Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fprodcncf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fprodcncf 39445
Description: The finite product of continuous complex functions is continuous. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodcncf.a (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
fprodcncf.b (𝜑𝐵 ∈ Fin)
fprodcncf.c ((𝜑𝑥𝐴𝑘𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)
fprodcncf.cn ((𝜑𝑘𝐵) → (𝑥𝐴𝐶) ∈ (𝐴cn→ℂ))
Assertion
Ref Expression
fprodcncf (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ ∏𝑘𝐵 𝐶) ∈ (𝐴cn→ℂ))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘,𝑥   𝐵,𝑘,𝑥   𝜑,𝑘,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑘)

Proof of Theorem fprodcncf
Dummy variables 𝑢 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prodeq1 14575 . . . 4 (𝑤 = ∅ → ∏𝑘𝑤 𝐶 = ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐶)
21mpteq2dv 4710 . . 3 (𝑤 = ∅ → (𝑥𝐴 ↦ ∏𝑘𝑤 𝐶) = (𝑥𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐶))
32eleq1d 2683 . 2 (𝑤 = ∅ → ((𝑥𝐴 ↦ ∏𝑘𝑤 𝐶) ∈ (𝐴cn→ℂ) ↔ (𝑥𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐶) ∈ (𝐴cn→ℂ)))
4 prodeq1 14575 . . . 4 (𝑤 = 𝑧 → ∏𝑘𝑤 𝐶 = ∏𝑘𝑧 𝐶)
54mpteq2dv 4710 . . 3 (𝑤 = 𝑧 → (𝑥𝐴 ↦ ∏𝑘𝑤 𝐶) = (𝑥𝐴 ↦ ∏𝑘𝑧 𝐶))
65eleq1d 2683 . 2 (𝑤 = 𝑧 → ((𝑥𝐴 ↦ ∏𝑘𝑤 𝐶) ∈ (𝐴cn→ℂ) ↔ (𝑥𝐴 ↦ ∏𝑘𝑧 𝐶) ∈ (𝐴cn→ℂ)))
7 prodeq1 14575 . . . 4 (𝑤 = (𝑧 ∪ {𝑦}) → ∏𝑘𝑤 𝐶 = ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑦})𝐶)
87mpteq2dv 4710 . . 3 (𝑤 = (𝑧 ∪ {𝑦}) → (𝑥𝐴 ↦ ∏𝑘𝑤 𝐶) = (𝑥𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑦})𝐶))
98eleq1d 2683 . 2 (𝑤 = (𝑧 ∪ {𝑦}) → ((𝑥𝐴 ↦ ∏𝑘𝑤 𝐶) ∈ (𝐴cn→ℂ) ↔ (𝑥𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑦})𝐶) ∈ (𝐴cn→ℂ)))
10 prodeq1 14575 . . . 4 (𝑤 = 𝐵 → ∏𝑘𝑤 𝐶 = ∏𝑘𝐵 𝐶)
1110mpteq2dv 4710 . . 3 (𝑤 = 𝐵 → (𝑥𝐴 ↦ ∏𝑘𝑤 𝐶) = (𝑥𝐴 ↦ ∏𝑘𝐵 𝐶))
1211eleq1d 2683 . 2 (𝑤 = 𝐵 → ((𝑥𝐴 ↦ ∏𝑘𝑤 𝐶) ∈ (𝐴cn→ℂ) ↔ (𝑥𝐴 ↦ ∏𝑘𝐵 𝐶) ∈ (𝐴cn→ℂ)))
13 prod0 14609 . . . . 5 𝑘 ∈ ∅ 𝐶 = 1
1413a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐶 = 1)
1514mpteq2dv 4710 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐶) = (𝑥𝐴 ↦ 1))
16 fprodcncf.a . . . 4 (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
17 1cnd 10008 . . . 4 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
18 ssid 3608 . . . . 5 ℂ ⊆ ℂ
1918a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
2016, 17, 19constcncfg 39415 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ 1) ∈ (𝐴cn→ℂ))
