804 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴(,]𝐵) ⊆ ℝ)
7977, 67, 78syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴(,]𝐵) ⊆ ℝ)
80 fzofzp1 13122 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → (𝐽 + 1) ∈ (0...𝑁))
8151, 80syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐽 + 1) ∈ (0...𝑁))
8250, 81ffvelrnd 6844 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑆‘(𝐽 + 1)) ∈ ℝ)
8371, 82ffvelrnd 6844 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) ∈ (𝐴(,]𝐵))
8479, 83sseldd 3965 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) ∈ ℝ)
8547simprrd 770 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)(𝑆𝑖) < (𝑆‘(𝑖 + 1)))
86 fveq2 6663 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 = 𝐽 → (𝑆𝑖) = (𝑆𝐽))
87 oveq1 7152 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 = 𝐽 → (𝑖 + 1) = (𝐽 + 1))
8887fveq2d 6667 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 = 𝐽 → (𝑆‘(𝑖 + 1)) = (𝑆‘(𝐽 + 1)))
8986, 88breq12d 5070 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = 𝐽 → ((𝑆𝑖) < (𝑆‘(𝑖 + 1)) ↔ (𝑆𝐽) < (𝑆‘(𝐽 + 1))))
9089rspccva 3619 . . . . . . . . . . . . . 14 ((∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)(𝑆𝑖) < (𝑆‘(𝑖 + 1)) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑆𝐽) < (𝑆‘(𝐽 + 1)))
9185, 51, 90syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑆𝐽) < (𝑆‘(𝐽 + 1)))
9254, 82posdifd 11215 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑆𝐽) < (𝑆‘(𝐽 + 1)) ↔ 0 < ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽))))
9391, 92mpbid 233 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 < ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽)))
9451ancli 549 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝜑𝐽 ∈ (0..^𝑁)))
95 eleq1 2897 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 = 𝐽 → (𝑗 ∈ (0..^𝑁) ↔ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)))
9695anbi2d 628 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 = 𝐽 → ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ↔ (𝜑𝐽 ∈ (0..^𝑁))))
97 oveq1 7152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 = 𝐽 → (𝑗 + 1) = (𝐽 + 1))
9897fveq2d 6667 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 = 𝐽 → (𝑆‘(𝑗 + 1)) = (𝑆‘(𝐽 + 1)))
9998fveq2d 6667 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 = 𝐽 → (𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1))) = (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))
100 fveq2 6663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 = 𝐽 → (𝑆𝑗) = (𝑆𝐽))
101100fveq2d 6667 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 = 𝐽 → (𝐸‘(𝑆𝑗)) = (𝐸‘(𝑆𝐽)))
102101fveq2d 6667 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 = 𝐽 → (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝑗))) = (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))))
10399, 102oveq12d 7163 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 = 𝐽 → ((𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1))) − (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝑗)))) = ((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))))
10498, 100oveq12d 7163 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 = 𝐽 → ((𝑆‘(𝑗 + 1)) − (𝑆𝑗)) = ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽)))
105103, 104eqeq12d 2834 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 = 𝐽 → (((𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1))) − (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝑗)))) = ((𝑆‘(𝑗 + 1)) − (𝑆𝑗)) ↔ ((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))) = ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽))))
10696, 105imbi12d 346 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = 𝐽 → (((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1))) − (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝑗)))) = ((𝑆‘(𝑗 + 1)) − (𝑆𝑗))) ↔ ((𝜑𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))) = ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽)))))
10711oveq2i 7156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑘 · 𝑇) = (𝑘 · (𝐵𝐴))
108107oveq2i 7156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑦 + (𝑘 · (𝐵𝐴)))
109108eleq1i 2900 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵𝐴))) ∈ ran 𝑄)
110109rexbii 3244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵𝐴))) ∈ ran 𝑄)
111110rgenw 3147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷)(∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵𝐴))) ∈ ran 𝑄)
112 rabbi 3381 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (∀𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷)(∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵𝐴))) ∈ ran 𝑄) ↔ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄} = {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵𝐴))) ∈ ran 𝑄})
113111, 112mpbi 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄} = {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵𝐴))) ∈ ran 𝑄}
114113uneq2i 4133 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}) = ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵𝐴))) ∈ ran 𝑄})
115114fveq2i 6666 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (♯‘({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) = (♯‘({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵𝐴))) ∈ ran 𝑄}))
116115oveq1i 7155 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((♯‘({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1) = ((♯‘({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵𝐴))) ∈ ran 𝑄})) − 1)
11735, 116eqtri 2841 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑁 = ((♯‘({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵𝐴))) ∈ ran 𝑄})) − 1)
