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Theorem fperdvper 40628
Description: The derivative of a periodic function is periodic. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fperdvper.f (𝜑𝐹:ℝ⟶ℂ)
fperdvper.t (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
fperdvper.fper ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
fperdvper.g 𝐺 = (ℝ D 𝐹)
Assertion
Ref Expression
fperdvper ((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) → ((𝑥 + 𝑇) ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐺‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐺𝑥)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝑇   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem fperdvper
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvbsss 23857 . . . . . . . 8 dom (ℝ D 𝐹) ⊆ ℝ
2 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ dom 𝐺𝑥 ∈ dom 𝐺)
3 fperdvper.g . . . . . . . . . 10 𝐺 = (ℝ D 𝐹)
43dmeqi 5472 . . . . . . . . 9 dom 𝐺 = dom (ℝ D 𝐹)
52, 4syl6eleq 2841 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ dom 𝐺𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
61, 5sseldi 3734 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ dom 𝐺𝑥 ∈ ℝ)
76adantl 473 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) → 𝑥 ∈ ℝ)
8 fperdvper.t . . . . . . 7 (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
98adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) → 𝑇 ∈ ℝ)
107, 9readdcld 10253 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) → (𝑥 + 𝑇) ∈ ℝ)
11 reopn 39992 . . . . . . 7 ℝ ∈ (topGen‘ran (,))
12 retop 22758 . . . . . . . 8 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
13 ssid 3757 . . . . . . . . 9 ℝ ⊆ ℝ
1413a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) → ℝ ⊆ ℝ)
15 uniretop 22759 . . . . . . . . 9 ℝ = (topGen‘ran (,))
1615isopn3 21064 . . . . . . . 8 (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ ℝ ⊆ ℝ) → (ℝ ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘ℝ) = ℝ))
1712, 14, 16sylancr 698 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) → (ℝ ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘ℝ) = ℝ))
1811, 17mpbii 223 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘ℝ) = ℝ)
1918eqcomd 2758 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) → ℝ = ((int‘(topGen‘ran (,)))‘ℝ))
2010, 19eleqtrd 2833 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) → (𝑥 + 𝑇) ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘ℝ))
215adantl 473 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) → 𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
223fveq1i 6345 . . . . . . . . . 10 (𝐺𝑥) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑥)
2322eqcomi 2761 . . . . . . . . 9 ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = (𝐺𝑥)
2423a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = (𝐺𝑥))
25 dvf 23862 . . . . . . . . . . . 12 (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℂ
26 ffun 6201 . . . . . . . . . . . 12 ((ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℂ → Fun (ℝ D 𝐹))
2725, 26ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 Fun (ℝ D 𝐹)
2827a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → Fun (ℝ D 𝐹))
29 funbrfv2b 6394 . . . . . . . . . 10 (Fun (ℝ D 𝐹) → (𝑥(ℝ D 𝐹)(𝐺𝑥) ↔ (𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐹) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = (𝐺𝑥))))
3028, 29syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥(ℝ D 𝐹)(𝐺𝑥) ↔ (𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐹) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = (𝐺𝑥))))
3130adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) → (𝑥(ℝ D 𝐹)(𝐺𝑥) ↔ (𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐹) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = (𝐺𝑥))))
3221, 24, 31mpbir2and 995 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) → 𝑥(ℝ D 𝐹)(𝐺𝑥))
33 eqid 2752 . . . . . . . . 9 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
3433tgioo2 22799 . . . . . . . 8 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
35 eqid 2752 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥))) = (𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥)))
36 ax-resscn 10177 . . . . . . . . 9 ℝ ⊆ ℂ
3736a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) → ℝ ⊆ ℂ)
38 fperdvper.f . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℂ)
3938adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
4034, 33, 35, 37, 39, 14eldv 23853 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) → (𝑥(ℝ D 𝐹)(𝐺𝑥) ↔ (𝑥 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘ℝ) ∧ (𝐺𝑥) ∈ ((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥))) lim 𝑥))))
4132, 40mpbid 222 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) → (𝑥 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘ℝ) ∧ (𝐺𝑥) ∈ ((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥))) lim 𝑥)))
4241simprd 482 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) → (𝐺𝑥) ∈ ((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥))) lim 𝑥))
43 eqidd 2753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → (𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇)))) = (𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇)))))
44 fveq2 6344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦 = 𝑑 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑑))
4544oveq1d 6820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 = 𝑑 → ((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) = ((𝐹𝑑) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))))
46 oveq1 6812 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 = 𝑑 → (𝑦 − (𝑥 + 𝑇)) = (𝑑 − (𝑥 + 𝑇)))
4745, 46oveq12d 6823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 = 𝑑 → (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))) = (((𝐹𝑑) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑑 − (𝑥 + 𝑇))))
48 eldifi 3867 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) → 𝑑 ∈ ℝ)
4948recnd 10252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) → 𝑑 ∈ ℂ)
5049adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → 𝑑 ∈ ℂ)
518recnd 10252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝜑𝑇 ∈ ℂ)
5251adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → 𝑇 ∈ ℂ)
5350, 52npcand 10580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → ((𝑑𝑇) + 𝑇) = 𝑑)
5453eqcomd 2758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → 𝑑 = ((𝑑𝑇) + 𝑇))
5554fveq2d 6348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → (𝐹𝑑) = (𝐹‘((𝑑𝑇) + 𝑇)))
56 ovex 6833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑑𝑇) ∈ V
5748adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → 𝑑 ∈ ℝ)
588adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → 𝑇 ∈ ℝ)
