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Theorem fourierdlem90 39720
Description: Given a piecewise continuous function, it is still continuous with respect to an open interval of the moved partition. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem90.p 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐴 ∧ (𝑝𝑚) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
fourierdlem90.t 𝑇 = (𝐵𝐴)
fourierdlem90.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
fourierdlem90.q (𝜑𝑄 ∈ (𝑃𝑀))
fourierdlem90.f (𝜑𝐹:ℝ⟶ℂ)
fourierdlem90.6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
fourierdlem90.fcn ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
fourierdlem90.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
fourierdlem90.d (𝜑𝐷 ∈ (𝐶(,)+∞))
fourierdlem90.o 𝑂 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐶 ∧ (𝑝𝑚) = 𝐷) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
fourierdlem90.h 𝐻 = ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})
fourierdlem90.n 𝑁 = ((#‘𝐻) − 1)
fourierdlem90.s 𝑆 = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐻))
fourierdlem90.e 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
fourierdlem90.J 𝐿 = (𝑦 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑦 = 𝐵, 𝐴, 𝑦))
fourierdlem90.17 (𝜑𝐽 ∈ (0..^𝑁))
fourierdlem90.u 𝑈 = ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))
fourierdlem90.g 𝐺 = (𝐹 ↾ ((𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))))
fourierdlem90.r 𝑅 = (𝑦 ∈ (((𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) + 𝑈)(,)((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) + 𝑈)) ↦ (𝐺‘(𝑦𝑈)))
fourierdlem90.i 𝐼 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup({𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑖) ≤ (𝐿‘(𝐸𝑥))}, ℝ, < ))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem90 (𝜑 → (𝐹 ↾ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))) ∈ (((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))–cn→ℂ))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,𝑘,𝑦   𝐴,𝑖,𝑥,𝑘,𝑦   𝐴,𝑚,𝑝,𝑖   𝐵,𝑓,𝑘,𝑦   𝐵,𝑖,𝑥   𝐵,𝑚,𝑝   𝐶,𝑓,𝑦   𝐶,𝑖,𝑚,𝑝   𝑥,𝐶   𝐷,𝑓,𝑦   𝐷,𝑖,𝑚,𝑝   𝑥,𝐷   𝑓,𝐸,𝑘,𝑦   𝑖,𝐸,𝑥   𝑖,𝐹,𝑥,𝑦   𝑦,𝐺   𝑓,𝐻,𝑦   𝑥,𝐻   𝑓,𝐼,𝑘   𝑖,𝐼,𝑥   𝑖,𝐽,𝑥,𝑦   𝑖,𝐿,𝑥,𝑦   𝑖,𝑀,𝑥   𝑚,𝑀,𝑝   𝑓,𝑁,𝑘,𝑦   𝑖,𝑁,𝑥   𝑚,𝑁,𝑝   𝑄,𝑓,𝑘,𝑦   𝑄,𝑖,𝑥   𝑄,𝑝   𝑆,𝑓,𝑘,𝑦   𝑆,𝑖,𝑥   𝑆,𝑝   𝑇,𝑖,𝑘,𝑥,𝑦   𝑦,𝑈   𝜑,𝑓,𝑘,𝑦   𝜑,𝑖,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚,𝑝)   𝐶(𝑘)   𝐷(𝑘)   𝑃(𝑥,𝑦,𝑓,𝑖,𝑘,𝑚,𝑝)   𝑄(𝑚)   𝑅(𝑥,𝑦,𝑓,𝑖,𝑘,𝑚,𝑝)   𝑆(𝑚)   𝑇(𝑓,𝑚,𝑝)   𝑈(𝑥,𝑓,𝑖,𝑘,𝑚,𝑝)   𝐸(𝑚,𝑝)   𝐹(𝑓,𝑘,𝑚,𝑝)   𝐺(𝑥,𝑓,𝑖,𝑘,𝑚,𝑝)   𝐻(𝑖,𝑘,𝑚,𝑝)   𝐼(𝑦,𝑚,𝑝)   𝐽(𝑓,𝑘,𝑚,𝑝)   𝐿(𝑓,𝑘,𝑚,𝑝)   𝑀(𝑦,𝑓,𝑘)   𝑂(𝑥,𝑦,𝑓,𝑖,𝑘,𝑚,𝑝)

Proof of Theorem fourierdlem90
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem90.p . . . . . . 7 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐴 ∧ (𝑝𝑚) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
2 fourierdlem90.m . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
3 fourierdlem90.q . . . . . . 7 (𝜑𝑄 ∈ (𝑃𝑀))
41, 2, 3fourierdlem11 39642 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵))
54simp1d 1071 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
64simp2d 1072 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
75, 6iccssred 39138 . . . 4 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
84simp3d 1073 . . . . . 6 (𝜑𝐴 < 𝐵)
9 fourierdlem90.J . . . . . 6 𝐿 = (𝑦 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑦 = 𝐵, 𝐴, 𝑦))
105, 6, 8, 9fourierdlem17 39648 . . . . 5 (𝜑𝐿:(𝐴(,]𝐵)⟶(𝐴[,]𝐵))
11 fourierdlem90.t . . . . . . 7 𝑇 = (𝐵𝐴)
12 fourierdlem90.e . . . . . . 7 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
135, 6, 8, 11, 12fourierdlem4 39635 . . . . . 6 (𝜑𝐸:ℝ⟶(𝐴(,]𝐵))
14 fourierdlem90.c . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
15 fourierdlem90.d . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐷 ∈ (𝐶(,)+∞))
16 elioore 12147 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐷 ∈ (𝐶(,)+∞) → 𝐷 ∈ ℝ)
1715, 16syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
18 elioo4g 12176 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐷 ∈ (𝐶(,)+∞) ↔ ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 < 𝐷𝐷 < +∞)))
1915, 18sylib 208 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 < 𝐷𝐷 < +∞)))
2019simprd 479 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐶 < 𝐷𝐷 < +∞))
2120simpld 475 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐶 < 𝐷)
22 fourierdlem90.o . . . . . . . . . . . . 13 𝑂 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐶 ∧ (𝑝𝑚) = 𝐷) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
23 fourierdlem90.h . . . . . . . . . . . . 13 𝐻 = ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})
24 fourierdlem90.n . . . . . . . . . . . . 13 𝑁 = ((#‘𝐻) − 1)
25 fourierdlem90.s . . . . . . . . . . . . 13 𝑆 = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐻))
2611, 1, 2, 3, 14, 17, 21, 22, 23, 24, 25fourierdlem54 39684 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ (𝑂𝑁)) ∧ 𝑆 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐻)))
2726simpld 475 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ (𝑂𝑁)))
2827simprd 479 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑆 ∈ (𝑂𝑁))
2927simpld 475 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
3022fourierdlem2 39633 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑆 ∈ (𝑂𝑁) ↔ (𝑆 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑁)) ∧ (((𝑆‘0) = 𝐶 ∧ (𝑆𝑁) = 𝐷) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)(𝑆𝑖) < (𝑆‘(𝑖 + 1))))))