118 isoeq5 7063 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}) = ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵𝐴))) ∈ ran 𝑄}) → (𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) ↔ 𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵𝐴))) ∈ ran 𝑄}))))
119114, 118ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) ↔ 𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵𝐴))) ∈ ran 𝑄})))
120119iotabii 6333 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}))) = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵𝐴))) ∈ ran 𝑄})))
12140, 120eqtri 2841 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑆 = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵𝐴))) ∈ ran 𝑄})))
122 eqid 2818 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑆𝑗) + (𝐵 − (𝐸‘(𝑆𝑗)))) = ((𝑆𝑗) + (𝐵 − (𝐸‘(𝑆𝑗))))
1233, 11, 2, 1, 17, 18, 25, 117, 121, 12, 13, 122fourierdlem65 42333 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1))) − (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝑗)))) = ((𝑆‘(𝑗 + 1)) − (𝑆𝑗)))
124106, 123vtoclg 3565 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → ((𝜑𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))) = ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽))))
12551, 94, 124sylc 65 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))) = ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽)))
12693, 125breqtrrd 5085 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 < ((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))))
12774, 84posdifd 11215 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) < (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) ↔ 0 < ((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))))))
128126, 127mpbird 258 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) < (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))
129 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝜑)
130102, 99oveq12d 7163 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 = 𝐽 → ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝑗)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1)))) = ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))))
131100fveq2d 6667 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 = 𝐽 → (𝐼‘(𝑆𝑗)) = (𝐼‘(𝑆𝐽)))
132131fveq2d 6667 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 = 𝐽 → (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝑗))) = (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽))))
133131oveq1d 7160 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 = 𝐽 → ((𝐼‘(𝑆𝑗)) + 1) = ((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1))
134133fveq2d 6667 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 = 𝐽 → (𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝑗)) + 1)) = (𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))
135132, 134oveq12d 7163 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 = 𝐽 → ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝑗)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝑗)) + 1))) = ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1))))
136130, 135sseq12d 3997 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = 𝐽 → (((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝑗)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1)))) ⊆ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝑗)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝑗)) + 1))) ↔ ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) ⊆ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))))
13796, 136imbi12d 346 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = 𝐽 → (((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝑗)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1)))) ⊆ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝑗)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝑗)) + 1)))) ↔ ((𝜑𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) ⊆ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1))))))
138 eqid 2818 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑆𝑗) + if(((𝑆‘(𝑗 + 1)) − (𝑆𝑗)) < ((𝑄‘1) − 𝐴), (((𝑆‘(𝑗 + 1)) − (𝑆𝑗)) / 2), (((𝑄‘1) − 𝐴) / 2))) = ((𝑆𝑗) + if(((𝑆‘(𝑗 + 1)) − (𝑆𝑗)) < ((𝑄‘1) − 𝐴), (((𝑆‘(𝑗 + 1)) − (𝑆𝑗)) / 2), (((𝑄‘1) − 𝐴) / 2)))
13911, 3, 2, 1, 17, 20, 24, 25, 30, 35, 40, 12, 13, 138, 14fourierdlem79 42347 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝑗)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1)))) ⊆ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝑗)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝑗)) + 1))))
140137, 139vtoclg 3565 . . . . . . . . . . . 12 (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → ((𝜑𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) ⊆ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))))
141140anabsi7 667 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) ⊆ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1))))
142129, 51, 141syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) ⊆ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1))))
14357, 62, 74, 84, 128, 142fourierdlem10 42279 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽))) ≤ (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) ∧ (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) ≤ (𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1))))
144143simpld 495 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽))) ≤ (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))))
