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Theorem fperdvper 39436
Description: The derivative of a periodic function is periodic. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fperdvper.f (𝜑𝐹:ℝ⟶ℂ)
fperdvper.t (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
fperdvper.fper ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
fperdvper.g 𝐺 = (ℝ D 𝐹)
Assertion
Ref Expression
fperdvper ((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) → ((𝑥 + 𝑇) ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐺‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐺𝑥)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝑇   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem fperdvper
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvbsss 23572 . . . . . . . 8 dom (ℝ D 𝐹) ⊆ ℝ
2 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ dom 𝐺𝑥 ∈ dom 𝐺)
3 fperdvper.g . . . . . . . . . 10 𝐺 = (ℝ D 𝐹)
43dmeqi 5285 . . . . . . . . 9 dom 𝐺 = dom (ℝ D 𝐹)
52, 4syl6eleq 2708 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ dom 𝐺𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
61, 5sseldi 3581 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ dom 𝐺𝑥 ∈ ℝ)
76adantl 482 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) → 𝑥 ∈ ℝ)
8 fperdvper.t . . . . . . 7 (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
98adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) → 𝑇 ∈ ℝ)
107, 9readdcld 10013 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) → (𝑥 + 𝑇) ∈ ℝ)
11 reopn 38962 . . . . . . 7 ℝ ∈ (topGen‘ran (,))
12 retop 22475 . . . . . . . 8 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
13 ssid 3603 . . . . . . . . 9 ℝ ⊆ ℝ
1413a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) → ℝ ⊆ ℝ)
15 uniretop 22476 . . . . . . . . 9 ℝ = (topGen‘ran (,))
1615isopn3 20780 . . . . . . . 8 (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ ℝ ⊆ ℝ) → (ℝ ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘ℝ) = ℝ))
1712, 14, 16sylancr 694 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) → (ℝ ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘ℝ) = ℝ))
1811, 17mpbii 223 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘ℝ) = ℝ)
1918eqcomd 2627 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) → ℝ = ((int‘(topGen‘ran (,)))‘ℝ))
2010, 19eleqtrd 2700 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) → (𝑥 + 𝑇) ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘ℝ))
215adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) → 𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
223fveq1i 6149 . . . . . . . . . 10 (𝐺𝑥) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑥)
2322eqcomi 2630 . . . . . . . . 9 ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = (𝐺𝑥)
2423a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = (𝐺𝑥))
25 dvf 23577 . . . . . . . . . . . 12 (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℂ
26 ffun 6005 . . . . . . . . . . . 12 ((ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℂ → Fun (ℝ D 𝐹))
2725, 26ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 Fun (ℝ D 𝐹)
2827a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → Fun (ℝ D 𝐹))
29 funbrfv2b 6197 . . . . . . . . . 10 (Fun (ℝ D 𝐹) → (𝑥(ℝ D 𝐹)(𝐺𝑥) ↔ (𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐹) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = (𝐺𝑥))))
3028, 29syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥(ℝ D 𝐹)(𝐺𝑥) ↔ (𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐹) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = (𝐺𝑥))))
3130adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) → (𝑥(ℝ D 𝐹)(𝐺𝑥) ↔ (𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐹) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = (𝐺𝑥))))
3221, 24, 31mpbir2and 956 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) → 𝑥(ℝ D 𝐹)(𝐺𝑥))
33 eqid 2621 . . . . . . . . 9 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
3433tgioo2 22514 . . . . . . . 8 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
35 eqid 2621 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥))) = (𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥)))
36 ax-resscn 9937 . . . . . . . . 9 ℝ ⊆ ℂ
3736a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) → ℝ ⊆ ℂ)
38 fperdvper.f . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℂ)
3938adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
4034, 33, 35, 37, 39, 14eldv 23568 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) → (𝑥(ℝ D 𝐹)(𝐺𝑥) ↔ (𝑥 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘ℝ) ∧ (𝐺𝑥) ∈ ((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥))) lim 𝑥))))
4132, 40mpbid 222 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) → (𝑥 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘ℝ) ∧ (𝐺𝑥) ∈ ((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥))) lim 𝑥)))
4241simprd 479 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) → (𝐺𝑥) ∈ ((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥))) lim 𝑥))
43 eqidd 2622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → (𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇)))) = (𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇)))))
44 fveq2 6148 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦 = 𝑑 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑑))
4544oveq1d 6619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 = 𝑑 → ((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) = ((𝐹𝑑) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))))
46 oveq1 6611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 = 𝑑 → (𝑦 − (𝑥 + 𝑇)) = (𝑑 − (𝑥 + 𝑇)))
4745, 46oveq12d 6622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 = 𝑑 → (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))) = (((𝐹𝑑) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑑 − (𝑥 + 𝑇))))
48 eldifi 3710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) → 𝑑 ∈ ℝ)
4948recnd 10012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) → 𝑑 ∈ ℂ)
5049adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → 𝑑 ∈ ℂ)
518recnd 10012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝜑𝑇 ∈ ℂ)
5251adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → 𝑇 ∈ ℂ)
5350, 52npcand 10340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → ((𝑑𝑇) + 𝑇) = 𝑑)
5453eqcomd 2627 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → 𝑑 = ((𝑑𝑇) + 𝑇))
5554fveq2d 6152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → (𝐹𝑑) = (𝐹‘((𝑑𝑇) + 𝑇)))
56 ovex 6632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑑𝑇) ∈ V
5748adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → 𝑑 ∈ ℝ)
588adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → 𝑇 ∈ ℝ)
5957, 58resubcld 10402 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → (𝑑𝑇) ∈ ℝ)
6059ex 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜑 → (𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) → (𝑑𝑇) ∈ ℝ))
6160imdistani 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → (𝜑 ∧ (𝑑𝑇) ∈ ℝ))
62 eleq1 2686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑥 = (𝑑𝑇) → (𝑥 ∈ ℝ ↔ (𝑑𝑇) ∈ ℝ))
6362anbi2d 739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑥 = (𝑑𝑇) → ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ↔ (𝜑 ∧ (𝑑𝑇) ∈ ℝ)))
64 oveq1 6611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑥 = (𝑑𝑇) → (𝑥 + 𝑇) = ((𝑑𝑇) + 𝑇))
6564fveq2d 6152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑥 = (𝑑𝑇) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹‘((𝑑𝑇) + 𝑇)))
66 fveq2 6148 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑥 = (𝑑𝑇) → (𝐹𝑥) = (𝐹‘(𝑑𝑇)))
6765, 66eqeq12d 2636 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑥 = (𝑑𝑇) → ((𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥) ↔ (𝐹‘((𝑑𝑇) + 𝑇)) = (𝐹‘(𝑑𝑇))))
6863, 67imbi12d 334 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑥 = (𝑑𝑇) → (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥)) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑑𝑇) ∈ ℝ) → (𝐹‘((𝑑𝑇) + 𝑇)) = (𝐹‘(𝑑𝑇)))))
69 fperdvper.fper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
7068, 69vtoclg 3252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑑𝑇) ∈ V → ((𝜑 ∧ (𝑑𝑇) ∈ ℝ) → (𝐹‘((𝑑𝑇) + 𝑇)) = (𝐹‘(𝑑𝑇))))
7156, 61, 70mpsyl 68 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → (𝐹‘((𝑑𝑇) + 𝑇)) = (𝐹‘(𝑑𝑇)))
7255, 71eqtrd 2655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → (𝐹𝑑) = (𝐹‘(𝑑𝑇)))
7372adantlr 750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → (𝐹𝑑) = (𝐹‘(𝑑𝑇)))
74 simpll 789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → 𝜑)
756ad2antlr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → 𝑥 ∈ ℝ)
7674, 75, 69syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
7773, 76oveq12d 6622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → ((𝐹𝑑) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) = ((𝐹‘(𝑑𝑇)) − (𝐹𝑥)))
7849adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → 𝑑 ∈ ℂ)
7974, 51syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → 𝑇 ∈ ℂ)
807recnd 10012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) → 𝑥 ∈ ℂ)
8180adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → 𝑥 ∈ ℂ)
8278, 79, 81subsub4d 10367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → ((𝑑𝑇) − 𝑥) = (𝑑 − (𝑇 + 𝑥)))
8379, 81addcomd 10182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → (𝑇 + 𝑥) = (𝑥 + 𝑇))
8483oveq2d 6620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → (𝑑 − (𝑇 + 𝑥)) = (𝑑 − (𝑥 + 𝑇)))
8582, 84eqtr2d 2656 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → (𝑑 − (𝑥 + 𝑇)) = ((𝑑𝑇) − 𝑥))
8677, 85oveq12d 6622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → (((𝐹𝑑) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) = (((𝐹‘(𝑑𝑇)) − (𝐹𝑥)) / ((𝑑𝑇) − 𝑥)))
8747, 86sylan9eqr 2677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) ∧ 𝑦 = 𝑑) → (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))) = (((𝐹‘(𝑑𝑇)) − (𝐹𝑥)) / ((𝑑𝑇) − 𝑥)))
88 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}))
8938adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
9089, 59ffvelrnd 6316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → (𝐹‘(𝑑𝑇)) ∈ ℂ)
9190adantlr 750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → (𝐹‘(𝑑𝑇)) ∈ ℂ)
9239, 7ffvelrnd 6316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
9392adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
9491, 93subcld 10336 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → ((𝐹‘(𝑑𝑇)) − (𝐹𝑥)) ∈ ℂ)
9578, 79subcld 10336 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → (𝑑𝑇) ∈ ℂ)
9695, 81subcld 10336 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → ((𝑑𝑇) − 𝑥) ∈ ℂ)
97 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) ∧ (𝑑𝑇) = 𝑥) → (𝑑𝑇) = 𝑥)
9849ad2antlr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) ∧ (𝑑𝑇) = 𝑥) → 𝑑 ∈ ℂ)
9979adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) ∧ (𝑑𝑇) = 𝑥) → 𝑇 ∈ ℂ)
10081adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) ∧ (𝑑𝑇) = 𝑥) → 𝑥 ∈ ℂ)
10198, 99, 100subadd2d 10355 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) ∧ (𝑑𝑇) = 𝑥) → ((𝑑𝑇) = 𝑥 ↔ (𝑥 + 𝑇) = 𝑑))
10297, 101mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) ∧ (𝑑𝑇) = 𝑥) → (𝑥 + 𝑇) = 𝑑)
103102eqcomd 2627 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) ∧ (𝑑𝑇) = 𝑥) → 𝑑 = (𝑥 + 𝑇))
104 eldifsni 4289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) → 𝑑 ≠ (𝑥 + 𝑇))
105104ad2antlr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) ∧ (𝑑𝑇) = 𝑥) → 𝑑 ≠ (𝑥 + 𝑇))
106105neneqd 2795 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) ∧ (𝑑𝑇) = 𝑥) → ¬ 𝑑 = (𝑥 + 𝑇))
107103, 106pm2.65da 599 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → ¬ (𝑑𝑇) = 𝑥)
108107neqned 2797 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → (𝑑𝑇) ≠ 𝑥)
10995, 81, 108subne0d 10345 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → ((𝑑𝑇) − 𝑥) ≠ 0)
11094, 96, 109divcld 10745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → (((𝐹‘(𝑑𝑇)) − (𝐹𝑥)) / ((𝑑𝑇) − 𝑥)) ∈ ℂ)
11143, 87, 88, 110fvmptd 6245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → ((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘𝑑) = (((𝐹‘(𝑑𝑇)) − (𝐹𝑥)) / ((𝑑𝑇) − 𝑥)))
112111oveq1d 6619 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → (((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘𝑑) − 𝑤) = ((((𝐹‘(𝑑𝑇)) − (𝐹𝑥)) / ((𝑑𝑇) − 𝑥)) − 𝑤))
113112fveq2d 6152 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘𝑑) − 𝑤)) = (abs‘((((𝐹‘(𝑑𝑇)) − (𝐹𝑥)) / ((𝑑𝑇) − 𝑥)) − 𝑤)))
114113adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) ∧ (𝑑 ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏)) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘𝑑) − 𝑤)) = (abs‘((((𝐹‘(𝑑𝑇)) − (𝐹𝑥)) / ((𝑑𝑇) − 𝑥)) − 𝑤)))
115114adantllr 754 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ ∀𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})((𝑐𝑥 ∧ (abs‘(𝑐𝑥)) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥)))‘𝑐) − 𝑤)) < 𝑎)) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) ∧ (𝑑 ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏)) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘𝑑) − 𝑤)) = (abs‘((((𝐹‘(𝑑𝑇)) − (𝐹𝑥)) / ((𝑑𝑇) − 𝑥)) − 𝑤)))