3129, 30syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑆 ∈ (𝑂𝑁) ↔ (𝑆 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑁)) ∧ (((𝑆‘0) = 𝐶 ∧ (𝑆𝑁) = 𝐷) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)(𝑆𝑖) < (𝑆‘(𝑖 + 1))))))
3228, 31mpbid 222 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑆 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑁)) ∧ (((𝑆‘0) = 𝐶 ∧ (𝑆𝑁) = 𝐷) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)(𝑆𝑖) < (𝑆‘(𝑖 + 1)))))
3332simpld 475 . . . . . . . 8 (𝜑𝑆 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑁)))
34 elmapi 7823 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑁)) → 𝑆:(0...𝑁)⟶ℝ)
3533, 34syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑆:(0...𝑁)⟶ℝ)
36 fourierdlem90.17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐽 ∈ (0..^𝑁))
37 elfzofz 12426 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → 𝐽 ∈ (0...𝑁))
3836, 37syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐽 ∈ (0...𝑁))
3935, 38ffvelrnd 6316 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑆𝐽) ∈ ℝ)
4013, 39ffvelrnd 6316 . . . . 5 (𝜑 → (𝐸‘(𝑆𝐽)) ∈ (𝐴(,]𝐵))
4110, 40ffvelrnd 6316 . . . 4 (𝜑 → (𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) ∈ (𝐴[,]𝐵))
427, 41sseldd 3584 . . 3 (𝜑 → (𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) ∈ ℝ)
435rexrd 10033 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
44 iocssre 12195 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴(,]𝐵) ⊆ ℝ)
4543, 6, 44syl2anc 692 . . . 4 (𝜑 → (𝐴(,]𝐵) ⊆ ℝ)
46 fzofzp1 12506 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → (𝐽 + 1) ∈ (0...𝑁))
4736, 46syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐽 + 1) ∈ (0...𝑁))
4835, 47ffvelrnd 6316 . . . . 5 (𝜑 → (𝑆‘(𝐽 + 1)) ∈ ℝ)
4913, 48ffvelrnd 6316 . . . 4 (𝜑 → (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) ∈ (𝐴(,]𝐵))
5045, 49sseldd 3584 . . 3 (𝜑 → (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) ∈ ℝ)
51 eqid 2621 . . 3 ((𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) = ((𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))
52 fourierdlem90.u . . . 4 𝑈 = ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))
5348, 50resubcld 10402 . . . 4 (𝜑 → ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) ∈ ℝ)
5452, 53syl5eqel 2702 . . 3 (𝜑𝑈 ∈ ℝ)
55 eqid 2621 . . 3 (((𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) + 𝑈)(,)((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) + 𝑈)) = (((𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) + 𝑈)(,)((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) + 𝑈))
56 fourierdlem90.g . . . 4 𝐺 = (𝐹 ↾ ((𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))))
57 eleq1 2686 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = 𝐽 → (𝑗 ∈ (0..^𝑁) ↔ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)))
5857anbi2d 739 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = 𝐽 → ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ↔ (𝜑𝐽 ∈ (0..^𝑁))))
59 fveq2 6148 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 = 𝐽 → (𝑆𝑗) = (𝑆𝐽))
6059fveq2d 6152 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = 𝐽 → (𝐸‘(𝑆𝑗)) = (𝐸‘(𝑆𝐽)))
6160fveq2d 6152 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = 𝐽 → (𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝑗))) = (𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽))))
62 oveq1 6611 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 = 𝐽 → (𝑗 + 1) = (𝐽 + 1))
6362fveq2d 6152 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = 𝐽 → (𝑆‘(𝑗 + 1)) = (𝑆‘(𝐽 + 1)))
6463fveq2d 6152 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = 𝐽 → (𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1))) = (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))
6561, 64oveq12d 6622 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = 𝐽 → ((𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝑗)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1)))) = ((𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))))
6659fveq2d 6152 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = 𝐽 → (𝐼‘(𝑆𝑗)) = (𝐼‘(𝑆𝐽)))
6766fveq2d 6152 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = 𝐽 → (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝑗))) = (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽))))
6866oveq1d 6619 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = 𝐽 → ((𝐼‘(𝑆𝑗)) + 1) = ((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1))
6968fveq2d 6152 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = 𝐽 → (𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝑗)) + 1)) = (𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))
7067, 69oveq12d 6622 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = 𝐽 → ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝑗)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝑗)) + 1))) = ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1))))
7165, 70sseq12d 3613 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = 𝐽 → (((𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝑗)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1)))) ⊆ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝑗)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝑗)) + 1))) ↔ ((𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) ⊆ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))))
