Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fprodcnlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fprodcnlem 39222
Description: A finite product of functions to complex numbers from a common topological space is continuous. Induction step. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodcnlem.1 𝑘𝜑
fprodcnlem.k 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
fprodcnlem.j (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
fprodcnlem.a (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fprodcnlem.b ((𝜑𝑘𝐴) → (𝑥𝑋𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
fprodcnlem.z (𝜑𝑍𝐴)
fprodcnlem.w (𝜑𝑊 ∈ (𝐴𝑍))
fprodcnlem.p (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ ∏𝑘𝑍 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Assertion
Ref Expression
fprodcnlem (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ (𝑍 ∪ {𝑊})𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐽,𝑥   𝑘,𝐾,𝑥   𝑘,𝑊,𝑥   𝑘,𝑋,𝑥   𝑘,𝑍   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥,𝑘)   𝑍(𝑥)

Proof of Theorem fprodcnlem
StepHypRef Expression
1 fprodcnlem.1 . . . . 5 𝑘𝜑
2 nfv 1845 . . . . 5 𝑘 𝑥𝑋
31, 2nfan 1830 . . . 4 𝑘(𝜑𝑥𝑋)
4 nfcsb1v 3535 . . . 4 𝑘𝑊 / 𝑘𝐵
5 fprodcnlem.a . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
6 fprodcnlem.z . . . . . 6 (𝜑𝑍𝐴)
75, 6ssfid 8128 . . . . 5 (𝜑𝑍 ∈ Fin)
87adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑍 ∈ Fin)
9 fprodcnlem.w . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ (𝐴𝑍))
109adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑊 ∈ (𝐴𝑍))
1110eldifbd 3573 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → ¬ 𝑊𝑍)
126sselda 3588 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑘𝐴)
1312adantlr 750 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑘𝑍) → 𝑘𝐴)
14 fprodcnlem.j . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
1514adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
16 fprodcnlem.k . . . . . . . . . . 11 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
1716cnfldtopon 22491 . . . . . . . . . 10 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ)
1817a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ))
19 fprodcnlem.b . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝑥𝑋𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
20 cnf2 20958 . . . . . . . . 9 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ (𝑥𝑋𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝑥𝑋𝐵):𝑋⟶ℂ)
2115, 18, 19, 20syl3anc 1323 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝑥𝑋𝐵):𝑋⟶ℂ)
22 eqid 2626 . . . . . . . . 9 (𝑥𝑋𝐵) = (𝑥𝑋𝐵)
2322fmpt 6338 . . . . . . . 8 (∀𝑥𝑋 𝐵 ∈ ℂ ↔ (𝑥𝑋𝐵):𝑋⟶ℂ)
2421, 23sylibr 224 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → ∀𝑥𝑋 𝐵 ∈ ℂ)
2524adantlr 750 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑘𝐴) → ∀𝑥𝑋 𝐵 ∈ ℂ)
26 simplr 791 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑘𝐴) → 𝑥𝑋)
27 rspa 2930 . . . . . 6 ((∀𝑥𝑋 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝑋) → 𝐵 ∈ ℂ)
2825, 26, 27syl2anc 692 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
2913, 28syldan 487 . . . 4 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ ℂ)
30 csbeq1a 3528 . . . 4 (𝑘 = 𝑊𝐵 = 𝑊 / 𝑘𝐵)
3110eldifad 3572 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑊𝐴)
32 simpr 477 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑊𝐴) → 𝑊𝐴)
33 nfcv 2767 . . . . . . 7 𝑘𝑊
34 nfv 1845 . . . . . . . . 9 𝑘 𝑊𝐴
353, 34nfan 1830 . . . . . . . 8 𝑘((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑊𝐴)
364nfel1 2781 . . . . . . . 8 𝑘𝑊 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ
3735, 36nfim 1827 . . . . . . 7 𝑘(((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑊𝐴) → 𝑊 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)
38 eleq1 2692 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑊 → (𝑘𝐴𝑊𝐴))
3938anbi2d 739 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑊 → (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑘𝐴) ↔ ((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑊𝐴)))
4030eleq1d 2688 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑊 → (𝐵 ∈ ℂ ↔ 𝑊 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ))
4139, 40imbi12d 334 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑊 → ((((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ) ↔ (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑊𝐴) → 𝑊 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)))
4233, 37, 41, 28vtoclgf 3255 . . . . . 6 (𝑊𝐴 → (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑊𝐴) → 𝑊 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ))
4332, 42mpcom 38 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑊𝐴) → 𝑊 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)
