MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fprodfvdvdsd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fprodfvdvdsd 15105
Description: A finite product of integers is divisible by any of its factors being function values. (Contributed by AV, 1-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodfvdvdsd.a (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fprodfvdvdsd.b (𝜑𝐴𝐵)
fprodfvdvdsd.f (𝜑𝐹:𝐵⟶ℤ)
Assertion
Ref Expression
fprodfvdvdsd (𝜑 → ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ∥ ∏𝑘𝐴 (𝐹𝑘))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥,𝑘)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem fprodfvdvdsd
StepHypRef Expression
1 fprodfvdvdsd.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
21adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐴 ∈ Fin)
3 diffi 8233 . . . . . 6 (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∖ {𝑥}) ∈ Fin)
42, 3syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐴 ∖ {𝑥}) ∈ Fin)
5 fprodfvdvdsd.f . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:𝐵⟶ℤ)
65adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})) → 𝐹:𝐵⟶ℤ)
7 fprodfvdvdsd.b . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴𝐵)
87ssdifssd 3781 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝐵)
98sselda 3636 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})) → 𝑘𝐵)
106, 9ffvelrnd 6400 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})) → (𝐹𝑘) ∈ ℤ)
1110adantlr 751 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})) → (𝐹𝑘) ∈ ℤ)
124, 11fprodzcl 14728 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → ∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})(𝐹𝑘) ∈ ℤ)
135adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐹:𝐵⟶ℤ)
147sselda 3636 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥𝐵)
1513, 14ffvelrnd 6400 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) ∈ ℤ)
16 dvdsmul2 15051 . . . 4 ((∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})(𝐹𝑘) ∈ ℤ ∧ (𝐹𝑥) ∈ ℤ) → (𝐹𝑥) ∥ (∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})(𝐹𝑘) · (𝐹𝑥)))
1712, 15, 16syl2anc 694 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) ∥ (∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})(𝐹𝑘) · (𝐹𝑥)))
1817ralrimiva 2995 . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ∥ (∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})(𝐹𝑘) · (𝐹𝑥)))
19 neldifsnd 4355 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → ¬ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}))
20 disjsn 4278 . . . . . . 7 (((𝐴 ∖ {𝑥}) ∩ {𝑥}) = ∅ ↔ ¬ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}))
2119, 20sylibr 224 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∩ {𝑥}) = ∅)
22 difsnid 4373 . . . . . . . 8 (𝑥𝐴 → ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}) = 𝐴)
2322eqcomd 2657 . . . . . . 7 (𝑥𝐴𝐴 = ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}))
2423adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐴 = ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}))
2513adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐹:𝐵⟶ℤ)
267adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐴𝐵)
2726sselda 3636 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑘𝐴) → 𝑘𝐵)
2825, 27ffvelrnd 6400 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑘𝐴) → (𝐹𝑘) ∈ ℤ)
2928zcnd 11521 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑘𝐴) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
3021, 24, 2, 29fprodsplit 14740 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → ∏𝑘𝐴 (𝐹𝑘) = (∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})(𝐹𝑘) · ∏𝑘 ∈ {𝑥} (𝐹𝑘)))
31 simpr 476 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥𝐴)
3215zcnd 11521 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
33 fveq2 6229 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑥 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑥))
3433prodsn 14736 . . . . . . 7 ((𝑥𝐴 ∧ (𝐹𝑥) ∈ ℂ) → ∏𝑘 ∈ {𝑥} (𝐹𝑘) = (𝐹𝑥))
3531, 32, 34syl2anc 694 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → ∏𝑘 ∈ {𝑥} (𝐹𝑘) = (𝐹𝑥))
3635oveq2d 6706 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → (∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})(𝐹𝑘) · ∏𝑘 ∈ {𝑥} (𝐹𝑘)) = (∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})(𝐹𝑘) · (𝐹𝑥)))
3730, 36eqtrd 2685 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → ∏𝑘𝐴 (𝐹𝑘) = (∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})(𝐹𝑘) · (𝐹𝑥)))
3837breq2d 4697 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → ((𝐹𝑥) ∥ ∏𝑘𝐴 (𝐹𝑘) ↔ (𝐹𝑥) ∥ (∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})(𝐹𝑘) · (𝐹𝑥))))
3938ralbidva 3014 . 2 (𝜑 → (∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ∥ ∏𝑘𝐴 (𝐹𝑘) ↔ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ∥ (∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})(𝐹𝑘) · (𝐹𝑥))))
4018, 39mpbird 247 1 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ∥ ∏𝑘𝐴 (𝐹𝑘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wral 2941  cdif 3604  cun 3605  cin 3606  wss 3607  c0 3948  {csn 4210   class class class wbr 4685  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  Fincfn 7997  cc 9972   · cmul 9979  cz 11415  cprod 14679  cdvds 15027
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-oi 8456  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-prod 14680  df-dvds 15028
This theorem is referenced by:  fproddvdsd  15106  fmtnodvds  41781
  Copyright terms: Public domain W3C validator