2115, 20eqeltrd 2698 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐶) ∈ (𝐴cn→ℂ))
22 nfcv 2761 . . . . . 6 𝑢𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑦})𝐶
23 nfcv 2761 . . . . . . 7 𝑥(𝑧 ∪ {𝑦})
24 nfcsb1v 3534 . . . . . . 7 𝑥𝑢 / 𝑥𝐶
2523, 24nfcprod 14577 . . . . . 6 𝑥𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑦})𝑢 / 𝑥𝐶
26 csbeq1a 3527 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑢𝐶 = 𝑢 / 𝑥𝐶)
2726adantr 481 . . . . . . 7 ((𝑥 = 𝑢𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑦})) → 𝐶 = 𝑢 / 𝑥𝐶)
2827prodeq2dv 14589 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑢 → ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑦})𝐶 = ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑦})𝑢 / 𝑥𝐶)
2922, 25, 28cbvmpt 4714 . . . . 5 (𝑥𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑦})𝐶) = (𝑢𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑦})𝑢 / 𝑥𝐶)
3029a1i 11 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐵𝑦 ∈ (𝐵𝑧))) ∧ (𝑥𝐴 ↦ ∏𝑘𝑧 𝐶) ∈ (𝐴cn→ℂ)) → (𝑥𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑦})𝐶) = (𝑢𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑦})𝑢 / 𝑥𝐶))
31 nfv 1840 . . . . . . . 8 𝑘((𝜑 ∧ (𝑧𝐵𝑦 ∈ (𝐵𝑧))) ∧ 𝑢𝐴)
32 nfcsb1v 3534 . . . . . . . 8 𝑘𝑦 / 𝑘𝑢 / 𝑥𝐶
33 fprodcncf.b . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐵 ∈ Fin)
3433adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧𝐵) → 𝐵 ∈ Fin)
35 simpr 477 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧𝐵) → 𝑧𝐵)
36 ssfi 8132 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑧𝐵) → 𝑧 ∈ Fin)
3734, 35, 36syl2anc 692 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧𝐵) → 𝑧 ∈ Fin)
3837adantrr 752 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵𝑦 ∈ (𝐵𝑧))) → 𝑧 ∈ Fin)
3938adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐵𝑦 ∈ (𝐵𝑧))) ∧ 𝑢𝐴) → 𝑧 ∈ Fin)
40 vex 3192 . . . . . . . . 9 𝑦 ∈ V
4140a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐵𝑦 ∈ (𝐵𝑧))) ∧ 𝑢𝐴) → 𝑦 ∈ V)
42 eldifn 3716 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (𝐵𝑧) → ¬ 𝑦𝑧)
4342ad2antll 764 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵𝑦 ∈ (𝐵𝑧))) → ¬ 𝑦𝑧)
4443adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐵𝑦 ∈ (𝐵𝑧))) ∧ 𝑢𝐴) → ¬ 𝑦𝑧)
45 simplll 797 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑧𝐵𝑦 ∈ (𝐵𝑧))) ∧ 𝑢𝐴) ∧ 𝑘𝑧) → 𝜑)
46 simplr 791 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑧𝐵𝑦 ∈ (𝐵𝑧))) ∧ 𝑢𝐴) ∧ 𝑘𝑧) → 𝑢𝐴)