5957, 58resubcld 10642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → (𝑑𝑇) ∈ ℝ)
6059ex 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜑 → (𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) → (𝑑𝑇) ∈ ℝ))
6160imdistani 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → (𝜑 ∧ (𝑑𝑇) ∈ ℝ))
62 eleq1 2819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑥 = (𝑑𝑇) → (𝑥 ∈ ℝ ↔ (𝑑𝑇) ∈ ℝ))
6362anbi2d 742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑥 = (𝑑𝑇) → ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ↔ (𝜑 ∧ (𝑑𝑇) ∈ ℝ)))
64 oveq1 6812 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑥 = (𝑑𝑇) → (𝑥 + 𝑇) = ((𝑑𝑇) + 𝑇))
6564fveq2d 6348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑥 = (𝑑𝑇) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹‘((𝑑𝑇) + 𝑇)))
66 fveq2 6344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑥 = (𝑑𝑇) → (𝐹𝑥) = (𝐹‘(𝑑𝑇)))
6765, 66eqeq12d 2767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑥 = (𝑑𝑇) → ((𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥) ↔ (𝐹‘((𝑑𝑇) + 𝑇)) = (𝐹‘(𝑑𝑇))))
6863, 67imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑥 = (𝑑𝑇) → (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥)) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑑𝑇) ∈ ℝ) → (𝐹‘((𝑑𝑇) + 𝑇)) = (𝐹‘(𝑑𝑇)))))
69 fperdvper.fper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
7068, 69vtoclg 3398 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑑𝑇) ∈ V → ((𝜑 ∧ (𝑑𝑇) ∈ ℝ) → (𝐹‘((𝑑𝑇) + 𝑇)) = (𝐹‘(𝑑𝑇))))
7156, 61, 70mpsyl 68 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → (𝐹‘((𝑑𝑇) + 𝑇)) = (𝐹‘(𝑑𝑇)))
7255, 71eqtrd 2786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → (𝐹𝑑) = (𝐹‘(𝑑𝑇)))
7372adantlr 753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → (𝐹𝑑) = (𝐹‘(𝑑𝑇)))
74 simpll 807 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → 𝜑)
756ad2antlr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → 𝑥 ∈ ℝ)
7674, 75, 69syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
7773, 76oveq12d 6823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → ((𝐹𝑑) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) = ((𝐹‘(𝑑𝑇)) − (𝐹𝑥)))
7849adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → 𝑑 ∈ ℂ)
7974, 51syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → 𝑇 ∈ ℂ)
807recnd 10252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) → 𝑥 ∈ ℂ)
8180adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → 𝑥 ∈ ℂ)
8278, 79, 81subsub4d 10607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → ((𝑑𝑇) − 𝑥) = (𝑑 − (𝑇 + 𝑥)))
8379, 81addcomd 10422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → (𝑇 + 𝑥) = (𝑥 + 𝑇))
8483oveq2d 6821 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → (𝑑 − (𝑇 + 𝑥)) = (𝑑 − (𝑥 + 𝑇)))
8582, 84eqtr2d 2787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → (𝑑 − (𝑥 + 𝑇)) = ((𝑑𝑇) − 𝑥))
8677, 85oveq12d 6823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → (((𝐹𝑑) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) = (((𝐹‘(𝑑𝑇)) − (𝐹𝑥)) / ((𝑑𝑇) − 𝑥)))
8747, 86sylan9eqr 2808 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) ∧ 𝑦 = 𝑑) → (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))) = (((𝐹‘(𝑑𝑇)) − (𝐹𝑥)) / ((𝑑𝑇) − 𝑥)))
88 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}))
8938adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
9089, 59ffvelrnd 6515 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → (𝐹‘(𝑑𝑇)) ∈ ℂ)
9190adantlr 753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → (𝐹‘(𝑑𝑇)) ∈ ℂ)
9239, 7ffvelrnd 6515 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
9392adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
9491, 93subcld 10576 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → ((𝐹‘(𝑑𝑇)) − (𝐹𝑥)) ∈ ℂ)
9578, 79subcld 10576 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → (𝑑𝑇) ∈ ℂ)
9695, 81subcld 10576 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → ((𝑑𝑇) − 𝑥) ∈ ℂ)
97 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) ∧ (𝑑𝑇) = 𝑥) → (𝑑𝑇) = 𝑥)
9849ad2antlr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) ∧ (𝑑𝑇) = 𝑥) → 𝑑 ∈ ℂ)
9979adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) ∧ (𝑑𝑇) = 𝑥) → 𝑇 ∈ ℂ)
10081adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) ∧ (𝑑𝑇) = 𝑥) → 𝑥 ∈ ℂ)
10198, 99, 100subadd2d 10595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) ∧ (𝑑𝑇) = 𝑥) → ((𝑑𝑇) = 𝑥 ↔ (𝑥 + 𝑇) = 𝑑))
10297, 101mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) ∧ (𝑑𝑇) = 𝑥) → (𝑥 + 𝑇) = 𝑑)
103102eqcomd 2758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) ∧ (𝑑𝑇) = 𝑥) → 𝑑 = (𝑥 + 𝑇))
104 eldifsni 4458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) → 𝑑 ≠ (𝑥 + 𝑇))
105104ad2antlr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) ∧ (𝑑𝑇) = 𝑥) → 𝑑 ≠ (𝑥 + 𝑇))
106105neneqd 2929 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) ∧ (𝑑𝑇) = 𝑥) → ¬ 𝑑 = (𝑥 + 𝑇))
107103, 106pm2.65da 601 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → ¬ (𝑑𝑇) = 𝑥)
108107neqned 2931 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → (𝑑𝑇) ≠ 𝑥)
10995, 81, 108subne0d 10585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → ((𝑑𝑇) − 𝑥) ≠ 0)
11094, 96, 109divcld 10985 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → (((𝐹‘(𝑑𝑇)) − (𝐹𝑥)) / ((𝑑𝑇) − 𝑥)) ∈ ℂ)
11143, 87, 88, 110fvmptd 6442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → ((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘𝑑) = (((𝐹‘(𝑑𝑇)) − (𝐹𝑥)) / ((𝑑𝑇) − 𝑥)))
112111oveq1d 6820 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → (((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘𝑑) − 𝑤) = ((((𝐹‘(𝑑𝑇)) − (𝐹𝑥)) / ((𝑑𝑇) − 𝑥)) − 𝑤))
113112fveq2d 6348 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘𝑑) − 𝑤)) = (abs‘((((𝐹‘(𝑑𝑇)) − (𝐹𝑥)) / ((𝑑𝑇) − 𝑥)) − 𝑤)))
114113adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) ∧ (𝑑 ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏)) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘𝑑) − 𝑤)) = (abs‘((((𝐹‘(𝑑𝑇)) − (𝐹𝑥)) / ((𝑑𝑇) − 𝑥)) − 𝑤)))
115114adantllr 757 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ ∀𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})((𝑐𝑥 ∧ (abs‘(𝑐𝑥)) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥)))‘𝑐) − 𝑤)) < 𝑎)) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) ∧ (𝑑 ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏)) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘𝑑) − 𝑤)) = (abs‘((((𝐹‘(𝑑𝑇)) − (𝐹𝑥)) / ((𝑑𝑇) − 𝑥)) − 𝑤)))
116 simpllr 817 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ ∀𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})((𝑐𝑥 ∧ (abs‘(𝑐𝑥)) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥)))‘𝑐) − 𝑤)) < 𝑎)) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → ∀𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})((𝑐𝑥 ∧ (abs‘(𝑐𝑥)) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥)))‘𝑐) − 𝑤)) < 𝑎))
