Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fprod0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fprod0 39219
 Description: A finite product with a zero term is zero. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
fprod0.kph 𝑘𝜑
fprod0.kc 𝑘𝐶
fprod0.a (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fprod0.b ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
fprod0.bc (𝑘 = 𝐾𝐵 = 𝐶)
fprod0.k (𝜑𝐾𝐴)
fprod0.c (𝜑𝐶 = 0)
Assertion
Ref Expression
fprod0 (𝜑 → ∏𝑘𝐴 𝐵 = 0)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐾
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem fprod0
StepHypRef Expression
1 fprod0.kph . . 3 𝑘𝜑
2 fprod0.kc . . . 4 𝑘𝐶
32a1i 11 . . 3 (𝜑𝑘𝐶)
4 fprod0.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
5 fprod0.b . . 3 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
6 fprod0.k . . 3 (𝜑𝐾𝐴)
7 fprod0.bc . . . 4 (𝑘 = 𝐾𝐵 = 𝐶)
87adantl 482 . . 3 ((𝜑𝑘 = 𝐾) → 𝐵 = 𝐶)
91, 3, 4, 5, 6, 8fprodsplit1f 14641 . 2 (𝜑 → ∏𝑘𝐴 𝐵 = (𝐶 · ∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐾})𝐵))
10 fprod0.c . . 3 (𝜑𝐶 = 0)
1110oveq1d 6620 . 2 (𝜑 → (𝐶 · ∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐾})𝐵) = (0 · ∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐾})𝐵))
12 diffi 8137 . . . . 5 (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∖ {𝐾}) ∈ Fin)
134, 12syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 ∖ {𝐾}) ∈ Fin)
14 simpl 473 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐾})) → 𝜑)
15 eldifi 3715 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐾}) → 𝑘𝐴)
1615adantl 482 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐾})) → 𝑘𝐴)
1714, 16, 5syl2anc 692 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐾})) → 𝐵 ∈ ℂ)
181, 13, 17fprodclf 14643 . . 3 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐾})𝐵 ∈ ℂ)
1918mul02d 10179 . 2 (𝜑 → (0 · ∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐾})𝐵) = 0)
209, 11, 193eqtrd 2664 1 (𝜑 → ∏𝑘𝐴 𝐵 = 0)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1480  Ⅎwnf 1705   ∈ wcel 1992  Ⅎwnfc 2754   ∖ cdif 3557  {csn 4153  (class class class)co 6605  Fincfn 7900  ℂcc 9879  0cc0 9881   · cmul 9886  ∏cprod 14555 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-inf2 8483  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958  ax-pre-sup 9959 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-isom 5859  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-1o 7506  df-oadd 7510  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-fin 7904  df-sup 8293  df-oi 8360  df-card 8710  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-div 10630  df-nn 10966  df-2 11024  df-3 11025  df-n0 11238  df-z 11323  df-uz 11632  df-rp 11777  df-fz 12266  df-fzo 12404  df-seq 12739  df-exp 12798  df-hash 13055  df-cj 13768  df-re 13769  df-im 13770  df-sqrt 13904  df-abs 13905  df-clim 14148  df-prod 14556 This theorem is referenced by:  etransclem32  39777  ovn0lem  40073  hoidmvval0  40095
 Copyright terms: Public domain W3C validator