7258, 71imbi12d 334 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝐽 → (((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝑗)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1)))) ⊆ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝑗)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝑗)) + 1)))) ↔ ((𝜑𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) ⊆ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1))))))
7311oveq2i 6615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 · 𝑇) = (𝑘 · (𝐵𝐴))
7473oveq2i 6615 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑦 + (𝑘 · (𝐵𝐴)))
7574eleq1i 2689 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵𝐴))) ∈ ran 𝑄)
7675rexbii 3034 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵𝐴))) ∈ ran 𝑄)
7776a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵𝐴))) ∈ ran 𝑄))
7877rabbiia 3173 . . . . . . . . . . . . . 14 {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄} = {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵𝐴))) ∈ ran 𝑄}
7978uneq2i 3742 . . . . . . . . . . . . 13 ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}) = ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵𝐴))) ∈ ran 𝑄})
8023, 79eqtri 2643 . . . . . . . . . . . 12 𝐻 = ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵𝐴))) ∈ ran 𝑄})
81 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = 𝑥𝑦 = 𝑥)
8211eqcomi 2630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐵𝐴) = 𝑇
8382oveq2i 6615 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 · (𝐵𝐴)) = (𝑘 · 𝑇)
8483a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = 𝑥 → (𝑘 · (𝐵𝐴)) = (𝑘 · 𝑇))
8581, 84oveq12d 6622 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 + (𝑘 · (𝐵𝐴))) = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)))
8685eleq1d 2683 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 𝑥 → ((𝑦 + (𝑘 · (𝐵𝐴))) ∈ ran 𝑄 ↔ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄))
8786rexbidv 3045 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑥 → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵𝐴))) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄))
8887cbvrabv 3185 . . . . . . . . . . . . 13 {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵𝐴))) ∈ ran 𝑄} = {𝑥 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}
8988uneq2i 3742 . . . . . . . . . . . 12 ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵𝐴))) ∈ ran 𝑄}) = ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑥 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})
9080, 89eqtri 2643 . . . . . . . . . . 11 𝐻 = ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑥 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})
91 eqid 2621 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆𝑗) + if(((𝑆‘(𝑗 + 1)) − (𝑆𝑗)) < ((𝑄‘1) − 𝐴), (((𝑆‘(𝑗 + 1)) − (𝑆𝑗)) / 2), (((𝑄‘1) − 𝐴) / 2))) = ((𝑆𝑗) + if(((𝑆‘(𝑗 + 1)) − (𝑆𝑗)) < ((𝑄‘1) − 𝐴), (((𝑆‘(𝑗 + 1)) − (𝑆𝑗)) / 2), (((𝑄‘1) − 𝐴) / 2)))
92 fourierdlem90.i . . . . . . . . . . 11 𝐼 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup({𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑖) ≤ (𝐿‘(𝐸𝑥))}, ℝ, < ))
9311, 1, 2, 3, 14, 17, 21, 22, 90, 24, 25, 12, 9, 91, 92fourierdlem79 39709 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝑗)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1)))) ⊆ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝑗)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝑗)) + 1))))
9472, 93vtoclg 3252 . . . . . . . . 9 (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → ((𝜑𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) ⊆ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))))
9594anabsi7 859 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) ⊆ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1))))
9636, 95mpdan 701 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) ⊆ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1))))
9796resabs1d 5387 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐹 ↾ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))) ↾ ((𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))) = (𝐹 ↾ ((𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))))
9897eqcomd 2627 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 ↾ ((𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))) = ((𝐹 ↾ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))) ↾ ((𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))))
991, 2, 3, 11, 12, 9, 92fourierdlem37 39668 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐼:ℝ⟶(0..^𝑀) ∧ (𝑥 ∈ ℝ → sup({𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑖) ≤ (𝐿‘(𝐸𝑥))}, ℝ, < ) ∈ {𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑖) ≤ (𝐿‘(𝐸𝑥))})))
10099simpld 475 . . . . . . . 8 (𝜑𝐼:ℝ⟶(0..^𝑀))
101100, 39ffvelrnd 6316 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∈ (0..^𝑀))
102101ancli 573 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝜑 ∧ (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∈ (0..^𝑀)))
103 eleq1 2686 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = (𝐼‘(𝑆𝐽)) → (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↔ (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∈ (0..^𝑀)))