11748ad2antlr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ ∀𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})((𝑐𝑥 ∧ (abs‘(𝑐𝑥)) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥)))‘𝑐) − 𝑤)) < 𝑎)) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → 𝑑 ∈ ℝ)
1188ad4antr 771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ ∀𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})((𝑐𝑥 ∧ (abs‘(𝑐𝑥)) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥)))‘𝑐) − 𝑤)) < 𝑎)) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → 𝑇 ∈ ℝ)
119117, 118resubcld 10642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ ∀𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})((𝑐𝑥 ∧ (abs‘(𝑐𝑥)) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥)))‘𝑐) − 𝑤)) < 𝑎)) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (𝑑𝑇) ∈ ℝ)
120 elsni 4330 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑑𝑇) ∈ {𝑥} → (𝑑𝑇) = 𝑥)
121107, 120nsyl 135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → ¬ (𝑑𝑇) ∈ {𝑥})
122121adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → ¬ (𝑑𝑇) ∈ {𝑥})
123122adantllr 757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ ∀𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})((𝑐𝑥 ∧ (abs‘(𝑐𝑥)) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥)))‘𝑐) − 𝑤)) < 𝑎)) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → ¬ (𝑑𝑇) ∈ {𝑥})
124119, 123eldifd 3718 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ ∀𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})((𝑐𝑥 ∧ (abs‘(𝑐𝑥)) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥)))‘𝑐) − 𝑤)) < 𝑎)) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (𝑑𝑇) ∈ (ℝ ∖ {𝑥}))
125 neeq1 2986 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑐 = (𝑑𝑇) → (𝑐𝑥 ↔ (𝑑𝑇) ≠ 𝑥))
126 oveq1 6812 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑐 = (𝑑𝑇) → (𝑐𝑥) = ((𝑑𝑇) − 𝑥))
127126fveq2d 6348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑐 = (𝑑𝑇) → (abs‘(𝑐𝑥)) = (abs‘((𝑑𝑇) − 𝑥)))
128127breq1d 4806 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑐 = (𝑑𝑇) → ((abs‘(𝑐𝑥)) < 𝑏 ↔ (abs‘((𝑑𝑇) − 𝑥)) < 𝑏))
129125, 128anbi12d 749 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑐 = (𝑑𝑇) → ((𝑐𝑥 ∧ (abs‘(𝑐𝑥)) < 𝑏) ↔ ((𝑑𝑇) ≠ 𝑥 ∧ (abs‘((𝑑𝑇) − 𝑥)) < 𝑏)))
130 fveq2 6344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑐 = (𝑑𝑇) → ((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥)))‘𝑐) = ((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥)))‘(𝑑𝑇)))
131130oveq1d 6820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑐 = (𝑑𝑇) → (((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥)))‘𝑐) − 𝑤) = (((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥)))‘(𝑑𝑇)) − 𝑤))
132131fveq2d 6348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑐 = (𝑑𝑇) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥)))‘𝑐) − 𝑤)) = (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥)))‘(𝑑𝑇)) − 𝑤)))
133132breq1d 4806 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑐 = (𝑑𝑇) → ((abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥)))‘𝑐) − 𝑤)) < 𝑎 ↔ (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥)))‘(𝑑𝑇)) − 𝑤)) < 𝑎))
134129, 133imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑐 = (𝑑𝑇) → (((𝑐𝑥 ∧ (abs‘(𝑐𝑥)) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥)))‘𝑐) − 𝑤)) < 𝑎) ↔ (((𝑑𝑇) ≠ 𝑥 ∧ (abs‘((𝑑𝑇) − 𝑥)) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥)))‘(𝑑𝑇)) − 𝑤)) < 𝑎)))
135134rspccva 3440 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((∀𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})((𝑐𝑥 ∧ (abs‘(𝑐𝑥)) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥)))‘𝑐) − 𝑤)) < 𝑎) ∧ (𝑑𝑇) ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) → (((𝑑𝑇) ≠ 𝑥 ∧ (abs‘((𝑑𝑇) − 𝑥)) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥)))‘(𝑑𝑇)) − 𝑤)) < 𝑎))
136116, 124, 135syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ ∀𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})((𝑐𝑥 ∧ (abs‘(𝑐𝑥)) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥)))‘𝑐) − 𝑤)) < 𝑎)) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (((𝑑𝑇) ≠ 𝑥 ∧ (abs‘((𝑑𝑇) − 𝑥)) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥)))‘(𝑑𝑇)) − 𝑤)) < 𝑎))
137 eqidd 2753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → (𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥))) = (𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥))))
138 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) ∧ 𝑦 = (𝑑𝑇)) → 𝑦 = (𝑑𝑇))
139138fveq2d 6348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) ∧ 𝑦 = (𝑑𝑇)) → (𝐹𝑦) = (𝐹‘(𝑑𝑇)))
140139oveq1d 6820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) ∧ 𝑦 = (𝑑𝑇)) → ((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) = ((𝐹‘(𝑑𝑇)) − (𝐹𝑥)))
141138oveq1d 6820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) ∧ 𝑦 = (𝑑𝑇)) → (𝑦𝑥) = ((𝑑𝑇) − 𝑥))
142140, 141oveq12d 6823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) ∧ 𝑦 = (𝑑𝑇)) → (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥)) = (((𝐹‘(𝑑𝑇)) − (𝐹𝑥)) / ((𝑑𝑇) − 𝑥)))
14348adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → 𝑑 ∈ ℝ)
14474, 8syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → 𝑇 ∈ ℝ)
145143, 144resubcld 10642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → (𝑑𝑇) ∈ ℝ)
146145, 121eldifd 3718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → (𝑑𝑇) ∈ (ℝ ∖ {𝑥}))
147137, 142, 146, 110fvmptd 6442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → ((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥)))‘(𝑑𝑇)) = (((𝐹‘(𝑑𝑇)) − (𝐹𝑥)) / ((𝑑𝑇) − 𝑥)))
148147eqcomd 2758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → (((𝐹‘(𝑑𝑇)) − (𝐹𝑥)) / ((𝑑𝑇) − 𝑥)) = ((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥)))‘(𝑑𝑇)))
149148ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) ∧ (((𝑑𝑇) ≠ 𝑥 ∧ (abs‘((𝑑𝑇) − 𝑥)) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥)))‘(𝑑𝑇)) − 𝑤)) < 𝑎)) → (((𝐹‘(𝑑𝑇)) − (𝐹𝑥)) / ((𝑑𝑇) − 𝑥)) = ((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥)))‘(𝑑𝑇)))
150149oveq1d 6820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) ∧ (((𝑑𝑇) ≠ 𝑥 ∧ (abs‘((𝑑𝑇) − 𝑥)) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥)))‘(𝑑𝑇)) − 𝑤)) < 𝑎)) → ((((𝐹‘(𝑑𝑇)) − (𝐹𝑥)) / ((𝑑𝑇) − 𝑥)) − 𝑤) = (((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥)))‘(𝑑𝑇)) − 𝑤))
151150fveq2d 6348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) ∧ (((𝑑𝑇) ≠ 𝑥 ∧ (abs‘((𝑑𝑇) − 𝑥)) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥)))‘(𝑑𝑇)) − 𝑤)) < 𝑎)) → (abs‘((((𝐹‘(𝑑𝑇)) − (𝐹𝑥)) / ((𝑑𝑇) − 𝑥)) − 𝑤)) = (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥)))‘(𝑑𝑇)) − 𝑤)))
