Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fprodfac Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fprodfac 14628
 Description: Factorial using product notation. (Contributed by Scott Fenton, 15-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
fprodfac (𝐴 ∈ ℕ0 → (!‘𝐴) = ∏𝑘 ∈ (1...𝐴)𝑘)
Distinct variable group:   𝐴,𝑘

Proof of Theorem fprodfac
StepHypRef Expression
1 elnn0 11238 . 2 (𝐴 ∈ ℕ0 ↔ (𝐴 ∈ ℕ ∨ 𝐴 = 0))
2 facnn 13002 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ → (!‘𝐴) = (seq1( · , I )‘𝐴))
3 vex 3189 . . . . . 6 𝑘 ∈ V
4 fvi 6212 . . . . . 6 (𝑘 ∈ V → ( I ‘𝑘) = 𝑘)
53, 4mp1i 13 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐴)) → ( I ‘𝑘) = 𝑘)
6 elnnuz 11668 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℕ ↔ 𝐴 ∈ (ℤ‘1))
76biimpi 206 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ (ℤ‘1))
8 elfznn 12312 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (1...𝐴) → 𝑘 ∈ ℕ)
98nncnd 10980 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (1...𝐴) → 𝑘 ∈ ℂ)
109adantl 482 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐴)) → 𝑘 ∈ ℂ)
115, 7, 10fprodser 14604 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ → ∏𝑘 ∈ (1...𝐴)𝑘 = (seq1( · , I )‘𝐴))
122, 11eqtr4d 2658 . . 3 (𝐴 ∈ ℕ → (!‘𝐴) = ∏𝑘 ∈ (1...𝐴)𝑘)
13 prod0 14598 . . . . 5 𝑘 ∈ ∅ 𝑘 = 1
1413eqcomi 2630 . . . 4 1 = ∏𝑘 ∈ ∅ 𝑘
15 fveq2 6148 . . . . 5 (𝐴 = 0 → (!‘𝐴) = (!‘0))
16 fac0 13003 . . . . 5 (!‘0) = 1
1715, 16syl6eq 2671 . . . 4 (𝐴 = 0 → (!‘𝐴) = 1)
18 oveq2 6612 . . . . . 6 (𝐴 = 0 → (1...𝐴) = (1...0))
19 fz10 12304 . . . . . 6 (1...0) = ∅
2018, 19syl6eq 2671 . . . . 5 (𝐴 = 0 → (1...𝐴) = ∅)
2120prodeq1d 14576 . . . 4 (𝐴 = 0 → ∏𝑘 ∈ (1...𝐴)𝑘 = ∏𝑘 ∈ ∅ 𝑘)
2214, 17, 213eqtr4a 2681 . . 3 (𝐴 = 0 → (!‘𝐴) = ∏𝑘 ∈ (1...𝐴)𝑘)
2312, 22jaoi 394 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ ∨ 𝐴 = 0) → (!‘𝐴) = ∏𝑘 ∈ (1...𝐴)𝑘)
241, 23sylbi 207 1 (𝐴 ∈ ℕ0 → (!‘𝐴) = ∏𝑘 ∈ (1...𝐴)𝑘)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 383   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  Vcvv 3186  ∅c0 3891   I cid 4984  ‘cfv 5847  (class class class)co 6604  ℂcc 9878  0cc0 9880  1c1 9881   · cmul 9885  ℕcn 10964  ℕ0cn0 11236  ℤ≥cuz 11631  ...cfz 12268  seqcseq 12741  !cfa 13000  ∏cprod 14560 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-sup 8292  df-oi 8359  df-card 8709  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-rp 11777  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-seq 12742  df-exp 12801  df-fac 13001  df-hash 13058  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-clim 14153  df-prod 14561 This theorem is referenced by:  risefacfac  14691  fallfacval4  14699  prmolefac  15674  gausslemma2dlem1  24991  gausslemma2dlem6  24997  bcprod  31329  etransclem41  39796
 Copyright terms: Public domain W3C validator