4431, 43mpdan 701 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑊 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)
453, 4, 8, 10, 11, 29, 30, 44fprodsplitsn 14640 . . 3 ((𝜑𝑥𝑋) → ∏𝑘 ∈ (𝑍 ∪ {𝑊})𝐵 = (∏𝑘𝑍 𝐵 · 𝑊 / 𝑘𝐵))
4645mpteq2dva 4709 . 2 (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ (𝑍 ∪ {𝑊})𝐵) = (𝑥𝑋 ↦ (∏𝑘𝑍 𝐵 · 𝑊 / 𝑘𝐵)))
47 fprodcnlem.p . . 3 (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ ∏𝑘𝑍 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
489eldifad 3572 . . . 4 (𝜑𝑊𝐴)
491, 34nfan 1830 . . . . . . 7 𝑘(𝜑𝑊𝐴)
50 nfcv 2767 . . . . . . . . 9 𝑘𝑋
5150, 4nfmpt 4711 . . . . . . . 8 𝑘(𝑥𝑋𝑊 / 𝑘𝐵)
52 nfcv 2767 . . . . . . . 8 𝑘(𝐽 Cn 𝐾)
5351, 52nfel 2779 . . . . . . 7 𝑘(𝑥𝑋𝑊 / 𝑘𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)
5449, 53nfim 1827 . . . . . 6 𝑘((𝜑𝑊𝐴) → (𝑥𝑋𝑊 / 𝑘𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
5538anbi2d 739 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑊 → ((𝜑𝑘𝐴) ↔ (𝜑𝑊𝐴)))
5630mpteq2dv 4710 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑊 → (𝑥𝑋𝐵) = (𝑥𝑋𝑊 / 𝑘𝐵))
5756eleq1d 2688 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑊 → ((𝑥𝑋𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝑥𝑋𝑊 / 𝑘𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
5855, 57imbi12d 334 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑊 → (((𝜑𝑘𝐴) → (𝑥𝑋𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ↔ ((𝜑𝑊𝐴) → (𝑥𝑋𝑊 / 𝑘𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))))
5919idi 2 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝑥𝑋𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
6033, 54, 58, 59vtoclgf 3255 . . . . 5 (𝑊𝐴 → ((𝜑𝑊𝐴) → (𝑥𝑋𝑊 / 𝑘𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
6160anabsi7 859 . . . 4 ((𝜑𝑊𝐴) → (𝑥𝑋𝑊 / 𝑘𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
6248, 61mpdan 701 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝑋𝑊 / 𝑘𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
6316mulcn 22573 . . . 4 · ∈ ((𝐾 ×t 𝐾) Cn 𝐾)
6463a1i 11 . . 3 (𝜑 → · ∈ ((𝐾 ×t 𝐾) Cn 𝐾))
6514, 47, 62, 64cnmpt12f 21374 . 2 (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ (∏𝑘𝑍 𝐵 · 𝑊 / 𝑘𝐵)) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
6646, 65eqeltrd 2704 1 (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ (𝑍 ∪ {𝑊})𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wnf 1705  wcel 1992  wral 2912  csb 3519  cdif 3557  cun 3558  wss 3560  {csn 4153  cmpt 4678  wf 5846  cfv 5850  (class class class)co 6605  Fincfn 7900  cc 9879   · cmul 9886  cprod 14555  TopOpenctopn 15998  fldccnfld 19660  TopOnctopon 20613   Cn ccn 20933   ×t ctx 21268
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-inf2 8483  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958  ax-pre-sup 9959  ax-mulf 9961
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-iin 4493  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-isom 5859  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-of 6851  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-supp 7242  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-1o 7506  df-2o 7507  df-oadd 7510  df-er 7688  df-map 7805  df-ixp 7854  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-fin 7904  df-fsupp 8221  df-fi 8262  df-sup 8293  df-inf 8294  df-oi 8360  df-card 8710  df-cda 8935  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-div 10630  df-nn 10966  df-2 11024  df-3 11025  df-4 11026  df-5 11027  df-6 11028  df-7 11029  df-8 11030  df-9 11031  df-n0 11238  df-z 11323  df-dec 11438  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-xneg 11890  df-xadd 11891  df-xmul 11892  df-icc 12121  df-fz 12266  df-fzo 12404  df-seq 12739  df-exp 12798  df-hash 13055  df-cj 13768  df-re 13769  df-im 13770  df-sqrt 13904  df-abs 13905  df-clim 14148  df-prod 14556  df-struct 15778  df-ndx 15779  df-slot 15780  df-base 15781  df-sets 15782  df-ress 15783  df-plusg 15870  df-mulr 15871  df-starv 15872  df-sca 15873  df-vsca 15874  df-ip 15875  df-tset 15876  df-ple 15877  df-ds 15880  df-unif 15881  df-hom 15882  df-cco 15883  df-rest 15999  df-topn 16000  df-0g 16018  df-gsum 16019  df-topgen 16020  df-pt 16021  df-prds 16024  df-xrs 16078  df-qtop 16083  df-imas 16084  df-xps 16086  df-mre 16162  df-mrc 16163  df-acs 16165  df-mgm 17158  df-sgrp 17200  df-mnd 17211  df-submnd 17252  df-mulg 17457  df-cntz 17666  df-cmn 18111  df-psmet 19652  df-xmet 19653  df-met 19654  df-bl 19655  df-mopn 19656  df-cnfld 19661  df-top 20616  df-bases 20617  df-topon 20618  df-topsp 20619  df-cn 20936  df-cnp 20937  df-tx 21270  df-hmeo 21463  df-xms 22030  df-ms 22031  df-tms 22032
This theorem is referenced by:  fprodcn  39223
  Copyright terms: Public domain W3C validator