116 simpllr 798 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ ∀𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})((𝑐𝑥 ∧ (abs‘(𝑐𝑥)) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥)))‘𝑐) − 𝑤)) < 𝑎)) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → ∀𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})((𝑐𝑥 ∧ (abs‘(𝑐𝑥)) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥)))‘𝑐) − 𝑤)) < 𝑎))
11748ad2antlr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ ∀𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})((𝑐𝑥 ∧ (abs‘(𝑐𝑥)) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥)))‘𝑐) − 𝑤)) < 𝑎)) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → 𝑑 ∈ ℝ)
1188ad4antr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ ∀𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})((𝑐𝑥 ∧ (abs‘(𝑐𝑥)) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥)))‘𝑐) − 𝑤)) < 𝑎)) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → 𝑇 ∈ ℝ)
119117, 118resubcld 10402 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ ∀𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})((𝑐𝑥 ∧ (abs‘(𝑐𝑥)) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥)))‘𝑐) − 𝑤)) < 𝑎)) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (𝑑𝑇) ∈ ℝ)
120 elsni 4165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑑𝑇) ∈ {𝑥} → (𝑑𝑇) = 𝑥)
121107, 120nsyl 135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → ¬ (𝑑𝑇) ∈ {𝑥})
122121adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → ¬ (𝑑𝑇) ∈ {𝑥})
123122adantllr 754 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ ∀𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})((𝑐𝑥 ∧ (abs‘(𝑐𝑥)) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥)))‘𝑐) − 𝑤)) < 𝑎)) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → ¬ (𝑑𝑇) ∈ {𝑥})
124119, 123eldifd 3566 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ ∀𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})((𝑐𝑥 ∧ (abs‘(𝑐𝑥)) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥)))‘𝑐) − 𝑤)) < 𝑎)) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (𝑑𝑇) ∈ (ℝ ∖ {𝑥}))
125 neeq1 2852 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑐 = (𝑑𝑇) → (𝑐𝑥 ↔ (𝑑𝑇) ≠ 𝑥))
126 oveq1 6611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑐 = (𝑑𝑇) → (𝑐𝑥) = ((𝑑𝑇) − 𝑥))
127126fveq2d 6152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑐 = (𝑑𝑇) → (abs‘(𝑐𝑥)) = (abs‘((𝑑𝑇) − 𝑥)))
128127breq1d 4623 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑐 = (𝑑𝑇) → ((abs‘(𝑐𝑥)) < 𝑏 ↔ (abs‘((𝑑𝑇) − 𝑥)) < 𝑏))
129125, 128anbi12d 746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑐 = (𝑑𝑇) → ((𝑐𝑥 ∧ (abs‘(𝑐𝑥)) < 𝑏) ↔ ((𝑑𝑇) ≠ 𝑥 ∧ (abs‘((𝑑𝑇) − 𝑥)) < 𝑏)))
130 fveq2 6148 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑐 = (𝑑𝑇) → ((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥)))‘𝑐) = ((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥)))‘(𝑑𝑇)))
131130oveq1d 6619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑐 = (𝑑𝑇) → (((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥)))‘𝑐) − 𝑤) = (((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥)))‘(𝑑𝑇)) − 𝑤))
132131fveq2d 6152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑐 = (𝑑𝑇) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥)))‘𝑐) − 𝑤)) = (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥)))‘(𝑑𝑇)) − 𝑤)))
133132breq1d 4623 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑐 = (𝑑𝑇) → ((abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥)))‘𝑐) − 𝑤)) < 𝑎 ↔ (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥)))‘(𝑑𝑇)) − 𝑤)) < 𝑎))
134129, 133imbi12d 334 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑐 = (𝑑𝑇) → (((𝑐𝑥 ∧ (abs‘(𝑐𝑥)) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥)))‘𝑐) − 𝑤)) < 𝑎) ↔ (((𝑑𝑇) ≠ 𝑥 ∧ (abs‘((𝑑𝑇) − 𝑥)) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥)))‘(𝑑𝑇)) − 𝑤)) < 𝑎)))
135134rspccva 3294 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((∀𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})((𝑐𝑥 ∧ (abs‘(𝑐𝑥)) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥)))‘𝑐) − 𝑤)) < 𝑎) ∧ (𝑑𝑇) ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) → (((𝑑𝑇) ≠ 𝑥 ∧ (abs‘((𝑑𝑇) − 𝑥)) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥)))‘(𝑑𝑇)) − 𝑤)) < 𝑎))
136116, 124, 135syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ ∀𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})((𝑐𝑥 ∧ (abs‘(𝑐𝑥)) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥)))‘𝑐) − 𝑤)) < 𝑎)) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (((𝑑𝑇) ≠ 𝑥 ∧ (abs‘((𝑑𝑇) − 𝑥)) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥)))‘(𝑑𝑇)) − 𝑤)) < 𝑎))
137 eqidd 2622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → (𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥))) = (𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥))))
138 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) ∧ 𝑦 = (𝑑𝑇)) → 𝑦 = (𝑑𝑇))
139138fveq2d 6152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) ∧ 𝑦 = (𝑑𝑇)) → (𝐹𝑦) = (𝐹‘(𝑑𝑇)))
140139oveq1d 6619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) ∧ 𝑦 = (𝑑𝑇)) → ((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) = ((𝐹‘(𝑑𝑇)) − (𝐹𝑥)))
141138oveq1d 6619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) ∧ 𝑦 = (𝑑𝑇)) → (𝑦𝑥) = ((𝑑𝑇) − 𝑥))
142140, 141oveq12d 6622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) ∧ 𝑦 = (𝑑𝑇)) → (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥)) = (((𝐹‘(𝑑𝑇)) − (𝐹𝑥)) / ((𝑑𝑇) − 𝑥)))
14348adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → 𝑑 ∈ ℝ)
14474, 8syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → 𝑇 ∈ ℝ)
145143, 144resubcld 10402 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → (𝑑𝑇) ∈ ℝ)
146145, 121eldifd 3566 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → (𝑑𝑇) ∈ (ℝ ∖ {𝑥}))
147137, 142, 146, 110fvmptd 6245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → ((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥)))‘(𝑑𝑇)) = (((𝐹‘(𝑑𝑇)) − (𝐹𝑥)) / ((𝑑𝑇) − 𝑥)))
148147eqcomd 2627 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → (((𝐹‘(𝑑𝑇)) − (𝐹𝑥)) / ((𝑑𝑇) − 𝑥)) = ((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥)))‘(𝑑𝑇)))
149148ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) ∧ (((𝑑𝑇) ≠ 𝑥 ∧ (abs‘((𝑑𝑇) − 𝑥)) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥)))‘(𝑑𝑇)) − 𝑤)) < 𝑎)) → (((𝐹‘(𝑑𝑇)) − (𝐹𝑥)) / ((𝑑𝑇) − 𝑥)) = ((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥)))‘(𝑑𝑇)))
150149oveq1d 6619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) ∧ (((𝑑𝑇) ≠ 𝑥 ∧ (abs‘((𝑑𝑇) − 𝑥)) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥)))‘(𝑑𝑇)) − 𝑤)) < 𝑎)) → ((((𝐹‘(𝑑𝑇)) − (𝐹𝑥)) / ((𝑑𝑇) − 𝑥)) − 𝑤) = (((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥)))‘(𝑑𝑇)) − 𝑤))
