MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fprodle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fprodle 14671
Description: If all the terms of two finite products are nonnegative and compare, so do the two products. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodle.kph 𝑘𝜑
fprodle.a (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fprodle.b ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
fprodle.0l3b ((𝜑𝑘𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
fprodle.c ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
fprodle.blec ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵𝐶)
Assertion
Ref Expression
fprodle (𝜑 → ∏𝑘𝐴 𝐵 ≤ ∏𝑘𝐴 𝐶)
Distinct variable group:   𝐴,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem fprodle
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1red 10015 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ≠ 0) → 1 ∈ ℝ)
2 fprodle.kph . . . . . 6 𝑘𝜑
3 nfra1 2937 . . . . . 6 𝑘𝑘𝐴 𝐵 ≠ 0
42, 3nfan 1825 . . . . 5 𝑘(𝜑 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ≠ 0)
5 fprodle.a . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
65adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ≠ 0) → 𝐴 ∈ Fin)
7 fprodle.c . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
87adantlr 750 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
9 fprodle.b . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
109adantlr 750 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
11 rspa 2926 . . . . . . 7 ((∀𝑘𝐴 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝑘𝐴) → 𝐵 ≠ 0)
1211adantll 749 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐵 ≠ 0)
138, 10, 12redivcld 10813 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑘𝐴) → (𝐶 / 𝐵) ∈ ℝ)
144, 6, 13fprodreclf 14633 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ≠ 0) → ∏𝑘𝐴 (𝐶 / 𝐵) ∈ ℝ)
152, 5, 9fprodreclf 14633 . . . . 5 (𝜑 → ∏𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℝ)
1615adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ≠ 0) → ∏𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℝ)
17 fprodle.0l3b . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
182, 5, 9, 17fprodge0 14668 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ ∏𝑘𝐴 𝐵)
1918adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ≠ 0) → 0 ≤ ∏𝑘𝐴 𝐵)
20 0red 10001 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑘𝐴) → 0 ∈ ℝ)
2117adantlr 750 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑘𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
2220, 10, 21, 12leneltd 10151 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑘𝐴) → 0 < 𝐵)
2310, 22elrpd 11829 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ+)
24 fprodle.blec . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵𝐶)
2524adantlr 750 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐵𝐶)
26 divge1 11858 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵𝐶) → 1 ≤ (𝐶 / 𝐵))
2723, 8, 25, 26syl3anc 1323 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑘𝐴) → 1 ≤ (𝐶 / 𝐵))
284, 6, 13, 27fprodge1 14670 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ≠ 0) → 1 ≤ ∏𝑘𝐴 (𝐶 / 𝐵))
291, 14, 16, 19, 28lemul2ad 10924 . . 3 ((𝜑 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ≠ 0) → (∏𝑘𝐴 𝐵 · 1) ≤ (∏𝑘𝐴 𝐵 · ∏𝑘𝐴 (𝐶 / 𝐵)))
309recnd 10028 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
312, 5, 30fprodclf 14667 . . . . . 6 (𝜑 → ∏𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
3231mulid1d 10017 . . . . 5 (𝜑 → (∏𝑘𝐴 𝐵 · 1) = ∏𝑘𝐴 𝐵)
3332adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ≠ 0) → (∏𝑘𝐴 𝐵 · 1) = ∏𝑘𝐴 𝐵)
347recnd 10028 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
3534adantlr 750 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
3630adantlr 750 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
374, 6, 35, 36, 12fproddivf 14662 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ≠ 0) → ∏𝑘𝐴 (𝐶 / 𝐵) = (∏𝑘𝐴 𝐶 / ∏𝑘𝐴 𝐵))
3837oveq2d 6631 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ≠ 0) → (∏𝑘𝐴 𝐵 · ∏𝑘𝐴 (𝐶 / 𝐵)) = (∏𝑘𝐴 𝐵 · (∏𝑘𝐴 𝐶 / ∏𝑘𝐴 𝐵)))
392, 5, 34fprodclf 14667 . . . . . . 7 (𝜑 → ∏𝑘𝐴 𝐶 ∈ ℂ)
4039adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ≠ 0) → ∏𝑘𝐴 𝐶 ∈ ℂ)
4131adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ≠ 0) → ∏𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
