Theorem fprodfvdvdsd 15685

Description: A finite product of integers is divisible by any of its factors being function values. (Contributed by AV, 1-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodfvdvdsd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fprodfvdvdsd.b	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
fprodfvdvdsd.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶ℤ)

Assertion

Ref	Expression
fprodfvdvdsd	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∥ ∏𝑘 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑘))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥,𝑘)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem fprodfvdvdsd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fprodfvdvdsd.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
2	1	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐴 ∈ Fin)
3		diffi 8752	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∖ {𝑥}) ∈ Fin)
4	2, 3	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐴 ∖ {𝑥}) ∈ Fin)
5		fprodfvdvdsd.f	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶ℤ)
6	5	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})) → 𝐹:𝐵⟶ℤ)
7		fprodfvdvdsd.b	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
8	7	ssdifssd 4121	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝐵)
9	8	sselda 3969	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})) → 𝑘 ∈ 𝐵)
10	6, 9	ffvelrnd 6854	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℤ)
11	10	adantlr 713	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℤ)
12	4, 11	fprodzcl 15310	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})(𝐹‘𝑘) ∈ ℤ)
13	5	adantr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐹:𝐵⟶ℤ)
14	7	sselda 3969	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐵)
15	13, 14	ffvelrnd 6854	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℤ)
16		dvdsmul2 15634	. . . 4 ⊢ ((∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})(𝐹‘𝑘) ∈ ℤ ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ ℤ) → (𝐹‘𝑥) ∥ (∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})(𝐹‘𝑘) · (𝐹‘𝑥)))
17	12, 15, 16	syl2anc 586	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) ∥ (∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})(𝐹‘𝑘) · (𝐹‘𝑥)))
18	17	ralrimiva 3184	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∥ (∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})(𝐹‘𝑘) · (𝐹‘𝑥)))
19		neldifsnd 4728	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}))
20		disjsn 4649	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∖ {𝑥}) ∩ {𝑥}) = ∅ ↔ ¬ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}))
21	19, 20	sylibr 236	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∩ {𝑥}) = ∅)
22		difsnid 4745	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}) = 𝐴)
23	22	eqcomd 2829	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝐴 = ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}))
24	23	adantl 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐴 = ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}))
25	13	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐹:𝐵⟶ℤ)
26	7	adantr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
27	26	sselda 3969	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑘 ∈ 𝐵)
28	25, 27	ffvelrnd 6854	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℤ)
29	28	zcnd 12091	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
30	21, 24, 2, 29	fprodsplit 15322	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑘) = (∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})(𝐹‘𝑘) · ∏𝑘 ∈ {𝑥} (𝐹‘𝑘)))
31		simpr 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
32	15	zcnd 12091	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
33		fveq2 6672	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑥))
34	33	prodsn 15318	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ) → ∏𝑘 ∈ {𝑥} (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑥))
35	31, 32, 34	syl2anc 586	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∏𝑘 ∈ {𝑥} (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑥))
36	35	oveq2d 7174	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})(𝐹‘𝑘) · ∏𝑘 ∈ {𝑥} (𝐹‘𝑘)) = (∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})(𝐹‘𝑘) · (𝐹‘𝑥)))
37	30, 36	eqtrd 2858	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑘) = (∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})(𝐹‘𝑘) · (𝐹‘𝑥)))
38	37	breq2d 5080	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑥) ∥ ∏𝑘 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑘) ↔ (𝐹‘𝑥) ∥ (∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})(𝐹‘𝑘) · (𝐹‘𝑥))))
39	38	ralbidva 3198	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∥ ∏𝑘 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑘) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∥ (∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})(𝐹‘𝑘) · (𝐹‘𝑥))))
40	18, 39	mpbird 259	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∥ ∏𝑘 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑘))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ∀wral 3140   ∖ cdif 3935   ∪ cun 3936   ∩ cin 3937   ⊆ wss 3938  ∅c0 4293  {csn 4569   class class class wbr 5068  ⟶wf 6353  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158  Fincfn 8511  ℂcc 10537   · cmul 10544  ℤcz 11984  ∏cprod 15261   ∥ cdvds 15609

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-inf2 9106  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616  ax-pre-sup 10617

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-se 5517  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-isom 6366  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-1o 8104  df-oadd 8108  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-fin 8515  df-sup 8908  df-oi 8976  df-card 9370  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-div 11300  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-rp 12393  df-fz 12896  df-fzo 13037  df-seq 13373  df-exp 13433  df-hash 13694  df-cj 14460  df-re 14461  df-im 14462  df-sqrt 14596  df-abs 14597  df-clim 14847  df-prod 15262  df-dvds 15610

This theorem is referenced by:  fproddvdsd  15686  fmtnodvds  43713