152108adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (𝑑𝑇) ≠ 𝑥)
15385eqcomd 2758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → ((𝑑𝑇) − 𝑥) = (𝑑 − (𝑥 + 𝑇)))
154153adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → ((𝑑𝑇) − 𝑥) = (𝑑 − (𝑥 + 𝑇)))
155154fveq2d 6348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (abs‘((𝑑𝑇) − 𝑥)) = (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))))
156 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏)
157155, 156eqbrtrd 4818 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (abs‘((𝑑𝑇) − 𝑥)) < 𝑏)
158152, 157jca 555 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → ((𝑑𝑇) ≠ 𝑥 ∧ (abs‘((𝑑𝑇) − 𝑥)) < 𝑏))
159158adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) ∧ (((𝑑𝑇) ≠ 𝑥 ∧ (abs‘((𝑑𝑇) − 𝑥)) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥)))‘(𝑑𝑇)) − 𝑤)) < 𝑎)) → ((𝑑𝑇) ≠ 𝑥 ∧ (abs‘((𝑑𝑇) − 𝑥)) < 𝑏))
160 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) ∧ (((𝑑𝑇) ≠ 𝑥 ∧ (abs‘((𝑑𝑇) − 𝑥)) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥)))‘(𝑑𝑇)) − 𝑤)) < 𝑎)) → (((𝑑𝑇) ≠ 𝑥 ∧ (abs‘((𝑑𝑇) − 𝑥)) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥)))‘(𝑑𝑇)) − 𝑤)) < 𝑎))
161159, 160mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) ∧ (((𝑑𝑇) ≠ 𝑥 ∧ (abs‘((𝑑𝑇) − 𝑥)) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥)))‘(𝑑𝑇)) − 𝑤)) < 𝑎)) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥)))‘(𝑑𝑇)) − 𝑤)) < 𝑎)
162151, 161eqbrtrd 4818 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) ∧ (((𝑑𝑇) ≠ 𝑥 ∧ (abs‘((𝑑𝑇) − 𝑥)) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥)))‘(𝑑𝑇)) − 𝑤)) < 𝑎)) → (abs‘((((𝐹‘(𝑑𝑇)) − (𝐹𝑥)) / ((𝑑𝑇) − 𝑥)) − 𝑤)) < 𝑎)
163162ex 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → ((((𝑑𝑇) ≠ 𝑥 ∧ (abs‘((𝑑𝑇) − 𝑥)) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥)))‘(𝑑𝑇)) − 𝑤)) < 𝑎) → (abs‘((((𝐹‘(𝑑𝑇)) − (𝐹𝑥)) / ((𝑑𝑇) − 𝑥)) − 𝑤)) < 𝑎))
164163adantllr 757 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ ∀𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})((𝑐𝑥 ∧ (abs‘(𝑐𝑥)) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥)))‘𝑐) − 𝑤)) < 𝑎)) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → ((((𝑑𝑇) ≠ 𝑥 ∧ (abs‘((𝑑𝑇) − 𝑥)) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥)))‘(𝑑𝑇)) − 𝑤)) < 𝑎) → (abs‘((((𝐹‘(𝑑𝑇)) − (𝐹𝑥)) / ((𝑑𝑇) − 𝑥)) − 𝑤)) < 𝑎))
165136, 164mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ ∀𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})((𝑐𝑥 ∧ (abs‘(𝑐𝑥)) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥)))‘𝑐) − 𝑤)) < 𝑎)) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (abs‘((((𝐹‘(𝑑𝑇)) − (𝐹𝑥)) / ((𝑑𝑇) − 𝑥)) − 𝑤)) < 𝑎)
166165adantrl 754 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ ∀𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})((𝑐𝑥 ∧ (abs‘(𝑐𝑥)) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥)))‘𝑐) − 𝑤)) < 𝑎)) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) ∧ (𝑑 ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏)) → (abs‘((((𝐹‘(𝑑𝑇)) − (𝐹𝑥)) / ((𝑑𝑇) − 𝑥)) − 𝑤)) < 𝑎)
167115, 166eqbrtrd 4818 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ ∀𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})((𝑐𝑥 ∧ (abs‘(𝑐𝑥)) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥)))‘𝑐) − 𝑤)) < 𝑎)) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) ∧ (𝑑 ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏)) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘𝑑) − 𝑤)) < 𝑎)
168167ex 449 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ ∀𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})((𝑐𝑥 ∧ (abs‘(𝑐𝑥)) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥)))‘𝑐) − 𝑤)) < 𝑎)) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → ((𝑑 ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘𝑑) − 𝑤)) < 𝑎))
169168ralrimiva 3096 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ ∀𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})((𝑐𝑥 ∧ (abs‘(𝑐𝑥)) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥)))‘𝑐) − 𝑤)) < 𝑎)) → ∀𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})((𝑑 ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘𝑑) − 𝑤)) < 𝑎))
170 eqidd 2753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) → (𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥))) = (𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥))))
171 fveq2 6344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 = 𝑐 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑐))
172171oveq1d 6820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 = 𝑐 → ((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) = ((𝐹𝑐) − (𝐹𝑥)))
173 oveq1 6812 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 = 𝑐 → (𝑦𝑥) = (𝑐𝑥))
174172, 173oveq12d 6823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = 𝑐 → (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥)) = (((𝐹𝑐) − (𝐹𝑥)) / (𝑐𝑥)))
175174adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ∧ 𝑦 = 𝑐) → (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥)) = (((𝐹𝑐) − (𝐹𝑥)) / (𝑐𝑥)))
176 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) → 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}))
177 ovexd 6835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) → (((𝐹𝑐) − (𝐹𝑥)) / (𝑐𝑥)) ∈ V)
178170, 175, 176, 177fvmptd 6442 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) → ((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥)))‘𝑐) = (((𝐹𝑐) − (𝐹𝑥)) / (𝑐𝑥)))
179178oveq1d 6820 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) → (((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥)))‘𝑐) − 𝑤) = ((((𝐹𝑐) − (𝐹𝑥)) / (𝑐𝑥)) − 𝑤))
180179fveq2d 6348 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥)))‘𝑐) − 𝑤)) = (abs‘((((𝐹𝑐) − (𝐹𝑥)) / (𝑐𝑥)) − 𝑤)))
181180ad2antlr 765 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ ∀𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})((𝑑 ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘𝑑) − 𝑤)) < 𝑎)) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) ∧ (𝑐𝑥 ∧ (abs‘(𝑐𝑥)) < 𝑏)) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥)))‘𝑐) − 𝑤)) = (abs‘((((𝐹𝑐) − (𝐹𝑥)) / (𝑐𝑥)) − 𝑤)))
182 simpll 807 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) → 𝜑)
183 eldifi 3867 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) → 𝑐 ∈ ℝ)
184183adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) → 𝑐 ∈ ℝ)
185 eleq1 2819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑥 = 𝑐 → (𝑥 ∈ ℝ ↔ 𝑐 ∈ ℝ))
186185anbi2d 742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑥 = 𝑐 → ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ↔ (𝜑𝑐 ∈ ℝ)))
187 oveq1 6812 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑥 = 𝑐 → (𝑥 + 𝑇) = (𝑐 + 𝑇))
188187fveq2d 6348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑥 = 𝑐 → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹‘(𝑐 + 𝑇)))