145144adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) = (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))) → (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽))) ≤ (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))))
146 neqne 3021 . . . . . . . 8 (¬ (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) = (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽))) → (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) ≠ (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽))))
147146adantl 482 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) = (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))) → (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) ≠ (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽))))
14876, 75, 145, 147leneltd 10782 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) = (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))) → (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽))) < (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))))
149143simprd 496 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) ≤ (𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))
15074, 84, 62, 128, 149ltletrd 10788 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) < (𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))
151150adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) = (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))) → (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) < (𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))
15259, 64, 75, 148, 151eliood 41649 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) = (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))) → (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) ∈ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1))))
153 fvres 6682 . . . . 5 ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) ∈ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1))) → ((𝐹 ↾ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1))))‘(𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))) = (𝐹‘(𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))))
154152, 153syl 17 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) = (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))) → ((𝐹 ↾ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1))))‘(𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))) = (𝐹‘(𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))))
155154eqcomd 2824 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) = (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))) → (𝐹‘(𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))) = ((𝐹 ↾ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1))))‘(𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))))
156155ifeq2da 4494 . 2 (𝜑 → if((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) = (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽))), (𝑉‘(𝐼‘(𝑆𝐽))), (𝐹‘(𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))))) = if((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) = (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽))), (𝑉‘(𝐼‘(𝑆𝐽))), ((𝐹 ↾ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1))))‘(𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))))))
157 fourierdlem89.f . . . . . 6 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℂ)
158 fdm 6515 . . . . . . . 8 (𝐹:ℝ⟶ℂ → dom 𝐹 = ℝ)
159157, 158syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → dom 𝐹 = ℝ)
160159feq2d 6493 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ↔ 𝐹:ℝ⟶ℂ))
161157, 160mpbird 258 . . . . 5 (𝜑𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
162 ioosscn 41645 . . . . . 6 ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) ⊆ ℂ
163162a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) ⊆ ℂ)
164 ioossre 12786 . . . . . 6 ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) ⊆ ℝ
165164, 159sseqtrrid 4017 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) ⊆ dom 𝐹)
166 fourierdlem89.u . . . . . . 7 𝑈 = ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))
16782, 84resubcld 11056 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) ∈ ℝ)
168166, 167eqeltrid 2914 . . . . . 6 (𝜑𝑈 ∈ ℝ)
169168recnd 10657 . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ ℂ)
170 eqid 2818 . . . . 5 {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦 ∈ ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))𝑥 = (𝑦 + 𝑈)} = {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦 ∈ ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))𝑥 = (𝑦 + 𝑈)}
17174, 84, 168iooshift 41674 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) + 𝑈)(,)((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) + 𝑈)) = {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦 ∈ ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))𝑥 = (𝑦 + 𝑈)})
172 ioossre 12786 . . . . . . 7 (((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) + 𝑈)(,)((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) + 𝑈)) ⊆ ℝ
173172, 159sseqtrrid 4017 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) + 𝑈)(,)((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) + 𝑈)) ⊆ dom 𝐹)
174171, 173eqsstrrd 4003 . . . . 5 (𝜑 → {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦 ∈ ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))𝑥 = (𝑦 + 𝑈)} ⊆ dom 𝐹)
175 elioore 12756 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) → 𝑦 ∈ ℝ)
17667, 66resubcld 11056 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ ℝ)
17711, 176eqeltrid 2914 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
