MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fprodn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fprodn0 14645
Description: A finite product of nonzero terms is nonzero. (Contributed by Scott Fenton, 15-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodn0.1 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fprodn0.2 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
fprodn0.3 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ≠ 0)
Assertion
Ref Expression
fprodn0 (𝜑 → ∏𝑘𝐴 𝐵 ≠ 0)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fprodn0
Dummy variables 𝑓 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prodeq1 14575 . . . . 5 (𝐴 = ∅ → ∏𝑘𝐴 𝐵 = ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵)
2 prod0 14609 . . . . 5 𝑘 ∈ ∅ 𝐵 = 1
31, 2syl6eq 2671 . . . 4 (𝐴 = ∅ → ∏𝑘𝐴 𝐵 = 1)
4 ax-1ne0 9957 . . . . 5 1 ≠ 0
54a1i 11 . . . 4 (𝐴 = ∅ → 1 ≠ 0)
63, 5eqnetrd 2857 . . 3 (𝐴 = ∅ → ∏𝑘𝐴 𝐵 ≠ 0)
76a1i 11 . 2 (𝜑 → (𝐴 = ∅ → ∏𝑘𝐴 𝐵 ≠ 0))
8 prodfc 14611 . . . . . . 7 𝑚𝐴 ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑚) = ∏𝑘𝐴 𝐵
9 fveq2 6153 . . . . . . . 8 (𝑚 = (𝑓𝑛) → ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑚) = ((𝑘𝐴𝐵)‘(𝑓𝑛)))
10 simprl 793 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → (#‘𝐴) ∈ ℕ)
11 simprr 795 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴)
12 fprodn0.2 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
13 eqid 2621 . . . . . . . . . . 11 (𝑘𝐴𝐵) = (𝑘𝐴𝐵)
1412, 13fmptd 6346 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐵):𝐴⟶ℂ)
1514adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → (𝑘𝐴𝐵):𝐴⟶ℂ)
1615ffvelrnda 6320 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) ∧ 𝑚𝐴) → ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑚) ∈ ℂ)
17 f1of 6099 . . . . . . . . . 10 (𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴𝑓:(1...(#‘𝐴))⟶𝐴)
1811, 17syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → 𝑓:(1...(#‘𝐴))⟶𝐴)
19 fvco3 6237 . . . . . . . . 9 ((𝑓:(1...(#‘𝐴))⟶𝐴𝑛 ∈ (1...(#‘𝐴))) → (((𝑘𝐴𝐵) ∘ 𝑓)‘𝑛) = ((𝑘𝐴𝐵)‘(𝑓𝑛)))
2018, 19sylan 488 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(#‘𝐴))) → (((𝑘𝐴𝐵) ∘ 𝑓)‘𝑛) = ((𝑘𝐴𝐵)‘(𝑓𝑛)))
219, 10, 11, 16, 20fprod 14607 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → ∏𝑚𝐴 ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑚) = (seq1( · , ((𝑘𝐴𝐵) ∘ 𝑓))‘(#‘𝐴)))
228, 21syl5eqr 2669 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → ∏𝑘𝐴 𝐵 = (seq1( · , ((𝑘𝐴𝐵) ∘ 𝑓))‘(#‘𝐴)))
23 nnuz 11675 . . . . . . . 8 ℕ = (ℤ‘1)
2410, 23syl6eleq 2708 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → (#‘𝐴) ∈ (ℤ‘1))
25 fco 6020 . . . . . . . . 9 (((𝑘𝐴𝐵):𝐴⟶ℂ ∧ 𝑓:(1...(#‘𝐴))⟶𝐴) → ((𝑘𝐴𝐵) ∘ 𝑓):(1...(#‘𝐴))⟶ℂ)
2615, 18, 25syl2anc 692 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → ((𝑘𝐴𝐵) ∘ 𝑓):(1...(#‘𝐴))⟶ℂ)
2726ffvelrnda 6320 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(#‘𝐴))) → (((𝑘𝐴𝐵) ∘ 𝑓)‘𝑚) ∈ ℂ)
28 fvco3 6237 . . . . . . . . 9 ((𝑓:(1...(#‘𝐴))⟶𝐴𝑚 ∈ (1...(#‘𝐴))) → (((𝑘𝐴𝐵) ∘ 𝑓)‘𝑚) = ((𝑘𝐴𝐵)‘(𝑓𝑚)))
2918, 28sylan 488 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(#‘𝐴))) → (((𝑘𝐴𝐵) ∘ 𝑓)‘𝑚) = ((𝑘𝐴𝐵)‘(𝑓𝑚)))
3017ffvelrnda 6320 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴𝑚 ∈ (1...(#‘𝐴))) → (𝑓𝑚) ∈ 𝐴)
3130adantll 749 . . . . . . . . . 10 ((((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴) ∧ 𝑚 ∈ (1...(#‘𝐴))) → (𝑓𝑚) ∈ 𝐴)
32 simpr 477 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑓𝑚) ∈ 𝐴) → (𝑓𝑚) ∈ 𝐴)
33 nfcv 2761 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑘(𝑓𝑚)
34 nfv 1840 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑘𝜑
35 nfcsb1v 3534 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑘(𝑓𝑚) / 𝑘𝐵
3635nfel1 2775 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑘(𝑓𝑚) / 𝑘𝐵 ∈ ℂ
3734, 36nfim 1822 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑘(𝜑(𝑓𝑚) / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)
38 csbeq1a 3527 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = (𝑓𝑚) → 𝐵 = (𝑓𝑚) / 𝑘𝐵)
3938eleq1d 2683 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = (𝑓𝑚) → (𝐵 ∈ ℂ ↔ (𝑓𝑚) / 𝑘𝐵 ∈ ℂ))