189 fveq2 6344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑥 = 𝑐 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑐))
190188, 189eqeq12d 2767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑥 = 𝑐 → ((𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥) ↔ (𝐹‘(𝑐 + 𝑇)) = (𝐹𝑐)))
191186, 190imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑥 = 𝑐 → (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥)) ↔ ((𝜑𝑐 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑐 + 𝑇)) = (𝐹𝑐))))
192191, 69chvarv 2400 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑐 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑐 + 𝑇)) = (𝐹𝑐))
193192eqcomd 2758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑐 ∈ ℝ) → (𝐹𝑐) = (𝐹‘(𝑐 + 𝑇)))
194182, 184, 193syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) → (𝐹𝑐) = (𝐹‘(𝑐 + 𝑇)))
1956ad2antlr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) → 𝑥 ∈ ℝ)
196182, 195, 69syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
197196eqcomd 2758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) → (𝐹𝑥) = (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)))
198194, 197oveq12d 6823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) → ((𝐹𝑐) − (𝐹𝑥)) = ((𝐹‘(𝑐 + 𝑇)) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))))
199184recnd 10252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) → 𝑐 ∈ ℂ)
20080adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) → 𝑥 ∈ ℂ)
201182, 51syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) → 𝑇 ∈ ℂ)
202199, 200, 201pnpcan2d 10614 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) → ((𝑐 + 𝑇) − (𝑥 + 𝑇)) = (𝑐𝑥))
203202eqcomd 2758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) → (𝑐𝑥) = ((𝑐 + 𝑇) − (𝑥 + 𝑇)))
204198, 203oveq12d 6823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) → (((𝐹𝑐) − (𝐹𝑥)) / (𝑐𝑥)) = (((𝐹‘(𝑐 + 𝑇)) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / ((𝑐 + 𝑇) − (𝑥 + 𝑇))))
205204oveq1d 6820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) → ((((𝐹𝑐) − (𝐹𝑥)) / (𝑐𝑥)) − 𝑤) = ((((𝐹‘(𝑐 + 𝑇)) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / ((𝑐 + 𝑇) − (𝑥 + 𝑇))) − 𝑤))
206205fveq2d 6348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) → (abs‘((((𝐹𝑐) − (𝐹𝑥)) / (𝑐𝑥)) − 𝑤)) = (abs‘((((𝐹‘(𝑐 + 𝑇)) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / ((𝑐 + 𝑇) − (𝑥 + 𝑇))) − 𝑤)))
207206adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) ∧ (abs‘(𝑐𝑥)) < 𝑏) → (abs‘((((𝐹𝑐) − (𝐹𝑥)) / (𝑐𝑥)) − 𝑤)) = (abs‘((((𝐹‘(𝑐 + 𝑇)) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / ((𝑐 + 𝑇) − (𝑥 + 𝑇))) − 𝑤)))
208207adantllr 757 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ ∀𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})((𝑑 ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘𝑑) − 𝑤)) < 𝑎)) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) ∧ (abs‘(𝑐𝑥)) < 𝑏) → (abs‘((((𝐹𝑐) − (𝐹𝑥)) / (𝑐𝑥)) − 𝑤)) = (abs‘((((𝐹‘(𝑐 + 𝑇)) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / ((𝑐 + 𝑇) − (𝑥 + 𝑇))) − 𝑤)))
209 simpllr 817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ ∀𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})((𝑑 ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘𝑑) − 𝑤)) < 𝑎)) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) ∧ (abs‘(𝑐𝑥)) < 𝑏) → ∀𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})((𝑑 ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘𝑑) − 𝑤)) < 𝑎))
210183ad2antlr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ ∀𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})((𝑑 ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘𝑑) − 𝑤)) < 𝑎)) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) ∧ (abs‘(𝑐𝑥)) < 𝑏) → 𝑐 ∈ ℝ)
2118ad4antr 771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ ∀𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})((𝑑 ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘𝑑) − 𝑤)) < 𝑎)) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) ∧ (abs‘(𝑐𝑥)) < 𝑏) → 𝑇 ∈ ℝ)
212210, 211readdcld 10253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ ∀𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})((𝑑 ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘𝑑) − 𝑤)) < 𝑎)) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) ∧ (abs‘(𝑐𝑥)) < 𝑏) → (𝑐 + 𝑇) ∈ ℝ)
213 eldifsni 4458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) → 𝑐𝑥)
214213adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) → 𝑐𝑥)
215199, 200, 201, 214addneintr2d 10428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) → (𝑐 + 𝑇) ≠ (𝑥 + 𝑇))
216215adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) ∧ (abs‘(𝑐𝑥)) < 𝑏) → (𝑐 + 𝑇) ≠ (𝑥 + 𝑇))
217216adantllr 757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ ∀𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})((𝑑 ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘𝑑) − 𝑤)) < 𝑎)) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) ∧ (abs‘(𝑐𝑥)) < 𝑏) → (𝑐 + 𝑇) ≠ (𝑥 + 𝑇))
218 nelsn 4349 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑐 + 𝑇) ≠ (𝑥 + 𝑇) → ¬ (𝑐 + 𝑇) ∈ {(𝑥 + 𝑇)})
219217, 218syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ ∀𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})((𝑑 ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘𝑑) − 𝑤)) < 𝑎)) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) ∧ (abs‘(𝑐𝑥)) < 𝑏) → ¬ (𝑐 + 𝑇) ∈ {(𝑥 + 𝑇)})
220212, 219eldifd 3718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ ∀𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})((𝑑 ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘𝑑) − 𝑤)) < 𝑎)) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) ∧ (abs‘(𝑐𝑥)) < 𝑏) → (𝑐 + 𝑇) ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}))
221 neeq1 2986 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑑 = (𝑐 + 𝑇) → (𝑑 ≠ (𝑥 + 𝑇) ↔ (𝑐 + 𝑇) ≠ (𝑥 + 𝑇)))
222 oveq1 6812 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑑 = (𝑐 + 𝑇) → (𝑑 − (𝑥 + 𝑇)) = ((𝑐 + 𝑇) − (𝑥 + 𝑇)))
223222fveq2d 6348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑑 = (𝑐 + 𝑇) → (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) = (abs‘((𝑐 + 𝑇) − (𝑥 + 𝑇))))
224223breq1d 4806 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑑 = (𝑐 + 𝑇) → ((abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏 ↔ (abs‘((𝑐 + 𝑇) − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏))
225221, 224anbi12d 749 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑑 = (𝑐 + 𝑇) → ((𝑑 ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) ↔ ((𝑐 + 𝑇) ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘((𝑐 + 𝑇) − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏)))
226 fveq2 6344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑑 = (𝑐 + 𝑇) → ((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘𝑑) = ((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘(𝑐 + 𝑇)))
