MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fprodeq0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fprodeq0 15317
Description: Anything finite product containing a zero term is itself zero. (Contributed by Scott Fenton, 27-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodeq0.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
fprodeq0.2 (𝜑𝑁𝑍)
fprodeq0.3 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
fprodeq0.4 ((𝜑𝑘 = 𝑁) → 𝐴 = 0)
Assertion
Ref Expression
fprodeq0 ((𝜑𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → ∏𝑘 ∈ (𝑀...𝐾)𝐴 = 0)
Distinct variable groups:   𝑘,𝐾   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝑘,𝑍   𝜑,𝑘
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem fprodeq0
StepHypRef Expression
1 eluzel2 12236 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (ℤ𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
21adantl 482 . . . . . 6 ((𝜑𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
32zred 12075 . . . . 5 ((𝜑𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ)
43ltp1d 11558 . . . 4 ((𝜑𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑁 < (𝑁 + 1))
5 fzdisj 12922 . . . 4 (𝑁 < (𝑁 + 1) → ((𝑀...𝑁) ∩ ((𝑁 + 1)...𝐾)) = ∅)
64, 5syl 17 . . 3 ((𝜑𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → ((𝑀...𝑁) ∩ ((𝑁 + 1)...𝐾)) = ∅)
7 fprodeq0.2 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁𝑍)
8 eluzel2 12236 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
9 fprodeq0.1 . . . . . . . . 9 𝑍 = (ℤ𝑀)
108, 9eleq2s 2928 . . . . . . . 8 (𝑁𝑍𝑀 ∈ ℤ)
117, 10syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
1211adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑀 ∈ ℤ)
13 eluzelz 12241 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (ℤ𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
1413adantl 482 . . . . . 6 ((𝜑𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝐾 ∈ ℤ)
1512, 14, 23jca 1120 . . . . 5 ((𝜑𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
16 eluzle 12244 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀𝑁)
1716, 9eleq2s 2928 . . . . . . 7 (𝑁𝑍𝑀𝑁)
187, 17syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑀𝑁)
19 eluzle 12244 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (ℤ𝑁) → 𝑁𝐾)
2018, 19anim12i 612 . . . . 5 ((𝜑𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝑀𝑁𝑁𝐾))
21 elfz2 12887 . . . . 5 (𝑁 ∈ (𝑀...𝐾) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀𝑁𝑁𝐾)))
2215, 20, 21sylanbrc 583 . . . 4 ((𝜑𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝐾))
23 fzsplit 12921 . . . 4 (𝑁 ∈ (𝑀...𝐾) → (𝑀...𝐾) = ((𝑀...𝑁) ∪ ((𝑁 + 1)...𝐾)))
2422, 23syl 17 . . 3 ((𝜑𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝑀...𝐾) = ((𝑀...𝑁) ∪ ((𝑁 + 1)...𝐾)))
25 fzfid 13329 . . 3 ((𝜑𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝑀...𝐾) ∈ Fin)
26 elfzuz 12892 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (𝑀...𝐾) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
2726, 9eleqtrrdi 2921 . . . . 5 (𝑘 ∈ (𝑀...𝐾) → 𝑘𝑍)
28 fprodeq0.3 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
2927, 28sylan2 592 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝐾)) → 𝐴 ∈ ℂ)
3029adantlr 711 . . 3 (((𝜑𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝐾)) → 𝐴 ∈ ℂ)
316, 24, 25, 30fprodsplit 15308 . 2 ((𝜑𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → ∏𝑘 ∈ (𝑀...𝐾)𝐴 = (∏𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 · ∏𝑘 ∈ ((𝑁 + 1)...𝐾)𝐴))
327, 9eleqtrdi 2920 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
33 elfzuz 12892 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
3433, 9eleqtrrdi 2921 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑘𝑍)
3534, 28sylan2 592 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
3632, 35fprodm1s 15312 . . . . 5 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = (∏𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 · 𝑁 / 𝑘𝐴))
37 fprodeq0.4 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 = 𝑁) → 𝐴 = 0)
387, 37csbied 3916 . . . . . 6 (𝜑𝑁 / 𝑘𝐴 = 0)
3938oveq2d 7161 . . . . 5 (𝜑 → (∏𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 · 𝑁 / 𝑘𝐴) = (∏𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 · 0))
40 fzfid 13329 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀...(𝑁 − 1)) ∈ Fin)
41 elfzuz 12892 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
4241, 9eleqtrrdi 2921 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) → 𝑘𝑍)
4342, 28sylan2 592 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → 𝐴 ∈ ℂ)
4440, 43fprodcl 15294 . . . . . 6 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 ∈ ℂ)
4544mul01d 10827 . . . . 5 (𝜑 → (∏𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 · 0) = 0)
4636, 39, 453eqtrd 2857 . . . 4 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = 0)
4746adantr 481 . . 3 ((𝜑𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → ∏𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = 0)
4847oveq1d 7160 . 2 ((𝜑𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → (∏𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 · ∏𝑘 ∈ ((𝑁 + 1)...𝐾)𝐴) = (0 · ∏𝑘 ∈ ((𝑁 + 1)...𝐾)𝐴))
49 fzfid 13329 . . . 4 ((𝜑𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → ((𝑁 + 1)...𝐾) ∈ Fin)
509peano2uzs 12290 . . . . . . . . 9 (𝑁𝑍 → (𝑁 + 1) ∈ 𝑍)
517, 50syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ 𝑍)
52 elfzuz 12892 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ((𝑁 + 1)...𝐾) → 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)))
539uztrn2 12250 . . . . . . . 8 (((𝑁 + 1) ∈ 𝑍𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑘𝑍)
5451, 52, 53syl2an 595 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑁 + 1)...𝐾)) → 𝑘𝑍)
5554adantrl 712 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐾 ∈ (ℤ𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ((𝑁 + 1)...𝐾))) → 𝑘𝑍)
5655, 28syldan 591 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐾 ∈ (ℤ𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ((𝑁 + 1)...𝐾))) → 𝐴 ∈ ℂ)
5756anassrs 468 . . . 4 (((𝜑𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ ((𝑁 + 1)...𝐾)) → 𝐴 ∈ ℂ)
5849, 57fprodcl 15294 . . 3 ((𝜑𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → ∏𝑘 ∈ ((𝑁 + 1)...𝐾)𝐴 ∈ ℂ)
5958mul02d 10826 . 2 ((𝜑𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → (0 · ∏𝑘 ∈ ((𝑁 + 1)...𝐾)𝐴) = 0)
6031, 48, 593eqtrd 2857 1 ((𝜑𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → ∏𝑘 ∈ (𝑀...𝐾)𝐴 = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  csb 3880  cun 3931  cin 3932  c0 4288   class class class wbr 5057  cfv 6348  (class class class)co 7145  cc 10523  0cc0 10525  1c1 10526   + caddc 10528   · cmul 10530   < clt 10663  cle 10664  cmin 10858  cz 11969  cuz 12231  ...cfz 12880  cprod 15247
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-inf2 9092  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-sup 8894  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-seq 13358  df-exp 13418  df-hash 13679  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-clim 14833  df-prod 15248
This theorem is referenced by:  bcc0  40549
  Copyright terms: Public domain W3C validator