Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fprodsplit1f Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fprodsplit1f 14646
 Description: Separate out a term in a finite product. A version of fprodsplit1 39229 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodsplit1f.kph 𝑘𝜑
fprodsplit1f.fk (𝜑𝑘𝐷)
fprodsplit1f.a (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fprodsplit1f.b ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
fprodsplit1f.c (𝜑𝐶𝐴)
fprodsplit1f.d ((𝜑𝑘 = 𝐶) → 𝐵 = 𝐷)
Assertion
Ref Expression
fprodsplit1f (𝜑 → ∏𝑘𝐴 𝐵 = (𝐷 · ∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐶})𝐵))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐶,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐷(𝑘)

Proof of Theorem fprodsplit1f
StepHypRef Expression
1 fprodsplit1f.kph . . 3 𝑘𝜑
2 disjdif 4012 . . . 4 ({𝐶} ∩ (𝐴 ∖ {𝐶})) = ∅
32a1i 11 . . 3 (𝜑 → ({𝐶} ∩ (𝐴 ∖ {𝐶})) = ∅)
4 fprodsplit1f.c . . . . . 6 (𝜑𝐶𝐴)
5 snssi 4308 . . . . . 6 (𝐶𝐴 → {𝐶} ⊆ 𝐴)
64, 5syl 17 . . . . 5 (𝜑 → {𝐶} ⊆ 𝐴)
7 undif 4021 . . . . 5 ({𝐶} ⊆ 𝐴 ↔ ({𝐶} ∪ (𝐴 ∖ {𝐶})) = 𝐴)
86, 7sylib 208 . . . 4 (𝜑 → ({𝐶} ∪ (𝐴 ∖ {𝐶})) = 𝐴)
98eqcomd 2627 . . 3 (𝜑𝐴 = ({𝐶} ∪ (𝐴 ∖ {𝐶})))
10 fprodsplit1f.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
11 fprodsplit1f.b . . 3 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
121, 3, 9, 10, 11fprodsplitf 14644 . 2 (𝜑 → ∏𝑘𝐴 𝐵 = (∏𝑘 ∈ {𝐶}𝐵 · ∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐶})𝐵))
13 fprodsplit1f.fk . . . . . . 7 (𝜑𝑘𝐷)
14 fprodsplit1f.d . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 = 𝐶) → 𝐵 = 𝐷)
151, 13, 4, 14csbiedf 3535 . . . . . 6 (𝜑𝐶 / 𝑘𝐵 = 𝐷)
1615eqcomd 2627 . . . . . . 7 (𝜑𝐷 = 𝐶 / 𝑘𝐵)
174ancli 573 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝜑𝐶𝐴))
18 nfcv 2761 . . . . . . . . 9 𝑘𝐶
19 nfv 1840 . . . . . . . . . . 11 𝑘 𝐶𝐴
201, 19nfan 1825 . . . . . . . . . 10 𝑘(𝜑𝐶𝐴)
2118nfcsb1 3529 . . . . . . . . . . 11 𝑘𝐶 / 𝑘𝐵
22 nfcv 2761 . . . . . . . . . . 11 𝑘
2321, 22nfel 2773 . . . . . . . . . 10 𝑘𝐶 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ
2420, 23nfim 1822 . . . . . . . . 9 𝑘((𝜑𝐶𝐴) → 𝐶 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)
25 eleq1 2686 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝐶 → (𝑘𝐴𝐶𝐴))
2625anbi2d 739 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝐶 → ((𝜑𝑘𝐴) ↔ (𝜑𝐶𝐴)))
27 csbeq1a 3523 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝐶𝐵 = 𝐶 / 𝑘𝐵)
2827eleq1d 2683 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝐶 → (𝐵 ∈ ℂ ↔ 𝐶 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ))
2926, 28imbi12d 334 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝐶 → (((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑𝐶𝐴) → 𝐶 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)))
3018, 24, 29, 11vtoclgf 3250 . . . . . . . 8 (𝐶𝐴 → ((𝜑𝐶𝐴) → 𝐶 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ))
314, 17, 30sylc 65 . . . . . . 7 (𝜑𝐶 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)
3216, 31eqeltrd 2698 . . . . . 6 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
3315, 32eqeltrd 2698 . . . . 5 (𝜑𝐶 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)
34 prodsns 14627 . . . . 5 ((𝐶𝐴𝐶 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ) → ∏𝑘 ∈ {𝐶}𝐵 = 𝐶 / 𝑘𝐵)
354, 33, 34syl2anc 692 . . . 4 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ {𝐶}𝐵 = 𝐶 / 𝑘𝐵)
3635, 15eqtrd 2655 . . 3 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ {𝐶}𝐵 = 𝐷)
3736oveq1d 6619 . 2 (𝜑 → (∏𝑘 ∈ {𝐶}𝐵 · ∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐶})𝐵) = (𝐷 · ∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐶})𝐵))
3812, 37eqtrd 2655 1 (𝜑 → ∏𝑘𝐴 𝐵 = (𝐷 · ∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐶})𝐵))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1480  Ⅎwnf 1705   ∈ wcel 1987  Ⅎwnfc 2748  ⦋csb 3514   ∖ cdif 3552   ∪ cun 3553   ∩ cin 3554   ⊆ wss 3555  ∅c0 3891  {csn 4148  (class class class)co 6604  Fincfn 7899  ℂcc 9878   · cmul 9885  ∏cprod 14560 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-sup 8292  df-oi 8359  df-card 8709  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-rp 11777  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-seq 12742  df-exp 12801  df-hash 13058  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-clim 14153  df-prod 14561 This theorem is referenced by:  fprodeq0g  14650  fprodsplit1  39229  fprod0  39232  dvmptfprodlem  39465
 Copyright terms: Public domain W3C validator