MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fprodm1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fprodm1 14641
Description: Separate out the last term in a finite product. (Contributed by Scott Fenton, 16-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodm1.1 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
fprodm1.2 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
fprodm1.3 (𝑘 = 𝑁𝐴 = 𝐵)
Assertion
Ref Expression
fprodm1 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = (∏𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 · 𝐵))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝜑,𝑘   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem fprodm1
StepHypRef Expression
1 fzp1nel 12381 . . . . 5 ¬ ((𝑁 − 1) + 1) ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))
2 fprodm1.1 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
3 eluzelz 11657 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
42, 3syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
54zcnd 11443 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
6 1cnd 10016 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
75, 6npcand 10356 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
87eleq1d 2683 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑁 − 1) + 1) ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ↔ 𝑁 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))))
91, 8mtbii 316 . . . 4 (𝜑 → ¬ 𝑁 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)))
10 disjsn 4223 . . . 4 (((𝑀...(𝑁 − 1)) ∩ {𝑁}) = ∅ ↔ ¬ 𝑁 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)))
119, 10sylibr 224 . . 3 (𝜑 → ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∩ {𝑁}) = ∅)
12 eluzel2 11652 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
132, 12syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
14 peano2zm 11380 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
1513, 14syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
1613zcnd 11443 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
1716, 6npcand 10356 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑀 − 1) + 1) = 𝑀)
1817fveq2d 6162 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℤ‘((𝑀 − 1) + 1)) = (ℤ𝑀))
192, 18eleqtrrd 2701 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘((𝑀 − 1) + 1)))
20 eluzp1m1 11671 . . . . . 6 (((𝑀 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘((𝑀 − 1) + 1))) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)))
2115, 19, 20syl2anc 692 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)))
22 fzsuc2 12356 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1))) → (𝑀...((𝑁 − 1) + 1)) = ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∪ {((𝑁 − 1) + 1)}))
2313, 21, 22syl2anc 692 . . . 4 (𝜑 → (𝑀...((𝑁 − 1) + 1)) = ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∪ {((𝑁 − 1) + 1)}))
247oveq2d 6631 . . . 4 (𝜑 → (𝑀...((𝑁 − 1) + 1)) = (𝑀...𝑁))
257sneqd 4167 . . . . 5 (𝜑 → {((𝑁 − 1) + 1)} = {𝑁})
2625uneq2d 3751 . . . 4 (𝜑 → ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∪ {((𝑁 − 1) + 1)}) = ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∪ {𝑁}))
2723, 24, 263eqtr3d 2663 . . 3 (𝜑 → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∪ {𝑁}))
28 fzfid 12728 . . 3 (𝜑 → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
29 fprodm1.2 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
3011, 27, 28, 29fprodsplit 14640 . 2 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = (∏𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 · ∏𝑘 ∈ {𝑁}𝐴))
31 eluzfz2 12307 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
322, 31syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
3329ralrimiva 2962 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 ∈ ℂ)
34 fprodm1.3 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑁𝐴 = 𝐵)
3534eleq1d 2683 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑁 → (𝐴 ∈ ℂ ↔ 𝐵 ∈ ℂ))
3635rspcv 3295 . . . . 5 (𝑁 ∈ (𝑀...𝑁) → (∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 ∈ ℂ → 𝐵 ∈ ℂ))
3732, 33, 36sylc 65 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3834prodsn 14636 . . . 4 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ∏𝑘 ∈ {𝑁}𝐴 = 𝐵)
392, 37, 38syl2anc 692 . . 3 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ {𝑁}𝐴 = 𝐵)
4039oveq2d 6631 . 2 (𝜑 → (∏𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 · ∏𝑘 ∈ {𝑁}𝐴) = (∏𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 · 𝐵))
4130, 40eqtrd 2655 1 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = (∏𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 · 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2908  cun 3558  cin 3559  c0 3897  {csn 4155  cfv 5857  (class class class)co 6615  cc 9894  1c1 9897   + caddc 9899   · cmul 9901  cmin 10226  cz 11337  cuz 11647  ...cfz 12284  cprod 14579
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-inf2 8498  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973  ax-pre-sup 9974
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-se 5044  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-isom 5866  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-oadd 7524  df-er 7702  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-sup 8308  df-oi 8375  df-card 8725  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-div 10645  df-nn 10981  df-2 11039  df-3 11040  df-n0 11253  df-z 11338  df-uz 11648  df-rp 11793  df-fz 12285  df-fzo 12423  df-seq 12758  df-exp 12817  df-hash 13074  df-cj 13789  df-re 13790  df-im 13791  df-sqrt 13925  df-abs 13926  df-clim 14169  df-prod 14580
This theorem is referenced by:  fprodp1  14643  fprodm1s  14644  risefacp1  14704  fallfacp1  14705  prmop1  15685  bcprod  31385
  Copyright terms: Public domain W3C validator