Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fperiodmul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fperiodmul 39832
Description: A function with period T is also periodic with period multiple of T. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fperiodmul.f (𝜑𝐹:ℝ⟶ℂ)
fperiodmul.t (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
fperiodmul.n (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
fperiodmul.x (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
fperiodmul.per ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
Assertion
Ref Expression
fperiodmul (𝜑 → (𝐹‘(𝑋 + (𝑁 · 𝑇))) = (𝐹𝑋))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝑁   𝑥,𝑇   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥

Proof of Theorem fperiodmul
StepHypRef Expression
1 fperiodmul.f . . . 4 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℂ)
21adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
3 fperiodmul.t . . . 4 (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
43adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑇 ∈ ℝ)
5 simpr 476 . . 3 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
6 fperiodmul.x . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
76adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ ℝ)
8 fperiodmul.per . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
98adantlr 751 . . 3 (((𝜑𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
102, 4, 5, 7, 9fperiodmullem 39831 . 2 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝑋 + (𝑁 · 𝑇))) = (𝐹𝑋))
116recnd 10106 . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
12 fperiodmul.n . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
1312zcnd 11521 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
143recnd 10106 . . . . . . . 8 (𝜑𝑇 ∈ ℂ)
1513, 14mulcld 10098 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁 · 𝑇) ∈ ℂ)
1611, 15subnegd 10437 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋 − -(𝑁 · 𝑇)) = (𝑋 + (𝑁 · 𝑇)))
1713, 14mulneg1d 10521 . . . . . . . 8 (𝜑 → (-𝑁 · 𝑇) = -(𝑁 · 𝑇))
1817eqcomd 2657 . . . . . . 7 (𝜑 → -(𝑁 · 𝑇) = (-𝑁 · 𝑇))
1918oveq2d 6706 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋 − -(𝑁 · 𝑇)) = (𝑋 − (-𝑁 · 𝑇)))
2016, 19eqtr3d 2687 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 + (𝑁 · 𝑇)) = (𝑋 − (-𝑁 · 𝑇)))
2120fveq2d 6233 . . . 4 (𝜑 → (𝐹‘(𝑋 + (𝑁 · 𝑇))) = (𝐹‘(𝑋 − (-𝑁 · 𝑇))))
2221adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝑋 + (𝑁 · 𝑇))) = (𝐹‘(𝑋 − (-𝑁 · 𝑇))))
231adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
243adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑇 ∈ ℝ)
25 znnn0nn 11527 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → -𝑁 ∈ ℕ)
2612, 25sylan 487 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → -𝑁 ∈ ℕ)
2726nnnn0d 11389 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → -𝑁 ∈ ℕ0)
286adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ ℝ)
2912adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
3029zred 11520 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
3130renegcld 10495 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → -𝑁 ∈ ℝ)
3231, 24remulcld 10108 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → (-𝑁 · 𝑇) ∈ ℝ)
3328, 32resubcld 10496 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑋 − (-𝑁 · 𝑇)) ∈ ℝ)
348adantlr 751 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
3523, 24, 27, 33, 34fperiodmullem 39831 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐹‘((𝑋 − (-𝑁 · 𝑇)) + (-𝑁 · 𝑇))) = (𝐹‘(𝑋 − (-𝑁 · 𝑇))))
3628recnd 10106 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ ℂ)
3730recnd 10106 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℂ)
3837negcld 10417 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → -𝑁 ∈ ℂ)
3924recnd 10106 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑇 ∈ ℂ)
4038, 39mulcld 10098 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → (-𝑁 · 𝑇) ∈ ℂ)
4136, 40npcand 10434 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑋 − (-𝑁 · 𝑇)) + (-𝑁 · 𝑇)) = 𝑋)
4241fveq2d 6233 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐹‘((𝑋 − (-𝑁 · 𝑇)) + (-𝑁 · 𝑇))) = (𝐹𝑋))
4322, 35, 423eqtr2d 2691 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝑋 + (𝑁 · 𝑇))) = (𝐹𝑋))
4410, 43pm2.61dan 849 1 (𝜑 → (𝐹‘(𝑋 + (𝑁 · 𝑇))) = (𝐹𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  cc 9972  cr 9973   + caddc 9977   · cmul 9979  cmin 10304  -cneg 10305  cn 11058  0cn0 11330  cz 11415
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416
This theorem is referenced by:  fourierdlem89  40730  fourierdlem90  40731  fourierdlem91  40732  fourierdlem94  40735  fourierdlem97  40738  fourierdlem113  40754
  Copyright terms: Public domain W3C validator