227226oveq1d 6820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑑 = (𝑐 + 𝑇) → (((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘𝑑) − 𝑤) = (((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘(𝑐 + 𝑇)) − 𝑤))
228227fveq2d 6348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑑 = (𝑐 + 𝑇) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘𝑑) − 𝑤)) = (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘(𝑐 + 𝑇)) − 𝑤)))
229228breq1d 4806 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑑 = (𝑐 + 𝑇) → ((abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘𝑑) − 𝑤)) < 𝑎 ↔ (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘(𝑐 + 𝑇)) − 𝑤)) < 𝑎))
230225, 229imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑑 = (𝑐 + 𝑇) → (((𝑑 ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘𝑑) − 𝑤)) < 𝑎) ↔ (((𝑐 + 𝑇) ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘((𝑐 + 𝑇) − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘(𝑐 + 𝑇)) − 𝑤)) < 𝑎)))
231230rspccva 3440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((∀𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})((𝑑 ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘𝑑) − 𝑤)) < 𝑎) ∧ (𝑐 + 𝑇) ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → (((𝑐 + 𝑇) ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘((𝑐 + 𝑇) − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘(𝑐 + 𝑇)) − 𝑤)) < 𝑎))
232209, 220, 231syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ ∀𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})((𝑑 ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘𝑑) − 𝑤)) < 𝑎)) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) ∧ (abs‘(𝑐𝑥)) < 𝑏) → (((𝑐 + 𝑇) ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘((𝑐 + 𝑇) − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘(𝑐 + 𝑇)) − 𝑤)) < 𝑎))
233 eqidd 2753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) → (𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇)))) = (𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇)))))
234 fveq2 6344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑦 = (𝑐 + 𝑇) → (𝐹𝑦) = (𝐹‘(𝑐 + 𝑇)))
235234oveq1d 6820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑦 = (𝑐 + 𝑇) → ((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) = ((𝐹‘(𝑐 + 𝑇)) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))))
236 oveq1 6812 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑦 = (𝑐 + 𝑇) → (𝑦 − (𝑥 + 𝑇)) = ((𝑐 + 𝑇) − (𝑥 + 𝑇)))
237235, 236oveq12d 6823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑦 = (𝑐 + 𝑇) → (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))) = (((𝐹‘(𝑐 + 𝑇)) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / ((𝑐 + 𝑇) − (𝑥 + 𝑇))))
238237adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) ∧ 𝑦 = (𝑐 + 𝑇)) → (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))) = (((𝐹‘(𝑐 + 𝑇)) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / ((𝑐 + 𝑇) − (𝑥 + 𝑇))))
239182, 8syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) → 𝑇 ∈ ℝ)
240184, 239readdcld 10253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) → (𝑐 + 𝑇) ∈ ℝ)
241215, 218syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) → ¬ (𝑐 + 𝑇) ∈ {(𝑥 + 𝑇)})
242240, 241eldifd 3718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) → (𝑐 + 𝑇) ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}))
243 ovexd 6835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) → (((𝐹‘(𝑐 + 𝑇)) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / ((𝑐 + 𝑇) − (𝑥 + 𝑇))) ∈ V)
244233, 238, 242, 243fvmptd 6442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) → ((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘(𝑐 + 𝑇)) = (((𝐹‘(𝑐 + 𝑇)) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / ((𝑐 + 𝑇) − (𝑥 + 𝑇))))
245244eqcomd 2758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) → (((𝐹‘(𝑐 + 𝑇)) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / ((𝑐 + 𝑇) − (𝑥 + 𝑇))) = ((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘(𝑐 + 𝑇)))
246245ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) ∧ (abs‘(𝑐𝑥)) < 𝑏) ∧ (((𝑐 + 𝑇) ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘((𝑐 + 𝑇) − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘(𝑐 + 𝑇)) − 𝑤)) < 𝑎)) → (((𝐹‘(𝑐 + 𝑇)) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / ((𝑐 + 𝑇) − (𝑥 + 𝑇))) = ((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘(𝑐 + 𝑇)))
247246oveq1d 6820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) ∧ (abs‘(𝑐𝑥)) < 𝑏) ∧ (((𝑐 + 𝑇) ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘((𝑐 + 𝑇) − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘(𝑐 + 𝑇)) − 𝑤)) < 𝑎)) → ((((𝐹‘(𝑐 + 𝑇)) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / ((𝑐 + 𝑇) − (𝑥 + 𝑇))) − 𝑤) = (((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘(𝑐 + 𝑇)) − 𝑤))
248247fveq2d 6348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) ∧ (abs‘(𝑐𝑥)) < 𝑏) ∧ (((𝑐 + 𝑇) ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘((𝑐 + 𝑇) − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘(𝑐 + 𝑇)) − 𝑤)) < 𝑎)) → (abs‘((((𝐹‘(𝑐 + 𝑇)) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / ((𝑐 + 𝑇) − (𝑥 + 𝑇))) − 𝑤)) = (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘(𝑐 + 𝑇)) − 𝑤)))
249183recnd 10252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) → 𝑐 ∈ ℂ)
250249ad2antlr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) ∧ (abs‘(𝑐𝑥)) < 𝑏) → 𝑐 ∈ ℂ)
251200adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) ∧ (abs‘(𝑐𝑥)) < 𝑏) → 𝑥 ∈ ℂ)
252201adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) ∧ (abs‘(𝑐𝑥)) < 𝑏) → 𝑇 ∈ ℂ)
253250, 251, 252pnpcan2d 10614 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) ∧ (abs‘(𝑐𝑥)) < 𝑏) → ((𝑐 + 𝑇) − (𝑥 + 𝑇)) = (𝑐𝑥))
254253fveq2d 6348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) ∧ (abs‘(𝑐𝑥)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 + 𝑇) − (𝑥 + 𝑇))) = (abs‘(𝑐𝑥)))
255 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) ∧ (abs‘(𝑐𝑥)) < 𝑏) → (abs‘(𝑐𝑥)) < 𝑏)
256254, 255eqbrtrd 4818 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) ∧ (abs‘(𝑐𝑥)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 + 𝑇) − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏)
257216, 256jca 555 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) ∧ (abs‘(𝑐𝑥)) < 𝑏) → ((𝑐 + 𝑇) ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘((𝑐 + 𝑇) − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏))
258257adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) ∧ (abs‘(𝑐𝑥)) < 𝑏) ∧ (((𝑐 + 𝑇) ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘((𝑐 + 𝑇) − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘(𝑐 + 𝑇)) − 𝑤)) < 𝑎)) → ((𝑐 + 𝑇) ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘((𝑐 + 𝑇) − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏))