4735adantrr 752 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵𝑦 ∈ (𝐵𝑧))) → 𝑧𝐵)
4847ad2antrr 761 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑧𝐵𝑦 ∈ (𝐵𝑧))) ∧ 𝑢𝐴) ∧ 𝑘𝑧) → 𝑧𝐵)
49 simpr 477 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑧𝐵𝑦 ∈ (𝐵𝑧))) ∧ 𝑢𝐴) ∧ 𝑘𝑧) → 𝑘𝑧)
5048, 49sseldd 3588 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑧𝐵𝑦 ∈ (𝐵𝑧))) ∧ 𝑢𝐴) ∧ 𝑘𝑧) → 𝑘𝐵)
51 nfv 1840 . . . . . . . . . . 11 𝑥(𝜑𝑢𝐴𝑘𝐵)
5224nfel1 2775 . . . . . . . . . . 11 𝑥𝑢 / 𝑥𝐶 ∈ ℂ
5351, 52nfim 1822 . . . . . . . . . 10 𝑥((𝜑𝑢𝐴𝑘𝐵) → 𝑢 / 𝑥𝐶 ∈ ℂ)
54 eleq1 2686 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑢 → (𝑥𝐴𝑢𝐴))
55543anbi2d 1401 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑢 → ((𝜑𝑥𝐴𝑘𝐵) ↔ (𝜑𝑢𝐴𝑘𝐵)))
5626eleq1d 2683 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑢 → (𝐶 ∈ ℂ ↔ 𝑢 / 𝑥𝐶 ∈ ℂ))
5755, 56imbi12d 334 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑢 → (((𝜑𝑥𝐴𝑘𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑𝑢𝐴𝑘𝐵) → 𝑢 / 𝑥𝐶 ∈ ℂ)))
58 fprodcncf.c . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴𝑘𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)
5953, 57, 58chvar 2261 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑢𝐴𝑘𝐵) → 𝑢 / 𝑥𝐶 ∈ ℂ)
6045, 46, 50, 59syl3anc 1323 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑧𝐵𝑦 ∈ (𝐵𝑧))) ∧ 𝑢𝐴) ∧ 𝑘𝑧) → 𝑢 / 𝑥𝐶 ∈ ℂ)
61 csbeq1a 3527 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑦𝑢 / 𝑥𝐶 = 𝑦 / 𝑘𝑢 / 𝑥𝐶)
62 simpll 789 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐵𝑦 ∈ (𝐵𝑧))) ∧ 𝑢𝐴) → 𝜑)
63 eldifi 3715 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ (𝐵𝑧) → 𝑦𝐵)
6463ad2antll 764 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵𝑦 ∈ (𝐵𝑧))) → 𝑦𝐵)
6564adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐵𝑦 ∈ (𝐵𝑧))) ∧ 𝑢𝐴) → 𝑦𝐵)
66 simpr 477 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐵𝑦 ∈ (𝐵𝑧))) ∧ 𝑢𝐴) → 𝑢𝐴)
67 simpll 789 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦𝐵) ∧ 𝑢𝐴) → 𝜑)
68 simpr 477 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦𝐵) ∧ 𝑢𝐴) → 𝑢𝐴)
69 simplr 791 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦𝐵) ∧ 𝑢𝐴) → 𝑦𝐵)
70 nfv 1840 . . . . . . . . . . . 12 𝑘(𝜑𝑢𝐴𝑦𝐵)
71 nfcv 2761 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘
7232, 71nfel 2773 . . . . . . . . . . . 12 𝑘𝑦 / 𝑘𝑢 / 𝑥𝐶 ∈ ℂ
7370, 72nfim 1822 . . . . . . . . . . 11 𝑘((𝜑𝑢𝐴𝑦𝐵) → 𝑦 / 𝑘𝑢 / 𝑥𝐶 ∈ ℂ)