151150fveq2d 6152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) ∧ (((𝑑𝑇) ≠ 𝑥 ∧ (abs‘((𝑑𝑇) − 𝑥)) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥)))‘(𝑑𝑇)) − 𝑤)) < 𝑎)) → (abs‘((((𝐹‘(𝑑𝑇)) − (𝐹𝑥)) / ((𝑑𝑇) − 𝑥)) − 𝑤)) = (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥)))‘(𝑑𝑇)) − 𝑤)))
152108adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (𝑑𝑇) ≠ 𝑥)
15385eqcomd 2627 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → ((𝑑𝑇) − 𝑥) = (𝑑 − (𝑥 + 𝑇)))
154153adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → ((𝑑𝑇) − 𝑥) = (𝑑 − (𝑥 + 𝑇)))
155154fveq2d 6152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (abs‘((𝑑𝑇) − 𝑥)) = (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))))
156 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏)
157155, 156eqbrtrd 4635 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (abs‘((𝑑𝑇) − 𝑥)) < 𝑏)
158152, 157jca 554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → ((𝑑𝑇) ≠ 𝑥 ∧ (abs‘((𝑑𝑇) − 𝑥)) < 𝑏))
159158adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) ∧ (((𝑑𝑇) ≠ 𝑥 ∧ (abs‘((𝑑𝑇) − 𝑥)) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥)))‘(𝑑𝑇)) − 𝑤)) < 𝑎)) → ((𝑑𝑇) ≠ 𝑥 ∧ (abs‘((𝑑𝑇) − 𝑥)) < 𝑏))
160 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) ∧ (((𝑑𝑇) ≠ 𝑥 ∧ (abs‘((𝑑𝑇) − 𝑥)) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥)))‘(𝑑𝑇)) − 𝑤)) < 𝑎)) → (((𝑑𝑇) ≠ 𝑥 ∧ (abs‘((𝑑𝑇) − 𝑥)) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥)))‘(𝑑𝑇)) − 𝑤)) < 𝑎))
161159, 160mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) ∧ (((𝑑𝑇) ≠ 𝑥 ∧ (abs‘((𝑑𝑇) − 𝑥)) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥)))‘(𝑑𝑇)) − 𝑤)) < 𝑎)) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥)))‘(𝑑𝑇)) − 𝑤)) < 𝑎)
162151, 161eqbrtrd 4635 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) ∧ (((𝑑𝑇) ≠ 𝑥 ∧ (abs‘((𝑑𝑇) − 𝑥)) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥)))‘(𝑑𝑇)) − 𝑤)) < 𝑎)) → (abs‘((((𝐹‘(𝑑𝑇)) − (𝐹𝑥)) / ((𝑑𝑇) − 𝑥)) − 𝑤)) < 𝑎)
163162ex 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → ((((𝑑𝑇) ≠ 𝑥 ∧ (abs‘((𝑑𝑇) − 𝑥)) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥)))‘(𝑑𝑇)) − 𝑤)) < 𝑎) → (abs‘((((𝐹‘(𝑑𝑇)) − (𝐹𝑥)) / ((𝑑𝑇) − 𝑥)) − 𝑤)) < 𝑎))
164163adantllr 754 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ ∀𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})((𝑐𝑥 ∧ (abs‘(𝑐𝑥)) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥)))‘𝑐) − 𝑤)) < 𝑎)) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → ((((𝑑𝑇) ≠ 𝑥 ∧ (abs‘((𝑑𝑇) − 𝑥)) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥)))‘(𝑑𝑇)) − 𝑤)) < 𝑎) → (abs‘((((𝐹‘(𝑑𝑇)) − (𝐹𝑥)) / ((𝑑𝑇) − 𝑥)) − 𝑤)) < 𝑎))
165136, 164mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ ∀𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})((𝑐𝑥 ∧ (abs‘(𝑐𝑥)) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥)))‘𝑐) − 𝑤)) < 𝑎)) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (abs‘((((𝐹‘(𝑑𝑇)) − (𝐹𝑥)) / ((𝑑𝑇) − 𝑥)) − 𝑤)) < 𝑎)
166165adantrl 751 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ ∀𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})((𝑐𝑥 ∧ (abs‘(𝑐𝑥)) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥)))‘𝑐) − 𝑤)) < 𝑎)) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) ∧ (𝑑 ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏)) → (abs‘((((𝐹‘(𝑑𝑇)) − (𝐹𝑥)) / ((𝑑𝑇) − 𝑥)) − 𝑤)) < 𝑎)
167115, 166eqbrtrd 4635 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ ∀𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})((𝑐𝑥 ∧ (abs‘(𝑐𝑥)) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥)))‘𝑐) − 𝑤)) < 𝑎)) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) ∧ (𝑑 ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏)) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘𝑑) − 𝑤)) < 𝑎)
168167ex 450 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ ∀𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})((𝑐𝑥 ∧ (abs‘(𝑐𝑥)) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥)))‘𝑐) − 𝑤)) < 𝑎)) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → ((𝑑 ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘𝑑) − 𝑤)) < 𝑎))
169168ralrimiva 2960 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ ∀𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})((𝑐𝑥 ∧ (abs‘(𝑐𝑥)) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥)))‘𝑐) − 𝑤)) < 𝑎)) → ∀𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})((𝑑 ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘𝑑) − 𝑤)) < 𝑎))
170 eqidd 2622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) → (𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥))) = (𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥))))
171 fveq2 6148 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 = 𝑐 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑐))
172171oveq1d 6619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 = 𝑐 → ((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) = ((𝐹𝑐) − (𝐹𝑥)))
173 oveq1 6611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 = 𝑐 → (𝑦𝑥) = (𝑐𝑥))
174172, 173oveq12d 6622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = 𝑐 → (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥)) = (((𝐹𝑐) − (𝐹𝑥)) / (𝑐𝑥)))
175174adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ∧ 𝑦 = 𝑐) → (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥)) = (((𝐹𝑐) − (𝐹𝑥)) / (𝑐𝑥)))
176 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) → 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}))
177 ovex 6632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐹𝑐) − (𝐹𝑥)) / (𝑐𝑥)) ∈ V
178177a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) → (((𝐹𝑐) − (𝐹𝑥)) / (𝑐𝑥)) ∈ V)
179170, 175, 176, 178fvmptd 6245 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) → ((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥)))‘𝑐) = (((𝐹𝑐) − (𝐹𝑥)) / (𝑐𝑥)))
180179oveq1d 6619 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) → (((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥)))‘𝑐) − 𝑤) = ((((𝐹𝑐) − (𝐹𝑥)) / (𝑐𝑥)) − 𝑤))
181180fveq2d 6152 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥)))‘𝑐) − 𝑤)) = (abs‘((((𝐹𝑐) − (𝐹𝑥)) / (𝑐𝑥)) − 𝑤)))
182181ad2antlr 762 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ ∀𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})((𝑑 ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘𝑑) − 𝑤)) < 𝑎)) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) ∧ (𝑐𝑥 ∧ (abs‘(𝑐𝑥)) < 𝑏)) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥)))‘𝑐) − 𝑤)) = (abs‘((((𝐹𝑐) − (𝐹𝑥)) / (𝑐𝑥)) − 𝑤)))
183 simpll 789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) → 𝜑)
184 eldifi 3710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) → 𝑐 ∈ ℝ)
185184adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) → 𝑐 ∈ ℝ)
186 eleq1 2686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑥 = 𝑐 → (𝑥 ∈ ℝ ↔ 𝑐 ∈ ℝ))