4039imbi2d 330 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = (𝑓𝑚) → ((𝜑𝐵 ∈ ℂ) ↔ (𝜑(𝑓𝑚) / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)))
4112expcom 451 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘𝐴 → (𝜑𝐵 ∈ ℂ))
4233, 37, 40, 41vtoclgaf 3260 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓𝑚) ∈ 𝐴 → (𝜑(𝑓𝑚) / 𝑘𝐵 ∈ ℂ))
4342impcom 446 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑓𝑚) ∈ 𝐴) → (𝑓𝑚) / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)
4413fvmpts 6247 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓𝑚) ∈ 𝐴(𝑓𝑚) / 𝑘𝐵 ∈ ℂ) → ((𝑘𝐴𝐵)‘(𝑓𝑚)) = (𝑓𝑚) / 𝑘𝐵)
4532, 43, 44syl2anc 692 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑓𝑚) ∈ 𝐴) → ((𝑘𝐴𝐵)‘(𝑓𝑚)) = (𝑓𝑚) / 𝑘𝐵)
46 nfcv 2761 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑘0
4735, 46nfne 2890 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑘(𝑓𝑚) / 𝑘𝐵 ≠ 0
4834, 47nfim 1822 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘(𝜑(𝑓𝑚) / 𝑘𝐵 ≠ 0)
4938neeq1d 2849 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = (𝑓𝑚) → (𝐵 ≠ 0 ↔ (𝑓𝑚) / 𝑘𝐵 ≠ 0))
5049imbi2d 330 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = (𝑓𝑚) → ((𝜑𝐵 ≠ 0) ↔ (𝜑(𝑓𝑚) / 𝑘𝐵 ≠ 0)))
51 fprodn0.3 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ≠ 0)
5251expcom 451 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘𝐴 → (𝜑𝐵 ≠ 0))
5333, 48, 50, 52vtoclgaf 3260 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓𝑚) ∈ 𝐴 → (𝜑(𝑓𝑚) / 𝑘𝐵 ≠ 0))
5453impcom 446 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑓𝑚) ∈ 𝐴) → (𝑓𝑚) / 𝑘𝐵 ≠ 0)
5545, 54eqnetrd 2857 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑓𝑚) ∈ 𝐴) → ((𝑘𝐴𝐵)‘(𝑓𝑚)) ≠ 0)
5631, 55sylan2 491 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴) ∧ 𝑚 ∈ (1...(#‘𝐴)))) → ((𝑘𝐴𝐵)‘(𝑓𝑚)) ≠ 0)
5756anassrs 679 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(#‘𝐴))) → ((𝑘𝐴𝐵)‘(𝑓𝑚)) ≠ 0)
5829, 57eqnetrd 2857 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(#‘𝐴))) → (((𝑘𝐴𝐵) ∘ 𝑓)‘𝑚) ≠ 0)
5924, 27, 58prodfn0 14562 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → (seq1( · , ((𝑘𝐴𝐵) ∘ 𝑓))‘(#‘𝐴)) ≠ 0)
6022, 59eqnetrd 2857 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → ∏𝑘𝐴 𝐵 ≠ 0)
6160expr 642 . . . 4 ((𝜑 ∧ (#‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴 → ∏𝑘𝐴 𝐵 ≠ 0))
6261exlimdv 1858 . . 3 ((𝜑 ∧ (#‘𝐴) ∈ ℕ) → (∃𝑓 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴 → ∏𝑘𝐴 𝐵 ≠ 0))
6362expimpd 628 . 2 (𝜑 → (((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴) → ∏𝑘𝐴 𝐵 ≠ 0))
64 fprodn0.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
65 fz1f1o 14382 . . 3 (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 = ∅ ∨ ((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴)))
6664, 65syl 17 . 2 (𝜑 → (𝐴 = ∅ ∨ ((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴)))
677, 63, 66mpjaod 396 1 (𝜑 → ∏𝑘𝐴 𝐵 ≠ 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wo 383  wa 384   = wceq 1480  wex 1701  wcel 1987  wne 2790  csb 3518  c0 3896  cmpt 4678  ccom 5083  wf 5848  1-1-ontowf1o 5851  cfv 5852  (class class class)co 6610  Fincfn 7907  cc 9886  0cc0 9888  1c1 9889   · cmul 9893  cn 10972  cuz 11639  ...cfz 12276  seqcseq 12749  #chash 13065  cprod 14571
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-inf2 8490  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965  ax-pre-sup 9966
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-isom 5861  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-oadd 7516  df-er 7694  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-fin 7911  df-sup 8300  df-oi 8367  df-card 8717  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-div 10637  df-nn 10973  df-2 11031  df-3 11032  df-n0 11245  df-z 11330  df-uz 11640  df-rp 11785  df-fz 12277  df-fzo 12415  df-seq 12750  df-exp 12809  df-hash 13066  df-cj 13781  df-re 13782  df-im 13783  df-sqrt 13917  df-abs 13918  df-clim 14161  df-prod 14572
This theorem is referenced by:  fallfacval4  14710  absprodnn  15266  bcc0  38056  mccllem  39261  dvnprodlem2  39495  etransclem15  39799  etransclem25  39809  etransclem31  39815  etransclem32  39816  etransclem33  39817  etransclem34  39818
  Copyright terms: Public domain W3C validator