178177recnd 10657 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑇 ∈ ℂ)
17966, 67posdifd 11215 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵𝐴)))
18069, 179mpbid 233 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 0 < (𝐵𝐴))
181180, 11breqtrrdi 5099 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 < 𝑇)
182181gt0ne0d 11192 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑇 ≠ 0)
183169, 178, 182divcan1d 11405 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑈 / 𝑇) · 𝑇) = 𝑈)
184183eqcomd 2824 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑈 = ((𝑈 / 𝑇) · 𝑇))
185184oveq2d 7161 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑦 + 𝑈) = (𝑦 + ((𝑈 / 𝑇) · 𝑇)))
186185adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 + 𝑈) = (𝑦 + ((𝑈 / 𝑇) · 𝑇)))
187186fveq2d 6667 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑦 + 𝑈)) = (𝐹‘(𝑦 + ((𝑈 / 𝑇) · 𝑇))))
188157adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
189177adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝑇 ∈ ℝ)
19084recnd 10657 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) ∈ ℂ)
19182recnd 10657 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑆‘(𝐽 + 1)) ∈ ℂ)
192190, 191negsubdi2d 11001 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → -((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝑆‘(𝐽 + 1))) = ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))))
193192eqcomd 2824 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) = -((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝑆‘(𝐽 + 1))))
194193oveq1d 7160 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) / 𝑇) = (-((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇))
195166oveq1i 7155 . . . . . . . . . . . 12 (𝑈 / 𝑇) = (((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) / 𝑇)
196195a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑈 / 𝑇) = (((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) / 𝑇))
19712a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇))))
198 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = (𝑆‘(𝐽 + 1)) → 𝑥 = (𝑆‘(𝐽 + 1)))
199 oveq2 7153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = (𝑆‘(𝐽 + 1)) → (𝐵𝑥) = (𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))))
200199oveq1d 7160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = (𝑆‘(𝐽 + 1)) → ((𝐵𝑥) / 𝑇) = ((𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇))
201200fveq2d 6667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = (𝑆‘(𝐽 + 1)) → (⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) = (⌊‘((𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇)))
202201oveq1d 7160 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = (𝑆‘(𝐽 + 1)) → ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇) = ((⌊‘((𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇)) · 𝑇))
203198, 202oveq12d 7163 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = (𝑆‘(𝐽 + 1)) → (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) = ((𝑆‘(𝐽 + 1)) + ((⌊‘((𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇)) · 𝑇)))
204203adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 = (𝑆‘(𝐽 + 1))) → (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) = ((𝑆‘(𝐽 + 1)) + ((⌊‘((𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇)) · 𝑇)))
20567, 82resubcld 11056 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) ∈ ℝ)
206205, 177, 182redivcld 11456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ((𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇) ∈ ℝ)
207206flcld 13156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (⌊‘((𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇)) ∈ ℤ)
208207zred 12075 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (⌊‘((𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇)) ∈ ℝ)
209208, 177remulcld 10659 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((⌊‘((𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ ℝ)
21082, 209readdcld 10658 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝑆‘(𝐽 + 1)) + ((⌊‘((𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇)) · 𝑇)) ∈ ℝ)
211197, 204, 82, 210fvmptd 6767 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) = ((𝑆‘(𝐽 + 1)) + ((⌊‘((𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇)) · 𝑇)))
212211oveq1d 7160 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝑆‘(𝐽 + 1))) = (((𝑆‘(𝐽 + 1)) + ((⌊‘((𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇)) · 𝑇)) − (𝑆‘(𝐽 + 1))))
213208recnd 10657 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (⌊‘((𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇)) ∈ ℂ)
214213, 178mulcld 10649 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((⌊‘((𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ ℂ)
215191, 214pncan2d 10987 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((𝑆‘(𝐽 + 1)) + ((⌊‘((𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇)) · 𝑇)) − (𝑆‘(𝐽 + 1))) = ((⌊‘((𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇)) · 𝑇))
216212, 215eqtrd 2853 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝑆‘(𝐽 + 1))) = ((⌊‘((𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇)) · 𝑇))
217216, 214eqeltrd 2910 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝑆‘(𝐽 + 1))) ∈ ℂ)
218217, 178, 182divnegd 11417 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → -(((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇) = (-((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇))
219194, 196, 2183eqtr4d 2863 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑈 / 𝑇) = -(((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇))