187186anbi2d 739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑥 = 𝑐 → ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ↔ (𝜑𝑐 ∈ ℝ)))
188 oveq1 6611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑥 = 𝑐 → (𝑥 + 𝑇) = (𝑐 + 𝑇))
189188fveq2d 6152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑥 = 𝑐 → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹‘(𝑐 + 𝑇)))
190 fveq2 6148 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑥 = 𝑐 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑐))
191189, 190eqeq12d 2636 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑥 = 𝑐 → ((𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥) ↔ (𝐹‘(𝑐 + 𝑇)) = (𝐹𝑐)))
192187, 191imbi12d 334 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑥 = 𝑐 → (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥)) ↔ ((𝜑𝑐 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑐 + 𝑇)) = (𝐹𝑐))))
193192, 69chvarv 2262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑐 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑐 + 𝑇)) = (𝐹𝑐))
194193eqcomd 2627 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑐 ∈ ℝ) → (𝐹𝑐) = (𝐹‘(𝑐 + 𝑇)))
195183, 185, 194syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) → (𝐹𝑐) = (𝐹‘(𝑐 + 𝑇)))
1966ad2antlr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) → 𝑥 ∈ ℝ)
197183, 196, 69syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
198197eqcomd 2627 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) → (𝐹𝑥) = (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)))
199195, 198oveq12d 6622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) → ((𝐹𝑐) − (𝐹𝑥)) = ((𝐹‘(𝑐 + 𝑇)) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))))
200185recnd 10012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) → 𝑐 ∈ ℂ)
20180adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) → 𝑥 ∈ ℂ)
202183, 51syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) → 𝑇 ∈ ℂ)
203200, 201, 202pnpcan2d 10374 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) → ((𝑐 + 𝑇) − (𝑥 + 𝑇)) = (𝑐𝑥))
204203eqcomd 2627 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) → (𝑐𝑥) = ((𝑐 + 𝑇) − (𝑥 + 𝑇)))
205199, 204oveq12d 6622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) → (((𝐹𝑐) − (𝐹𝑥)) / (𝑐𝑥)) = (((𝐹‘(𝑐 + 𝑇)) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / ((𝑐 + 𝑇) − (𝑥 + 𝑇))))
206205oveq1d 6619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) → ((((𝐹𝑐) − (𝐹𝑥)) / (𝑐𝑥)) − 𝑤) = ((((𝐹‘(𝑐 + 𝑇)) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / ((𝑐 + 𝑇) − (𝑥 + 𝑇))) − 𝑤))
207206fveq2d 6152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) → (abs‘((((𝐹𝑐) − (𝐹𝑥)) / (𝑐𝑥)) − 𝑤)) = (abs‘((((𝐹‘(𝑐 + 𝑇)) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / ((𝑐 + 𝑇) − (𝑥 + 𝑇))) − 𝑤)))
208207adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) ∧ (abs‘(𝑐𝑥)) < 𝑏) → (abs‘((((𝐹𝑐) − (𝐹𝑥)) / (𝑐𝑥)) − 𝑤)) = (abs‘((((𝐹‘(𝑐 + 𝑇)) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / ((𝑐 + 𝑇) − (𝑥 + 𝑇))) − 𝑤)))
209208adantllr 754 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ ∀𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})((𝑑 ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘𝑑) − 𝑤)) < 𝑎)) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) ∧ (abs‘(𝑐𝑥)) < 𝑏) → (abs‘((((𝐹𝑐) − (𝐹𝑥)) / (𝑐𝑥)) − 𝑤)) = (abs‘((((𝐹‘(𝑐 + 𝑇)) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / ((𝑐 + 𝑇) − (𝑥 + 𝑇))) − 𝑤)))
210 simpllr 798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ ∀𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})((𝑑 ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘𝑑) − 𝑤)) < 𝑎)) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) ∧ (abs‘(𝑐𝑥)) < 𝑏) → ∀𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})((𝑑 ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘𝑑) − 𝑤)) < 𝑎))
211184ad2antlr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ ∀𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})((𝑑 ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘𝑑) − 𝑤)) < 𝑎)) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) ∧ (abs‘(𝑐𝑥)) < 𝑏) → 𝑐 ∈ ℝ)
2128ad4antr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ ∀𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})((𝑑 ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘𝑑) − 𝑤)) < 𝑎)) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) ∧ (abs‘(𝑐𝑥)) < 𝑏) → 𝑇 ∈ ℝ)
213211, 212readdcld 10013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ ∀𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})((𝑑 ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘𝑑) − 𝑤)) < 𝑎)) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) ∧ (abs‘(𝑐𝑥)) < 𝑏) → (𝑐 + 𝑇) ∈ ℝ)
214 eldifsni 4289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) → 𝑐𝑥)
215214adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) → 𝑐𝑥)
216200, 201, 202, 215addneintr2d 10188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) → (𝑐 + 𝑇) ≠ (𝑥 + 𝑇))
217216adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) ∧ (abs‘(𝑐𝑥)) < 𝑏) → (𝑐 + 𝑇) ≠ (𝑥 + 𝑇))
218217adantllr 754 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ ∀𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})((𝑑 ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘𝑑) − 𝑤)) < 𝑎)) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) ∧ (abs‘(𝑐𝑥)) < 𝑏) → (𝑐 + 𝑇) ≠ (𝑥 + 𝑇))
219 nelsn 4183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑐 + 𝑇) ≠ (𝑥 + 𝑇) → ¬ (𝑐 + 𝑇) ∈ {(𝑥 + 𝑇)})
220218, 219syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ ∀𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})((𝑑 ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘𝑑) − 𝑤)) < 𝑎)) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) ∧ (abs‘(𝑐𝑥)) < 𝑏) → ¬ (𝑐 + 𝑇) ∈ {(𝑥 + 𝑇)})
221213, 220eldifd 3566 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ ∀𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})((𝑑 ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘𝑑) − 𝑤)) < 𝑎)) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) ∧ (abs‘(𝑐𝑥)) < 𝑏) → (𝑐 + 𝑇) ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}))
222 neeq1 2852 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑑 = (𝑐 + 𝑇) → (𝑑 ≠ (𝑥 + 𝑇) ↔ (𝑐 + 𝑇) ≠ (𝑥 + 𝑇)))
223 oveq1 6611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑑 = (𝑐 + 𝑇) → (𝑑 − (𝑥 + 𝑇)) = ((𝑐 + 𝑇) − (𝑥 + 𝑇)))
224223fveq2d 6152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑑 = (𝑐 + 𝑇) → (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) = (abs‘((𝑐 + 𝑇) − (𝑥 + 𝑇))))
225224breq1d 4623 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑑 = (𝑐 + 𝑇) → ((abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏 ↔ (abs‘((𝑐 + 𝑇) − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏))