259 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) ∧ (abs‘(𝑐𝑥)) < 𝑏) ∧ (((𝑐 + 𝑇) ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘((𝑐 + 𝑇) − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘(𝑐 + 𝑇)) − 𝑤)) < 𝑎)) → (((𝑐 + 𝑇) ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘((𝑐 + 𝑇) − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘(𝑐 + 𝑇)) − 𝑤)) < 𝑎))
260258, 259mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) ∧ (abs‘(𝑐𝑥)) < 𝑏) ∧ (((𝑐 + 𝑇) ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘((𝑐 + 𝑇) − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘(𝑐 + 𝑇)) − 𝑤)) < 𝑎)) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘(𝑐 + 𝑇)) − 𝑤)) < 𝑎)
261248, 260eqbrtrd 4818 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) ∧ (abs‘(𝑐𝑥)) < 𝑏) ∧ (((𝑐 + 𝑇) ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘((𝑐 + 𝑇) − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘(𝑐 + 𝑇)) − 𝑤)) < 𝑎)) → (abs‘((((𝐹‘(𝑐 + 𝑇)) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / ((𝑐 + 𝑇) − (𝑥 + 𝑇))) − 𝑤)) < 𝑎)
262261ex 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) ∧ (abs‘(𝑐𝑥)) < 𝑏) → ((((𝑐 + 𝑇) ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘((𝑐 + 𝑇) − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘(𝑐 + 𝑇)) − 𝑤)) < 𝑎) → (abs‘((((𝐹‘(𝑐 + 𝑇)) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / ((𝑐 + 𝑇) − (𝑥 + 𝑇))) − 𝑤)) < 𝑎))
263262adantllr 757 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ ∀𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})((𝑑 ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘𝑑) − 𝑤)) < 𝑎)) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) ∧ (abs‘(𝑐𝑥)) < 𝑏) → ((((𝑐 + 𝑇) ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘((𝑐 + 𝑇) − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘(𝑐 + 𝑇)) − 𝑤)) < 𝑎) → (abs‘((((𝐹‘(𝑐 + 𝑇)) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / ((𝑐 + 𝑇) − (𝑥 + 𝑇))) − 𝑤)) < 𝑎))
264232, 263mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ ∀𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})((𝑑 ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘𝑑) − 𝑤)) < 𝑎)) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) ∧ (abs‘(𝑐𝑥)) < 𝑏) → (abs‘((((𝐹‘(𝑐 + 𝑇)) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / ((𝑐 + 𝑇) − (𝑥 + 𝑇))) − 𝑤)) < 𝑎)
265208, 264eqbrtrd 4818 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ ∀𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})((𝑑 ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘𝑑) − 𝑤)) < 𝑎)) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) ∧ (abs‘(𝑐𝑥)) < 𝑏) → (abs‘((((𝐹𝑐) − (𝐹𝑥)) / (𝑐𝑥)) − 𝑤)) < 𝑎)
266265adantrl 754 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ ∀𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})((𝑑 ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘𝑑) − 𝑤)) < 𝑎)) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) ∧ (𝑐𝑥 ∧ (abs‘(𝑐𝑥)) < 𝑏)) → (abs‘((((𝐹𝑐) − (𝐹𝑥)) / (𝑐𝑥)) − 𝑤)) < 𝑎)
267181, 266eqbrtrd 4818 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ ∀𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})((𝑑 ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘𝑑) − 𝑤)) < 𝑎)) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) ∧ (𝑐𝑥 ∧ (abs‘(𝑐𝑥)) < 𝑏)) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥)))‘𝑐) − 𝑤)) < 𝑎)
268267ex 449 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ ∀𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})((𝑑 ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘𝑑) − 𝑤)) < 𝑎)) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) → ((𝑐𝑥 ∧ (abs‘(𝑐𝑥)) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥)))‘𝑐) − 𝑤)) < 𝑎))
269268ralrimiva 3096 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ ∀𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})((𝑑 ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘𝑑) − 𝑤)) < 𝑎)) → ∀𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})((𝑐𝑥 ∧ (abs‘(𝑐𝑥)) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥)))‘𝑐) − 𝑤)) < 𝑎))
270169, 269impbida 913 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) → (∀𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})((𝑐𝑥 ∧ (abs‘(𝑐𝑥)) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥)))‘𝑐) − 𝑤)) < 𝑎) ↔ ∀𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})((𝑑 ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘𝑑) − 𝑤)) < 𝑎)))
271270rexbidv 3182 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) → (∃𝑏 ∈ ℝ+𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})((𝑐𝑥 ∧ (abs‘(𝑐𝑥)) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥)))‘𝑐) − 𝑤)) < 𝑎) ↔ ∃𝑏 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})((𝑑 ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘𝑑) − 𝑤)) < 𝑎)))
272271ralbidv 3116 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) → (∀𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})((𝑐𝑥 ∧ (abs‘(𝑐𝑥)) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥)))‘𝑐) − 𝑤)) < 𝑎) ↔ ∀𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})((𝑑 ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘𝑑) − 𝑤)) < 𝑎)))
273272anbi2d 742 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) → ((𝑤 ∈ ℂ ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})((𝑐𝑥 ∧ (abs‘(𝑐𝑥)) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥)))‘𝑐) − 𝑤)) < 𝑎)) ↔ (𝑤 ∈ ℂ ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})((𝑑 ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘𝑑) − 𝑤)) < 𝑎))))
27439, 37, 7dvlem 23851 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) → (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥)) ∈ ℂ)
275274, 35fmptd 6540 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) → (𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥))):(ℝ ∖ {𝑥})⟶ℂ)
27637ssdifssd 3883 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) → (ℝ ∖ {𝑥}) ⊆ ℂ)
277275, 276, 80ellimc3 23834 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) → (𝑤 ∈ ((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥))) lim 𝑥) ↔ (𝑤 ∈ ℂ ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})((𝑐𝑥 ∧ (abs‘(𝑐𝑥)) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥)))‘𝑐) − 𝑤)) < 𝑎))))
27839, 37, 10dvlem 23851 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))) ∈ ℂ)
279 eqid 2752 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇)))) = (𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))
280278, 279fmptd 6540 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) → (𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇)))):(ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})⟶ℂ)