220216oveq1d 7160 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇) = (((⌊‘((𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇)) · 𝑇) / 𝑇))
221213, 178, 182divcan4d 11410 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((⌊‘((𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇)) · 𝑇) / 𝑇) = (⌊‘((𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇)))
222220, 221eqtrd 2853 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇) = (⌊‘((𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇)))
223222, 207eqeltrd 2910 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇) ∈ ℤ)
224223znegcld 12077 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → -(((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇) ∈ ℤ)
225219, 224eqeltrd 2910 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑈 / 𝑇) ∈ ℤ)
226225adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝑈 / 𝑇) ∈ ℤ)
227 simpr 485 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ)
228 fourierdlem89.per . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
229228adantlr 711 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
230188, 189, 226, 227, 229fperiodmul 41447 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑦 + ((𝑈 / 𝑇) · 𝑇))) = (𝐹𝑦))
231187, 230eqtrd 2853 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑦 + 𝑈)) = (𝐹𝑦))
232175, 231sylan2 592 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))) → (𝐹‘(𝑦 + 𝑈)) = (𝐹𝑦))
2336simprrd 770 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
234 fveq2 6663 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = (𝐼‘(𝑆𝐽)) → (𝑄𝑖) = (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽))))
235 oveq1 7152 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = (𝐼‘(𝑆𝐽)) → (𝑖 + 1) = ((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1))
236235fveq2d 6667 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = (𝐼‘(𝑆𝐽)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) = (𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))
237234, 236breq12d 5070 . . . . . . . . 9 (𝑖 = (𝐼‘(𝑆𝐽)) → ((𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)) ↔ (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽))) < (𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1))))
238237rspccva 3619 . . . . . . . 8 ((∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∧ (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽))) < (𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))
239233, 55, 238syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽))) < (𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))
24055ancli 549 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝜑 ∧ (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∈ (0..^𝑀)))
241 eleq1 2897 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = (𝐼‘(𝑆𝐽)) → (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↔ (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∈ (0..^𝑀)))
242241anbi2d 628 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = (𝐼‘(𝑆𝐽)) → ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ↔ (𝜑 ∧ (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∈ (0..^𝑀))))
243234, 236oveq12d 7163 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = (𝐼‘(𝑆𝐽)) → ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) = ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1))))
244243reseq2d 5846 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = (𝐼‘(𝑆𝐽)) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = (𝐹 ↾ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))))
245243oveq1d 7160 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = (𝐼‘(𝑆𝐽)) → (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ) = (((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))–cn→ℂ))
246244, 245eleq12d 2904 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = (𝐼‘(𝑆𝐽)) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ) ↔ (𝐹 ↾ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))) ∈ (((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))–cn→ℂ)))
247242, 246imbi12d 346 . . . . . . . . 9 (𝑖 = (𝐼‘(𝑆𝐽)) → (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ)) ↔ ((𝜑 ∧ (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))) ∈ (((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))–cn→ℂ))))
248 fourierdlem89.fcn . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
249247, 248vtoclg 3565 . . . . . . . 8 ((𝐼‘(𝑆𝐽)) ∈ (0..^𝑀) → ((𝜑 ∧ (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))) ∈ (((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))–cn→ℂ)))
25055, 240, 249sylc 65 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹 ↾ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))) ∈ (((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))–cn→ℂ))
251 nfv 1906 . . . . . . . . . 10 𝑖(𝜑 ∧ (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∈ (0..^𝑀))
252 fourierdlem89.21 . . . . . . . . . . . . 13 𝑉 = (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↦ 𝑅)
253 nfmpt1 5155 . . . . . . . . . . . . 13 𝑖(𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↦ 𝑅)
254252, 253nfcxfr 2972 . . . . . . . . . . . 12 𝑖𝑉
255 nfcv 2974 . . . . . . . . . . . 12 𝑖(𝐼‘(𝑆𝐽))
256254, 255nffv 6673 . . . . . . . . . . 11 𝑖(𝑉‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))
257256nfel1 2991 . . . . . . . . . 10 𝑖(𝑉‘(𝐼‘(𝑆𝐽))) ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽))))
258251, 257nfim 1888 . . . . . . . . 9 𝑖((𝜑 ∧ (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∈ (0..^𝑀)) → (𝑉‘(𝐼‘(𝑆𝐽))) ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))))