104103anbi2d 739 . . . . . . . . 9 (𝑖 = (𝐼‘(𝑆𝐽)) → ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ↔ (𝜑 ∧ (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∈ (0..^𝑀))))
105 fveq2 6148 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = (𝐼‘(𝑆𝐽)) → (𝑄𝑖) = (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽))))
106 oveq1 6611 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = (𝐼‘(𝑆𝐽)) → (𝑖 + 1) = ((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1))
107106fveq2d 6152 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = (𝐼‘(𝑆𝐽)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) = (𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))
108105, 107oveq12d 6622 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = (𝐼‘(𝑆𝐽)) → ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) = ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1))))
109108reseq2d 5356 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = (𝐼‘(𝑆𝐽)) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = (𝐹 ↾ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))))
110108oveq1d 6619 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = (𝐼‘(𝑆𝐽)) → (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ) = (((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))–cn→ℂ))
111109, 110eleq12d 2692 . . . . . . . . 9 (𝑖 = (𝐼‘(𝑆𝐽)) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ) ↔ (𝐹 ↾ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))) ∈ (((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))–cn→ℂ)))
112104, 111imbi12d 334 . . . . . . . 8 (𝑖 = (𝐼‘(𝑆𝐽)) → (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ)) ↔ ((𝜑 ∧ (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))) ∈ (((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))–cn→ℂ))))
113 fourierdlem90.fcn . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
114112, 113vtoclg 3252 . . . . . . 7 ((𝐼‘(𝑆𝐽)) ∈ (0..^𝑀) → ((𝜑 ∧ (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))) ∈ (((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))–cn→ℂ)))
115101, 102, 114sylc 65 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹 ↾ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))) ∈ (((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))–cn→ℂ))
116 rescncf 22608 . . . . . 6 (((𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) ⊆ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1))) → ((𝐹 ↾ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))) ∈ (((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))–cn→ℂ) → ((𝐹 ↾ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))) ↾ ((𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))) ∈ (((𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))–cn→ℂ)))
11796, 115, 116sylc 65 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐹 ↾ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))) ↾ ((𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))) ∈ (((𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))–cn→ℂ))
11898, 117eqeltrd 2698 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 ↾ ((𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))) ∈ (((𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))–cn→ℂ))
11956, 118syl5eqel 2702 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ (((𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))–cn→ℂ))
120 fourierdlem90.r . . 3 𝑅 = (𝑦 ∈ (((𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) + 𝑈)(,)((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) + 𝑈)) ↦ (𝐺‘(𝑦𝑈)))
12142, 50, 51, 54, 55, 119, 120cncfshiftioo 39409 . 2 (𝜑𝑅 ∈ ((((𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) + 𝑈)(,)((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) + 𝑈))–cn→ℂ))
122120a1i 11 . . 3 (𝜑𝑅 = (𝑦 ∈ (((𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) + 𝑈)(,)((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) + 𝑈)) ↦ (𝐺‘(𝑦𝑈))))
12352oveq2i 6615 . . . . . . 7 ((𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) + 𝑈) = ((𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) + ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))))
124123a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) + 𝑈) = ((𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) + ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))))
12564, 61oveq12d 6622 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = 𝐽 → ((𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1))) − (𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝑗)))) = ((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))))
12663, 59oveq12d 6622 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = 𝐽 → ((𝑆‘(𝑗 + 1)) − (𝑆𝑗)) = ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽)))
127125, 126eqeq12d 2636 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = 𝐽 → (((𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1))) − (𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝑗)))) = ((𝑆‘(𝑗 + 1)) − (𝑆𝑗)) ↔ ((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))) = ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽))))
12858, 127imbi12d 334 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = 𝐽 → (((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1))) − (𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝑗)))) = ((𝑆‘(𝑗 + 1)) − (𝑆𝑗))) ↔ ((𝜑𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))) = ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽)))))
