MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fprodcllemf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fprodcllemf 14620
Description: Finite product closure lemma. A version of fprodcllem 14613 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodcllemf.ph 𝑘𝜑
fprodcllemf.s (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
fprodcllemf.xy ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
fprodcllemf.a (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fprodcllemf.b ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵𝑆)
fprodcllemf.1 (𝜑 → 1 ∈ 𝑆)
Assertion
Ref Expression
fprodcllemf (𝜑 → ∏𝑘𝐴 𝐵𝑆)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘,𝑥,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑆,𝑘,𝑥,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fprodcllemf
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 csbeq1a 3527 . . 3 (𝑘 = 𝑗𝐵 = 𝑗 / 𝑘𝐵)
2 nfcv 2761 . . 3 𝑗𝐴
3 nfcv 2761 . . 3 𝑘𝐴
4 nfcv 2761 . . 3 𝑗𝐵
5 nfcsb1v 3534 . . 3 𝑘𝑗 / 𝑘𝐵
61, 2, 3, 4, 5cbvprod 14577 . 2 𝑘𝐴 𝐵 = ∏𝑗𝐴 𝑗 / 𝑘𝐵
7 fprodcllemf.s . . 3 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
8 fprodcllemf.xy . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
9 fprodcllemf.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
10 simpr 477 . . . . 5 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗𝐴)
11 fprodcllemf.ph . . . . . . 7 𝑘𝜑
12 fprodcllemf.b . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵𝑆)
1312ex 450 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐵𝑆))
1411, 13ralrimi 2952 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑘𝐴 𝐵𝑆)
1514adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑗𝐴) → ∀𝑘𝐴 𝐵𝑆)
16 rspsbc 3503 . . . . 5 (𝑗𝐴 → (∀𝑘𝐴 𝐵𝑆[𝑗 / 𝑘]𝐵𝑆))
1710, 15, 16sylc 65 . . . 4 ((𝜑𝑗𝐴) → [𝑗 / 𝑘]𝐵𝑆)
18 vex 3192 . . . . 5 𝑗 ∈ V
19 sbcel1g 3964 . . . . 5 (𝑗 ∈ V → ([𝑗 / 𝑘]𝐵𝑆𝑗 / 𝑘𝐵𝑆))
2018, 19ax-mp 5 . . . 4 ([𝑗 / 𝑘]𝐵𝑆𝑗 / 𝑘𝐵𝑆)
2117, 20sylib 208 . . 3 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗 / 𝑘𝐵𝑆)
22 fprodcllemf.1 . . 3 (𝜑 → 1 ∈ 𝑆)
237, 8, 9, 21, 22fprodcllem 14613 . 2 (𝜑 → ∏𝑗𝐴 𝑗 / 𝑘𝐵𝑆)
246, 23syl5eqel 2702 1 (𝜑 → ∏𝑘𝐴 𝐵𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  wnf 1705  wcel 1987  wral 2907  Vcvv 3189  [wsbc 3421  csb 3518  wss 3559  (class class class)co 6610  Fincfn 7906  cc 9885  1c1 9888   · cmul 9892  cprod 14567
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-inf2 8489  ax-cnex 9943  ax-resscn 9944  ax-1cn 9945  ax-icn 9946  ax-addcl 9947  ax-addrcl 9948  ax-mulcl 9949  ax-mulrcl 9950  ax-mulcom 9951  ax-addass 9952  ax-mulass 9953  ax-distr 9954  ax-i2m1 9955  ax-1ne0 9956  ax-1rid 9957  ax-rnegex 9958  ax-rrecex 9959  ax-cnre 9960  ax-pre-lttri 9961  ax-pre-lttrn 9962  ax-pre-ltadd 9963  ax-pre-mulgt0 9964  ax-pre-sup 9965
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-isom 5861  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-oadd 7516  df-er 7694  df-en 7907  df-dom 7908  df-sdom 7909  df-fin 7910  df-sup 8299  df-oi 8366  df-card 8716  df-pnf 10027  df-mnf 10028  df-xr 10029  df-ltxr 10030  df-le 10031  df-sub 10219  df-neg 10220  df-div 10636  df-nn 10972  df-2 11030  df-3 11031  df-n0 11244  df-z 11329  df-uz 11639  df-rp 11784  df-fz 12276  df-fzo 12414  df-seq 12749  df-exp 12808  df-hash 13065  df-cj 13780  df-re 13781  df-im 13782  df-sqrt 13916  df-abs 13917  df-clim 14160  df-prod 14568
This theorem is referenced by:  fprodreclf  14621  fprodn0f  14654  fprodclf  14655  fprodge0  14656  fprodge1  14658
  Copyright terms: Public domain W3C validator