259242biimpar 478 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑖 = (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∧ (𝜑 ∧ (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∈ (0..^𝑀))) → (𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)))
2602593adant2 1123 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑖 = (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∧ ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖))) ∧ (𝜑 ∧ (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∈ (0..^𝑀))) → (𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)))
261 fourierdlem89.limc . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)))
262260, 261syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑖 = (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∧ ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖))) ∧ (𝜑 ∧ (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∈ (0..^𝑀))) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)))
263 fveq2 6663 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 = (𝐼‘(𝑆𝐽)) → (𝑉𝑖) = (𝑉‘(𝐼‘(𝑆𝐽))))
264263eqcomd 2824 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = (𝐼‘(𝑆𝐽)) → (𝑉‘(𝐼‘(𝑆𝐽))) = (𝑉𝑖))
265264adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑖 = (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∧ (𝜑 ∧ (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∈ (0..^𝑀))) → (𝑉‘(𝐼‘(𝑆𝐽))) = (𝑉𝑖))
266259simprd 496 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑖 = (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∧ (𝜑 ∧ (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∈ (0..^𝑀))) → 𝑖 ∈ (0..^𝑀))
267 elex 3510 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)) → 𝑅 ∈ V)
268259, 261, 2673syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑖 = (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∧ (𝜑 ∧ (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∈ (0..^𝑀))) → 𝑅 ∈ V)
269252fvmpt2 6771 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝑉𝑖) = 𝑅)
270266, 268, 269syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑖 = (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∧ (𝜑 ∧ (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∈ (0..^𝑀))) → (𝑉𝑖) = 𝑅)
271265, 270eqtrd 2853 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑖 = (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∧ (𝜑 ∧ (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∈ (0..^𝑀))) → (𝑉‘(𝐼‘(𝑆𝐽))) = 𝑅)
2722713adant2 1123 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑖 = (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∧ ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖))) ∧ (𝜑 ∧ (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∈ (0..^𝑀))) → (𝑉‘(𝐼‘(𝑆𝐽))) = 𝑅)
273244, 234oveq12d 7163 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = (𝐼‘(𝑆𝐽)) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)) = ((𝐹 ↾ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))))
274273eqcomd 2824 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = (𝐼‘(𝑆𝐽)) → ((𝐹 ↾ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))) = ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)))
2752743ad2ant1 1125 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑖 = (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∧ ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖))) ∧ (𝜑 ∧ (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∈ (0..^𝑀))) → ((𝐹 ↾ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))) = ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)))
276262, 272, 2753eltr4d 2925 . . . . . . . . . . 11 ((𝑖 = (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∧ ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖))) ∧ (𝜑 ∧ (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∈ (0..^𝑀))) → (𝑉‘(𝐼‘(𝑆𝐽))) ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))))
2772763exp 1111 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = (𝐼‘(𝑆𝐽)) → (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖))) → ((𝜑 ∧ (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∈ (0..^𝑀)) → (𝑉‘(𝐼‘(𝑆𝐽))) ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))))))
2782612a1i 12 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = (𝐼‘(𝑆𝐽)) → (((𝜑 ∧ (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∈ (0..^𝑀)) → (𝑉‘(𝐼‘(𝑆𝐽))) ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽))))) → ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)))))
279277, 278impbid 213 . . . . . . . . 9 (𝑖 = (𝐼‘(𝑆𝐽)) → (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖))) ↔ ((𝜑 ∧ (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∈ (0..^𝑀)) → (𝑉‘(𝐼‘(𝑆𝐽))) ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))))))
280258, 279, 261vtoclg1f 3564 . . . . . . . 8 ((𝐼‘(𝑆𝐽)) ∈ (0..^𝑀) → ((𝜑 ∧ (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∈ (0..^𝑀)) → (𝑉‘(𝐼‘(𝑆𝐽))) ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽))))))
28155, 240, 280sylc 65 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑉‘(𝐼‘(𝑆𝐽))) ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))))
282 eqid 2818 . . . . . . 7 if((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) = (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽))), (𝑉‘(𝐼‘(𝑆𝐽))), ((𝐹 ↾ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1))))‘(𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))))) = if((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) = (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽))), (𝑉‘(𝐼‘(𝑆𝐽))), ((𝐹 ↾ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1))))‘(𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))))
