MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fprodser Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fprodser 14604
Description: A finite product expressed in terms of a partial product of an infinite sequence. The recursive definition of a finite product follows from here. (Contributed by Scott Fenton, 14-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodser.1 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
fprodser.2 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
fprodser.3 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
fprodser (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem fprodser
Dummy variables 𝑗 𝑚 𝑛 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prodfc 14600 . 2 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐴)‘𝑗) = ∏𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴
2 fveq2 6148 . . . 4 (𝑗 = ((𝑛 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀))) ↦ (𝑛 + (𝑀 − 1)))‘𝑚) → ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐴)‘𝑗) = ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐴)‘((𝑛 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀))) ↦ (𝑛 + (𝑀 − 1)))‘𝑚)))
3 fprodser.2 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
4 eluzelz 11641 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
53, 4syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
65zcnd 11427 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
7 eluzel2 11636 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
83, 7syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
98zcnd 11427 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
10 1cnd 10000 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
116, 9, 10subadd23d 10358 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑁𝑀) + 1) = (𝑁 + (1 − 𝑀)))
1211eqcomd 2627 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁 + (1 − 𝑀)) = ((𝑁𝑀) + 1))
13 uznn0sub 11663 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁𝑀) ∈ ℕ0)
143, 13syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁𝑀) ∈ ℕ0)
15 nn0p1nn 11276 . . . . . 6 ((𝑁𝑀) ∈ ℕ0 → ((𝑁𝑀) + 1) ∈ ℕ)
1614, 15syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑁𝑀) + 1) ∈ ℕ)
1712, 16eqeltrd 2698 . . . 4 (𝜑 → (𝑁 + (1 − 𝑀)) ∈ ℕ)
1810, 9pncan3d 10339 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (1 + (𝑀 − 1)) = 𝑀)
196, 10, 9pnpncand 10396 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑁 + (1 − 𝑀)) + (𝑀 − 1)) = 𝑁)
2018, 19oveq12d 6622 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((1 + (𝑀 − 1))...((𝑁 + (1 − 𝑀)) + (𝑀 − 1))) = (𝑀...𝑁))
2120eleq2d 2684 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑝 ∈ ((1 + (𝑀 − 1))...((𝑁 + (1 − 𝑀)) + (𝑀 − 1))) ↔ 𝑝 ∈ (𝑀...𝑁)))
2221biimpa 501 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑝 ∈ ((1 + (𝑀 − 1))...((𝑁 + (1 − 𝑀)) + (𝑀 − 1)))) → 𝑝 ∈ (𝑀...𝑁))
23 elfzelz 12284 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑝 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑝 ∈ ℤ)
2423zcnd 11427 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑝 ∈ ℂ)
2524adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑝 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑝 ∈ ℂ)
26 peano2zm 11364 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