74 eleq1 2686 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑦 → (𝑘𝐵𝑦𝐵))
75743anbi3d 1402 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑦 → ((𝜑𝑢𝐴𝑘𝐵) ↔ (𝜑𝑢𝐴𝑦𝐵)))
7661eleq1d 2683 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑦 → (𝑢 / 𝑥𝐶 ∈ ℂ ↔ 𝑦 / 𝑘𝑢 / 𝑥𝐶 ∈ ℂ))
7775, 76imbi12d 334 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑦 → (((𝜑𝑢𝐴𝑘𝐵) → 𝑢 / 𝑥𝐶 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑𝑢𝐴𝑦𝐵) → 𝑦 / 𝑘𝑢 / 𝑥𝐶 ∈ ℂ)))
7873, 77, 59chvar 2261 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑢𝐴𝑦𝐵) → 𝑦 / 𝑘𝑢 / 𝑥𝐶 ∈ ℂ)
7967, 68, 69, 78syl3anc 1323 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦𝐵) ∧ 𝑢𝐴) → 𝑦 / 𝑘𝑢 / 𝑥𝐶 ∈ ℂ)
8062, 65, 66, 79syl21anc 1322 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐵𝑦 ∈ (𝐵𝑧))) ∧ 𝑢𝐴) → 𝑦 / 𝑘𝑢 / 𝑥𝐶 ∈ ℂ)
8131, 32, 39, 41, 44, 60, 61, 80fprodsplitsn 14656 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐵𝑦 ∈ (𝐵𝑧))) ∧ 𝑢𝐴) → ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑦})𝑢 / 𝑥𝐶 = (∏𝑘𝑧 𝑢 / 𝑥𝐶 · 𝑦 / 𝑘𝑢 / 𝑥𝐶))
8281mpteq2dva 4709 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵𝑦 ∈ (𝐵𝑧))) → (𝑢𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑦})𝑢 / 𝑥𝐶) = (𝑢𝐴 ↦ (∏𝑘𝑧 𝑢 / 𝑥𝐶 · 𝑦 / 𝑘𝑢 / 𝑥𝐶)))
8382adantr 481 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐵𝑦 ∈ (𝐵𝑧))) ∧ (𝑥𝐴 ↦ ∏𝑘𝑧 𝐶) ∈ (𝐴cn→ℂ)) → (𝑢𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑦})𝑢 / 𝑥𝐶) = (𝑢𝐴 ↦ (∏𝑘𝑧 𝑢 / 𝑥𝐶 · 𝑦 / 𝑘𝑢 / 𝑥𝐶)))
84 nfcv 2761 . . . . . . . . . . 11 𝑢𝑘𝑧 𝐶
85 nfcv 2761 . . . . . . . . . . . 12 𝑥𝑧
8685, 24nfcprod 14577 . . . . . . . . . . 11 𝑥𝑘𝑧 𝑢 / 𝑥𝐶
8726adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 = 𝑢𝑘𝑧) → 𝐶 = 𝑢 / 𝑥𝐶)
8887prodeq2dv 14589 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑢 → ∏𝑘𝑧 𝐶 = ∏𝑘𝑧 𝑢 / 𝑥𝐶)
8984, 86, 88cbvmpt 4714 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝐴 ↦ ∏𝑘𝑧 𝐶) = (𝑢𝐴 ↦ ∏𝑘𝑧 𝑢 / 𝑥𝐶)
9089eqcomi 2630 . . . . . . . . 9 (𝑢𝐴 ↦ ∏𝑘𝑧 𝑢 / 𝑥𝐶) = (𝑥𝐴 ↦ ∏𝑘𝑧 𝐶)
9190a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐴 ↦ ∏𝑘𝑧 𝐶) ∈ (𝐴cn→ℂ) → (𝑢𝐴 ↦ ∏𝑘𝑧 𝑢 / 𝑥𝐶) = (𝑥𝐴 ↦ ∏𝑘𝑧 𝐶))
92 id 22 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐴 ↦ ∏𝑘𝑧 𝐶) ∈ (𝐴cn→ℂ) → (𝑥𝐴 ↦ ∏𝑘𝑧 𝐶) ∈ (𝐴cn→ℂ))
9391, 92eqeltrd 2698 . . . . . . 7 ((𝑥𝐴 ↦ ∏𝑘𝑧 𝐶) ∈ (𝐴cn→ℂ) → (𝑢𝐴 ↦ ∏𝑘𝑧 𝑢 / 𝑥𝐶) ∈ (𝐴cn→ℂ))
9493adantl 482 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐵𝑦 ∈ (𝐵𝑧))) ∧ (𝑥𝐴 ↦ ∏𝑘𝑧 𝐶) ∈ (𝐴cn→ℂ)) → (𝑢𝐴 ↦ ∏𝑘𝑧 𝑢 / 𝑥𝐶) ∈ (𝐴cn→ℂ))
95 nfv 1840 . . . . . . . . . 10 𝑘(𝜑𝑦𝐵)