28137ssdifssd 3883 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) → (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ⊆ ℂ)
28210recnd 10252 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) → (𝑥 + 𝑇) ∈ ℂ)
283280, 281, 282ellimc3 23834 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) → (𝑤 ∈ ((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇)))) lim (𝑥 + 𝑇)) ↔ (𝑤 ∈ ℂ ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})((𝑑 ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘𝑑) − 𝑤)) < 𝑎))))
284273, 277, 2833bitr4d 300 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) → (𝑤 ∈ ((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥))) lim 𝑥) ↔ 𝑤 ∈ ((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇)))) lim (𝑥 + 𝑇))))
285284eqrdv 2750 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) → ((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥))) lim 𝑥) = ((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇)))) lim (𝑥 + 𝑇)))
286 fveq2 6344 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑧 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑧))
287286oveq1d 6820 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑧 → ((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) = ((𝐹𝑧) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))))
288 oveq1 6812 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑧 → (𝑦 − (𝑥 + 𝑇)) = (𝑧 − (𝑥 + 𝑇)))
289287, 288oveq12d 6823 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑧 → (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))) = (((𝐹𝑧) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑧 − (𝑥 + 𝑇))))
290289cbvmptv 4894 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇)))) = (𝑧 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑧 − (𝑥 + 𝑇))))
291290oveq1i 6815 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇)))) lim (𝑥 + 𝑇)) = ((𝑧 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑧 − (𝑥 + 𝑇)))) lim (𝑥 + 𝑇))
292285, 291syl6eq 2802 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) → ((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥))) lim 𝑥) = ((𝑧 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑧 − (𝑥 + 𝑇)))) lim (𝑥 + 𝑇)))
29342, 292eleqtrd 2833 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) → (𝐺𝑥) ∈ ((𝑧 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑧 − (𝑥 + 𝑇)))) lim (𝑥 + 𝑇)))
294 eqid 2752 . . . . . 6 (𝑧 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑧 − (𝑥 + 𝑇)))) = (𝑧 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑧 − (𝑥 + 𝑇))))
29536a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
29613a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ℝ ⊆ ℝ)
29734, 33, 294, 295, 38, 296eldv 23853 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥 + 𝑇)(ℝ D 𝐹)(𝐺𝑥) ↔ ((𝑥 + 𝑇) ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘ℝ) ∧ (𝐺𝑥) ∈ ((𝑧 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑧 − (𝑥 + 𝑇)))) lim (𝑥 + 𝑇)))))
298297adantr 472 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) → ((𝑥 + 𝑇)(ℝ D 𝐹)(𝐺𝑥) ↔ ((𝑥 + 𝑇) ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘ℝ) ∧ (𝐺𝑥) ∈ ((𝑧 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑧 − (𝑥 + 𝑇)))) lim (𝑥 + 𝑇)))))
29920, 293, 298mpbir2and 995 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) → (𝑥 + 𝑇)(ℝ D 𝐹)(𝐺𝑥))
3003a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) → 𝐺 = (ℝ D 𝐹))
301300breqd 4807 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) → ((𝑥 + 𝑇)𝐺(𝐺𝑥) ↔ (𝑥 + 𝑇)(ℝ D 𝐹)(𝐺𝑥)))
302299, 301mpbird 247 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) → (𝑥 + 𝑇)𝐺(𝐺𝑥))
3033a1i 11 . . . . . 6 (𝜑𝐺 = (ℝ D 𝐹))
304303funeqd 6063 . . . . 5 (𝜑 → (Fun 𝐺 ↔ Fun (ℝ D 𝐹)))
30528, 304mpbird 247 . . . 4 (𝜑 → Fun 𝐺)
306305adantr 472 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) → Fun 𝐺)
307 funbrfv2b 6394 . . 3 (Fun 𝐺 → ((𝑥 + 𝑇)𝐺(𝐺𝑥) ↔ ((𝑥 + 𝑇) ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐺‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐺𝑥))))
308306, 307syl 17 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) → ((𝑥 + 𝑇)𝐺(𝐺𝑥) ↔ ((𝑥 + 𝑇) ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐺‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐺𝑥))))
309302, 308mpbid 222 1 ((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) → ((𝑥 + 𝑇) ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐺‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐺𝑥)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1624  wcel 2131  wne 2924  wral 3042  wrex 3043  Vcvv 3332  cdif 3704  wss 3707  {csn 4313   class class class wbr 4796  cmpt 4873  dom cdm 5258  ran crn 5259  Fun wfun 6035  wf 6037  cfv 6041  (class class class)co 6805  cc 10118  cr 10119   + caddc 10123   < clt 10258  cmin 10450   / cdiv 10868  +crp 12017  (,)cioo 12360  abscabs 14165  TopOpenctopn 16276  topGenctg 16292  fldccnfld 19940  Topctop 20892  intcnt 21015   lim climc 23817   D cdv 23818
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-rep 4915  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-cnex 10176  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197  ax-pre-sup 10198
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rmo 3050  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-int 4620  df-iun 4666  df-iin 4667  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-om 7223  df-1st 7325  df-2nd 7326  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667  df-1o 7721  df-oadd 7725  df-er 7903  df-map 8017  df-pm 8018  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-fi 8474  df-sup 8505  df-inf 8506  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-div 10869  df-nn 11205  df-2 11263  df-3 11264  df-4 11265  df-5 11266  df-6 11267  df-7 11268  df-8 11269  df-9 11270  df-n0 11477  df-z 11562  df-dec 11678  df-uz 11872  df-q 11974  df-rp 12018  df-xneg 12131  df-xadd 12132  df-xmul 12133  df-ioo 12364  df-icc 12367  df-fz 12512  df-seq 12988  df-exp 13047  df-cj 14030  df-re 14031  df-im 14032  df-sqrt 14166  df-abs 14167  df-struct 16053  df-ndx 16054  df-slot 16055  df-base 16057  df-plusg 16148  df-mulr 16149  df-starv 16150  df-tset 16154  df-ple 16155  df-ds 16158  df-unif 16159  df-rest 16277  df-topn 16278  df-topgen 16298  df-psmet 19932  df-xmet 19933  df-met 19934  df-bl 19935  df-mopn 19936  df-fbas 19937  df-fg 19938  df-cnfld 19941  df-top 20893  df-topon 20910  df-topsp 20931  df-bases 20944  df-cld 21017  df-ntr 21018  df-cls 21019  df-nei 21096  df-lp 21134  df-perf 21135  df-cnp 21226  df-haus 21313  df-fil 21843  df-fm 21935  df-flim 21936  df-flf 21937  df-xms 22318  df-ms 22319  df-limc 23821  df-dv 23822
This theorem is referenced by:  fourierdlem94  40912  fourierdlem97  40915  fourierdlem113  40931
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