278, 26syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
2827zcnd 11427 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑀 − 1) ∈ ℂ)
2928adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑝 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑀 − 1) ∈ ℂ)
3025, 29npcand 10340 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑝 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝑝 − (𝑀 − 1)) + (𝑀 − 1)) = 𝑝)
31 simpr 477 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑝 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑝 ∈ (𝑀...𝑁))
3230, 31eqeltrd 2698 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝑝 − (𝑀 − 1)) + (𝑀 − 1)) ∈ (𝑀...𝑁))
33 ovex 6632 . . . . . . . . . 10 (𝑝 − (𝑀 − 1)) ∈ V
34 oveq1 6611 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = (𝑝 − (𝑀 − 1)) → (𝑛 + (𝑀 − 1)) = ((𝑝 − (𝑀 − 1)) + (𝑀 − 1)))
3534eleq1d 2683 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = (𝑝 − (𝑀 − 1)) → ((𝑛 + (𝑀 − 1)) ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ((𝑝 − (𝑀 − 1)) + (𝑀 − 1)) ∈ (𝑀...𝑁)))
3633, 35sbcie 3452 . . . . . . . . 9 ([(𝑝 − (𝑀 − 1)) / 𝑛](𝑛 + (𝑀 − 1)) ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ((𝑝 − (𝑀 − 1)) + (𝑀 − 1)) ∈ (𝑀...𝑁))
3732, 36sylibr 224 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑝 ∈ (𝑀...𝑁)) → [(𝑝 − (𝑀 − 1)) / 𝑛](𝑛 + (𝑀 − 1)) ∈ (𝑀...𝑁))
3822, 37syldan 487 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝 ∈ ((1 + (𝑀 − 1))...((𝑁 + (1 − 𝑀)) + (𝑀 − 1)))) → [(𝑝 − (𝑀 − 1)) / 𝑛](𝑛 + (𝑀 − 1)) ∈ (𝑀...𝑁))
3938ralrimiva 2960 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑝 ∈ ((1 + (𝑀 − 1))...((𝑁 + (1 − 𝑀)) + (𝑀 − 1)))[(𝑝 − (𝑀 − 1)) / 𝑛](𝑛 + (𝑀 − 1)) ∈ (𝑀...𝑁))
40 1zzd 11352 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
4117nnzd 11425 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁 + (1 − 𝑀)) ∈ ℤ)
42 fzshftral 12369 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + (1 − 𝑀)) ∈ ℤ ∧ (𝑀 − 1) ∈ ℤ) → (∀𝑛 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀)))(𝑛 + (𝑀 − 1)) ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ∀𝑝 ∈ ((1 + (𝑀 − 1))...((𝑁 + (1 − 𝑀)) + (𝑀 − 1)))[(𝑝 − (𝑀 − 1)) / 𝑛](𝑛 + (𝑀 − 1)) ∈ (𝑀...𝑁)))
4340, 41, 27, 42syl3anc 1323 . . . . . 6 (𝜑 → (∀𝑛 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀)))(𝑛 + (𝑀 − 1)) ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ∀𝑝 ∈ ((1 + (𝑀 − 1))...((𝑁 + (1 − 𝑀)) + (𝑀 − 1)))[(𝑝 − (𝑀 − 1)) / 𝑛](𝑛 + (𝑀 − 1)) ∈ (𝑀...𝑁)))
4439, 43mpbird 247 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀)))(𝑛 + (𝑀 − 1)) ∈ (𝑀...𝑁))
458adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑝 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑀 ∈ ℤ)
465adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑝 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
4723adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑝 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑝 ∈ ℤ)
4827adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑝 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
49 fzsubel 12319 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ (𝑀 − 1) ∈ ℤ)) → (𝑝 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑝 − (𝑀 − 1)) ∈ ((𝑀 − (𝑀 − 1))...(𝑁 − (𝑀 − 1)))))