283 eqid 2818 . . . . . . 7 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))[,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))[,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1))))
28457, 62, 239, 250, 281, 74, 84, 128, 142, 282, 283fourierdlem32 42301 . . . . . 6 (𝜑 → if((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) = (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽))), (𝑉‘(𝐼‘(𝑆𝐽))), ((𝐹 ↾ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1))))‘(𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))))) ∈ (((𝐹 ↾ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))) ↾ ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))) lim (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))))
285142resabs1d 5877 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐹 ↾ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))) ↾ ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))) = (𝐹 ↾ ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))))
286285oveq1d 7160 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐹 ↾ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))) ↾ ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))) lim (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))) = ((𝐹 ↾ ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))) lim (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))))
287284, 286eleqtrd 2912 . . . . 5 (𝜑 → if((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) = (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽))), (𝑉‘(𝐼‘(𝑆𝐽))), ((𝐹 ↾ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1))))‘(𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))))) ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))) lim (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))))
288161, 163, 165, 169, 170, 174, 232, 287limcperiod 41785 . . . 4 (𝜑 → if((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) = (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽))), (𝑉‘(𝐼‘(𝑆𝐽))), ((𝐹 ↾ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1))))‘(𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))))) ∈ ((𝐹 ↾ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦 ∈ ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))𝑥 = (𝑦 + 𝑈)}) lim ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) + 𝑈)))
289166oveq2i 7156 . . . . . . 7 ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) + 𝑈) = ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) + ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))))
290289a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) + 𝑈) = ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) + ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))))
29117, 20iccssred 41656 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐶[,]𝐷) ⊆ ℝ)
292 ax-resscn 10582 . . . . . . . . . . . . 13 ℝ ⊆ ℂ
293291, 292sstrdi 3976 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐶[,]𝐷) ⊆ ℂ)
29425, 44, 43fourierdlem15 42284 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑆:(0...𝑁)⟶(𝐶[,]𝐷))
295294, 53ffvelrnd 6844 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑆𝐽) ∈ (𝐶[,]𝐷))
296293, 295sseldd 3965 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑆𝐽) ∈ ℂ)
297191, 296subcld 10985 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽)) ∈ ℂ)
29874recnd 10657 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) ∈ ℂ)
299190, 297, 298subsub23d 41429 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽))) = (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) ↔ ((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))) = ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽))))
300125, 299mpbird 258 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽))) = (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))))
301300eqcomd 2824 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) = ((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽))))
302301oveq1d 7160 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) + ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))) = (((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽))) + ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))))
303190, 297subcld 10985 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽))) ∈ ℂ)
304303, 191, 190addsub12d 11008 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽))) + ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))) = ((𝑆‘(𝐽 + 1)) + (((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽))) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))))
305190, 297, 190sub32d 11017 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽))) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) = (((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) − ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽))))
306190subidd 10973 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) = 0)
307306oveq1d 7160 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) − ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽))) = (0 − ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽))))
308 df-neg 10861 . . . . . . . . . 10 -((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽)) = (0 − ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽)))
309191, 296negsubdi2d 11001 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → -((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽)) = ((𝑆𝐽) − (𝑆‘(𝐽 + 1))))
