MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fprodge0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fprodge0 14509
Description: If all the terms of a finite product are nonnegative, so is the product. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodge0.kph 𝑘𝜑
fprodge0.a (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fprodge0.b ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
fprodge0.0leb ((𝜑𝑘𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
Assertion
Ref Expression
fprodge0 (𝜑 → 0 ≤ ∏𝑘𝐴 𝐵)
Distinct variable group:   𝐴,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fprodge0
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fprodge0.kph . . 3 𝑘𝜑
2 elrege0 12105 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥))
32simplbi 474 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (0[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ)
43ssriv 3571 . . . . 5 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
5 ax-resscn 9849 . . . . 5 ℝ ⊆ ℂ
64, 5sstri 3576 . . . 4 (0[,)+∞) ⊆ ℂ
76a1i 11 . . 3 (𝜑 → (0[,)+∞) ⊆ ℂ)
8 ge0mulcl 12112 . . . 4 ((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (0[,)+∞))
98adantl 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞))) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (0[,)+∞))
10 fprodge0.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
11 fprodge0.b . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
12 fprodge0.0leb . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
13 elrege0 12105 . . . 4 (𝐵 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵))
1411, 12, 13sylanbrc 694 . . 3 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
15 1re 9895 . . . . . 6 1 ∈ ℝ
16 0le1 10400 . . . . . 6 0 ≤ 1
17 ltpnf 11791 . . . . . . 7 (1 ∈ ℝ → 1 < +∞)
1815, 17ax-mp 5 . . . . . 6 1 < +∞
1915, 16, 183pm3.2i 1231 . . . . 5 (1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1 ∧ 1 < +∞)
20 0e0icopnf 12109 . . . . . . 7 0 ∈ (0[,)+∞)
214, 20sselii 3564 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
22 pnfxr 11781 . . . . . 6 +∞ ∈ ℝ*
23 elico2 12064 . . . . . 6 ((0 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (1 ∈ (0[,)+∞) ↔ (1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1 ∧ 1 < +∞)))
2421, 22, 23mp2an 703 . . . . 5 (1 ∈ (0[,)+∞) ↔ (1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1 ∧ 1 < +∞))
2519, 24mpbir 219 . . . 4 1 ∈ (0[,)+∞)
2625a1i 11 . . 3 (𝜑 → 1 ∈ (0[,)+∞))
271, 7, 9, 10, 14, 26fprodcllemf 14473 . 2 (𝜑 → ∏𝑘𝐴 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
28 0xr 9942 . . . 4 0 ∈ ℝ*
2928a1i 11 . . 3 (∏𝑘𝐴 𝐵 ∈ (0[,)+∞) → 0 ∈ ℝ*)
3022a1i 11 . . 3 (∏𝑘𝐴 𝐵 ∈ (0[,)+∞) → +∞ ∈ ℝ*)
31 id 22 . . 3 (∏𝑘𝐴 𝐵 ∈ (0[,)+∞) → ∏𝑘𝐴 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
32 icogelb 12052 . . 3 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ ∏𝑘𝐴 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → 0 ≤ ∏𝑘𝐴 𝐵)
3329, 30, 31, 32syl3anc 1317 . 2 (∏𝑘𝐴 𝐵 ∈ (0[,)+∞) → 0 ≤ ∏𝑘𝐴 𝐵)
3427, 33syl 17 1 (𝜑 → 0 ≤ ∏𝑘𝐴 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382  w3a 1030  wnf 1698  wcel 1976  wss 3539   class class class wbr 4577  (class class class)co 6527  Fincfn 7818  cc 9790  cr 9791  0cc0 9792  1c1 9793   · cmul 9797  +∞cpnf 9927  *cxr 9929   < clt 9930  cle 9931  [,)cico 12004  cprod 14420
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2232  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-inf2 8398  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869  ax-pre-sup 9870
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-se 4988  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-isom 5799  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-oadd 7428  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-sup 8208  df-oi 8275  df-card 8625  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10534  df-nn 10868  df-2 10926  df-3 10927  df-n0 11140  df-z 11211  df-uz 11520  df-rp 11665  df-ico 12008  df-fz 12153  df-fzo 12290  df-seq 12619  df-exp 12678  df-hash 12935  df-cj 13633  df-re 13634  df-im 13635  df-sqrt 13769  df-abs 13770  df-clim 14013  df-prod 14421
This theorem is referenced by:  fprodle  14512  hoiprodcl  39241  hoiprodcl3  39274  hoidmvcl  39276  hsphoidmvle2  39279  hsphoidmvle  39280
  Copyright terms: Public domain W3C validator