5045, 46, 47, 48, 49syl22anc 1324 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑝 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑝 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑝 − (𝑀 − 1)) ∈ ((𝑀 − (𝑀 − 1))...(𝑁 − (𝑀 − 1)))))
5131, 50mpbid 222 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑝 − (𝑀 − 1)) ∈ ((𝑀 − (𝑀 − 1))...(𝑁 − (𝑀 − 1))))
529, 10nncand 10341 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑀 − (𝑀 − 1)) = 1)
536, 9, 10subsub2d 10365 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑁 − (𝑀 − 1)) = (𝑁 + (1 − 𝑀)))
5452, 53oveq12d 6622 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑀 − (𝑀 − 1))...(𝑁 − (𝑀 − 1))) = (1...(𝑁 + (1 − 𝑀))))
5554adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝑀 − (𝑀 − 1))...(𝑁 − (𝑀 − 1))) = (1...(𝑁 + (1 − 𝑀))))
5651, 55eleqtrd 2700 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑝 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑝 − (𝑀 − 1)) ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀))))
5730eqcomd 2627 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑝 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑝 = ((𝑝 − (𝑀 − 1)) + (𝑀 − 1)))
5834eqeq2d 2631 . . . . . . . . 9 (𝑛 = (𝑝 − (𝑀 − 1)) → (𝑝 = (𝑛 + (𝑀 − 1)) ↔ 𝑝 = ((𝑝 − (𝑀 − 1)) + (𝑀 − 1))))
5958rspcev 3295 . . . . . . . 8 (((𝑝 − (𝑀 − 1)) ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀))) ∧ 𝑝 = ((𝑝 − (𝑀 − 1)) + (𝑀 − 1))) → ∃𝑛 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀)))𝑝 = (𝑛 + (𝑀 − 1)))
6056, 57, 59syl2anc 692 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝 ∈ (𝑀...𝑁)) → ∃𝑛 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀)))𝑝 = (𝑛 + (𝑀 − 1)))
61 elfzelz 12284 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀))) → 𝑛 ∈ ℤ)
6261zcnd 11427 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀))) → 𝑛 ∈ ℂ)
63 elfzelz 12284 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀))) → 𝑚 ∈ ℤ)
6463zcnd 11427 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀))) → 𝑚 ∈ ℂ)
6562, 64anim12i 589 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀)))) → (𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ))
66 eqtr2 2641 . . . . . . . . . . 11 ((𝑝 = (𝑛 + (𝑀 − 1)) ∧ 𝑝 = (𝑚 + (𝑀 − 1))) → (𝑛 + (𝑀 − 1)) = (𝑚 + (𝑀 − 1)))
67 simprl 793 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ)) → 𝑛 ∈ ℂ)
68 simprr 795 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ)) → 𝑚 ∈ ℂ)
6928adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ)) → (𝑀 − 1) ∈ ℂ)
7067, 68, 69addcan2d 10184 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ)) → ((𝑛 + (𝑀 − 1)) = (𝑚 + (𝑀 − 1)) ↔ 𝑛 = 𝑚))
7166, 70syl5ib 234 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ)) → ((𝑝 = (𝑛 + (𝑀 − 1)) ∧ 𝑝 = (𝑚 + (𝑀 − 1))) → 𝑛 = 𝑚))
7265, 71sylan2 491 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀))))) → ((𝑝 = (𝑛 + (𝑀 − 1)) ∧ 𝑝 = (𝑚 + (𝑀 − 1))) → 𝑛 = 𝑚))
7372ralrimivva 2965 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀)))∀𝑚 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀)))((𝑝 = (𝑛 + (𝑀 − 1)) ∧ 𝑝 = (𝑚 + (𝑀 − 1))) → 𝑛 = 𝑚))
7473adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝 ∈ (𝑀...𝑁)) → ∀𝑛 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀)))∀𝑚 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀)))((𝑝 = (𝑛 + (𝑀 − 1)) ∧ 𝑝 = (𝑚 + (𝑀 − 1))) → 𝑛 = 𝑚))
75 oveq1 6611 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑚 → (𝑛 + (𝑀 − 1)) = (𝑚 + (𝑀 − 1)))