96 nfcv 2761 . . . . . . . . . . . 12 𝑘𝐴
9796, 32nfmpt 4711 . . . . . . . . . . 11 𝑘(𝑢𝐴𝑦 / 𝑘𝑢 / 𝑥𝐶)
98 nfcv 2761 . . . . . . . . . . 11 𝑘(𝐴cn→ℂ)
9997, 98nfel 2773 . . . . . . . . . 10 𝑘(𝑢𝐴𝑦 / 𝑘𝑢 / 𝑥𝐶) ∈ (𝐴cn→ℂ)
10095, 99nfim 1822 . . . . . . . . 9 𝑘((𝜑𝑦𝐵) → (𝑢𝐴𝑦 / 𝑘𝑢 / 𝑥𝐶) ∈ (𝐴cn→ℂ))
10174anbi2d 739 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑦 → ((𝜑𝑘𝐵) ↔ (𝜑𝑦𝐵)))
10261adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘 = 𝑦𝑢𝐴) → 𝑢 / 𝑥𝐶 = 𝑦 / 𝑘𝑢 / 𝑥𝐶)
103102mpteq2dva 4709 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑦 → (𝑢𝐴𝑢 / 𝑥𝐶) = (𝑢𝐴𝑦 / 𝑘𝑢 / 𝑥𝐶))
104103eleq1d 2683 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑦 → ((𝑢𝐴𝑢 / 𝑥𝐶) ∈ (𝐴cn→ℂ) ↔ (𝑢𝐴𝑦 / 𝑘𝑢 / 𝑥𝐶) ∈ (𝐴cn→ℂ)))
105101, 104imbi12d 334 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑦 → (((𝜑𝑘𝐵) → (𝑢𝐴𝑢 / 𝑥𝐶) ∈ (𝐴cn→ℂ)) ↔ ((𝜑𝑦𝐵) → (𝑢𝐴𝑦 / 𝑘𝑢 / 𝑥𝐶) ∈ (𝐴cn→ℂ))))
106 nfcv 2761 . . . . . . . . . . 11 𝑢𝐶
107106, 24, 26cbvmpt 4714 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝐴𝐶) = (𝑢𝐴𝑢 / 𝑥𝐶)
108 fprodcncf.cn . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝐵) → (𝑥𝐴𝐶) ∈ (𝐴cn→ℂ))
109107, 108syl5eqelr 2703 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝐵) → (𝑢𝐴𝑢 / 𝑥𝐶) ∈ (𝐴cn→ℂ))
110100, 105, 109chvar 2261 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝐵) → (𝑢𝐴𝑦 / 𝑘𝑢 / 𝑥𝐶) ∈ (𝐴cn→ℂ))
11164, 110syldan 487 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵𝑦 ∈ (𝐵𝑧))) → (𝑢𝐴𝑦 / 𝑘𝑢 / 𝑥𝐶) ∈ (𝐴cn→ℂ))
112111adantr 481 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐵𝑦 ∈ (𝐵𝑧))) ∧ (𝑥𝐴 ↦ ∏𝑘𝑧 𝐶) ∈ (𝐴cn→ℂ)) → (𝑢𝐴𝑦 / 𝑘𝑢 / 𝑥𝐶) ∈ (𝐴cn→ℂ))
11394, 112mulcncf 23138 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐵𝑦 ∈ (𝐵𝑧))) ∧ (𝑥𝐴 ↦ ∏𝑘𝑧 𝐶) ∈ (𝐴cn→ℂ)) → (𝑢𝐴 ↦ (∏𝑘𝑧 𝑢 / 𝑥𝐶 · 𝑦 / 𝑘𝑢 / 𝑥𝐶)) ∈ (𝐴cn→ℂ))
11483, 113eqeltrd 2698 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐵𝑦 ∈ (𝐵𝑧))) ∧ (𝑥𝐴 ↦ ∏𝑘𝑧 𝐶) ∈ (𝐴cn→ℂ)) → (𝑢𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑦})𝑢 / 𝑥𝐶) ∈ (𝐴cn→ℂ))
11530, 114eqeltrd 2698 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐵𝑦 ∈ (𝐵𝑧))) ∧ (𝑥𝐴 ↦ ∏𝑘𝑧 𝐶) ∈ (𝐴cn→ℂ)) → (𝑥𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑦})𝐶) ∈ (𝐴cn→ℂ))
116115ex 450 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵𝑦 ∈ (𝐵𝑧))) → ((𝑥𝐴 ↦ ∏𝑘𝑧 𝐶) ∈ (𝐴cn→ℂ) → (𝑥𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑦})𝐶) ∈ (𝐴cn→ℂ)))
