MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fprodntriv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fprodntriv 14460
Description: A non-triviality lemma for finite sequences. (Contributed by Scott Fenton, 16-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodntriv.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
fprodntriv.2 (𝜑𝑁𝑍)
fprodntriv.3 (𝜑𝐴 ⊆ (𝑀...𝑁))
Assertion
Ref Expression
fprodntriv (𝜑 → ∃𝑛𝑍𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , (𝑘𝑍 ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 𝑦))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘,𝑛,𝑦   𝐵,𝑛,𝑦   𝑘,𝑛,𝑦   𝑛,𝑁   𝜑,𝑛   𝑦,𝑛,𝑁   𝑘,𝑍,𝑛,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑘)   𝐵(𝑘)   𝑀(𝑦,𝑘,𝑛)   𝑁(𝑘)

Proof of Theorem fprodntriv
Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fprodntriv.2 . . . . 5 (𝜑𝑁𝑍)
2 fprodntriv.1 . . . . 5 𝑍 = (ℤ𝑀)
31, 2syl6eleq 2697 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
4 peano2uz 11576 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ𝑀))
53, 4syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ𝑀))
65, 2syl6eleqr 2698 . 2 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ 𝑍)
7 ax-1ne0 9862 . . 3 1 ≠ 0
8 eqid 2609 . . . 4 (ℤ‘(𝑁 + 1)) = (ℤ‘(𝑁 + 1))
9 eluzelz 11532 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
109, 2eleq2s 2705 . . . . . 6 (𝑁𝑍𝑁 ∈ ℤ)
111, 10syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
1211peano2zd 11320 . . . 4 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
13 seqex 12623 . . . . 5 seq(𝑁 + 1)( · , (𝑘𝑍 ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))) ∈ V
1413a1i 11 . . . 4 (𝜑 → seq(𝑁 + 1)( · , (𝑘𝑍 ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))) ∈ V)
15 1cnd 9913 . . . 4 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
16 simpr 475 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)))
17 fprodntriv.3 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ⊆ (𝑀...𝑁))
1817ad2antrr 757 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑁))
1911ad2antrr 757 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → 𝑁 ∈ ℤ)
2019zred 11317 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → 𝑁 ∈ ℝ)
2119peano2zd 11320 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
2221zred 11317 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
23 elfzelz 12171 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛) → 𝑚 ∈ ℤ)
2423adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → 𝑚 ∈ ℤ)
2524zred 11317 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → 𝑚 ∈ ℝ)
2620ltp1d 10806 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → 𝑁 < (𝑁 + 1))
27 elfzle1 12173 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛) → (𝑁 + 1) ≤ 𝑚)
2827adantl 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → (𝑁 + 1) ≤ 𝑚)
2920, 22, 25, 26, 28ltletrd 10049 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → 𝑁 < 𝑚)
3020, 25ltnled 10036 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → (𝑁 < 𝑚 ↔ ¬ 𝑚𝑁))
3129, 30mpbid 220 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → ¬ 𝑚𝑁)
3231intnand 952 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → ¬ (𝑀𝑚𝑚𝑁))
3332intnand 952 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → ¬ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑀𝑚𝑚𝑁)))
34 elfz2 12162 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑀𝑚𝑚𝑁)))
3533, 34sylnibr 317 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → ¬ 𝑚 ∈ (𝑀...𝑁))
3618, 35ssneldd 3570 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → ¬ 𝑚𝐴)
3736iffalsed 4046 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐵, 1) = 1)
38 fzssuz 12211 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 + 1)...𝑛) ⊆ (ℤ‘(𝑁 + 1))
395adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ𝑀))
40 uzss 11543 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ𝑀) → (ℤ‘(𝑁 + 1)) ⊆ (ℤ𝑀))
4139, 40syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (ℤ‘(𝑁 + 1)) ⊆ (ℤ𝑀))
4241, 2syl6sseqr 3614 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (ℤ‘(𝑁 + 1)) ⊆ 𝑍)
4338, 42syl5ss 3578 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → ((𝑁 + 1)...𝑛) ⊆ 𝑍)
4443sselda 3567 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → 𝑚𝑍)
45 ax-1cn 9851 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℂ
4637, 45syl6eqel 2695 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐵, 1) ∈ ℂ)
47 nfcv 2750 . . . . . . . . 9 𝑘𝑚
48 nfv 1829 . . . . . . . . . 10 𝑘 𝑚𝐴
49 nfcsb1v 3514 . . . . . . . . . 10 𝑘𝑚 / 𝑘𝐵
50 nfcv 2750 . . . . . . . . . 10 𝑘1
5148, 49, 50nfif 4064 . . . . . . . . 9 𝑘if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐵, 1)
52 eleq1 2675 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑚 → (𝑘𝐴𝑚𝐴))
53 csbeq1a 3507 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑚𝐵 = 𝑚 / 𝑘𝐵)
5452, 53ifbieq1d 4058 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑚 → if(𝑘𝐴, 𝐵, 1) = if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐵, 1))
55 eqid 2609 . . . . . . . . 9 (𝑘𝑍 ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1)) = (𝑘𝑍 ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))
5647, 51, 54, 55fvmptf 6194 . . . . . . . 8 ((𝑚𝑍 ∧ if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐵, 1) ∈ ℂ) → ((𝑘𝑍 ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))‘𝑚) = if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐵, 1))