7675eqeq2d 2631 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑚 → (𝑝 = (𝑛 + (𝑀 − 1)) ↔ 𝑝 = (𝑚 + (𝑀 − 1))))
7776reu4 3382 . . . . . . 7 (∃!𝑛 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀)))𝑝 = (𝑛 + (𝑀 − 1)) ↔ (∃𝑛 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀)))𝑝 = (𝑛 + (𝑀 − 1)) ∧ ∀𝑛 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀)))∀𝑚 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀)))((𝑝 = (𝑛 + (𝑀 − 1)) ∧ 𝑝 = (𝑚 + (𝑀 − 1))) → 𝑛 = 𝑚)))
7860, 74, 77sylanbrc 697 . . . . . 6 ((𝜑𝑝 ∈ (𝑀...𝑁)) → ∃!𝑛 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀)))𝑝 = (𝑛 + (𝑀 − 1)))
7978ralrimiva 2960 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑝 ∈ (𝑀...𝑁)∃!𝑛 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀)))𝑝 = (𝑛 + (𝑀 − 1)))
80 eqid 2621 . . . . . 6 (𝑛 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀))) ↦ (𝑛 + (𝑀 − 1))) = (𝑛 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀))) ↦ (𝑛 + (𝑀 − 1)))
8180f1ompt 6338 . . . . 5 ((𝑛 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀))) ↦ (𝑛 + (𝑀 − 1))):(1...(𝑁 + (1 − 𝑀)))–1-1-onto→(𝑀...𝑁) ↔ (∀𝑛 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀)))(𝑛 + (𝑀 − 1)) ∈ (𝑀...𝑁) ∧ ∀𝑝 ∈ (𝑀...𝑁)∃!𝑛 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀)))𝑝 = (𝑛 + (𝑀 − 1))))
8244, 79, 81sylanbrc 697 . . . 4 (𝜑 → (𝑛 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀))) ↦ (𝑛 + (𝑀 − 1))):(1...(𝑁 + (1 − 𝑀)))–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
83 fprodser.3 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
84 eqid 2621 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐴) = (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐴)
8583, 84fmptd 6340 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐴):(𝑀...𝑁)⟶ℂ)
8685ffvelrnda 6315 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐴)‘𝑗) ∈ ℂ)
87 simpr 477 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀)))) → 𝑚 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀))))
88 1zzd 11352 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀)))) → 1 ∈ ℤ)
8941adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀)))) → (𝑁 + (1 − 𝑀)) ∈ ℤ)
9063adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀)))) → 𝑚 ∈ ℤ)
9127adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀)))) → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
92 fzaddel 12317 . . . . . . . . 9 (((1 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + (1 − 𝑀)) ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑀 − 1) ∈ ℤ)) → (𝑚 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀))) ↔ (𝑚 + (𝑀 − 1)) ∈ ((1 + (𝑀 − 1))...((𝑁 + (1 − 𝑀)) + (𝑀 − 1)))))
9388, 89, 90, 91, 92syl22anc 1324 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀)))) → (𝑚 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀))) ↔ (𝑚 + (𝑀 − 1)) ∈ ((1 + (𝑀 − 1))...((𝑁 + (1 − 𝑀)) + (𝑀 − 1)))))
9487, 93mpbid 222 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀)))) → (𝑚 + (𝑀 − 1)) ∈ ((1 + (𝑀 − 1))...((𝑁 + (1 − 𝑀)) + (𝑀 − 1))))
9520adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀)))) → ((1 + (𝑀 − 1))...((𝑁 + (1 − 𝑀)) + (𝑀 − 1))) = (𝑀...𝑁))
9694, 95eleqtrd 2700 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀)))) → (𝑚 + (𝑀 − 1)) ∈ (𝑀...𝑁))