424, 6, 36, 12fprodn0f 14666 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ≠ 0) → ∏𝑘𝐴 𝐵 ≠ 0)
4340, 41, 42divcan2d 10763 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ≠ 0) → (∏𝑘𝐴 𝐵 · (∏𝑘𝐴 𝐶 / ∏𝑘𝐴 𝐵)) = ∏𝑘𝐴 𝐶)
44 eqidd 2622 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ≠ 0) → ∏𝑘𝐴 𝐶 = ∏𝑘𝐴 𝐶)
4538, 43, 443eqtrd 2659 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ≠ 0) → (∏𝑘𝐴 𝐵 · ∏𝑘𝐴 (𝐶 / 𝐵)) = ∏𝑘𝐴 𝐶)
4633, 45breq12d 4636 . . 3 ((𝜑 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ≠ 0) → ((∏𝑘𝐴 𝐵 · 1) ≤ (∏𝑘𝐴 𝐵 · ∏𝑘𝐴 (𝐶 / 𝐵)) ↔ ∏𝑘𝐴 𝐵 ≤ ∏𝑘𝐴 𝐶))
4729, 46mpbid 222 . 2 ((𝜑 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ≠ 0) → ∏𝑘𝐴 𝐵 ≤ ∏𝑘𝐴 𝐶)
48 simpl 473 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑘𝐴 𝐵 ≠ 0) → 𝜑)
49 nne 2794 . . . . . . 7 𝐵 ≠ 0 ↔ 𝐵 = 0)
5049rexbii 3036 . . . . . 6 (∃𝑘𝐴 ¬ 𝐵 ≠ 0 ↔ ∃𝑘𝐴 𝐵 = 0)
51 rexnal 2991 . . . . . 6 (∃𝑘𝐴 ¬ 𝐵 ≠ 0 ↔ ¬ ∀𝑘𝐴 𝐵 ≠ 0)
52 nfv 1840 . . . . . . 7 𝑗 𝐵 = 0
53 nfcsb1v 3535 . . . . . . . 8 𝑘𝑗 / 𝑘𝐵
54 nfcv 2761 . . . . . . . 8 𝑘0
5553, 54nfeq 2772 . . . . . . 7 𝑘𝑗 / 𝑘𝐵 = 0
56 csbeq1a 3528 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑗𝐵 = 𝑗 / 𝑘𝐵)
5756eqeq1d 2623 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑗 → (𝐵 = 0 ↔ 𝑗 / 𝑘𝐵 = 0))
5852, 55, 57cbvrex 3160 . . . . . 6 (∃𝑘𝐴 𝐵 = 0 ↔ ∃𝑗𝐴 𝑗 / 𝑘𝐵 = 0)
5950, 51, 583bitr3i 290 . . . . 5 (¬ ∀𝑘𝐴 𝐵 ≠ 0 ↔ ∃𝑗𝐴 𝑗 / 𝑘𝐵 = 0)
6059biimpi 206 . . . 4 (¬ ∀𝑘𝐴 𝐵 ≠ 0 → ∃𝑗𝐴 𝑗 / 𝑘𝐵 = 0)
6160adantl 482 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑘𝐴 𝐵 ≠ 0) → ∃𝑗𝐴 𝑗 / 𝑘𝐵 = 0)
62 nfv 1840 . . . . . 6 𝑗𝜑
63 nfv 1840 . . . . . 6 𝑗𝑘𝐴 𝐵 = 0
64 nfv 1840 . . . . . . . . 9 𝑘 𝑗𝐴
652, 64, 55nf3an 1828 . . . . . . . 8 𝑘(𝜑𝑗𝐴𝑗 / 𝑘𝐵 = 0)
6653ad2ant1 1080 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗𝐴𝑗 / 𝑘𝐵 = 0) → 𝐴 ∈ Fin)
67303ad2antl1 1221 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗𝐴𝑗 / 𝑘𝐵 = 0) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
68 simp2 1060 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗𝐴𝑗 / 𝑘𝐵 = 0) → 𝑗𝐴)
6957biimparc 504 . . . . . . . . 9 ((𝑗 / 𝑘𝐵 = 0 ∧ 𝑘 = 𝑗) → 𝐵 = 0)
70693ad2antl3 1223 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗𝐴𝑗 / 𝑘𝐵 = 0) ∧ 𝑘 = 𝑗) → 𝐵 = 0)
7165, 66, 67, 68, 70fprodeq0g 14669 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗𝐴𝑗 / 𝑘𝐵 = 0) → ∏𝑘𝐴 𝐵 = 0)
72713exp 1261 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑗𝐴 → (𝑗 / 𝑘𝐵 = 0 → ∏𝑘𝐴 𝐵 = 0)))
7362, 63, 72rexlimd 3021 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑗𝐴 𝑗 / 𝑘𝐵 = 0 → ∏𝑘𝐴 𝐵 = 0))
7473imp 445 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∃𝑗𝐴 𝑗 / 𝑘𝐵 = 0) → ∏𝑘𝐴 𝐵 = 0)
75 0red 10001 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → 0 ∈ ℝ)
7675, 9, 7, 17, 24letrd 10154 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → 0 ≤ 𝐶)
772, 5, 7, 76fprodge0 14668 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ ∏𝑘𝐴 𝐶)
7877adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∃𝑗𝐴 𝑗 / 𝑘𝐵 = 0) → 0 ≤ ∏𝑘𝐴 𝐶)
7974, 78eqbrtrd 4645 . . 3 ((𝜑 ∧ ∃𝑗𝐴 𝑗 / 𝑘𝐵 = 0) → ∏𝑘𝐴 𝐵 ≤ ∏𝑘𝐴 𝐶)
8048, 61, 79syl2anc 692 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑘𝐴 𝐵 ≠ 0) → ∏𝑘𝐴 𝐵 ≤ ∏𝑘𝐴 𝐶)
8147, 80pm2.61dan 831 1 (𝜑 → ∏𝑘𝐴 𝐵 ≤ ∏𝑘𝐴 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wnf 1705  wcel 1987  wne 2790  wral 2908  wrex 2909  csb 3519   class class class wbr 4623  (class class class)co 6615  Fincfn 7915  cc 9894  cr 9895  0cc0 9896  1c1 9897   · cmul 9901  cle 10035   / cdiv 10644  +crp 11792  cprod 14579
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-inf2 8498  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973  ax-pre-sup 9974
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-se 5044  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-isom 5866  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-oadd 7524  df-er 7702  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-sup 8308  df-oi 8375  df-card 8725  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-div 10645  df-nn 10981  df-2 11039  df-3 11040  df-n0 11253  df-z 11338  df-uz 11648  df-rp 11793  df-ico 12139  df-fz 12285  df-fzo 12423  df-seq 12758  df-exp 12817  df-hash 13074  df-cj 13789  df-re 13790  df-im 13791  df-sqrt 13925  df-abs 13926  df-clim 14169  df-prod 14580
This theorem is referenced by:  prmolefac  15693  etransclem23  39811  hoidifhspdmvle  40171
  Copyright terms: Public domain W3C validator