MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fovrn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fovrn 6969
Description: An operation's value belongs to its codomain. (Contributed by NM, 27-Aug-2006.)
Assertion
Ref Expression
fovrn ((𝐹:(𝑅 × 𝑆)⟶𝐶𝐴𝑅𝐵𝑆) → (𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝐶)

Proof of Theorem fovrn
StepHypRef Expression
1 opelxpi 5305 . . 3 ((𝐴𝑅𝐵𝑆) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝑅 × 𝑆))
2 df-ov 6816 . . . 4 (𝐴𝐹𝐵) = (𝐹‘⟨𝐴, 𝐵⟩)
3 ffvelrn 6520 . . . 4 ((𝐹:(𝑅 × 𝑆)⟶𝐶 ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝑅 × 𝑆)) → (𝐹‘⟨𝐴, 𝐵⟩) ∈ 𝐶)
42, 3syl5eqel 2843 . . 3 ((𝐹:(𝑅 × 𝑆)⟶𝐶 ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝑅 × 𝑆)) → (𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝐶)
51, 4sylan2 492 . 2 ((𝐹:(𝑅 × 𝑆)⟶𝐶 ∧ (𝐴𝑅𝐵𝑆)) → (𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝐶)
653impb 1108 1 ((𝐹:(𝑅 × 𝑆)⟶𝐶𝐴𝑅𝐵𝑆) → (𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1072  wcel 2139  cop 4327   × cxp 5264  wf 6045  cfv 6049  (class class class)co 6813
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pr 5055
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ral 3055  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-fv 6057  df-ov 6816
This theorem is referenced by:  fovrnda  6970  fovrnd  6971  ovmpt2elrn  7409  curry1f  7439  curry2f  7441  mapxpen  8291  axdc4lem  9469  axdc4uzlem  12976  imasmnd2  17528  grpsubcl  17696  imasgrp2  17731  imasring  18819  tsmsxplem1  22157  psmetcl  22313  xmetcl  22337  metcl  22338  blssm  22424  mbfi1fseqlem3  23683  mbfi1fseqlem4  23684  mbfi1fseqlem5  23685  grpocl  27663  grpodivcl  27702  vccl  27727  nvmcl  27810  cvmliftphtlem  31606  matunitlindflem1  33718  isbnd3  33896  clmgmOLD  33963  rngocl  34013  isdrngo2  34070
  Copyright terms: Public domain W3C validator