12980fveq2i 6151 . . . . . . . . . . . . . . 15 (#‘𝐻) = (#‘({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵𝐴))) ∈ ran 𝑄}))
130129oveq1i 6614 . . . . . . . . . . . . . 14 ((#‘𝐻) − 1) = ((#‘({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵𝐴))) ∈ ran 𝑄})) − 1)
13124, 130eqtri 2643 . . . . . . . . . . . . 13 𝑁 = ((#‘({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵𝐴))) ∈ ran 𝑄})) − 1)
132 isoeq5 6525 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐻 = ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵𝐴))) ∈ ran 𝑄}) → (𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐻) ↔ 𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵𝐴))) ∈ ran 𝑄}))))
13380, 132ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐻) ↔ 𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵𝐴))) ∈ ran 𝑄})))
134133iotabii 5832 . . . . . . . . . . . . . 14 (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐻)) = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵𝐴))) ∈ ran 𝑄})))
13525, 134eqtri 2643 . . . . . . . . . . . . 13 𝑆 = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵𝐴))) ∈ ran 𝑄})))
136 eqid 2621 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆𝑗) + (𝐵 − (𝐸‘(𝑆𝑗)))) = ((𝑆𝑗) + (𝐵 − (𝐸‘(𝑆𝑗))))
1371, 11, 2, 3, 14, 15, 22, 131, 135, 12, 9, 136fourierdlem65 39695 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1))) − (𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝑗)))) = ((𝑆‘(𝑗 + 1)) − (𝑆𝑗)))
138128, 137vtoclg 3252 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → ((𝜑𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))) = ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽))))
139138anabsi7 859 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))) = ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽)))
14036, 139mpdan 701 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))) = ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽)))
14150recnd 10012 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) ∈ ℂ)
14248recnd 10012 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑆‘(𝐽 + 1)) ∈ ℂ)
14314, 17iccssred 39138 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐶[,]𝐷) ⊆ ℝ)
144 ax-resscn 9937 . . . . . . . . . . . . 13 ℝ ⊆ ℂ
145143, 144syl6ss 3595 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐶[,]𝐷) ⊆ ℂ)
14622, 29, 28fourierdlem15 39646 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑆:(0...𝑁)⟶(𝐶[,]𝐷))
147146, 38ffvelrnd 6316 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑆𝐽) ∈ (𝐶[,]𝐷))
148145, 147sseldd 3584 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑆𝐽) ∈ ℂ)
149142, 148subcld 10336 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽)) ∈ ℂ)
15042recnd 10012 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) ∈ ℂ)
151141, 149, 150subsub23d 38963 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽))) = (𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) ↔ ((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))) = ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽))))
152140, 151mpbird 247 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽))) = (𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽))))
153152eqcomd 2627 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) = ((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽))))
154153oveq1d 6619 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) + ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))) = (((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽))) + ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))))
155141, 149subcld 10336 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽))) ∈ ℂ)
156155, 142, 141addsub12d 10359 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽))) + ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))) = ((𝑆‘(𝐽 + 1)) + (((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽))) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))))
157141, 149, 141sub32d 10368 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽))) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) = (((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) − ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽))))
158141subidd 10324 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) = 0)
159158oveq1d 6619 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) − ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽))) = (0 − ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽))))
160 df-neg 10213 . . . . . . . . . 10 -((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽)) = (0 − ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽)))
161142, 148negsubdi2d 10352 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → -((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽)) = ((𝑆𝐽) − (𝑆‘(𝐽 + 1))))
162160, 161syl5eqr 2669 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0 − ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽))) = ((𝑆𝐽) − (𝑆‘(𝐽 + 1))))
163157, 159, 1623eqtrd 2659 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽))) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) = ((𝑆𝐽) − (𝑆‘(𝐽 + 1))))