97 fprodser.1 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
9897ralrimiva 2960 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑘) = 𝐴)
99 nfcsb1v 3530 . . . . . . . . 9 𝑘(𝑚 + (𝑀 − 1)) / 𝑘𝐴
10099nfeq2 2776 . . . . . . . 8 𝑘(𝐹‘(𝑚 + (𝑀 − 1))) = (𝑚 + (𝑀 − 1)) / 𝑘𝐴
101 fveq2 6148 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝑚 + (𝑀 − 1)) → (𝐹𝑘) = (𝐹‘(𝑚 + (𝑀 − 1))))
102 csbeq1a 3523 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝑚 + (𝑀 − 1)) → 𝐴 = (𝑚 + (𝑀 − 1)) / 𝑘𝐴)
103101, 102eqeq12d 2636 . . . . . . . 8 (𝑘 = (𝑚 + (𝑀 − 1)) → ((𝐹𝑘) = 𝐴 ↔ (𝐹‘(𝑚 + (𝑀 − 1))) = (𝑚 + (𝑀 − 1)) / 𝑘𝐴))
104100, 103rspc 3289 . . . . . . 7 ((𝑚 + (𝑀 − 1)) ∈ (𝑀...𝑁) → (∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑘) = 𝐴 → (𝐹‘(𝑚 + (𝑀 − 1))) = (𝑚 + (𝑀 − 1)) / 𝑘𝐴))
10598, 104mpan9 486 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑚 + (𝑀 − 1)) ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘(𝑚 + (𝑀 − 1))) = (𝑚 + (𝑀 − 1)) / 𝑘𝐴)
10696, 105syldan 487 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀)))) → (𝐹‘(𝑚 + (𝑀 − 1))) = (𝑚 + (𝑀 − 1)) / 𝑘𝐴)
107 f1of 6094 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀))) ↦ (𝑛 + (𝑀 − 1))):(1...(𝑁 + (1 − 𝑀)))–1-1-onto→(𝑀...𝑁) → (𝑛 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀))) ↦ (𝑛 + (𝑀 − 1))):(1...(𝑁 + (1 − 𝑀)))⟶(𝑀...𝑁))
10882, 107syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑛 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀))) ↦ (𝑛 + (𝑀 − 1))):(1...(𝑁 + (1 − 𝑀)))⟶(𝑀...𝑁))
109 fvco3 6232 . . . . . . 7 (((𝑛 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀))) ↦ (𝑛 + (𝑀 − 1))):(1...(𝑁 + (1 − 𝑀)))⟶(𝑀...𝑁) ∧ 𝑚 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀)))) → ((𝐹 ∘ (𝑛 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀))) ↦ (𝑛 + (𝑀 − 1))))‘𝑚) = (𝐹‘((𝑛 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀))) ↦ (𝑛 + (𝑀 − 1)))‘𝑚)))
110108, 109sylan 488 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀)))) → ((𝐹 ∘ (𝑛 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀))) ↦ (𝑛 + (𝑀 − 1))))‘𝑚) = (𝐹‘((𝑛 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀))) ↦ (𝑛 + (𝑀 − 1)))‘𝑚)))
111 ovex 6632 . . . . . . . . 9 (𝑚 + (𝑀 − 1)) ∈ V
11275, 80, 111fvmpt 6239 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀))) → ((𝑛 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀))) ↦ (𝑛 + (𝑀 − 1)))‘𝑚) = (𝑚 + (𝑀 − 1)))
113112adantl 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀)))) → ((𝑛 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀))) ↦ (𝑛 + (𝑀 − 1)))‘𝑚) = (𝑚 + (𝑀 − 1)))
114113fveq2d 6152 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀)))) → (𝐹‘((𝑛 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀))) ↦ (𝑛 + (𝑀 − 1)))‘𝑚)) = (𝐹‘(𝑚 + (𝑀 − 1))))
115110, 114eqtrd 2655 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀)))) → ((𝐹 ∘ (𝑛 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀))) ↦ (𝑛 + (𝑀 − 1))))‘𝑚) = (𝐹‘(𝑚 + (𝑀 − 1))))
116113fveq2d 6152 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀)))) → ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐴)‘((𝑛 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀))) ↦ (𝑛 + (𝑀 − 1)))‘𝑚)) = ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐴)‘(𝑚 + (𝑀 − 1))))
11783ralrimiva 2960 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 ∈ ℂ)