310308, 309syl5eqr 2867 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0 − ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽))) = ((𝑆𝐽) − (𝑆‘(𝐽 + 1))))
311305, 307, 3103eqtrd 2857 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽))) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) = ((𝑆𝐽) − (𝑆‘(𝐽 + 1))))
312311oveq2d 7161 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑆‘(𝐽 + 1)) + (((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽))) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))) = ((𝑆‘(𝐽 + 1)) + ((𝑆𝐽) − (𝑆‘(𝐽 + 1)))))
313191, 296pncan3d 10988 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑆‘(𝐽 + 1)) + ((𝑆𝐽) − (𝑆‘(𝐽 + 1)))) = (𝑆𝐽))
314304, 312, 3133eqtrd 2857 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽))) + ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))) = (𝑆𝐽))
315290, 302, 3143eqtrd 2857 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) + 𝑈) = (𝑆𝐽))
316315oveq2d 7161 . . . 4 (𝜑 → ((𝐹 ↾ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦 ∈ ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))𝑥 = (𝑦 + 𝑈)}) lim ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) + 𝑈)) = ((𝐹 ↾ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦 ∈ ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))𝑥 = (𝑦 + 𝑈)}) lim (𝑆𝐽)))
317288, 316eleqtrd 2912 . . 3 (𝜑 → if((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) = (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽))), (𝑉‘(𝐼‘(𝑆𝐽))), ((𝐹 ↾ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1))))‘(𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))))) ∈ ((𝐹 ↾ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦 ∈ ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))𝑥 = (𝑦 + 𝑈)}) lim (𝑆𝐽)))
318166oveq2i 7156 . . . . . . . 8 ((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) + 𝑈) = ((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) + ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))))
319190, 191pncan3d 10988 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) + ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))) = (𝑆‘(𝐽 + 1)))
320318, 319syl5eq 2865 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) + 𝑈) = (𝑆‘(𝐽 + 1)))
321315, 320oveq12d 7163 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) + 𝑈)(,)((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) + 𝑈)) = ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))))
322171, 321eqtr3d 2855 . . . . 5 (𝜑 → {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦 ∈ ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))𝑥 = (𝑦 + 𝑈)} = ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))))
323322reseq2d 5846 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 ↾ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦 ∈ ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))𝑥 = (𝑦 + 𝑈)}) = (𝐹 ↾ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))))
324323oveq1d 7160 . . 3 (𝜑 → ((𝐹 ↾ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦 ∈ ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))𝑥 = (𝑦 + 𝑈)}) lim (𝑆𝐽)) = ((𝐹 ↾ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))) lim (𝑆𝐽)))
325317, 324eleqtrd 2912 . 2 (𝜑 → if((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) = (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽))), (𝑉‘(𝐼‘(𝑆𝐽))), ((𝐹 ↾ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1))))‘(𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))))) ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))) lim (𝑆𝐽)))
326156, 325eqeltrd 2910 1 (𝜑 → if((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) = (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽))), (𝑉‘(𝐼‘(𝑆𝐽))), (𝐹‘(𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))))) ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))) lim (𝑆𝐽)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  wral 3135  wrex 3136  {crab 3139  Vcvv 3492  cun 3931  wss 3933  ifcif 4463  {cpr 4559   class class class wbr 5057  cmpt 5137  dom cdm 5548  ran crn 5549  cres 5550  cio 6305  wf 6344  cfv 6348   Isom wiso 6349  (class class class)co 7145  m cmap 8395  supcsup 8892  cc 10523  cr 10524  0cc0 10525  1c1 10526   + caddc 10528   · cmul 10530  +∞cpnf 10660  *cxr 10662   < clt 10663  cle 10664  cmin 10858  -cneg 10859   / cdiv 11285  cn 11626  2c2 11680  cz 11969  (,)cioo 12726  (,]cioc 12727  [,)cico 12728  [,]cicc 12729  ...cfz 12880  ..^cfzo 13021  cfl 13148  chash 13678  t crest 16682  TopOpenctopn 16683  fldccnfld 20473  cnccncf 23411   lim climc 24387
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-inf2 9092  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-pm 8398  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-dju 9318  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-xnn0 11956  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ioo 12730  df-ioc 12731  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-fl 13150  df-seq 13358  df-exp 13418  df-hash 13679  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-starv 16568  df-tset 16572  df-ple 16573  df-ds 16575  df-unif 16576  df-rest 16684  df-topn 16685  df-topgen 16705  df-psmet 20465  df-xmet 20466  df-met 20467  df-bl 20468  df-mopn 20469  df-cnfld 20474  df-top 21430  df-topon 21447  df-topsp 21469  df-bases 21482  df-cld 21555  df-ntr 21556  df-cls 21557  df-nei 21634  df-lp 21672  df-cn 21763  df-cnp 21764  df-cmp 21923  df-xms 22857  df-ms 22858  df-cncf 23413  df-limc 24391
This theorem is referenced by:  fourierdlem96  42364  fourierdlem100  42368  fourierdlem107  42375  fourierdlem109  42377
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