164163oveq2d 6620 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑆‘(𝐽 + 1)) + (((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽))) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))) = ((𝑆‘(𝐽 + 1)) + ((𝑆𝐽) − (𝑆‘(𝐽 + 1)))))
165142, 148pncan3d 10339 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑆‘(𝐽 + 1)) + ((𝑆𝐽) − (𝑆‘(𝐽 + 1)))) = (𝑆𝐽))
166156, 164, 1653eqtrd 2659 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽))) + ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))) = (𝑆𝐽))
167124, 154, 1663eqtrd 2659 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) + 𝑈) = (𝑆𝐽))
16852oveq2i 6615 . . . . . 6 ((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) + 𝑈) = ((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) + ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))))
169141, 142pncan3d 10339 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) + ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))) = (𝑆‘(𝐽 + 1)))
170168, 169syl5eq 2667 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) + 𝑈) = (𝑆‘(𝐽 + 1)))
171167, 170oveq12d 6622 . . . 4 (𝜑 → (((𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) + 𝑈)(,)((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) + 𝑈)) = ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))))
172171mpteq1d 4698 . . 3 (𝜑 → (𝑦 ∈ (((𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) + 𝑈)(,)((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) + 𝑈)) ↦ (𝐺‘(𝑦𝑈))) = (𝑦 ∈ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ↦ (𝐺‘(𝑦𝑈))))
173 fourierdlem90.f . . . . . 6 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℂ)
174173feqmptd 6206 . . . . 5 (𝜑𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝐹𝑦)))
175174reseq1d 5355 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 ↾ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))) = ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝐹𝑦)) ↾ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))))
176 ioossre 12177 . . . . . 6 ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ⊆ ℝ
177176a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ⊆ ℝ)
178177resmptd 5411 . . . 4 (𝜑 → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝐹𝑦)) ↾ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))) = (𝑦 ∈ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ↦ (𝐹𝑦)))
17956fveq1i 6149 . . . . . . 7 (𝐺‘(𝑦𝑈)) = ((𝐹 ↾ ((𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))))‘(𝑦𝑈))
180179a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))) → (𝐺‘(𝑦𝑈)) = ((𝐹 ↾ ((𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))))‘(𝑦𝑈)))
18142adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))) → (𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) ∈ ℝ)
182181rexrd 10033 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))) → (𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) ∈ ℝ*)
18350adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))) → (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) ∈ ℝ)
184183rexrd 10033 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))) → (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) ∈ ℝ*)
185177sselda 3583 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))) → 𝑦 ∈ ℝ)
18654adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))) → 𝑈 ∈ ℝ)
187185, 186resubcld 10402 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))) → (𝑦𝑈) ∈ ℝ)
18839rexrd 10033 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑆𝐽) ∈ ℝ*)
189188adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))) → (𝑆𝐽) ∈ ℝ*)
19048rexrd 10033 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑆‘(𝐽 + 1)) ∈ ℝ*)
191190adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))) → (𝑆‘(𝐽 + 1)) ∈ ℝ*)
192 simpr 477 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))) → 𝑦 ∈ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))))
193 ioogtlb 39128 . . . . . . . . . . 11 (((𝑆𝐽) ∈ ℝ* ∧ (𝑆‘(𝐽 + 1)) ∈ ℝ*𝑦 ∈ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))) → (𝑆𝐽) < 𝑦)
194189, 191, 192, 193syl3anc 1323 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))) → (𝑆𝐽) < 𝑦)
195167adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))) → ((𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) + 𝑈) = (𝑆𝐽))
196185recnd 10012 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))) → 𝑦 ∈ ℂ)
197186recnd 10012 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))) → 𝑈 ∈ ℂ)
198196, 197npcand 10340 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))) → ((𝑦𝑈) + 𝑈) = 𝑦)
199194, 195, 1983brtr4d 4645 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))) → ((𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) + 𝑈) < ((𝑦𝑈) + 𝑈))
200181, 187, 186ltadd1d 10564 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))) → ((𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) < (𝑦𝑈) ↔ ((𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) + 𝑈) < ((𝑦𝑈) + 𝑈)))
201199, 200mpbird 247 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))) → (𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) < (𝑦𝑈))
202 iooltub 39146 . . . . . . . . . . 11 (((𝑆𝐽) ∈ ℝ* ∧ (𝑆‘(𝐽 + 1)) ∈ ℝ*𝑦 ∈ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))) → 𝑦 < (𝑆‘(𝐽 + 1)))
203189, 191, 192, 202syl3anc 1323 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))) → 𝑦 < (𝑆‘(𝐽 + 1)))
204170adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))) → ((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) + 𝑈) = (𝑆‘(𝐽 + 1)))