226222, 225anbi12d 746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑑 = (𝑐 + 𝑇) → ((𝑑 ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) ↔ ((𝑐 + 𝑇) ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘((𝑐 + 𝑇) − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏)))
227 fveq2 6148 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑑 = (𝑐 + 𝑇) → ((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘𝑑) = ((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘(𝑐 + 𝑇)))
228227oveq1d 6619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑑 = (𝑐 + 𝑇) → (((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘𝑑) − 𝑤) = (((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘(𝑐 + 𝑇)) − 𝑤))
229228fveq2d 6152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑑 = (𝑐 + 𝑇) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘𝑑) − 𝑤)) = (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘(𝑐 + 𝑇)) − 𝑤)))
230229breq1d 4623 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑑 = (𝑐 + 𝑇) → ((abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘𝑑) − 𝑤)) < 𝑎 ↔ (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘(𝑐 + 𝑇)) − 𝑤)) < 𝑎))
231226, 230imbi12d 334 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑑 = (𝑐 + 𝑇) → (((𝑑 ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘𝑑) − 𝑤)) < 𝑎) ↔ (((𝑐 + 𝑇) ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘((𝑐 + 𝑇) − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘(𝑐 + 𝑇)) − 𝑤)) < 𝑎)))
232231rspccva 3294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((∀𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})((𝑑 ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘𝑑) − 𝑤)) < 𝑎) ∧ (𝑐 + 𝑇) ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → (((𝑐 + 𝑇) ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘((𝑐 + 𝑇) − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘(𝑐 + 𝑇)) − 𝑤)) < 𝑎))
233210, 221, 232syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ ∀𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})((𝑑 ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘𝑑) − 𝑤)) < 𝑎)) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) ∧ (abs‘(𝑐𝑥)) < 𝑏) → (((𝑐 + 𝑇) ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘((𝑐 + 𝑇) − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘(𝑐 + 𝑇)) − 𝑤)) < 𝑎))
234 eqidd 2622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) → (𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇)))) = (𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇)))))
235 fveq2 6148 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑦 = (𝑐 + 𝑇) → (𝐹𝑦) = (𝐹‘(𝑐 + 𝑇)))
236235oveq1d 6619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑦 = (𝑐 + 𝑇) → ((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) = ((𝐹‘(𝑐 + 𝑇)) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))))
237 oveq1 6611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑦 = (𝑐 + 𝑇) → (𝑦 − (𝑥 + 𝑇)) = ((𝑐 + 𝑇) − (𝑥 + 𝑇)))
238236, 237oveq12d 6622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑦 = (𝑐 + 𝑇) → (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))) = (((𝐹‘(𝑐 + 𝑇)) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / ((𝑐 + 𝑇) − (𝑥 + 𝑇))))
239238adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) ∧ 𝑦 = (𝑐 + 𝑇)) → (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))) = (((𝐹‘(𝑐 + 𝑇)) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / ((𝑐 + 𝑇) − (𝑥 + 𝑇))))
240183, 8syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) → 𝑇 ∈ ℝ)
241185, 240readdcld 10013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) → (𝑐 + 𝑇) ∈ ℝ)
242216, 219syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) → ¬ (𝑐 + 𝑇) ∈ {(𝑥 + 𝑇)})
243241, 242eldifd 3566 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) → (𝑐 + 𝑇) ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}))
244205, 177syl6eqelr 2707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) → (((𝐹‘(𝑐 + 𝑇)) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / ((𝑐 + 𝑇) − (𝑥 + 𝑇))) ∈ V)
245234, 239, 243, 244fvmptd 6245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) → ((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘(𝑐 + 𝑇)) = (((𝐹‘(𝑐 + 𝑇)) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / ((𝑐 + 𝑇) − (𝑥 + 𝑇))))
246245eqcomd 2627 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) → (((𝐹‘(𝑐 + 𝑇)) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / ((𝑐 + 𝑇) − (𝑥 + 𝑇))) = ((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘(𝑐 + 𝑇)))
247246ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) ∧ (abs‘(𝑐𝑥)) < 𝑏) ∧ (((𝑐 + 𝑇) ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘((𝑐 + 𝑇) − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘(𝑐 + 𝑇)) − 𝑤)) < 𝑎)) → (((𝐹‘(𝑐 + 𝑇)) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / ((𝑐 + 𝑇) − (𝑥 + 𝑇))) = ((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘(𝑐 + 𝑇)))
248247oveq1d 6619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) ∧ (abs‘(𝑐𝑥)) < 𝑏) ∧ (((𝑐 + 𝑇) ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘((𝑐 + 𝑇) − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘(𝑐 + 𝑇)) − 𝑤)) < 𝑎)) → ((((𝐹‘(𝑐 + 𝑇)) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / ((𝑐 + 𝑇) − (𝑥 + 𝑇))) − 𝑤) = (((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘(𝑐 + 𝑇)) − 𝑤))
249248fveq2d 6152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) ∧ (abs‘(𝑐𝑥)) < 𝑏) ∧ (((𝑐 + 𝑇) ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘((𝑐 + 𝑇) − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘(𝑐 + 𝑇)) − 𝑤)) < 𝑎)) → (abs‘((((𝐹‘(𝑐 + 𝑇)) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / ((𝑐 + 𝑇) − (𝑥 + 𝑇))) − 𝑤)) = (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘(𝑐 + 𝑇)) − 𝑤)))
250184recnd 10012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) → 𝑐 ∈ ℂ)
251250ad2antlr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) ∧ (abs‘(𝑐𝑥)) < 𝑏) → 𝑐 ∈ ℂ)
252201adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) ∧ (abs‘(𝑐𝑥)) < 𝑏) → 𝑥 ∈ ℂ)
253202adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) ∧ (abs‘(𝑐𝑥)) < 𝑏) → 𝑇 ∈ ℂ)
254251, 252, 253pnpcan2d 10374 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) ∧ (abs‘(𝑐𝑥)) < 𝑏) → ((𝑐 + 𝑇) − (𝑥 + 𝑇)) = (𝑐𝑥))
255254fveq2d 6152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) ∧ (abs‘(𝑐𝑥)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 + 𝑇) − (𝑥 + 𝑇))) = (abs‘(𝑐𝑥)))
256 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) ∧ (abs‘(𝑐𝑥)) < 𝑏) → (abs‘(𝑐𝑥)) < 𝑏)
257255, 256eqbrtrd 4635 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) ∧ (abs‘(𝑐𝑥)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 + 𝑇) − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏)