11899nfel1 2775 . . . . . . . . . 10 𝑘(𝑚 + (𝑀 − 1)) / 𝑘𝐴 ∈ ℂ
119102eleq1d 2683 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = (𝑚 + (𝑀 − 1)) → (𝐴 ∈ ℂ ↔ (𝑚 + (𝑀 − 1)) / 𝑘𝐴 ∈ ℂ))
120118, 119rspc 3289 . . . . . . . . 9 ((𝑚 + (𝑀 − 1)) ∈ (𝑀...𝑁) → (∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 ∈ ℂ → (𝑚 + (𝑀 − 1)) / 𝑘𝐴 ∈ ℂ))
121117, 120mpan9 486 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑚 + (𝑀 − 1)) ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑚 + (𝑀 − 1)) / 𝑘𝐴 ∈ ℂ)
12296, 121syldan 487 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀)))) → (𝑚 + (𝑀 − 1)) / 𝑘𝐴 ∈ ℂ)
12384fvmpts 6242 . . . . . . 7 (((𝑚 + (𝑀 − 1)) ∈ (𝑀...𝑁) ∧ (𝑚 + (𝑀 − 1)) / 𝑘𝐴 ∈ ℂ) → ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐴)‘(𝑚 + (𝑀 − 1))) = (𝑚 + (𝑀 − 1)) / 𝑘𝐴)
12496, 122, 123syl2anc 692 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀)))) → ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐴)‘(𝑚 + (𝑀 − 1))) = (𝑚 + (𝑀 − 1)) / 𝑘𝐴)
125116, 124eqtrd 2655 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀)))) → ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐴)‘((𝑛 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀))) ↦ (𝑛 + (𝑀 − 1)))‘𝑚)) = (𝑚 + (𝑀 − 1)) / 𝑘𝐴)
126106, 115, 1253eqtr4d 2665 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀)))) → ((𝐹 ∘ (𝑛 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀))) ↦ (𝑛 + (𝑀 − 1))))‘𝑚) = ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐴)‘((𝑛 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀))) ↦ (𝑛 + (𝑀 − 1)))‘𝑚)))
1272, 17, 82, 86, 126fprod 14596 . . 3 (𝜑 → ∏𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐴)‘𝑗) = (seq1( · , (𝐹 ∘ (𝑛 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀))) ↦ (𝑛 + (𝑀 − 1)))))‘(𝑁 + (1 − 𝑀))))
128 nnuz 11667 . . . . 5 ℕ = (ℤ‘1)
12917, 128syl6eleq 2708 . . . 4 (𝜑 → (𝑁 + (1 − 𝑀)) ∈ (ℤ‘1))
130129, 27, 115seqshft2 12767 . . 3 (𝜑 → (seq1( · , (𝐹 ∘ (𝑛 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀))) ↦ (𝑛 + (𝑀 − 1)))))‘(𝑁 + (1 − 𝑀))) = (seq(1 + (𝑀 − 1))( · , 𝐹)‘((𝑁 + (1 − 𝑀)) + (𝑀 − 1))))
13118seqeq1d 12747 . . . 4 (𝜑 → seq(1 + (𝑀 − 1))( · , 𝐹) = seq𝑀( · , 𝐹))
132131, 19fveq12d 6154 . . 3 (𝜑 → (seq(1 + (𝑀 − 1))( · , 𝐹)‘((𝑁 + (1 − 𝑀)) + (𝑀 − 1))) = (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁))
133127, 130, 1323eqtrd 2659 . 2 (𝜑 → ∏𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐴)‘𝑗) = (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁))
1341, 133syl5eqr 2669 1 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2907  wrex 2908  ∃!wreu 2909  [wsbc 3417  csb 3514  cmpt 4673  ccom 5078  wf 5843  1-1-ontowf1o 5846  cfv 5847  (class class class)co 6604  cc 9878  1c1 9881   + caddc 9883   · cmul 9885  cmin 10210  cn 10964  0cn0 11236  cz 11321  cuz 11631  ...cfz 12268  seqcseq 12741  cprod 14560
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-sup 8292  df-oi 8359  df-card 8709  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-rp 11777  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-seq 12742  df-exp 12801  df-hash 13058  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-clim 14153  df-prod 14561
This theorem is referenced by:  fprodfac  14628  iprodclim3  14656
  Copyright terms: Public domain W3C validator