205203, 198, 2043brtr4d 4645 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))) → ((𝑦𝑈) + 𝑈) < ((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) + 𝑈))
206187, 183, 186ltadd1d 10564 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))) → ((𝑦𝑈) < (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) ↔ ((𝑦𝑈) + 𝑈) < ((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) + 𝑈)))
207205, 206mpbird 247 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))) → (𝑦𝑈) < (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))
208182, 184, 187, 201, 207eliood 39131 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))) → (𝑦𝑈) ∈ ((𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))))
209 fvres 6164 . . . . . . 7 ((𝑦𝑈) ∈ ((𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) → ((𝐹 ↾ ((𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))))‘(𝑦𝑈)) = (𝐹‘(𝑦𝑈)))
210208, 209syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))) → ((𝐹 ↾ ((𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))))‘(𝑦𝑈)) = (𝐹‘(𝑦𝑈)))
21152oveq2i 6615 . . . . . . . . . 10 (𝑦𝑈) = (𝑦 − ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))))
212211a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))) → (𝑦𝑈) = (𝑦 − ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))))
213142adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))) → (𝑆‘(𝐽 + 1)) ∈ ℂ)
214141adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))) → (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) ∈ ℂ)
215196, 213, 214subsub2d 10365 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))) → (𝑦 − ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))) = (𝑦 + ((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝑆‘(𝐽 + 1)))))
216214, 213subcld 10336 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))) → ((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝑆‘(𝐽 + 1))) ∈ ℂ)
2176, 5resubcld 10402 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ ℝ)
21811, 217syl5eqel 2702 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
219218recnd 10012 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑇 ∈ ℂ)
220219adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))) → 𝑇 ∈ ℂ)
2215, 6posdifd 10558 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵𝐴)))
2228, 221mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 0 < (𝐵𝐴))
223222, 11syl6breqr 4655 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 0 < 𝑇)
224223gt0ne0d 10536 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑇 ≠ 0)
225224adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))) → 𝑇 ≠ 0)
226216, 220, 225divcan1d 10746 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))) → ((((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇) · 𝑇) = ((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝑆‘(𝐽 + 1))))
227226eqcomd 2627 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))) → ((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝑆‘(𝐽 + 1))) = ((((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇) · 𝑇))
228227oveq2d 6620 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))) → (𝑦 + ((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝑆‘(𝐽 + 1)))) = (𝑦 + ((((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇) · 𝑇)))
229212, 215, 2283eqtrd 2659 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))) → (𝑦𝑈) = (𝑦 + ((((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇) · 𝑇)))
230229fveq2d 6152 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))) → (𝐹‘(𝑦𝑈)) = (𝐹‘(𝑦 + ((((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇) · 𝑇))))
231173adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
232218adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))) → 𝑇 ∈ ℝ)
23312a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇))))
234 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = (𝑆‘(𝐽 + 1)) → 𝑥 = (𝑆‘(𝐽 + 1)))
235 oveq2 6612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = (𝑆‘(𝐽 + 1)) → (𝐵𝑥) = (𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))))
236235oveq1d 6619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = (𝑆‘(𝐽 + 1)) → ((𝐵𝑥) / 𝑇) = ((𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇))
237236fveq2d 6152 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = (𝑆‘(𝐽 + 1)) → (⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) = (⌊‘((𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇)))
238237oveq1d 6619 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = (𝑆‘(𝐽 + 1)) → ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇) = ((⌊‘((𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇)) · 𝑇))
239234, 238oveq12d 6622 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = (𝑆‘(𝐽 + 1)) → (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) = ((𝑆‘(𝐽 + 1)) + ((⌊‘((𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇)) · 𝑇)))
240239adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 = (𝑆‘(𝐽 + 1))) → (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) = ((𝑆‘(𝐽 + 1)) + ((⌊‘((𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇)) · 𝑇)))
2416, 48resubcld 10402 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) ∈ ℝ)
242241, 218, 224redivcld 10797 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇) ∈ ℝ)