1173, 6, 9, 12, 21, 116, 33findcard2d 8154 1 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ ∏𝑘𝐵 𝐶) ∈ (𝐴cn→ℂ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  Vcvv 3189  csb 3518  cdif 3556  cun 3557  wss 3559  c0 3896  {csn 4153  cmpt 4678  (class class class)co 6610  Fincfn 7907  cc 9886  1c1 9889   · cmul 9893  cprod 14571  cnccncf 22602
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-inf2 8490  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965  ax-pre-sup 9966  ax-mulf 9968
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-iin 4493  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-isom 5861  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-of 6857  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-supp 7248  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-2o 7513  df-oadd 7516  df-er 7694  df-map 7811  df-ixp 7861  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-fin 7911  df-fsupp 8228  df-fi 8269  df-sup 8300  df-inf 8301  df-oi 8367  df-card 8717  df-cda 8942  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-div 10637  df-nn 10973  df-2 11031  df-3 11032  df-4 11033  df-5 11034  df-6 11035  df-7 11036  df-8 11037  df-9 11038  df-n0 11245  df-z 11330  df-dec 11446  df-uz 11640  df-q 11741  df-rp 11785  df-xneg 11898  df-xadd 11899  df-xmul 11900  df-icc 12132  df-fz 12277  df-fzo 12415  df-seq 12750  df-exp 12809  df-hash 13066  df-cj 13781  df-re 13782  df-im 13783  df-sqrt 13917  df-abs 13918  df-clim 14161  df-prod 14572  df-struct 15794  df-ndx 15795  df-slot 15796  df-base 15797  df-sets 15798  df-ress 15799  df-plusg 15886  df-mulr 15887  df-starv 15888  df-sca 15889  df-vsca 15890  df-ip 15891  df-tset 15892  df-ple 15893  df-ds 15896  df-unif 15897  df-hom 15898  df-cco 15899  df-rest 16015  df-topn 16016  df-0g 16034  df-gsum 16035  df-topgen 16036  df-pt 16037  df-prds 16040  df-xrs 16094  df-qtop 16099  df-imas 16100  df-xps 16102  df-mre 16178  df-mrc 16179  df-acs 16181  df-mgm 17174  df-sgrp 17216  df-mnd 17227  df-submnd 17268  df-mulg 17473  df-cntz 17682  df-cmn 18127  df-psmet 19670  df-xmet 19671  df-met 19672  df-bl 19673  df-mopn 19674  df-cnfld 19679  df-top 20631  df-topon 20648  df-topsp 20661  df-bases 20674  df-cn 20954  df-cnp 20955  df-tx 21288  df-hmeo 21481  df-xms 22048  df-ms 22049  df-tms 22050  df-cncf 22604
This theorem is referenced by:  etransclem18  39802  etransclem34  39818  etransclem46  39830
  Copyright terms: Public domain W3C validator