5744, 46, 56syl2anc 690 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → ((𝑘𝑍 ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))‘𝑚) = if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐵, 1))
58 elfzuz 12167 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛) → 𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)))
5958adantl 480 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → 𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)))
60 1ex 9892 . . . . . . . . 9 1 ∈ V
6160fvconst2 6352 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)) → (((ℤ‘(𝑁 + 1)) × {1})‘𝑚) = 1)
6259, 61syl 17 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → (((ℤ‘(𝑁 + 1)) × {1})‘𝑚) = 1)
6337, 57, 623eqtr4d 2653 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → ((𝑘𝑍 ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))‘𝑚) = (((ℤ‘(𝑁 + 1)) × {1})‘𝑚))
6416, 63seqfveq 12645 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (seq(𝑁 + 1)( · , (𝑘𝑍 ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1)))‘𝑛) = (seq(𝑁 + 1)( · , ((ℤ‘(𝑁 + 1)) × {1}))‘𝑛))
658prodf1 14411 . . . . . 6 (𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)) → (seq(𝑁 + 1)( · , ((ℤ‘(𝑁 + 1)) × {1}))‘𝑛) = 1)
6665adantl 480 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (seq(𝑁 + 1)( · , ((ℤ‘(𝑁 + 1)) × {1}))‘𝑛) = 1)
6764, 66eqtrd 2643 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (seq(𝑁 + 1)( · , (𝑘𝑍 ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1)))‘𝑛) = 1)
688, 12, 14, 15, 67climconst 14071 . . 3 (𝜑 → seq(𝑁 + 1)( · , (𝑘𝑍 ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 1)
69 neeq1 2843 . . . . 5 (𝑦 = 1 → (𝑦 ≠ 0 ↔ 1 ≠ 0))
70 breq2 4581 . . . . 5 (𝑦 = 1 → (seq(𝑁 + 1)( · , (𝑘𝑍 ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 𝑦 ↔ seq(𝑁 + 1)( · , (𝑘𝑍 ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 1))
7169, 70anbi12d 742 . . . 4 (𝑦 = 1 → ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq(𝑁 + 1)( · , (𝑘𝑍 ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 𝑦) ↔ (1 ≠ 0 ∧ seq(𝑁 + 1)( · , (𝑘𝑍 ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 1)))
7260, 71spcev 3272 . . 3 ((1 ≠ 0 ∧ seq(𝑁 + 1)( · , (𝑘𝑍 ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 1) → ∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq(𝑁 + 1)( · , (𝑘𝑍 ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 𝑦))
737, 68, 72sylancr 693 . 2 (𝜑 → ∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq(𝑁 + 1)( · , (𝑘𝑍 ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 𝑦))
74 seqeq1 12624 . . . . . 6 (𝑛 = (𝑁 + 1) → seq𝑛( · , (𝑘𝑍 ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))) = seq(𝑁 + 1)( · , (𝑘𝑍 ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))))
7574breq1d 4587 . . . . 5 (𝑛 = (𝑁 + 1) → (seq𝑛( · , (𝑘𝑍 ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 𝑦 ↔ seq(𝑁 + 1)( · , (𝑘𝑍 ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 𝑦))
7675anbi2d 735 . . . 4 (𝑛 = (𝑁 + 1) → ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , (𝑘𝑍 ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 𝑦) ↔ (𝑦 ≠ 0 ∧ seq(𝑁 + 1)( · , (𝑘𝑍 ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 𝑦)))
7776exbidv 1836 . . 3 (𝑛 = (𝑁 + 1) → (∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , (𝑘𝑍 ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 𝑦) ↔ ∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq(𝑁 + 1)( · , (𝑘𝑍 ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 𝑦)))
7877rspcev 3281 . 2 (((𝑁 + 1) ∈ 𝑍 ∧ ∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq(𝑁 + 1)( · , (𝑘𝑍 ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 𝑦)) → ∃𝑛𝑍𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , (𝑘𝑍 ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 𝑦))
796, 73, 78syl2anc 690 1 (𝜑 → ∃𝑛𝑍𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , (𝑘𝑍 ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 𝑦))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wex 1694  wcel 1976  wne 2779  wrex 2896  Vcvv 3172  csb 3498  wss 3539  ifcif 4035  {csn 4124   class class class wbr 4577  cmpt 4637   × cxp 5026  cfv 5790  (class class class)co 6527  cc 9791  0cc0 9793  1c1 9794   + caddc 9796   · cmul 9798   < clt 9931  cle 9932  cz 11213  cuz 11522  ...cfz 12155  seqcseq 12621  cli 14012
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-inf2 8399  ax-cnex 9849  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-mulcom 9857  ax-addass 9858  ax-mulass 9859  ax-distr 9860  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-1rid 9863  ax-rnegex 9864  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866  ax-pre-lttri 9867  ax-pre-lttrn 9868  ax-pre-ltadd 9869  ax-pre-mulgt0 9870
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6936  df-1st 7037  df-2nd 7038  df-wrecs 7272  df-recs 7333  df-rdg 7371  df-er 7607  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-xr 9935  df-ltxr 9936  df-le 9937  df-sub 10120  df-neg 10121  df-div 10537  df-nn 10871  df-2 10929  df-n0 11143  df-z 11214  df-uz 11523  df-rp 11668  df-fz 12156  df-seq 12622  df-exp 12681  df-cj 13636  df-re 13637  df-im 13638  df-sqrt 13772  df-abs 13773  df-clim 14016
This theorem is referenced by:  fprodss  14466
  Copyright terms: Public domain W3C validator