258217, 257jca 554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) ∧ (abs‘(𝑐𝑥)) < 𝑏) → ((𝑐 + 𝑇) ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘((𝑐 + 𝑇) − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏))
259258adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) ∧ (abs‘(𝑐𝑥)) < 𝑏) ∧ (((𝑐 + 𝑇) ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘((𝑐 + 𝑇) − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘(𝑐 + 𝑇)) − 𝑤)) < 𝑎)) → ((𝑐 + 𝑇) ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘((𝑐 + 𝑇) − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏))
260 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) ∧ (abs‘(𝑐𝑥)) < 𝑏) ∧ (((𝑐 + 𝑇) ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘((𝑐 + 𝑇) − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘(𝑐 + 𝑇)) − 𝑤)) < 𝑎)) → (((𝑐 + 𝑇) ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘((𝑐 + 𝑇) − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘(𝑐 + 𝑇)) − 𝑤)) < 𝑎))
261259, 260mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) ∧ (abs‘(𝑐𝑥)) < 𝑏) ∧ (((𝑐 + 𝑇) ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘((𝑐 + 𝑇) − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘(𝑐 + 𝑇)) − 𝑤)) < 𝑎)) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘(𝑐 + 𝑇)) − 𝑤)) < 𝑎)
262249, 261eqbrtrd 4635 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) ∧ (abs‘(𝑐𝑥)) < 𝑏) ∧ (((𝑐 + 𝑇) ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘((𝑐 + 𝑇) − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘(𝑐 + 𝑇)) − 𝑤)) < 𝑎)) → (abs‘((((𝐹‘(𝑐 + 𝑇)) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / ((𝑐 + 𝑇) − (𝑥 + 𝑇))) − 𝑤)) < 𝑎)
263262ex 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) ∧ (abs‘(𝑐𝑥)) < 𝑏) → ((((𝑐 + 𝑇) ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘((𝑐 + 𝑇) − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘(𝑐 + 𝑇)) − 𝑤)) < 𝑎) → (abs‘((((𝐹‘(𝑐 + 𝑇)) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / ((𝑐 + 𝑇) − (𝑥 + 𝑇))) − 𝑤)) < 𝑎))
264263adantllr 754 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ ∀𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})((𝑑 ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘𝑑) − 𝑤)) < 𝑎)) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) ∧ (abs‘(𝑐𝑥)) < 𝑏) → ((((𝑐 + 𝑇) ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘((𝑐 + 𝑇) − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘(𝑐 + 𝑇)) − 𝑤)) < 𝑎) → (abs‘((((𝐹‘(𝑐 + 𝑇)) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / ((𝑐 + 𝑇) − (𝑥 + 𝑇))) − 𝑤)) < 𝑎))
265233, 264mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ ∀𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})((𝑑 ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘𝑑) − 𝑤)) < 𝑎)) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) ∧ (abs‘(𝑐𝑥)) < 𝑏) → (abs‘((((𝐹‘(𝑐 + 𝑇)) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / ((𝑐 + 𝑇) − (𝑥 + 𝑇))) − 𝑤)) < 𝑎)
266209, 265eqbrtrd 4635 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ ∀𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})((𝑑 ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘𝑑) − 𝑤)) < 𝑎)) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) ∧ (abs‘(𝑐𝑥)) < 𝑏) → (abs‘((((𝐹𝑐) − (𝐹𝑥)) / (𝑐𝑥)) − 𝑤)) < 𝑎)
267266adantrl 751 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ ∀𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})((𝑑 ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘𝑑) − 𝑤)) < 𝑎)) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) ∧ (𝑐𝑥 ∧ (abs‘(𝑐𝑥)) < 𝑏)) → (abs‘((((𝐹𝑐) − (𝐹𝑥)) / (𝑐𝑥)) − 𝑤)) < 𝑎)
268182, 267eqbrtrd 4635 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ ∀𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})((𝑑 ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘𝑑) − 𝑤)) < 𝑎)) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) ∧ (𝑐𝑥 ∧ (abs‘(𝑐𝑥)) < 𝑏)) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥)))‘𝑐) − 𝑤)) < 𝑎)
269268ex 450 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ ∀𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})((𝑑 ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘𝑑) − 𝑤)) < 𝑎)) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) → ((𝑐𝑥 ∧ (abs‘(𝑐𝑥)) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥)))‘𝑐) − 𝑤)) < 𝑎))
270269ralrimiva 2960 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ ∀𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})((𝑑 ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘𝑑) − 𝑤)) < 𝑎)) → ∀𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})((𝑐𝑥 ∧ (abs‘(𝑐𝑥)) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥)))‘𝑐) − 𝑤)) < 𝑎))
271169, 270impbida 876 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) → (∀𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})((𝑐𝑥 ∧ (abs‘(𝑐𝑥)) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥)))‘𝑐) − 𝑤)) < 𝑎) ↔ ∀𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})((𝑑 ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘𝑑) − 𝑤)) < 𝑎)))
272271rexbidv 3045 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) → (∃𝑏 ∈ ℝ+𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})((𝑐𝑥 ∧ (abs‘(𝑐𝑥)) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥)))‘𝑐) − 𝑤)) < 𝑎) ↔ ∃𝑏 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})((𝑑 ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘𝑑) − 𝑤)) < 𝑎)))
273272ralbidv 2980 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) → (∀𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})((𝑐𝑥 ∧ (abs‘(𝑐𝑥)) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥)))‘𝑐) − 𝑤)) < 𝑎) ↔ ∀𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})((𝑑 ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘𝑑) − 𝑤)) < 𝑎)))
274273anbi2d 739 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) → ((𝑤 ∈ ℂ ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})((𝑐𝑥 ∧ (abs‘(𝑐𝑥)) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥)))‘𝑐) − 𝑤)) < 𝑎)) ↔ (𝑤 ∈ ℂ ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})((𝑑 ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘𝑑) − 𝑤)) < 𝑎))))
27539, 37, 7dvlem 23566 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) → (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥)) ∈ ℂ)
276275, 35fmptd 6340 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) → (𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥))):(ℝ ∖ {𝑥})⟶ℂ)
27737ssdifssd 3726 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) → (ℝ ∖ {𝑥}) ⊆ ℂ)