243242flcld 12539 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (⌊‘((𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇)) ∈ ℤ)
244243zred 11426 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (⌊‘((𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇)) ∈ ℝ)
245244, 218remulcld 10014 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((⌊‘((𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ ℝ)
24648, 245readdcld 10013 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝑆‘(𝐽 + 1)) + ((⌊‘((𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇)) · 𝑇)) ∈ ℝ)
247233, 240, 48, 246fvmptd 6245 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) = ((𝑆‘(𝐽 + 1)) + ((⌊‘((𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇)) · 𝑇)))
248247oveq1d 6619 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝑆‘(𝐽 + 1))) = (((𝑆‘(𝐽 + 1)) + ((⌊‘((𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇)) · 𝑇)) − (𝑆‘(𝐽 + 1))))
249244recnd 10012 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (⌊‘((𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇)) ∈ ℂ)
250249, 219mulcld 10004 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((⌊‘((𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ ℂ)
251142, 250pncan2d 10338 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((𝑆‘(𝐽 + 1)) + ((⌊‘((𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇)) · 𝑇)) − (𝑆‘(𝐽 + 1))) = ((⌊‘((𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇)) · 𝑇))
252248, 251eqtrd 2655 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝑆‘(𝐽 + 1))) = ((⌊‘((𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇)) · 𝑇))
253252oveq1d 6619 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇) = (((⌊‘((𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇)) · 𝑇) / 𝑇))
254249, 219, 224divcan4d 10751 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((⌊‘((𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇)) · 𝑇) / 𝑇) = (⌊‘((𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇)))
255253, 254eqtrd 2655 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇) = (⌊‘((𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇)))
256255, 243eqeltrd 2698 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇) ∈ ℤ)
257256adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))) → (((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇) ∈ ℤ)
258 fourierdlem90.6 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
259258adantlr 750 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
260231, 232, 257, 185, 259fperiodmul 38982 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))) → (𝐹‘(𝑦 + ((((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇) · 𝑇))) = (𝐹𝑦))
261230, 260eqtrd 2655 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))) → (𝐹‘(𝑦𝑈)) = (𝐹𝑦))
262180, 210, 2613eqtrrd 2660 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))) → (𝐹𝑦) = (𝐺‘(𝑦𝑈)))
263262mpteq2dva 4704 . . . 4 (𝜑 → (𝑦 ∈ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ↦ (𝐹𝑦)) = (𝑦 ∈ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ↦ (𝐺‘(𝑦𝑈))))
264175, 178, 2633eqtrrd 2660 . . 3 (𝜑 → (𝑦 ∈ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ↦ (𝐺‘(𝑦𝑈))) = (𝐹 ↾ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))))
265122, 172, 2643eqtrd 2659 . 2 (𝜑𝑅 = (𝐹 ↾ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))))
266171oveq1d 6619 . 2 (𝜑 → ((((𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) + 𝑈)(,)((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) + 𝑈))–cn→ℂ) = (((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))–cn→ℂ))
267121, 265, 2663eltr3d 2712 1 (𝜑 → (𝐹 ↾ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))) ∈ (((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))–cn→ℂ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  wral 2907  wrex 2908  {crab 2911  cun 3553  wss 3555  ifcif 4058  {cpr 4150   class class class wbr 4613  cmpt 4673  ran crn 5075  cres 5076  cio 5808  wf 5843  cfv 5847   Isom wiso 5848  (class class class)co 6604  𝑚 cmap 7802  supcsup 8290  cc 9878  cr 9879  0cc0 9880  1c1 9881   + caddc 9883   · cmul 9885  +∞cpnf 10015  *cxr 10017   < clt 10018  cle 10019  cmin 10210  -cneg 10211   / cdiv 10628  cn 10964  2c2 11014  cz 11321  (,)cioo 12117  (,]cioc 12118  [,]cicc 12120  ...cfz 12268  ..^cfzo 12406  cfl 12531  #chash 13057  cnccncf 22587
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-iin 4488  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-fi 8261  df-sup 8292  df-inf 8293  df-oi 8359  df-card 8709  df-cda 8934  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-n0 11237  df-xnn0 11308  df-z 11322  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-xneg 11890  df-xadd 11891  df-xmul 11892  df-ioo 12121  df-ioc 12122  df-ico 12123  df-icc 12124  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-fl 12533  df-seq 12742  df-exp 12801  df-hash 13058  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-rest 16004  df-topgen 16025  df-psmet 19657  df-xmet 19658  df-met 19659  df-bl 19660  df-mopn 19661  df-top 20621  df-bases 20622  df-topon 20623  df-cld 20733  df-ntr 20734  df-cls 20735  df-nei 20812  df-lp 20850  df-cmp 21100  df-cncf 22589
This theorem is referenced by:  fourierdlem97  39727  fourierdlem98  39728  fourierdlem100  39730  fourierdlem107  39737  fourierdlem109  39739
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