278276, 277, 80ellimc3 23549 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) → (𝑤 ∈ ((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥))) lim 𝑥) ↔ (𝑤 ∈ ℂ ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})((𝑐𝑥 ∧ (abs‘(𝑐𝑥)) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥)))‘𝑐) − 𝑤)) < 𝑎))))
27939, 37, 10dvlem 23566 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))) ∈ ℂ)
280 eqid 2621 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇)))) = (𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))
281279, 280fmptd 6340 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) → (𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇)))):(ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})⟶ℂ)
28237ssdifssd 3726 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) → (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ⊆ ℂ)
28310recnd 10012 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) → (𝑥 + 𝑇) ∈ ℂ)
284281, 282, 283ellimc3 23549 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) → (𝑤 ∈ ((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇)))) lim (𝑥 + 𝑇)) ↔ (𝑤 ∈ ℂ ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})((𝑑 ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘𝑑) − 𝑤)) < 𝑎))))
285274, 278, 2843bitr4d 300 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) → (𝑤 ∈ ((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥))) lim 𝑥) ↔ 𝑤 ∈ ((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇)))) lim (𝑥 + 𝑇))))
286285eqrdv 2619 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) → ((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥))) lim 𝑥) = ((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇)))) lim (𝑥 + 𝑇)))
287 fveq2 6148 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑧 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑧))
288287oveq1d 6619 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑧 → ((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) = ((𝐹𝑧) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))))
289 oveq1 6611 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑧 → (𝑦 − (𝑥 + 𝑇)) = (𝑧 − (𝑥 + 𝑇)))
290288, 289oveq12d 6622 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑧 → (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))) = (((𝐹𝑧) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑧 − (𝑥 + 𝑇))))
291290cbvmptv 4710 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇)))) = (𝑧 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑧 − (𝑥 + 𝑇))))
292291oveq1i 6614 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇)))) lim (𝑥 + 𝑇)) = ((𝑧 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑧 − (𝑥 + 𝑇)))) lim (𝑥 + 𝑇))
293286, 292syl6eq 2671 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) → ((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥))) lim 𝑥) = ((𝑧 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑧 − (𝑥 + 𝑇)))) lim (𝑥 + 𝑇)))
29442, 293eleqtrd 2700 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) → (𝐺𝑥) ∈ ((𝑧 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑧 − (𝑥 + 𝑇)))) lim (𝑥 + 𝑇)))
295 eqid 2621 . . . . . 6 (𝑧 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑧 − (𝑥 + 𝑇)))) = (𝑧 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑧 − (𝑥 + 𝑇))))
29636a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
29713a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ℝ ⊆ ℝ)
29834, 33, 295, 296, 38, 297eldv 23568 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥 + 𝑇)(ℝ D 𝐹)(𝐺𝑥) ↔ ((𝑥 + 𝑇) ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘ℝ) ∧ (𝐺𝑥) ∈ ((𝑧 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑧 − (𝑥 + 𝑇)))) lim (𝑥 + 𝑇)))))
299298adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) → ((𝑥 + 𝑇)(ℝ D 𝐹)(𝐺𝑥) ↔ ((𝑥 + 𝑇) ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘ℝ) ∧ (𝐺𝑥) ∈ ((𝑧 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑧 − (𝑥 + 𝑇)))) lim (𝑥 + 𝑇)))))
30020, 294, 299mpbir2and 956 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) → (𝑥 + 𝑇)(ℝ D 𝐹)(𝐺𝑥))
3013a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) → 𝐺 = (ℝ D 𝐹))
302301breqd 4624 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) → ((𝑥 + 𝑇)𝐺(𝐺𝑥) ↔ (𝑥 + 𝑇)(ℝ D 𝐹)(𝐺𝑥)))
303300, 302mpbird 247 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) → (𝑥 + 𝑇)𝐺(𝐺𝑥))
3043a1i 11 . . . . . 6 (𝜑𝐺 = (ℝ D 𝐹))
305304funeqd 5869 . . . . 5 (𝜑 → (Fun 𝐺 ↔ Fun (ℝ D 𝐹)))
30628, 305mpbird 247 . . . 4 (𝜑 → Fun 𝐺)
307306adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) → Fun 𝐺)
308 funbrfv2b 6197 . . 3 (Fun 𝐺 → ((𝑥 + 𝑇)𝐺(𝐺𝑥) ↔ ((𝑥 + 𝑇) ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐺‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐺𝑥))))
309307, 308syl 17 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) → ((𝑥 + 𝑇)𝐺(𝐺𝑥) ↔ ((𝑥 + 𝑇) ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐺‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐺𝑥))))
310303, 309mpbid 222 1 ((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) → ((𝑥 + 𝑇) ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐺‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐺𝑥)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  wral 2907  wrex 2908  Vcvv 3186  cdif 3552  wss 3555  {csn 4148   class class class wbr 4613  cmpt 4673  dom cdm 5074  ran crn 5075  Fun wfun 5841  wf 5843  cfv 5847  (class class class)co 6604  cc 9878  cr 9879   + caddc 9883   < clt 10018  cmin 10210   / cdiv 10628  +crp 11776  (,)cioo 12117  abscabs 13908  TopOpenctopn 16003  topGenctg 16019  fldccnfld 19665  Topctop 20617  intcnt 20731   lim climc 23532   D cdv 23533
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-iin 4488  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-pm 7805  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-fi 8261  df-sup 8292  df-inf 8293  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-z 11322  df-dec 11438  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-xneg 11890  df-xadd 11891  df-xmul 11892  df-ioo 12121  df-icc 12124  df-fz 12269  df-seq 12742  df-exp 12801  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-starv 15877  df-tset 15881  df-ple 15882  df-ds 15885  df-unif 15886  df-rest 16004  df-topn 16005  df-topgen 16025  df-psmet 19657  df-xmet 19658  df-met 19659  df-bl 19660  df-mopn 19661  df-fbas 19662  df-fg 19663  df-cnfld 19666  df-top 20621  df-bases 20622  df-topon 20623  df-topsp 20624  df-cld 20733  df-ntr 20734  df-cls 20735  df-nei 20812  df-lp 20850  df-perf 20851  df-cnp 20942  df-haus 21029  df-fil 21560  df-fm 21652  df-flim 21653  df-flf 21654  df-xms 22035  df-ms 22036  df-limc 23536  df-dv 23537
This theorem is referenced by:  fourierdlem94  39721  fourierdlem97  39724  fourierdlem113  39740
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